Exercices — Raisonnement et vocabulaire ensembliste

1. Traduire chacune des phrases suivantes en une proposition quantifiée.

a. Le carré de tout nombre réel est positif ou nul.

b. Il existe un entier naturel dont le carré vaut $49$.

c. Tout entier naturel est strictement inférieur à un certain entier naturel.

d. L'équation $x^3=5$ possède une unique solution réelle.

2. Traduire en une phrase française correcte, sans aucun symbole, les propositions suivantes.

a. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},(x⩾1⟹x^2⩾x)$

b. $\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},n⩽k$

3. Déterminer, en justifiant, la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes.

4. On considère les deux propositions $P:\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }y\in \mathbb{R},x+y=0$ et $Q:\mathrm{\exists }y\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x+y=0$, qui ne diffèrent que par l'ordre des quantificateurs. Montrer que l'une est vraie et l'autre fausse.

Dans tout l'exercice, on écrira les négations sous forme quantifiée, sans jamais utiliser le symbole $\mathrm{\neg }$ devant une proposition quantifiée : la négation doit être « poussée » jusqu'aux inégalités.

1. Écrire la négation des propositions suivantes, puis dire laquelle de la proposition ou de sa négation est vraie.

2. Écrire la négation des propositions suivantes.

a. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }y\in \mathbb{R},y^2=x$

b. $\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},k⩽n$

c. $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }b\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }c\in \mathbb{R},a+c=b$

3. Écrire la négation de $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},(x^2=4⟹x=2)$, puis en déduire la valeur de vérité de cette proposition.

4. Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle. Écrire en langage formalisé la proposition « la suite $(u_n)$ est majorée », puis écrire sa négation et la traduire en français.

5. Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$. Écrire en langage formalisé la proposition « $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ », puis écrire sa négation et la traduire en français. La négation de « $f$ est croissante » est-elle « $f$ est décroissante » ?

1. Pour chacune des implications suivantes, écrire la réciproque et la contraposée, puis dire si l'implication de départ et sa réciproque sont vraies ou fausses.

a. Pour $x\in \mathbb{R}$ : $x=2⟹x^2=4$.

b. Pour $n\in \mathbb{Z}$ : $n$ est un multiple de $4$ $⟹$ $n$ est pair.

c. Pour $x\in \mathbb{R}$ : $x>3⟹x^2>9$.

d. Pour $n\in \mathbb{Z}$ : $n^2$ est pair $⟹$ $n$ est pair.

2. Parmi les quatre implications précédentes, laquelle est en réalité une équivalence ? Justifier.

3. Compléter chaque phrase par « nécessaire », « suffisante » ou « nécessaire et suffisante », en justifiant.

a. Pour qu'un entier relatif soit pair, la condition « être un multiple de $4$ » est ...

b. Pour qu'un réel $x$ vérifie $x=2$, la condition $x^2=4$ est ...

c. Pour qu'un entier relatif $n$ soit pair, la condition « $n^2$ est pair » est ...

4. Soient $x$ et $y$ deux réels. Écrire la contraposée de l'implication $x+y⩾2⟹(x⩾1\text{ ou }y⩾1)$, puis démontrer cette implication.

Chaque question se traite par récurrence. On rédigera intégralement : introduction de la propriété $\mathcal{P}(n)$, initialisation, hérédité, conclusion.

1. Démontrer que pour tout entier naturel $n⩾1$, ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$.

2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, l'entier $3^{2n}-2^n$ est divisible par $7$.

3. Soit $q$ un réel différent de $1$. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{q}^k=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}}$.

Dans tout l'exercice, $E=\{1,2,3\}$.

1. Écrire en extension l'ensemble des parties $\mathcal{P}(E)$.

2. Dire si chacune des assertions suivantes est vraie ou fausse, en justifiant brièvement.

3. Soit $A$ un ensemble quelconque. Justifier que les assertions « $A\in \mathcal{P}(E)$ » et « $A\subset E$ » signifient exactement la même chose.

