Exercices — Calcul littéral et puissances

Tous les calculs de cet exercice se font sans calculatrice, en utilisant les règles de calcul sur les puissances vues en cours.

1. Écrire chacun des nombres suivants sous la forme $2^n$, où $n$ est un entier relatif :

   a. $2^5\times 2^3$

   b. $2^7\times 2^{-4}$

   c. ${\displaystyle \frac{2^9}{2^4}}$

   d. ${\displaystyle \frac{2^3}{2^8}}$

   e. ${\left(2^3\right)}^4$

   f. $2^6\times 2^{-6}$

2. Écrire chacun des nombres suivants sous la forme ${10}^n$, où $n$ est un entier relatif :

   a. ${10}^4\times {10}^5$

   b. ${\displaystyle \frac{{10}^7}{{10}^{-3}}}$

   c. ${\left({10}^{-2}\right)}^3$

   d. ${\displaystyle \frac{{10}^{-5}\times {10}^8}{{10}^2}}$

3. Donner la valeur exacte de chacun des nombres suivants (sous forme d'entier ou de fraction) :

   a. $3^{-2}$

   b. $(-5{)}^0$

   c. ${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{-1}$

   d. $2^{-3}\times 2^5$

   e. ${\displaystyle \frac{7^5}{7^7}}$

4. Dans cette question, $a$, $b$ et $x$ désignent des réels non nuls. Écrire chaque expression sous la forme d'une seule puissance ($a^n$, $b^n$ ou $x^n$) :

   a. $a^4\times a^{-6}$

   b. ${\left(x^3\right)}^2\times x$

   c. ${\displaystyle \frac{b^5\times b^{-2}}{b^{-4}}}$

   d. ${\displaystyle \frac{{\left(a^2\right)}^5}{a^{10}}}$

5. Dans cette question, $a$ et $x$ désignent des réels non nuls. Développer et simplifier chaque expression :

   a. $(2x{)}^3$

   b. ${\left(3a^2\right)}^2$

   c. ${\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}^3$

   d. $(2a{)}^{-2}$

Rappel (vu au collège). Un nombre est en écriture scientifique lorsqu'il est écrit sous la forme $a\times {10}^n$, où $a$ est un nombre décimal vérifiant $1⩽a<10$ et $n$ un entier relatif. Par exemple, $45000=\mathrm{4,5}\times {10}^4$ et $\mathrm{0,003}=3\times {10}^{-3}$.

Tous les calculs de cet exercice se font sans calculatrice, en utilisant les règles de calcul sur les puissances de dix.

1. Écrire chacune des grandeurs suivantes en écriture scientifique :

   a. le diamètre de la Terre : environ $12800000$ m ;

   b. l'épaisseur d'un cheveu : environ $\mathrm{0,000}08$ m ;

   c. la vitesse de la lumière : environ $300000000$ m/s ;

   d. la longueur d'une bactérie Escherichia coli : environ $\mathrm{0,000}002$ m.

2. La distance moyenne de la Terre au Soleil vaut environ $\mathrm{1,5}\times {10}^{11}$ m. La lumière parcourt $3\times {10}^8$ m chaque seconde.

   a. Montrer que la lumière du Soleil met environ $5\times {10}^2$ secondes à nous parvenir.

   b. Exprimer cette durée en minutes et secondes.

3. La distance moyenne de la Terre à la Lune vaut environ $4\times {10}^8$ m. En calculant le quotient des deux distances, montrer que le Soleil est environ $375$ fois plus éloigné de la Terre que la Lune.

4. On reprend la bactérie de la question 1.d, de longueur $2\times {10}^{-6}$ m.

   a. Combien de bactéries faut-il aligner bout à bout pour égaler l'épaisseur d'un cheveu ($8\times {10}^{-5}$ m) ?

   b. Combien de bactéries faut-il aligner bout à bout pour couvrir une longueur de $1$ m ? Donner le résultat en écriture scientifique.

