Devoir surveillé — Arithmétique et ensembles de nombres

Les deux questions sont indépendantes.

1. (2 pts) Recopier et compléter chaque case avec le symbole $\in$ ou $\mathrm{\notin }$. Aucune justification n'est demandée, sauf pour le b) où un calcul est attendu.

   a) $-7\mathrm{\square }\mathbb{N}$

   b) ${\displaystyle \frac{28}{4}}\mathrm{\square }\mathbb{N}$

   c) $-3\mathrm{\square }\mathbb{Z}$

   d) $0\mathrm{\square }{\mathbb{N}}^{\ast }$

2. (3 pts — 1 pt par affirmation) Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : par une propriété du cours si elle est vraie, par un contre-exemple si elle est fausse.

   a) « Tout entier naturel est aussi un entier relatif. »

   b) « La somme de deux nombres impairs est un nombre impair. »

   c) « Tout multiple de $6$ est un multiple de $3$. »

Rappel de cours : un entier $a$ est un multiple d'un entier $b$ s'il existe un entier $k$ tel que $a=kb$.

1. (1,5 pt) En utilisant la définition ci-dessus, c'est-à-dire en exhibant l'entier $k$ qui convient, justifier chacune des affirmations suivantes :

   a) $91$ est un multiple de $7$ ;

   b) $-56$ est un multiple de $8$ ;

   c) $0$ est un multiple de $11$.

2. (1,5 pt) Dresser la liste de tous les diviseurs positifs de $60$. On expliquera la méthode utilisée.

3. (3 pts) Démontrer la propriété suivante, vue en cours :

   « La somme de deux multiples de $5$ est un multiple de $5$. »

Rappel de cours : un entier est pair s'il s'écrit $2k$ avec $k$ entier ; il est impair s'il s'écrit $2k+1$ avec $k$ entier.

1. (1,5 pt) Écrire chacun des entiers suivants sous la forme $2k$ ou $2k+1$, en précisant la valeur de l'entier $k$ :

   a) $218$ ; b) $175$ ; c) $-13$.

2. (1 pt) Soit $k$ un entier. Démontrer que le nombre $4k+6$ est pair.

3. (2,5 pts) Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par disjonction de cas, la propriété suivante :

   « Pour tout entier $n$, le produit $n(n+1)$ est pair. »

Pour récompenser les participants d'un tournoi de jeux organisé au lycée, Léa dispose de $84$ sucettes et de $60$ caramels. Elle veut préparer des lots tous identiques (même nombre de sucettes et même nombre de caramels dans chaque lot), en utilisant la totalité des bonbons.

1. (1,5 pt) Quelle proportion de l'ensemble des bonbons les caramels représentent-ils ? Donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible, et justifier qu'elle est bien irréductible.

2. (1,5 pt) Déterminer la liste des diviseurs communs à $84$ et $60$. En déduire le nombre maximal de lots que Léa peut préparer, puis la composition de chaque lot.

3. (1 pt) Léa écrit la fonction Python ci-dessous, qui doit renvoyer True si on peut préparer exactement n lots identiques sans reste, et False sinon.

def lot_possible(n):
    if 84 % n == ... and 60 % ... == 0:
        return True
    else:
        return False

a) (0,5 pt) Recopier et compléter les deux pointillés.

b) (0,5 pt) Que renvoie l'appel lot_possible(8) ? Justifier par un calcul.