4. Déterminer $\mathcal{P}(\mathrm{\varnothing })$, puis $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathrm{\varnothing }))$.

On travaille dans $E=\{1,2,3,4,5,6\}$ et l'on pose $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{3,4,5\}$ et $C=\{2,4,6\}$. Les complémentaires sont pris dans $E$.

1. Déterminer en extension les ensembles suivants.

2. Déterminer $\overline{A\cup B}$ et $\bar{A}\cap \bar{B}$, puis $\overline{A\cap B}$ et $\bar{A}\cup \bar{B}$. Que constate-t-on ?

3. On pose $X=\{1,2\}$ et $Y=\{5,6\}$. Écrire en extension $X\times Y$ et $Y\times X$. Ces deux ensembles sont-ils égaux ? Que vaut $X\times \mathrm{\varnothing }$ ?

4. On travaille maintenant dans $\mathbb{R}$, avec $I=[-1,3]$ et $J=]1,5[$. Déterminer $I\cup J$, $I\cap J$, $I\setminus J$, $J\setminus I$ et $\bar{I}$, sous forme d'intervalles ou de réunions d'intervalles.

On rappelle que pour $a$ et $b$ entiers relatifs, « $a\mid b$ » signifie qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $b=ak$.

1. Dire si chacune des assertions suivantes est vraie ou fausse.

2. Déterminer la liste de tous les diviseurs positifs de $36$, puis celle de tous les diviseurs de $10$ dans $\mathbb{Z}$.

3. Soient $a$, $b$ et $d$ trois entiers relatifs. Démontrer que si $d\mid a$ et $d\mid b$, alors $d\mid 3a-5b$.

4. Soit $n$ un entier naturel.

a. Démontrer que si $n\mid n+6$, alors $n\mid 6$.

b. En déduire tous les entiers naturels $n$ tels que $n\mid n+6$.

On rappelle que la division euclidienne de $a\in \mathbb{Z}$ par $b\in {\mathbb{Z}}^{\ast }$ fournit un unique couple $(q,r)$ d'entiers relatifs tel que $a=bq+r$ et $0⩽r<\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$.

1. Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$ dans chacun des cas suivants, c'est-à-dire donner le quotient $q$ et le reste $r$, et vérifier l'encadrement du reste.

a. $a=137$ et $b=11$

b. $a=2026$ et $b=45$

c. $a=-37$ et $b=7$

d. $a=100$ et $b=-7$

e. $a=-100$ et $b=-7$

2. Dérouler l'algorithme d'Euclide, en écrivant toutes les divisions euclidiennes successives, pour déterminer :

a. $\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(1071,462)$

b. $\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(4004,2145)$

c. $\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(1234,567)$

3. Les entiers $1234$ et $567$ sont-ils premiers entre eux ?

On considère les applications

1. Déterminer $g\circ f$ et $f\circ g$. Ces deux applications sont-elles égales ?

2. L'application $f$ est-elle injective ? surjective ? bijective ? Si elle est bijective, expliciter sa réciproque $f^{-1}$.

3. Mêmes questions pour $g$.

4. On considère maintenant $h:\mathbb{N}\to \mathbb{N},n\mapsto n+1$ et $p:\mathbb{N}\to \mathbb{N},n\mapsto n^2$. Pour chacune, dire si elle est injective, surjective, bijective, en justifiant.

5. On note ${\mathbb{R}}_{+}=[0,+\mathrm{\infty }[$. Démontrer que la restriction $g{\mathrm{\mid }}_{{\mathbb{R}}_{+}}$ est injective, alors que $g$ ne l'est pas. Que devient cette restriction si l'on prend ${\mathbb{R}}_{+}$ comme ensemble d'arrivée ?

