Exercices — Arithmétique et ensembles de nombres

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse en une ou deux phrases.

On rappelle que $\mathbb{N}$ désigne l'ensemble des entiers naturels ($0$, $1$, $2$, $3$, ...), que $\mathbb{Z}$ désigne l'ensemble des entiers relatifs (..., $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, ...) et que ${\mathbb{N}}^{\ast }$ désigne l'ensemble des entiers naturels non nuls.

1. $-5\in \mathbb{N}$
2. $-5\in \mathbb{Z}$
3. ${\displaystyle \frac{12}{4}}\in \mathbb{N}$
4. ${\displaystyle \frac{7}{2}}\in \mathbb{Z}$
5. $\sqrt{9}\in \mathbb{N}$
6. $0\in {\mathbb{N}}^{\ast }$
7. $(-3{)}^2\in \mathbb{N}$
8. $-{\displaystyle \frac{20}{5}}\in \mathbb{N}$

On rappelle la définition : un entier $a$ est un multiple d'un entier $b$ s'il existe un entier $k$ tel que $a=kb$. On dit alors aussi que $b$ est un diviseur de $a$, ou que $a$ est divisible par $b$.

1. Donner les cinq plus petits multiples strictement positifs de $8$.
2. Donner quatre multiples de $6$ compris entre $-15$ et $15$.
3. Le nombre $91$ est-il un multiple de $7$ ? Justifier en exhibant l'entier $k$ de la définition.
4. Le nombre $58$ est-il divisible par $4$ ? Justifier.
5. Le nombre $-24$ est-il un multiple de $6$ ? Justifier avec la définition.
6. Le nombre $13$ est-il un diviseur de $0$ ? Justifier.

On rappelle les définitions : un entier $n$ est pair s'il existe un entier $k$ tel que $n=2k$ ; il est impair s'il existe un entier $k$ tel que $n=2k+1$.

1. Écrire chacun des nombres suivants sous la forme $2k$ ou $2k+1$, en précisant à chaque fois la valeur de l'entier $k$ :

2. Sans poser la division, dire si $2\times 517+1$ est pair ou impair. Justifier.
3. Calculer la somme de deux nombres impairs sur trois exemples de votre choix. Que remarque-t-on ? La remarque semble-t-elle vraie pour n'importe quels nombres impairs ?
4. Reprendre la question 3 avec la somme d'un nombre pair et d'un nombre impair.

On rappelle qu'une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que $1$.

Rendre irréductible chacune des fractions suivantes, en détaillant les simplifications effectuées :

1. Recopier et compléter chaque pointillé par le symbole qui convient parmi $\in$, $\mathrm{\notin }$ et $\subset$ :

a. $7\dots \mathbb{N}$ b. $-3\dots \mathbb{N}$ c. $-3\dots \mathbb{Z}$ d. $\mathbb{N}\dots \mathbb{Z}$ e. ${\displaystyle \frac{15}{3}}\dots {\mathbb{N}}^{\ast }$ f. $0\dots {\mathbb{Z}}^{\ast }$

2. Écrire en extension (c'est-à-dire en donnant la liste de tous leurs éléments) les ensembles suivants :

a. $A$ : l'ensemble des multiples de $5$ compris entre $-12$ et $18$ ; b. $B$ : l'ensemble des entiers naturels strictement inférieurs à $6$ ; c. $C$ : l'ensemble des diviseurs positifs de $18$.

3. a. Quel est l'opposé de $9$ ? Appartient-il à $\mathbb{N}$ ? À $\mathbb{Z}$ ? b. Existe-t-il un entier naturel dont l'opposé appartient aussi à $\mathbb{N}$ ? Justifier.

Pour trouver tous les diviseurs positifs d'un entier, une méthode efficace consiste à les chercher par paires : chaque fois que l'on écrit l'entier comme un produit de deux facteurs, on obtient deux diviseurs d'un coup.