5. Une année-lumière est la distance parcourue par la lumière en une année. On admet qu'une année dure environ $\mathrm{3,2}\times {10}^7$ secondes.

   a. Calculer une valeur approchée d'une année-lumière en mètres, et donner le résultat en écriture scientifique.

   b. En déduire un ordre de grandeur d'une année-lumière (c'est-à-dire la puissance de dix la plus proche).

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse : par un calcul ou une démonstration si l'affirmation est vraie, par un contre-exemple si elle est fausse. Les calculs se font sans calculatrice.

1. $(-2{)}^4=-2^4$.

2. $2^3\times 2^4=2^{12}$.

3. Pour tout réel $a$ non nul, ${\left(a^2\right)}^3={\left(a^3\right)}^2$.

4. Le nombre $2^{-3}$ est négatif.

5. Pour tout entier naturel $n$, $2^{n+1}=2\times 2^n$.

6. $2^{30}>3^{20}$.

7. La somme de deux puissances de $2$ est toujours une puissance de $2$.

8. ${\mathrm{0,1}}^3={10}^{-3}$.

Tous les calculs se font sans calculatrice. On utilisera la règle du cours : pour tous réels positifs $a$ et $b$, $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$.

1. Écrire chacun des nombres suivants sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers naturels et $b$ est le plus petit possible :

   a. $\sqrt{50}$

   b. $\sqrt{72}$

   c. $\sqrt{300}$

   d. $\sqrt{45}$

   e. $\sqrt{98}$

2. Calculer les produits suivants et donner à chaque fois la valeur exacte (le résultat est un entier) :

   a. $\sqrt{2}\times \sqrt{8}$

   b. $\sqrt{3}\times \sqrt{27}$

   c. $\sqrt{5}\times \sqrt{20}$

   d. ${\left(2\sqrt{3}\right)}^2$

3. Écrire chacune des expressions suivantes sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers naturels et $b$ est le plus petit possible :

   a. $\sqrt{18}+\sqrt{8}$

   b. $3\sqrt{12}-\sqrt{27}$

   c. $\sqrt{50}+\sqrt{32}-\sqrt{2}$

   d. $2\sqrt{45}+\sqrt{20}$

4. Calculer les quotients suivants et donner la valeur exacte :

   a. $\sqrt{{\displaystyle \frac{49}{25}}}$

   b. ${\displaystyle \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}}$

L'objectif de cet exercice est de démontrer deux résultats du cours sur les racines carrées : la règle du produit, puis la mise en garde concernant la somme.

On rappelle la définition du cours : pour tout réel $x⩾0$, $\sqrt{x}$ est le nombre positif dont le carré vaut $x$. Autrement dit, $\sqrt{x}$ est l'unique nombre vérifiant les deux conditions : $\sqrt{x}⩾0$ et ${\left(\sqrt{x}\right)}^2=x$.

Partie A — Démontrer que $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$

Dans cette partie, $a$ et $b$ désignent deux réels positifs ou nuls.

1. En utilisant la règle $(uv{)}^2=u^2{v}^2$, montrer que ${(\sqrt{a}\times \sqrt{b})}^2=ab$.

2. Justifier que le nombre $\sqrt{a}\times \sqrt{b}$ est positif ou nul.

3. Conclure : expliquer pourquoi les questions 1 et 2 prouvent que $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$.

4. Application. En utilisant la règle démontrée, écrire $\sqrt{75}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ entiers naturels et $b$ le plus petit possible.

Partie B — La racine d'une somme

1. En calculant séparément $\sqrt{9+16}$ d'une part, et $\sqrt{9}+\sqrt{16}$ d'autre part, montrer que l'égalité $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ est fausse en général.