Pour chacune des assertions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, la démontrer ; si elle est fausse, en donner un contre-exemple explicite. On admet que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

a. La somme de deux nombres irrationnels est toujours irrationnelle.

b. Le produit d'un nombre rationnel non nul par un nombre irrationnel est toujours irrationnel.

c. $\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},n⩾x^2$. Qu'en est-il de la proposition obtenue en échangeant les deux quantificateurs ?

d. Pour tout réel $x$, si $x>2$ alors $x^2>4$. Qu'en est-il de la réciproque ?

e. Pour tout entier naturel $n$, l'entier $n^2+n+41$ est un nombre premier.

f. Il existe un entier naturel $n$ tel que $n^2=2n+1$.

g. Pour tout réel $x$, si $x^2$ est irrationnel alors $x$ est irrationnel. Qu'en est-il de la réciproque ?

Dans tout l'exercice, on demande une démonstration par contraposée : on écrira soigneusement la contraposée de l'implication à établir avant de la démontrer.

1. Soit $n$ un entier relatif. Montrer que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

2. Soit $n$ un entier relatif. Montrer que si $n^2$ est divisible par $3$, alors $n$ est divisible par $3$.

3. Soit $x$ un réel non nul. Montrer que si $x$ est irrationnel, alors ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ est irrationnel.

4. Soit $a$ un réel. Montrer que si $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour tout réel $\epsilon >0$, alors $a=0$.

5. Question de méthode : le raisonnement par contraposée et le raisonnement par l'absurde sont-ils la même chose ?

On pose $A_0=\{3k\mid k\in \mathbb{Z}\}$, $A_1=\{3k+1\mid k\in \mathbb{Z}\}$ et $A_2=\{3k+2\mid k\in \mathbb{Z}\}$.

1. Montrer que $\{A_0,A_1,A_2\}$ est une partition de $\mathbb{Z}$.

2. Montrer que pour tout entier relatif $n$, le produit $n(n+1)(n+2)$ est divisible par $3$.

3. Déterminer les restes possibles de $n^2$ dans la division euclidienne par $3$, lorsque $n$ décrit $\mathbb{Z}$. En déduire que $n^2+1$ n'est jamais divisible par $3$.

4. Déterminer de même les restes possibles de $n^2$ dans la division euclidienne par $4$.

5. En déduire qu'aucun carré parfait ne s'écrit sous la forme $4k+3$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

1. Soit $n$ un entier relatif. Montrer que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

2. Soit $x$ un rationnel strictement positif. Montrer qu'il existe deux entiers naturels non nuls $p$ et $q$ tels que $x={\displaystyle \frac{p}{q}}$ et $\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(p,q)=1$ (on dit que la fraction est irréductible).

3. Démontrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel. On raisonnera par l'absurde en écrivant $\sqrt{2}$ sous forme de fraction irréductible.

4. En déduire que $\sqrt{2}+3$ et $5\sqrt{2}$ sont irrationnels.

5. Montrer qu'il n'existe pas de plus petit rationnel strictement positif.

Démontrer par récurrence chacun des résultats suivants, valables pour tout entier naturel $n$.

1. $3$ divise $4^n-1$.

2. $6$ divise $n^3-n$.

3. $7$ divise $3^{2n+1}+2^{n+2}$.

4. $9$ divise $4^n+6n-1$.

1. Inégalité de Bernoulli. Soit $x$ un réel tel que $x⩾-1$. Montrer que pour tout entier naturel $n$,

Préciser à quel endroit exact de la démonstration l'hypothèse $x⩾-1$ est utilisée, et donner un couple $(x,n)$ avec $x<-1$ pour lequel l'inégalité est fausse.

2. Montrer que $2^n>n^2$ pour tout entier $n⩾5$. Que valent les deux membres pour $n=0,1,2,3,4$ ? Commenter le choix du rang d'initialisation.

3. Montrer que $n!⩾2^{n-1}$ pour tout entier $n⩾1$.

Chacun des trois raisonnements ci-dessous prétend démontrer par récurrence un énoncé manifestement faux. Pour chacun, dire précisément à quelle ligne le raisonnement échoue et pourquoi.