1. Trouver tous les diviseurs positifs de $60$ par la méthode des paires. Combien y en a-t-il ?
2. Faire de même avec $72$.
3. À quel moment peut-on être sûr d'avoir trouvé toutes les paires et arrêter la recherche ?
4. Trouver tous les diviseurs positifs de $36$. Combien y en a-t-il ? Qu'y a-t-il de particulier par rapport aux questions 1 et 2 ? Expliquer d'où vient cette particularité.

1. Vérifier sur trois exemples de votre choix que la somme de deux multiples de $7$ est un multiple de $7$.
2. Démontrer que la somme de deux multiples de $7$ est toujours un multiple de $7$. On utilisera la définition : un entier est un multiple de $7$ s'il s'écrit $7k$ avec $k$ entier.
3. Démontrer de même que la différence de deux multiples de $7$ est toujours un multiple de $7$.
4. La somme d'un multiple de $7$ et d'un entier qui n'est pas un multiple de $7$ peut-elle être un multiple de $7$ ? Justifier soigneusement.

Quand les nombres sont grands, chercher les diviseurs communs « à l'œil » devient difficile. Une méthode sûre consiste à décomposer en produit de facteurs premiers le numérateur et le dénominateur, puis à simplifier tous les facteurs communs d'un coup.

Rendre irréductible chacune des fractions suivantes. On rédigera les décompositions en facteurs premiers complètes, puis on conclura.

Rappel. En Python, pour deux entiers $a$ et $b$ (avec $b$ non nul), l'instruction a % b renvoie le reste de la division de $a$ par $b$.

1. On considère le script suivant :

a = 51
b = 3
r = a % b
if r == 0:
    print("a est un multiple de b")
else:
    print("a n'est pas un multiple de b")

a. Faire tourner ce script à la main : quelle valeur la variable r contient-elle ? Qu'affiche le script ?

b. Reprendre les mêmes questions avec a = 51 et b = 4.

2. Écrire une fonction est_multiple(a, b) qui reçoit deux entiers a et b (avec b non nul) et qui renvoie True si $a$ est un multiple de $b$, et False sinon.

3. Sans ordinateur, prévoir ce qu'affiche chacun des trois appels suivants, en justifiant :

print(est_multiple(91, 7))
print(est_multiple(100, 8))
print(est_multiple(0, 5))

1. Calculer le carré de chacun des nombres $3$, $7$, $11$ et $15$. Que remarque-t-on ?

2. Formuler une conjecture commençant par : « Le carré d'un nombre impair est... »

3. On veut maintenant démontrer cette conjecture. Soit $n$ un entier impair.

   a. Justifier qu'il existe un entier $k$ tel que $n=2k+1$.

   b. Développer $(2k+1{)}^2$.

   c. En déduire que $n^2$ peut s'écrire sous la forme $2K+1$ où $K$ est un entier, et conclure.

4. Énoncer la réciproque de la propriété démontrée. La démonstration précédente permet-elle d'affirmer que cette réciproque est vraie ?

Deux lignes de bus partent du même arrêt « Gare » à partir de $7$ h $00$ du matin, heure du premier départ commun.

• La ligne A a un départ toutes les $12$ minutes.
• La ligne B a un départ toutes les $18$ minutes.

On repère chaque départ par le nombre de minutes écoulées depuis $7$ h $00$.

1. Dresser la liste des instants de départ de la ligne A, puis de la ligne B, jusqu'à $120$ minutes après $7$ h $00$.
2. À quelle heure les deux bus repartiront-ils ensemble pour la première fois après $7$ h $00$ ?
3. Le service fonctionne de $7$ h $00$ à midi. Dresser la liste de tous les départs simultanés de la matinée (en heures), et donner leur nombre.
4. Justifier que les deux bus partent ensemble exactement toutes les $36$ minutes, c'est-à-dire que les multiples communs de $12$ et de $18$ sont exactement les multiples de $36$.