2. On veut maintenant démontrer un résultat plus précis : si $a>0$ et $b>0$, alors $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

   On admet la propriété suivante : si $u$ et $v$ sont deux nombres positifs, alors $u<v$ équivaut à $u^2<v^2$ (deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés).

   a. Que vaut ${\left(\sqrt{a+b}\right)}^2$ ?

   b. Développer ${(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^2$ à l'aide d'une identité remarquable, et montrer que ${(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^2=a+b+2\sqrt{ab}$.

   c. Justifier que $2\sqrt{ab}>0$.

   d. Comparer ${\left(\sqrt{a+b}\right)}^2$ et ${(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^2$, puis conclure à l'aide de la propriété admise.

On rappelle deux résultats du cours :

• pour tout réel $a$, $\sqrt{a^2}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ ;
• la valeur absolue est définie par cas (chapitre 2) : $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=a$ si $a⩾0$, et $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=-a$ si $a<0$.

Tous les calculs se font sans calculatrice.

1. Calculer :

   a. $\sqrt{5^2}$

   b. $\sqrt{(-5{)}^2}$

   c. $\sqrt{(-\mathrm{0,3}{)}^2}$

   d. $\sqrt{(-7{)}^2}+\sqrt{7^2}$

2. Soit $x$ un réel dont on sait seulement qu'il est strictement négatif. Simplifier $\sqrt{x^2}$ : le résultat ne doit plus comporter ni racine carrée ni valeur absolue.

3. Simplifier chacune des expressions suivantes (le résultat ne doit plus comporter ni racine carrée ni valeur absolue) ; on justifiera à chaque fois le signe de l'expression située sous le carré.

   a. $\sqrt{(3-\pi {)}^2}$, sachant que $\pi >3$.

   b. $\sqrt{{(\sqrt{2}-2)}^2}$, sachant que $\sqrt{2}<2$.

   c. $\sqrt{{(1-\sqrt{3})}^2}$, sachant que $\sqrt{3}>1$.

4. Vrai ou faux ? « Pour tout réel $x$, $\sqrt{x^2}=x$. » Justifier par une démonstration ou un contre-exemple.

On rappelle les trois identités remarquables du cours, valables pour tous les nombres réels $a$ et $b$ :

• $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$
• $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$
• $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Développer et réduire chacune des expressions suivantes. À chaque fois, préciser l'identité remarquable utilisée et indiquer les valeurs de $a$ et de $b$.

1. Avec les carrés d'une somme ou d'une différence :

   a. $(x+3{)}^2$

   b. $(x-7{)}^2$

   c. $(2x+5{)}^2$

   d. $(3x-1{)}^2$

2. Avec la troisième identité :

   a. $(x+4)(x-4)$

   b. $(5x+2)(5x-2)$

3. Avec des fractions :

   a. ${(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2$

   b. ${(x-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^2$

Factoriser, c'est utiliser les identités remarquables dans l'autre sens : on part de la forme développée et on retrouve le produit.

1. Factoriser chacune des expressions suivantes en reconnaissant le développement d'un carré, c'est-à-dire une expression de la forme $a^2+2ab+b^2$ ou $a^2-2ab+b^2$ :

   a. $x^2+6x+9$

   b. $x^2-10x+25$

   c. $4x^2+20x+25$

2. Factoriser chacune des expressions suivantes en reconnaissant une différence de deux carrés, c'est-à-dire une expression de la forme $a^2-b^2$ :

   a. $x^2-49$

   b. $9x^2-16$

3. On rappelle que $3={\left(\sqrt{3}\right)}^2$. En utilisant cette remarque, factoriser $x^2-3$.

4. On considère l'expression $E=(x+1{)}^2-9$.

   a. Écrire $E$ sous la forme d'une différence de deux carrés, en précisant qui joue le rôle de $a$ et qui joue le rôle de $b$.

   b. En déduire une factorisation de $E$ en un produit de deux facteurs du premier degré, que l'on réduira.

   c. Vérifier la factorisation obtenue en calculant $E$ de deux façons pour $x=2$.

Les identités remarquables ne servent pas qu'au calcul littéral : bien choisies, elles permettent de calculer de tête des produits et des carrés qui semblent compliqués.

