Exercices — Espace : pyramides, cônes et grandeurs composées

On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous. Le sommet A est l'origine du repère, et les arêtes sont graduées : $AB=4$, $AD=3$ et $AE=2$ unités. Dans ce repère, chaque point est repéré par trois nombres : son abscisse, son ordonnée et son altitude. Par exemple, le sommet B a pour coordonnées $(4;0;0)$.

1. Lis sur la figure les coordonnées des sommets C, F et H.

2. Quelles sont les coordonnées du sommet G ?

3. Le point I, marqué sur la figure, est le milieu de l'arête [BF]. Donne ses coordonnées.

Dans le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous, le sommet A est l'origine du repère et les arêtes mesurent $AB=5$, $AD=4$ et $AE=3$ unités. Trois points sont marqués : R sur l'arête [CG], S sur l'arête [EF] et U sur la face du dessus EFGH.

1. Lis sur la figure les coordonnées des points R, S et U.

2. Quel sommet du pavé a pour coordonnées $(0;4;3)$ ?

3. Le point V a pour coordonnées $(5;2;1)$. Sans le placer sur la figure, explique sur quelle face du pavé il se trouve.

On considère les deux solides ci-dessous : une pyramide régulière SABCD à base carrée, et un cône de révolution de sommet T dont la base a pour centre O.

Pour chacune des affirmations suivantes, indique si elle est vraie ou fausse. Quand elle est fausse, corrige-la.

1. La pyramide SABCD a exactement $4$ faces.

2. Les faces latérales de la pyramide SABCD sont des triangles.

3. Le segment [TO] est une génératrice du cône.

4. La base du cône est un carré.

5. La pyramide SABCD a $8$ arêtes.

Voici trois solides, numérotés de 1 à 3.

1. Nomme chaque solide le plus précisément possible.

2. Recopie et complète le tableau suivant pour les solides 1 et 2.

   Solide	Nombre de faces	Nombre d'arêtes	Nombre de sommets
   Solide 1
   Solide 2

3. Explique pourquoi ce tableau n'aurait pas de sens pour le solide 3.

Quatre élèves ont proposé chacun un patron d'une pyramide régulière à base carrée. Leurs propositions a, b, c et d sont représentées ci-dessous.

1. Un seul de ces patrons permet vraiment de fabriquer une pyramide régulière à base carrée. Lequel ?

2. Pour chacun des trois autres, explique pourquoi il ne convient pas.

On considère la pyramide régulière SABCD ci-dessous : sa base ABCD est un carré de côté $4\text{ cm}$ et ses arêtes latérales mesurent toutes $5\text{ cm}$.

1. Quelle est la nature des faces latérales de cette pyramide ? Donne les longueurs de leurs côtés.

2. Décris les étapes de construction d'un patron de cette pyramide (instruments : règle graduée et compas).

3. Construis ce patron en vraie grandeur sur ta feuille.

Calcule le volume de chacune des pyramides suivantes.

a. Une pyramide dont la base est un carré de côté $6\text{ cm}$ et dont la hauteur mesure $5\text{ cm}$.

b. Une pyramide dont la base est un rectangle de dimensions $8\text{ cm}$ et $3\text{ cm}$, et dont la hauteur mesure $7\text{ cm}$.

c. Une pyramide dont la base a une aire de $15{\text{cm}}^2$ et dont la hauteur mesure $9\text{ cm}$.

On considère le cône de révolution ci-dessous : sa base est un disque de rayon $5\text{ cm}$ et sa hauteur mesure $12\text{ cm}$.

1. Calcule le volume de ce cône. Donne la valeur exacte, puis l'arrondi à l'unité.

2. On fabrique un deuxième cône en doublant le rayon : sa base a un rayon de $10\text{ cm}$ et sa hauteur mesure toujours $12\text{ cm}$.

   a. Calcule le volume exact de ce deuxième cône.

   b. Le volume a-t-il doublé lui aussi ? Justifie par un calcul.

1. Convertis chaque volume dans l'unité demandée. Rappel : $1\text{ L}=1{\text{dm}}^3$.

   a. $3{\text{m}}^3$ en litres

   b. $2500{\text{cm}}^3$ en litres

   c. $\mathrm{0,75}{\text{dm}}^3$ en ${\text{cm}}^3$

   d. $45000{\text{cm}}^3$ en ${\text{m}}^3$

   e. $\mathrm{1,2}\text{ L}$ en ${\text{cm}}^3$

   f. $85\text{ mL}$ en ${\text{cm}}^3$

2. Une pyramide décorative en verre est entièrement remplie d'eau. Sa base est un carré de côté $30\text{ cm}$ et sa hauteur mesure $20\text{ cm}$. Combien de litres d'eau contient-elle ?