A. « Montrons que pour tout entier $n⩾1$, ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}+1}$. Supposons la propriété vraie au rang $n$. Alors

ce qui est la formule au rang $n+1$. La propriété est donc vraie pour tout $n⩾1$. »

B. Pour $n⩾1$, soit $P(n)$ la proposition : « quelles que soient $n$ personnes $p_1,p_2,\dots ,p_n$, elles ont toutes le même âge ». « $P(1)$ est vraie, car une personne a le même âge qu'elle-même. Supposons $P(n)$ vraie pour un $n⩾1$ fixé, et donnons-nous $n+1$ personnes $p_1,\dots ,p_{n+1}$. Les $n$ personnes $p_1,\dots ,p_n$ ont toutes le même âge d'après $P(n)$ ; les $n$ personnes $p_2,\dots ,p_{n+1}$ aussi, pour la même raison. Or $p_2$ figure dans les deux listes : les deux âges communs sont donc tous deux égaux à l'âge de $p_2$, donc égaux entre eux. Les $n+1$ personnes ont donc le même âge. Par récurrence, dans tout groupe de personnes, toutes ont le même âge. »

C. « Montrons que $2^n=1$ pour tout entier naturel $n$. Initialisation : $2^0=1$. Hérédité : soit $n\in \mathbb{N}$ ; supposons que $2^k=1$ pour tout entier $k$ vérifiant $0⩽k⩽n$. Alors

Par récurrence forte, $2^n=1$ pour tout entier naturel $n$. »

Soit $E$ un ensemble et $A$, $B$, $C$ trois parties de $E$. Les complémentaires sont pris dans $E$.

1. Démontrer les deux lois de De Morgan : $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$ et $\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$.
2. Démontrer la distributivité de l'intersection sur la réunion : $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$.
3. Démontrer que $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$.
4. Démontrer que $A\cup B=A\cap B$ si et seulement si $A=B$.

Soit $E$ et $F$ deux ensembles, $A$ et $B$ des parties de $E$, $C$ et $D$ des parties de $F$. On rappelle que $A\times C$ est l'ensemble des couples $(x,y)$ tels que $x\in A$ et $y\in C$, et que deux couples sont égaux si et seulement si leurs premières coordonnées sont égales et leurs secondes coordonnées le sont aussi.

1. Démontrer que $(A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)$.
2. Qu'en est-il avec la réunion ? Comparer $(A\cup B)\times (C\cup D)$ et $(A\times C)\cup (B\times D)$ : démontrer l'inclusion qui est vraie, et donner un contre-exemple explicite montrant que l'égalité est fausse.
3. Démontrer que $A\times C=\mathrm{\varnothing }$ si et seulement si $A=\mathrm{\varnothing }$ ou $C=\mathrm{\varnothing }$.
4. Soit $A$ et $B$ deux parties non vides d'un même ensemble $E$. Démontrer que si $A\times B=B\times A$, alors $A=B$.

On rappelle qu'une famille $(A_i{)}_{i\in I}$ de parties d'un ensemble $E$ est un recouvrement de $E$ lorsque la réunion des $A_i$ est égale à $E$ ; que ce recouvrement est disjoint lorsque les $A_i$ sont deux à deux disjoints, c'est-à-dire $A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$ dès que $i\mathrm{\ne }j$ ; et que c'est une partition de $E$ lorsque, de plus, aucune des parties $A_i$ n'est vide.

1. Soit $A$ une partie de $E$. La famille $\{A,\bar{A}\}$ est-elle un recouvrement de $E$ ? un recouvrement disjoint ? une partition ? Discuter.
2. Montrer que la famille des intervalles $[n,n+1[$, où $n$ décrit $\mathbb{Z}$, est une partition de $\mathbb{R}$.
3. Montrer que l'ensemble $P$ des entiers pairs et l'ensemble $I$ des entiers impairs forment une partition de $\mathbb{Z}$.
4. La famille $\{]-\mathrm{\infty },0],[0,+\mathrm{\infty }[\}$ est-elle un recouvrement de $\mathbb{R}$ ? une partition ? Justifier précisément.
5. Soit $\{A_1,A_2\}$ et $\{B_1,B_2\}$ deux partitions de $E$. Montrer que les ensembles $A_i\cap B_j$ non vides, pour $i$ et $j$ dans $\{1,2\}$, forment une partition de $E$.