Exemple. Pour calculer ${103}^2$, on écrit $103=100+3$, puis on utilise l'identité $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ : ${103}^2=(100+3{)}^2={100}^2+2\times 100\times 3+3^2=10000+600+9=10609$.

1. Calculer sans calculatrice, en utilisant une identité remarquable. À chaque fois, citer l'identité utilisée et détailler le calcul comme dans l'exemple.

   a. ${101}^2$

   b. ${99}^2$

   c. $102\times 98$

   d. ${55}^2-{45}^2$

   e. $1001\times 999$

   f. ${97}^2$

2. Un élève affirme : « Quand je prends un entier, que je calcule son carré, puis que je lui enlève le produit de son voisin de gauche par son voisin de droite, je trouve toujours $1$. »

   a. Vérifier cette affirmation avec les entiers $5$, puis $12$.

   b. Démontrer que pour tout entier $n$, on a $n^2-(n-1)(n+1)=1$.

L'objectif de cet exercice est de retrouver la démonstration géométrique, vue en cours, de l'identité $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, dans le cas où $a$ et $b$ sont deux nombres strictement positifs.

On considère la figure ci-dessous : un grand carré dont le côté est partagé en deux longueurs $a$ et $b$, découpé par deux droites en quatre régions numérotées de 1 à 4.

1. Quelle est la longueur du côté du grand carré ? En déduire une première expression de son aire.

2. Pour chacune des quatre régions, préciser sa nature (carré ou rectangle), ses dimensions et son aire :

   a. la région 1, en bas à gauche ;

   b. la région 2, en bas à droite ;

   c. la région 3, en haut à gauche ;

   d. la région 4, en haut à droite.

3. En exprimant l'aire du grand carré comme la somme des aires des quatre régions, en déduire une deuxième expression de cette aire, puis conclure que pour tous nombres strictement positifs $a$ et $b$ :

4. Un élève affirme que $(a+b{)}^2=a^2+b^2$. En s'appuyant sur la figure, expliquer pourquoi cette égalité est fausse dès que $a$ et $b$ sont strictement positifs, et justifier que l'on a en réalité $(a+b{)}^2>a^2+b^2$.

5. Application. Un jardin carré a un côté de $10$ mètres. On l'agrandit en ajoutant $3$ mètres à chacun de ses côtés (le jardin reste carré).

   a. Calculer l'aire du nouveau jardin à l'aide de l'identité, en détaillant les trois termes $a^2$, $2ab$ et $b^2$.

   b. De combien de mètres carrés l'aire a-t-elle augmenté ? Retrouver ce nombre sur la figure (quelles régions correspondent à l'agrandissement ?).

Une expression fractionnaire n'a de sens que si son dénominateur n'est pas nul. Avant tout calcul, on commence donc par se demander pour quelles valeurs de $x$ l'expression est définie.

1. Simplifier chacune des expressions suivantes :

   a. ${\displaystyle \frac{6x^2}{2x}}$, pour $x\mathrm{\ne }0$

   b. ${\displaystyle \frac{3(x+1)}{(x+1{)}^2}}$, pour $x\mathrm{\ne }-1$

2. On considère les expressions $A(x)={\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{x}{4}}$ et $B(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   a. L'expression $A(x)$ est-elle définie pour toutes les valeurs de $x$ ? Et l'expression $B(x)$ ? Justifier.

   b. Écrire $A(x)$ sous la forme d'une seule fraction, en mettant les deux termes au même dénominateur.

   c. Faire de même pour $B(x)$.

3. On considère l'expression $C(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$.

   a. Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $C(x)$ est-elle définie ?

   b. Écrire $C(x)$ sous la forme d'une seule fraction.

   c. Vérifier le résultat obtenu en calculant $C(1)$ de deux façons : avec l'expression de départ, puis avec la fraction obtenue à la question b.