Calcule la vitesse moyenne dans chacune des situations suivantes, dans l'unité demandée.

a. Une voiture parcourt $150\text{ km}$ en $2\text{ h}$. Vitesse moyenne en km/h ?

b. Un marcheur parcourt $90\text{ m}$ en $60\text{ s}$. Vitesse moyenne en m/s ?

c. Un cycliste parcourt $36\text{ km}$ en $1\text{ h }30\text{ min}$. Vitesse moyenne en km/h ? Attention : commence par exprimer la durée en heures.

d. Un sprinteur court le $100\text{ m}$ en $\mathrm{12,5}\text{ s}$. Vitesse moyenne en m/s ?

Pour convertir une vitesse, reviens toujours aux unités : $1\text{ km}=1000\text{ m}$ et $1\text{ h}=3600\text{ s}$.

1. Une voiture roule à $72\text{ km/h}$. Exprime cette vitesse en m/s.

2. Un train roule à $15\text{ m/s}$. Exprime cette vitesse en km/h.

3. Un guépard court à $30\text{ m/s}$ et une voiture roule à $100\text{ km/h}$. Lequel des deux est le plus rapide ? Justifie par un calcul.

Selon les cas, on cherche une distance ($d=v\times t$) ou une durée ($t={\displaystyle \frac{d}{v}}$). Attention aux durées : elles doivent être exprimées en heures décimales avant tout calcul.

a. Une voiture roule sur l'autoroute à la vitesse moyenne de $130\text{ km/h}$ pendant $2\text{ h }15\text{ min}$. Quelle distance parcourt-elle ?

b. Un automobiliste doit parcourir $300\text{ km}$ à la vitesse moyenne de $120\text{ km/h}$. Combien de temps durera son trajet ? Donne la réponse en heures et minutes.

c. Un TGV roule à la vitesse moyenne de $320\text{ km/h}$. Combien de temps met-il pour parcourir $480\text{ km}$ ? Donne la réponse en heures et minutes.

Le débit d'un écoulement est le volume écoulé par unité de temps : c'est une grandeur quotient, comme la vitesse.

1. Un robinet remplit une baignoire de $180\text{ L}$ en $15\text{ min}$. Quel est son débit en L/min ?

2. Une pompe a un débit de $3{\text{m}}^3\mathrm{/}\text{h}$. Exprime ce débit en L/min. Aide : commence par convertir les ${\text{m}}^3$ en litres, puis l'heure en minutes.

3. Avec cette pompe, combien de temps faut-il pour remplir un bassin de $1500\text{ L}$ ?

La masse volumique d'un matériau est la masse d'une unité de volume de ce matériau : c'est le quotient de la masse par le volume. Par exemple, une masse volumique de $\mathrm{2,7}{\text{g/cm}}^3$ signifie que chaque ${\text{cm}}^3$ du matériau pèse $\mathrm{2,7}\text{ g}$.

1. Un pavé droit en granite a pour dimensions $20\text{ cm}\times 10\text{ cm}\times 5\text{ cm}$. La masse volumique du granite est $\mathrm{2,7}{\text{g/cm}}^3$. Calcule la masse de ce pavé, en grammes puis en kilogrammes.

2. Une bouteille contient $\mathrm{0,75}\text{ L}$ d'huile d'olive, dont la masse volumique est $\mathrm{0,92}{\text{g/cm}}^3$. Quelle est la masse de cette huile ?

3. La masse volumique de l'eau est $1{\text{g/cm}}^3$. À ton avis, l'huile d'olive flotte-t-elle sur l'eau ? Justifie ta réponse.

On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête $6\text{ cm}$ : $ABCD$ est la face du dessous, $EFGH$ la face du dessus, avec $E$ au-dessus de $A$. On munit l'espace du repérage d'origine $A$, dont les trois axes sont portés par les arêtes $[AB]$, $[AD]$ et $[AE]$.

Le point $\mathrm{\Omega }$ est le centre de la face du dessus $EFGH$. On s'intéresse à la pyramide $\mathrm{\Omega }ABCD$, de base $ABCD$ et de sommet $\mathrm{\Omega }$, dessinée à l'intérieur du cube.

1. Donne les coordonnées (abscisse ; ordonnée ; altitude) du point $\mathrm{\Omega }$ dans ce repérage.

2. Quelle est la hauteur de la pyramide $\mathrm{\Omega }ABCD$ ? Justifie.

3. Calcule le volume de cette pyramide.

4. Quelle fraction du volume du cube ce volume représente-t-il ?

Un silo à grain est formé d'un cylindre de rayon $2\text{ m}$ et de hauteur $5\text{ m}$, posé sur un cône de révolution de même rayon et de hauteur $\mathrm{1,5}\text{ m}$, la pointe dirigée vers le bas.

1. Calcule le volume exact du cylindre, en ${\text{m}}^3$. Rappel : le volume d'un cylindre est le produit de l'aire de sa base par sa hauteur.

2. Calcule le volume exact du cône, en ${\text{m}}^3$.

3. Déduis-en le volume total exact du silo, puis donne sa valeur arrondie au dixième de ${\text{m}}^3$.

4. Le silo, entièrement plein, se vide par la pointe du cône avec un débit de $40\text{ L/s}$. Combien de temps faut-il pour le vider complètement ? Donne la réponse arrondie à la minute.