Exercices — Théorème de Thalès (triangles emboîtés)

Pour chacune des trois figures ci-dessus, dire si on peut appliquer le théorème de Thalès tel qu'on l'a vu dans ce chapitre (configuration des triangles emboîtés). Justifier chaque réponse : les points sont-ils bien placés sur les côtés du triangle ? Le parallélisme est-il indiqué ?

a. Triangle $ABC$, avec $M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$.

b. Triangle $DEF$, avec $P\in [DE]$ et $Q\in [DF]$.

c. Les points $R$, $O$, $T$ sont alignés, les points $S$, $O$, $U$ sont alignés, et $(RS)\parallel (TU)$.

1. Sur la figure a, le triangle $ABC$ est tel que $M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$.

   a. Nommer le sommet commun aux deux triangles, puis citer les deux groupes de points alignés.

   b. Écrire l'égalité des trois rapports donnée par le théorème de Thalès.

2. Reprendre les questions a. et b. pour la figure b : le triangle $RST$ est tel que $U\in [RS]$, $V\in [RT]$ et $(UV)\parallel (ST)$.

Sur la figure ci-dessus, le triangle $ABC$ est tel que $M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$. On donne $AM=3$ cm, $AB=5$ cm, $AC=\mathrm{7,5}$ cm et $BC=6$ cm.

1. Citer la configuration reconnue sur la figure, puis écrire l'égalité des trois rapports donnée par le théorème de Thalès.

2. Calculer la longueur $AN$.

3. Calculer la longueur $MN$.

1. Sur la figure a, le triangle $DEF$ est tel que $M\in [DE]$, $N\in [DF]$ et $(MN)\parallel (EF)$. On donne $DM=4$ cm, $DE=10$ cm et $MN=5$ cm. Calculer $EF$.

2. Sur la figure b, le triangle $RST$ est tel que $U\in [RS]$, $V\in [RT]$ et $(UV)\parallel (ST)$. On donne $RU=6$ cm, $RS=9$ cm, $RT=12$ cm et $ST=\mathrm{7,5}$ cm. Calculer $RV$, puis $UV$.

Dans un triangle $KLM$, le point $P$ appartient au segment $[KL]$ et le point $Q$ appartient au segment $[KM]$, avec $(PQ)\parallel (LM)$.

On donne $KP=5$ cm, $KL=8$ cm, $LM=10$ cm et $KM=\mathrm{6,4}$ cm.

1. Faire une figure à main levée en y reportant toutes les données et en codant le parallélisme.

2. Calculer la longueur $PQ$.

3. Calculer la longueur $KQ$.

Dans un triangle $ABC$, le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et le point $N$ appartient au segment $[AC]$, avec $(MN)\parallel (BC)$. On donne $AM=2$ cm et $AB=6$ cm.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.

a. « ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$. »

b. « ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}={\displaystyle \frac{AM}{AB}}$. »

c. « $MN={\displaystyle \frac{BC}{3}}$. »

d. « Le triangle $AMN$ est une réduction du triangle $ABC$ de rapport ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. »

Sur la figure ci-dessus, le triangle $ABC$ est tel que $M\in [AB]$ et $N\in [AC]$. On donne $AM=3$ cm, $AB=\mathrm{4,5}$ cm, $AN=4$ cm et $AC=6$ cm. Attention : aucun parallélisme n'est indiqué sur la figure.

Démontrer que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. On attend une rédaction complète : calcul des deux rapports, comparaison, alignement des points, puis conclusion.

Dans un triangle $GHI$, le point $M$ appartient au segment $[GH]$ et le point $N$ appartient au segment $[GI]$.

On donne $GM=3$ cm, $GH=7$ cm, $GN=\mathrm{2,5}$ cm et $GI=6$ cm.

Les droites $(MN)$ et $(HI)$ sont-elles parallèles ? Justifier soigneusement la réponse.

Indication : pour comparer deux fractions, on peut utiliser les produits en croix.

Pour mesurer la hauteur d'un arbre sans grimper dedans, on peut utiliser son ombre. Par une journée ensoleillée, on plante verticalement un bâton de $1$ m de haut, en le plaçant de façon que l'extrémité de son ombre coïncide exactement avec l'extrémité $S$ de l'ombre de l'arbre.

On mesure alors au sol : l'ombre du bâton mesure $\mathrm{1,5}$ m et l'ombre de l'arbre mesure $9$ m. Le sol est horizontal, et l'arbre comme le bâton sont parfaitement verticaux.

1. Expliquer pourquoi cette situation correspond à une configuration de Thalès : préciser quels sont les triangles emboîtés de sommet $S$, et justifier que le bâton est parallèle à l'arbre.