Dans cet exercice, on combine deux outils du chapitre : les identités remarquables (pour factoriser) et la simplification des expressions fractionnaires. La stratégie est toujours la même : factoriser le numérateur et le dénominateur, puis simplifier par le facteur commun.

1. Simplifier chacune des expressions suivantes, après avoir factorisé ce qui peut l'être :

   a. ${\displaystyle \frac{x^2-9}{x+3}}$, pour $x\mathrm{\ne }-3$

   b. ${\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x+1}}$, pour $x\mathrm{\ne }-1$

2. On considère l'expression $D(x)={\displaystyle \frac{x^2-25}{x^2-5x}}$.

   a. Factoriser le numérateur, puis le dénominateur.

   b. Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $D(x)$ est-elle définie ?

   c. Simplifier $D(x)$ pour ces valeurs de $x$.

3. On souhaite démontrer que pour tout $x\mathrm{\ne }0$ :

a. Première méthode. Développer $(x+1{)}^2$ et $(x-1{)}^2$, réduire le numérateur, puis conclure.

b. Deuxième méthode. Factoriser directement le numérateur $(x+1{)}^2-(x-1{)}^2$ à l'aide de l'identité $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$, puis conclure.

c. Laquelle des deux méthodes vous paraît la plus rapide ? Expliquer en une phrase ce qui la rend plus efficace ici.

Dans chaque situation, on transforme d'abord la formule sans valeurs numériques, puis on l'utilise pour répondre à la question posée.

1. Loi d'Ohm. En électricité, la tension $U$ (en volts), la résistance $R$ (en ohms) et l'intensité $I$ (en ampères) d'un appareil sont liées par la formule :

   $$U=RI\mathrm{.}$$

   a. Exprimer $I$ en fonction de $U$ et $R$.

   b. Une résistance chauffante de $R=460\mathrm{\Omega }$ est branchée sur le secteur, sous une tension $U=230$ V. Calculer l'intensité $I$ du courant qui la traverse.

   c. Exprimer $R$ en fonction de $U$ et $I$.

   d. Une lampe de vélo fonctionne sous une tension $U=6$ V et est traversée par un courant d'intensité $I=\mathrm{0,4}$ A. Calculer sa résistance $R$.

2. Distance, vitesse, durée. Pour un déplacement à vitesse constante $v$, la distance parcourue $d$ pendant la durée $t$ vérifie :

   $$d=vt\mathrm{.}$$

   a. Exprimer $t$ en fonction de $d$ et $v$.

   b. Une voiture parcourt $d=250$ km à la vitesse moyenne de $v=100$ km/h. Calculer la durée du trajet, en heures, puis l'exprimer en heures et minutes.

3. Volume d'un pavé droit. Le volume d'un pavé droit de dimensions $a$, $b$ et $c$ est donné par :

   $$V=abc\mathrm{.}$$

   a. Exprimer $c$ en fonction de $V$, $a$ et $b$.

   b. Un aquarium a la forme d'un pavé droit de longueur $a=60$ cm et de largeur $b=40$ cm. Son volume est $V=96000{\text{cm}}^3$ (soit $96$ litres). Calculer sa hauteur $c$.

4. Relation du premier degré. On considère la relation $ax+b=c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres fixés, avec $a\mathrm{\ne }0$.

   a. Exprimer $x$ en fonction de $a$, $b$ et $c$. Préciser à quel endroit du calcul l'hypothèse $a\mathrm{\ne }0$ est indispensable.

   b. Une course de taxi est facturée $4$ € de prise en charge, plus $\mathrm{2,50}$ € par kilomètre : le prix $P$ (en euros) d'une course de $d$ kilomètres vérifie donc $\mathrm{2,5}d+4=P$. Une course a coûté $24$ €. En utilisant la formule de la question a, calculer la distance parcourue.

