Devoir surveillé — Translation et parallélogramme

Les trois questions sont indépendantes.

1. (1 pt) Recopier et compléter la définition du cours : « Le point $M^{\mathrm{\prime }}$ est l'image du point $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ lorsque le quadrilatère $AB{M}^{\mathrm{\prime }}M$ est un … »

2. (1,5 pt) Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse en une phrase.

   a. Quand on construit l'image d'une figure par une translation, la figure image est retournée par rapport à la figure de départ.

   b. La translation qui transforme $A$ en $B$ et la translation qui transforme $B$ en $A$ sont la même translation.

   c. Une figure et son image par une translation ont le même périmètre.

3. (1,5 pt) Observer la figure ci-dessous : quatre figures en forme d'escalier, numérotées de 1 à 4, sont tracées sur un quadrillage.

   

   a. La figure 2 est-elle l'image de la figure 1 par une translation ? Justifier.

   b. La figure 4 est-elle l'image de la figure 3 par une translation ? Justifier.

Sur la figure ci-dessous, on a tracé sur un quadrillage un motif en forme de fusée, ainsi que deux points $E$ et $F$ reliés par une flèche.

1. (4 pts) Reproduire la figure sur la copie, puis construire l'image de la fusée par la translation qui transforme $E$ en $F$.

2. (1 pt) Expliquer en une ou deux phrases la méthode utilisée pour construire l'image d'un sommet de la fusée sur le quadrillage.

Sur la figure ci-dessous, le triangle $R^{\mathrm{\prime }}{S}^{\mathrm{\prime }}{T}^{\mathrm{\prime }}$ est l'image du triangle $RST$ par une translation. La figure est tracée à l'échelle, et on donne : $RS=5$ cm, $ST=6$ cm, $RT=8$ cm et $\widehat{RST}={93}^{\circ }$. De plus, l'aire du triangle $RST$ vaut $15{\text{cm}}^2$.

Répondre aux questions suivantes sans effectuer aucune mesure sur la figure, en citant à chaque fois la propriété du cours utilisée.

1. (1,5 pt) Donner les longueurs $R^{\mathrm{\prime }}{S}^{\mathrm{\prime }}$, $S^{\mathrm{\prime }}{T}^{\mathrm{\prime }}$ et $R^{\mathrm{\prime }}{T}^{\mathrm{\prime }}$.

2. (1 pt) Donner la mesure de l'angle $\widehat{R^{\mathrm{\prime }}{S}^{\mathrm{\prime }}{T}^{\mathrm{\prime }}}$.

3. (1 pt) Calculer le périmètre du triangle $R^{\mathrm{\prime }}{S}^{\mathrm{\prime }}{T}^{\mathrm{\prime }}$.

4. (0,5 pt) Donner l'aire du triangle $R^{\mathrm{\prime }}{S}^{\mathrm{\prime }}{T}^{\mathrm{\prime }}$.

5. (1 pt) Que peut-on dire des droites $(RT)$ et $(R^{\mathrm{\prime }}{T}^{\mathrm{\prime }})$ ? Justifier.

Sur la figure ci-dessous, tracée sur une feuille blanche (sans quadrillage), on a placé trois points $A$, $B$ et $M$ non alignés.

1. (2 pts) Reproduire les trois points sur la copie, puis construire au compas le point $M^{\mathrm{\prime }}$, image du point $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$. Laisser les arcs de compas visibles.

2. (1 pt) Justifier que le quadrilatère $AB{M}^{\mathrm{\prime }}M$ est un parallélogramme.

3. (1 pt) En déduire, sans mesurer, que $M{M}^{\mathrm{\prime }}=AB$ et que les droites $(M{M}^{\mathrm{\prime }})$ et $(AB)$ sont parallèles.

La frise ci-dessous est obtenue en répétant un même motif triangulaire sur un quadrillage. Les motifs sont numérotés de 1 à 5.

1. (1 pt) Décrire la translation qui transforme le motif 1 en le motif 3 : donner sa direction, son sens et sa longueur en carreaux.

2. (1 pt) Le motif 4 est l'image de quel motif par la translation qui transforme le motif 1 en le motif 2 ? Justifier la réponse.