2. Calculer la hauteur de l'arbre.

Les deux situations suivantes sont indépendantes. Dans chaque cas, dire si les droites citées sont parallèles ou non, en justifiant soigneusement la réponse.

1. Dans un triangle $DEF$, le point $P$ appartient au segment $[DE]$ et le point $Q$ appartient au segment $[DF]$. On donne $DP=\mathrm{2,4}$ cm, $DE=4$ cm, $DQ=3$ cm et $DF=5$ cm. Les droites $(PQ)$ et $(EF)$ sont-elles parallèles ?

2. Dans un triangle $KLM$, le point $R$ appartient au segment $[KL]$ et le point $T$ appartient au segment $[KM]$. On donne $KR=\mathrm{4,5}$ cm, $KL=8$ cm, $KT=\mathrm{3,5}$ cm et $KM=6$ cm. Les droites $(RT)$ et $(LM)$ sont-elles parallèles ?

Dans un triangle $ABC$, le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et le point $N$ appartient au segment $[AC]$, avec $(MN)\parallel (BC)$. On donne $AM=6$ cm et $AB=8$ cm.

1. Justifier que le triangle $AMN$ est une réduction du triangle $ABC$, et donner le rapport de réduction.

2. Le périmètre du triangle $ABC$ vaut $26$ cm. En déduire le périmètre du triangle $AMN$.

3. Sachant que $BC=10$ cm, calculer $MN$, puis retrouver $AC$ et $AN$, et vérifier que le périmètre de $AMN$ correspond bien à la réponse de la question 2.

En vacances à Paris, Zoé veut estimer la hauteur de la tour Eiffel avec un simple crayon. Elle tend le bras et fait coïncider exactement son crayon, tenu verticalement, avec la silhouette de la tour.

Son œil $O$, le bas du crayon $M$ et le pied de la tour $B$ sont alignés ; de même, son œil $O$, le haut du crayon $N$ et le sommet de la tour $C$ sont alignés. On assimile la droite $(OB)$ à une horizontale. Le crayon mesure $12$ cm, il se trouve à $60$ cm de l'œil de Zoé, et Zoé se trouve à $1620$ m du pied de la tour.

1. Faire apparaître la configuration de Thalès : préciser les triangles emboîtés de sommet $O$ et justifier que le crayon est parallèle à la tour.

2. Calculer la hauteur de la tour Eiffel obtenue par la méthode de Zoé. On fera attention aux unités.

3. La hauteur officielle de la tour Eiffel, antenne comprise, est d'environ $330$ m. Proposer une explication à l'écart éventuel entre ce résultat et celui de la question 2.

Pour rendre une salle accessible, on construit une rampe d'accès rectiligne. Elle part du sol au point $A$ et atteint une plateforme de hauteur $BC=\mathrm{1,8}$ m au point $C$, situé à la verticale du point $B$. Au sol, $AB=\mathrm{4,8}$ m.

Un poteau vertical $[MN]$ soutient la rampe : son pied $M$ est sur le segment $[AB]$, à $2$ m de $A$, et son sommet $N$ est sur la rampe $[AC]$.

1. Justifier que $(MN)\parallel (BC)$.

2. Calculer la hauteur $MN$ du poteau.

3. Calculer la longueur $AC$ de la rampe (arrondir au centimètre), puis la longueur $AN$ (arrondir au centimètre).

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $AB=6$ cm et $BC=\mathrm{4,5}$ cm. Le point $M$ est le point du segment $[AB]$ tel que $AM=4$ cm, et $N$ est le point du segment $[AC]$ tel que $(MN)\parallel (BC)$.

1. Calculer $AC$.

2. Calculer $MN$ et $AN$.

3. Démontrer que le triangle $AMN$ est rectangle en $M$. Deux méthodes sont possibles (raisonnement sur les angles ou réciproque du théorème de Pythagore) : en proposer une.

Dans le triangle $ABC$, on donne $AB=12$ cm, $AC=9$ cm et $BC=\mathrm{10,5}$ cm. Le point $M$ appartient au segment $[AB]$ avec $AM=8$ cm, et le point $N$ appartient au segment $[AC]$ avec $(MN)\parallel (BC)$.

On place ensuite le point $P$ sur le segment $[AM]$ avec $AP=6$ cm, et le point $Q$ sur le segment $[AN]$ avec $AQ=\mathrm{4,5}$ cm.

1. Calculer $AN$ et $MN$.

2. Démontrer que $(PQ)\parallel (MN)$.

3. En déduire que $(PQ)\parallel (BC)$, puis calculer $PQ$ de deux façons : d'abord dans le triangle $AMN$, puis dans le triangle $ABC$. Vérifier la cohérence des deux résultats.