1. La cuve de récupération d'eau. Une cuve cylindrique de rayon $r$ et de hauteur $h$ a pour volume :

   $$V=\pi r^{2}h\mathrm{.}$$

   a. Exprimer $h$ en fonction de $V$ et $r$.

   b. Une cuve enterrée de rayon $r=\mathrm{0,8}$ m doit contenir $V=3{\text{m}}^3$ d'eau de pluie. Donner la valeur exacte de la hauteur $h$ nécessaire (sous la forme d'une fraction faisant intervenir $\pi$), puis un arrondi avec un nombre de chiffres significatifs adapté aux données.

2. Le système d'arrosage. Un arroseur automatique arrose un disque de rayon $r$, dont l'aire est :

   $$S=\pi r^2\mathrm{.}$$

   a. Exprimer $r^2$ en fonction de $S$.

   b. En déduire l'expression de $r$ en fonction de $S$. Justifier soigneusement le passage de $r^2$ à $r$ : pourquoi peut-on écrire $r=\sqrt{{\displaystyle \frac{S}{\pi }}}$ et non $r=-\sqrt{{\displaystyle \frac{S}{\pi }}}$ ?

   c. On veut arroser une pelouse circulaire d'aire $S=50{\text{m}}^2$. Quel rayon de portée faut-il régler sur l'arroseur ? Donner la valeur exacte, puis un arrondi au décimètre près.

3. Celsius et Fahrenheit. Aux États-Unis, les températures sont exprimées en degrés Fahrenheit. La température $T_F$ (en °F) et la température $T_C$ (en °C) sont liées par la formule :

   $$T_F=\mathrm{1,8}{T}_C+32.$$

   a. À Chicago, un thermomètre de rue affiche $T_C=25$ °C. Quelle température l'affichage en degrés Fahrenheit indique-t-il ?

   b. Exprimer $T_C$ en fonction de $T_F$.

   c. La météo américaine annonce $T_F=68$ °F. Convertir cette température en degrés Celsius.

   d. Existe-t-il une température qui s'exprime par le même nombre dans les deux unités ? Vérifier que $T_C=-40$ convient.

On rappelle le programme du cours, qui cherche la première puissance de $q$ (avec $q>1$) dépassant un seuil $M$ :

q = 2               # base : nombre strictement superieur a 1
M = 100             # seuil a depasser
n = 0               # exposant courant
p = 1               # valeur de q**n (au depart, q**0 = 1)

while p <= M:       # tant que la puissance ne depasse pas le seuil...
    n = n + 1       # ... on passe a l'exposant suivant
    p = p * q       # ... et la puissance est multipliee par q

print(n)
print(p)

1. Lecture du programme.

   a. Que valent les variables $n$ et $p$ juste avant le premier passage dans la boucle ?

   b. Recopier et poursuivre le tableau de traçage suivant, qui donne les valeurs de $n$ et de $p$ à la fin de chaque passage dans la boucle, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire jusqu'à l'arrêt de la boucle :

   Passage dans la boucle	$1$	$2$	$3$	$\dots$
   $n$	$1$	$2$
   $p$	$2$	$4$

   c. Pourquoi la boucle s'arrête-t-elle ? Qu'affiche le programme ?

   d. Traduire la réponse par une phrase utilisant le mot « puissance ».

2. Version à trous. On veut maintenant trouver la première puissance de $3$ qui dépasse $1000$. Recopier et compléter le programme :

q = ...
M = ...
n = 0
p = 1
while ...:
    n = n + 1
    p = ...
print(n)
print(p)

Prévoir sans machine ce qu'affiche ce programme, en dressant la liste des puissances de $3$ nécessaires.

3. Et si $0<q<1$ ? On s'intéresse aux puissances de $\mathrm{0,5}$ : on cherche cette fois la première puissance de $\mathrm{0,5}$ inférieure à $\mathrm{0,01}$.

   a. Calculer ${\mathrm{0,5}}^1$, ${\mathrm{0,5}}^2$ et ${\mathrm{0,5}}^3$. Comment évoluent les puissances de $\mathrm{0,5}$ quand l'exposant augmente ?

   b. Expliquer pourquoi la condition while p <= M: ne convient plus, et par quelle condition il faut la remplacer.

   c. Écrire le programme modifié (avec $q=\mathrm{0,5}$ et $M=\mathrm{0,01}$), puis prévoir son affichage à l'aide des puissances de $\mathrm{0,5}$.