1. Calculer $\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(84,30)$, $\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(1071,462)$ et $\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(2024,748)$ par l'algorithme d'Euclide, en écrivant toutes les divisions euclidiennes effectuées.
2. Décomposer les six entiers précédents en produit de facteurs premiers. Retrouver les trois PGCD, et calculer les trois PPCM correspondants.
3. Vérifier sur ces trois exemples l'égalité $\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(a,b)\times \mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{c}\mathrm{m}(a,b)=\mathrm{\mid }ab\mathrm{\mid }$, puis la justifier pour deux entiers naturels non nuls quelconques.
4. Déterminer tous les couples $(a,b)$ d'entiers naturels non nuls tels que $\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(a,b)=6$ et $\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{c}\mathrm{m}(a,b)=180$.

Dans tout l'exercice, on admet l'existence et l'unicité de la décomposition d'un entier naturel supérieur ou égal à $2$ en produit de nombres premiers.

1. Décomposer en produit de facteurs premiers les entiers suivants.

   a. $84$

   b. $360$

   c. $726$

   d. $1001$

   e. $1024$

   f. $2025$

2. Déterminer les diviseurs positifs de $360$ et en dresser la liste complète.

3. Montrer qu'un entier naturel non nul est le carré d'un entier si et seulement si tous les exposants de sa décomposition en facteurs premiers sont pairs. En déduire le plus petit entier naturel non nul $k$ tel que $360k$ soit un carré parfait.

4. Les entiers $211$ et $323$ sont-ils premiers ? On n'essaiera que les diviseurs premiers inférieurs ou égaux à leur racine carrée, et on justifiera pourquoi cela suffit.

On considère les deux applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définies par $f(x)=x^2$ et $g(x)=\sin x$. On rappelle que, pour $A$ une partie de l'ensemble de départ et $B$ une partie de l'ensemble d'arrivée,

1. Déterminer $f([-1,2])$, $f^{-1}([1,4])$, $f^{-1}([-3,-1])$ et $f^{-1}(\{4\})$.
2. Déterminer $g(\mathbb{R})$, $g^{-1}(\{0\})$ et $g^{-1}([2,3])$.
3. Montrer que, pour toutes parties $A$ et $B$ de $\mathbb{R}$, on a $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$, puis donner un exemple où l'inclusion est stricte.
4. Montrer que $A\subset f^{-1}(f(A))$ pour toute partie $A$, puis donner un exemple où $A⊊f^{-1}(f(A))$.
5. Montrer que $f(f^{-1}(B))\subset B$ pour toute partie $B$, puis donner un exemple où $f(f^{-1}(B))⊊B$.

Une application $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ est dite paire si $g(-x)=g(x)$ pour tout réel $x$, et impaire si $g(-x)=-g(x)$ pour tout réel $x$.

1. Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une application. Montrer qu'il existe un unique couple $(p,i)$ d'applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, avec $p$ paire et $i$ impaire, tel que $f=p+i$. On rédigera la démonstration par analyse-synthèse, en séparant et en étiquetant clairement les deux temps.
2. Expliciter $p$ et $i$ dans le cas $f:x\mapsto {\mathrm{e}}^x$.
3. La même démonstration s'applique-t-elle aux applications de ${\mathbb{R}}^{\ast }$ dans $\mathbb{R}$ ? Et aux applications de $[0,+\mathrm{\infty }[$ dans $\mathbb{R}$ ?

On définit la suite $(F_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ par $F_0=0$, $F_1=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$.