Pour tout entier $n$, on pose $S=n^2+n$.

1. Calculer $S$ pour $n=3$, $n=6$, $n=10$ et $n=-5$. Que remarque-t-on ?
2. Formuler une conjecture.
3. Démontrer cette conjecture en raisonnant par disjonction de cas : traiter séparément le cas où $n$ est pair et le cas où $n$ est impair.
4. Autre méthode : factoriser $n^2+n$, puis expliquer pourquoi le produit obtenu est nécessairement pair.

On veut écrire une fonction plus_grand_multiple(a, b) qui, pour deux entiers a et b strictement positifs, renvoie le plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$. Par exemple, plus_grand_multiple(7, 30) doit renvoyer $28$, car $28=7\times 4⩽30$ mais $35=7\times 5>30$.

1. Recopier et compléter la fonction suivante :

def plus_grand_multiple(a, b):
    m = 0
    while ... <= b:
        m = m + ...
    return m

2. Faire tourner à la main l'appel plus_grand_multiple(7, 30) : dresser la trace d'exécution (valeurs successives de m et test de la condition), et vérifier que la fonction renvoie bien $28$.
3. Sans ordinateur, que renvoient les appels plus_grand_multiple(5, 40) et plus_grand_multiple(11, 100) ? Justifier.
4. Variante sans boucle. En Python, b // a renvoie le quotient entier de la division de $b$ par $a$ (par exemple 30 // 7 vaut $4$). Écrire une version de plus_grand_multiple(a, b) sans boucle, en une seule ligne de calcul.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, la démontrer ; si elle est fausse, donner un contre-exemple.

1. La somme de deux nombres impairs est impaire.
2. Si $a$ divise $b$, alors $a$ divise $3b$.
3. Le produit de deux entiers consécutifs est toujours un multiple de $4$.
4. Si $4$ divise $n$, alors $2$ divise $n$.
5. Tout multiple de $6$ est un multiple de $3$.
6. La somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$.

Le lycée organise un grand tournoi sportif. Il y a $252$ inscrits, dont $108$ filles.

1. Exprimer la proportion de filles parmi les inscrits sous la forme d'une fraction irréductible. Justifier que la fraction obtenue est bien irréductible.
2. Décomposer $252$ et $108$ en produits de facteurs premiers, puis dresser la liste de tous les diviseurs de $252$ et la liste de tous les diviseurs de $108$.
3. Les organisateurs veulent répartir tous les inscrits en équipes ayant toutes le même nombre de joueurs, sans que personne ne reste sur la touche. De plus, pour l'épreuve féminine, les $108$ filles doivent former des équipes complètes (chaque équipe est composée uniquement de filles ou uniquement de garçons). Quelles sont les tailles d'équipe possibles ?
4. Vérifier que, pour ces tailles d'équipe, les $144$ garçons forment eux aussi des équipes complètes, en utilisant une propriété du cours sur les multiples.
5. Les organisateurs choisissent la plus grande taille d'équipe possible. Combien y aura-t-il d'équipes en tout ? Combien d'équipes de filles et combien d'équipes de garçons ? Quel lien peut-on faire avec la question 1 ?

On s'intéresse à l'affirmation suivante, où $n$ désigne un entier :

1. Vérifier l'affirmation (P) sur trois exemples : choisir des entiers $n$ dont le carré est pair, et constater que $n$ est pair à chaque fois.
2. Expliquer pourquoi ces vérifications, même nombreuses, ne démontrent pas (P).
3. Énoncer la contraposée de (P). Où a-t-elle déjà été démontrée dans ce chapitre ?
4. En déduire que (P) est vraie, en rédigeant soigneusement la conclusion.
5. Bonus culturel. Ce résultat, en apparence modeste, est un maillon essentiel d'une démonstration célèbre que l'on rencontrera au chapitre suivant, à propos de l'irrationalité. Aucun développement n'est demandé ici : retenir simplement que (P) resservira très vite.