Dans des conditions favorables, une culture de bactéries double toutes les heures. À l'instant initial, la boîte de culture contient $1000$ bactéries.

1. Modéliser avec une puissance.

   a. Calculer le nombre de bactéries au bout de $1$ heure, de $2$ heures, puis de $3$ heures.

   b. Justifier que le nombre de bactéries au bout de $n$ heures ($n$ entier naturel) est $1000\times 2^n$.

   c. Calculer le nombre de bactéries au bout de $10$ heures, et écrire le résultat en écriture scientifique.

2. Chercher le seuil avec un programme. On veut savoir au bout de combien d'heures la culture dépasse le milliard de bactéries (${10}^9$).

   a. Recopier et compléter le programme suivant, sur le modèle du programme « première puissance dépassant un seuil » du cours :

N = 1000           # nombre de bacteries au depart
M = 10**9          # seuil a depasser : un milliard
n = 0              # nombre d'heures ecoulees
while ...:
    n = n + 1
    N = ...
print(n)
print(N)

b. Ce programme affiche $20$ puis $1048576000$. Interpréter ces deux nombres par une phrase, et écrire $1048576000$ en écriture scientifique (arrondir le nombre décimal à ${10}^{-3}$ près).

3. Retrouver le résultat avec les règles des puissances. On donne $2^{10}=1024$.

   a. Expliquer pourquoi $2^{10}$ est proche de ${10}^3$.

   b. En utilisant la règle ${\left(2^{10}\right)}^2=2^{20}$, justifier sans calculatrice que $1000\times 2^{20}$ est proche de ${10}^9$, et retrouver ainsi l'ordre de grandeur de la réponse de la question 2.

4. Sans exécuter le programme. Par un raisonnement analogue à celui de la question 3, déterminer au bout de combien d'heures la culture dépasse ${10}^{12}$ bactéries (mille milliards). On vérifiera la réponse en comparant $1000\times 2^{29}$ et $1000\times 2^{30}$ à ${10}^{12}$, sachant que $2^{29}=536870912$ et $2^{30}=1073741824$.

Quand une racine carrée figure au dénominateur d'une fraction, on préfère souvent transformer l'écriture pour que le dénominateur devienne un nombre entier : les comparaisons et les calculs deviennent alors plus simples. Cet exercice présente les deux techniques.

Partie A — Multiplier par la racine du dénominateur

1. En multipliant le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{2}$, montrer que :

   $${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{.}$$

2. Par la même méthode, écrire ${\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}}$ sous la forme $a\sqrt{3}$, où $a$ est un entier.

3. Expliquer pourquoi cette méthode fonctionne pour toute fraction de la forme ${\displaystyle \frac{c}{\sqrt{a}}}$ (avec $a>0$) : quelle propriété de la racine carrée utilise-t-on ?

Partie B — Utiliser l'expression conjuguée

Quand le dénominateur est une somme comme $2+\sqrt{3}$, multiplier par $\sqrt{3}$ ne suffit plus. On utilise alors l'identité remarquable $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

1. Montrer que $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1$.

2. En déduire que ${\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}}}=2-\sqrt{3}$.

3. Calculer $(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)$, puis écrire ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}+2}}$ sans racine carrée au dénominateur.

Partie C — Généralisation

Soient $a$ et $b$ deux nombres tels que $a>b>0$.

1. Développer $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ à l'aide de l'identité remarquable, et expliquer pourquoi le résultat est un nombre non nul.

2. En déduire la formule :

   $${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}}\mathrm{.}$$

3. Appliquer cette formule pour écrire ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}$ avec un dénominateur entier.

