Devoir surveillé — Calcul littéral et puissances

La calculatrice n'est pas autorisée pour cet exercice. Les questions sont indépendantes.

1. Écrire chacun des nombres suivants sous la forme d'une seule puissance, puis sous la forme d'un entier ou d'une fraction. Aucune justification n'est demandée, mais on fera apparaître l'étape intermédiaire.

   a. $2^5\times 2^{-8}$

   b. ${\displaystyle \frac{{10}^3\times {10}^{-7}}{{10}^{-2}}}$

   c. ${\left(5^{-1}\right)}^2\times 5^4$

   d. Donner l'écriture scientifique de $\mathrm{0,00072}$.

2. Dans cette question, $x$ et $a$ désignent des réels non nuls. Écrire chaque expression sous la forme d'une seule puissance de $x$ ou de $a$, éventuellement précédée d'un coefficient entier :

   a. ${\displaystyle \frac{x^5\times x^{-2}}{x^7}}$

   b. ${\left(2a^3\right)}^4$

3. Écrire chacun des nombres suivants sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers avec $b$ le plus petit possible :

   a. $\sqrt{75}$

   b. $\sqrt{18}+5\sqrt{2}$

   c. ${\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}}$ (on rendra d'abord le dénominateur entier)

4. Calculer ou simplifier, en justifiant à l'aide de la propriété $\sqrt{a^2}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ :

   a. $\sqrt{(-7{)}^2}$

   b. $\sqrt{(2-\pi {)}^2}$ (on rappelle que $\pi >2$)

1. Développer et réduire chacune des expressions suivantes :

   a. $(3x+2{)}^2$

   b. $(5-2x)(5+2x)$

2. Factoriser chacune des expressions suivantes à l'aide d'une identité remarquable :

   a. $x^2+6x+9$

   b. $9x^2-25$

   c. $(x+2{)}^2-16$

3. Calculer $103\times 97$ sans calculatrice, en faisant apparaître une identité remarquable. Détailler le calcul : le résultat seul ne rapporte aucun point.

Dans les questions 1 et 2, $a$ et $b$ désignent deux réels positifs ou nuls.

1. Rappeler la définition de la racine carrée du réel positif $a$.

2. On pose $p=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$ et on veut démontrer que $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$. a. Calculer $p^2$, en citant la règle de calcul sur les puissances utilisée. b. Justifier que $p⩾0$. c. Conclure, en utilisant la définition rappelée à la question 1.

3. Vrai ou faux ? Justifier : « pour tous les réels $a>0$ et $b>0$, on a $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ ».

1. On considère l'expression $F={\displaystyle \frac{x^2-16}{x+4}}$. a. Pour quelles valeurs de $x$ cette expression a-t-elle un sens ? Justifier. b. Simplifier $F$ pour ces valeurs de $x$.

2. Pour $x\mathrm{\ne }0$ et $x\mathrm{\ne }-2$, écrire ${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x+2}}$ sous la forme d'un seul quotient.

3. On pose $E=(x+5{)}^2-x^2$. a. Développer et réduire $E$. b. Factoriser $E$ à l'aide d'une identité remarquable (on obtiendra un produit par $5$). c. En utilisant la forme la plus adaptée, donner sans effort de calcul la valeur de $E$ pour $x=0$. d. En utilisant la forme la plus adaptée, démontrer que si $x$ est un entier, alors $E$ est un multiple de $5$.

La calculatrice est autorisée pour cet exercice. Les deux parties sont indépendantes.

Partie A — La cuve cylindrique

Le volume d'une cuve cylindrique de rayon $r$ et de hauteur $h$ est donné par la formule :

Une cuve de récupération d'eau de pluie a pour rayon $r=\mathrm{1,2}$ m et doit contenir un volume $V=10{\text{m}}^3$.

1. Transformer la formule pour exprimer $h$ en fonction de $V$ et de $r$.

2. a. Donner la valeur exacte de la hauteur $h$, en mètres, sous la forme d'un quotient faisant intervenir $\pi$. b. En donner une valeur approchée, arrondie avec un nombre de chiffres significatifs adapté aux données de l'énoncé. Justifier le choix du nombre de chiffres significatifs.

Partie B — Le nénuphar

Un nénuphar double sa surface chaque jour. Le jour $0$, il couvre $1{\text{m}}^2$ à la surface d'un bassin de $5000{\text{m}}^2$.

3. Exprimer, sous la forme d'une puissance de $2$, la surface (en ${\text{m}}^2$) couverte par le nénuphar après $n$ jours.

4. Recopier et compléter le programme Python suivant (deux emplacements ... à compléter), pour qu'il affiche le premier jour où la surface du nénuphar dépasse celle du bassin :

n = 0
surface = 1
while ...:            # trou 1 : condition de poursuite
    surface = ...     # trou 2 : la surface double
    n = n + 1
print(n)

5. Quelle valeur ce programme affiche-t-il ? Justifier la réponse par un calcul de puissances de $2$, sans faire tourner le programme jour par jour.

6. Au bout de combien de jours le nénuphar couvre-t-il, pour la première fois, plus de la moitié du bassin ? Justifier à l'aide des puissances de $2$.