4. Vérification numérique (calculatrice autorisée pour cette question) : calculer une valeur approchée de ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}$ puis de l'expression obtenue à la question 3, et vérifier que les affichages coïncident.

Un jardinier aménage un massif de fleurs carré, de côté $x$ mètres. Il l'entoure d'une allée de gravier de largeur $\mathrm{1,5}$ m, de sorte que l'ensemble « massif $+$ allée » forme un grand carré de côté $x+3$ (l'allée ajoute $\mathrm{1,5}$ m de chaque côté).

On note $A$ l'aire de l'allée, en ${\text{m}}^2$.

1. Justifier que $A=(x+3{)}^2-x^2$.

2. Développer et réduire cette expression.

3. Retrouver le résultat de la question 2 d'une autre manière : factoriser $(x+3{)}^2-x^2$ à l'aide de l'identité remarquable $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$, puis vérifier que la forme factorisée obtenue, $A=3(2x+3)$, est bien égale à la forme développée.

4. On dispose donc de deux écritures de la même aire : $A=6x+9$ et $A=3(2x+3)$. Indiquer laquelle est la plus adaptée pour chacune des tâches suivantes, en justifiant :

   a. calculer mentalement $A$ pour une valeur donnée de $x$ ;

   b. montrer que, quel que soit $x$, l'aire de l'allée est un multiple de $3$ lorsque $x$ est un nombre entier de mètres.

5. Application. Le massif a un côté de $8$ m.

   a. Calculer l'aire de l'allée.

   b. Le gravier coûte $\mathrm{12,50}$ euros par mètre carré. Calculer le coût du gravier pour toute l'allée.

6. Sur un autre chantier, la même allée de largeur $\mathrm{1,5}$ m entoure un massif carré, et son aire vaut $A=69{\text{m}}^2$. Vérifier qu'un massif de côté $x=10$ m convient.

Le calcul littéral n'est pas qu'un outil de transformation d'écritures : c'est aussi l'outil qui permet de démontrer des propriétés vraies pour tous les entiers, comme au chapitre d'arithmétique. On rappelle qu'un entier pair s'écrit $2k$ et qu'un entier impair s'écrit $2k+1$, où $k$ est un entier.

1. Différence des carrés de deux entiers consécutifs. Soit $n$ un entier naturel : les entiers $n$ et $n+1$ sont dits consécutifs.

   a. Vérifier sur deux exemples : calculer $5^2-4^2$ et ${13}^2-{12}^2$. Quelle conjecture peut-on faire sur la différence des carrés de deux entiers consécutifs ?

   b. Développer et réduire $(n+1{)}^2-n^2$.

   c. En déduire que la différence des carrés de deux entiers consécutifs est toujours un nombre impair. Pourquoi les exemples de la question a ne suffisaient-ils pas à le démontrer ?

2. Tout impair est une différence de deux carrés. Soit $N$ un nombre impair : il s'écrit $N=2k+1$, où $k$ est un entier naturel.

   a. À l'aide de la question 1, justifier l'égalité $2k+1=(k+1{)}^2-k^2$.

   b. En déduire que tout nombre impair est la différence des carrés de deux entiers consécutifs.

   c. Appliquer ce résultat à $N=17$ : écrire $17$ comme différence de deux carrés, et vérifier le calcul.

3. Somme des carrés de deux entiers consécutifs. Soit $n$ un entier naturel.

   a. Développer et réduire $n^2+(n+1{)}^2$.

   b. Démontrer que la somme des carrés de deux entiers consécutifs est toujours impaire.

4. Approfondissement : le cube d'une somme.

   a. En écrivant $(a+b{)}^3=(a+b{)}^2(a+b)$, développer et réduire $(a+b{)}^3$.

   b. Utiliser la formule obtenue pour calculer ${11}^3$ à la main, en écrivant $11=10+1$.

   c. De la même façon, calculer ${101}^3$ à la main.