1. Calculer $F_2,F_3,\dots ,F_{10}$.
2. Déterminer les deux racines réelles $\phi$ et $\psi$ de l'équation $x^2=x+1$, avec $\phi >\psi$. Vérifier que $\phi -\psi =\sqrt{5}$.
3. Démontrer la formule de Binet : pour tout entier naturel $n$, $F_n={\displaystyle \frac{{\phi }^n-{\psi }^n}{\sqrt{5}}}$.
4. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{F}_k=F_{n+2}-1}$.
5. Démontrer que pour tout entier naturel $n⩾1$, $F_{n+1}{F}_{n-1}-F_n^2=(-1{)}^n$.

On rappelle qu'un entier $p$ est dit premier lorsque $p⩾2$ et que ses seuls diviseurs positifs sont $1$ et $p$.

1. Démontrer que tout entier $n⩾2$ admet au moins un diviseur premier.
2. En déduire, par une seconde récurrence forte, que tout entier $n⩾2$ est un produit de nombres premiers.
3. Démontrer que tout entier $n⩾12$ s'écrit $n=4a+5b$ avec $a$ et $b$ entiers naturels. Montrer sur un exemple que l'énoncé est faux pour $n=11$.

Soit $E$ un ensemble. Pour $A$ et $B$ parties de $E$, on pose $A\mathrm{\Delta }B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$.

1. Démontrer que $A\mathrm{\Delta }B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$.
2. Établir : $A\mathrm{\Delta }B=B\mathrm{\Delta }A$, $A\mathrm{\Delta }A=\mathrm{\varnothing }$, $A\mathrm{\Delta }\mathrm{\varnothing }=A$ et $A\mathrm{\Delta }\bar{A}=E$.
3. Démontrer que ${\mathbf{1}}_{A\mathrm{\Delta }B}={\mathbf{1}}_A+{\mathbf{1}}_B-2{\mathbf{1}}_A{\mathbf{1}}_B$, et remarquer que cette quantité vaut aussi $\mid {\mathbf{1}}_A-{\mathbf{1}}_B\mid$.
4. En déduire que $\mathrm{\Delta }$ est associative : $(A\mathrm{\Delta }B)\mathrm{\Delta }C=A\mathrm{\Delta }(B\mathrm{\Delta }C)$.
5. $A$ et $B$ étant fixées, résoudre l'équation $A\mathrm{\Delta }X=B$, d'inconnue $X$ dans $\mathcal{P}(E)$. En déduire que si $A\mathrm{\Delta }B=A\mathrm{\Delta }C$, alors $B=C$.

Soit $E$ un ensemble, $A$, $B$ et $C$ des parties fixées de $E$. On cherche les parties $X$ de $E$, inconnues, vérifiant les conditions suivantes. Dans chaque cas, on discutera l'existence de solutions et on donnera l'ensemble de toutes les solutions.

1. $A\cup X=B$.
2. $A\cap X=B$.
3. Le système formé des deux conditions $A\cap X=B$ et $A\cup X=C$ imposées simultanément.

Chaque résolution sera rédigée par analyse-synthèse : conditions nécessaires d'abord, vérification ensuite.

Soit $E$ un ensemble. Pour $A\in \mathcal{P}(E)$, on note ${\mathbf{1}}_A:E\to \mathbb{R}$ l'application définie par ${\mathbf{1}}_A(x)=1$ si $x\in A$ et ${\mathbf{1}}_A(x)=0$ si $x\mathrm{\notin }A$.

1. Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$. Démontrer, par disjonction de cas, les quatre formules ${\mathbf{1}}_{A\cap B}={\mathbf{1}}_A{\mathbf{1}}_B$, ${\mathbf{1}}_{\bar{A}}=1-{\mathbf{1}}_A$, ${\mathbf{1}}_{A\cup B}={\mathbf{1}}_A+{\mathbf{1}}_B-{\mathbf{1}}_A{\mathbf{1}}_B$ et ${\mathbf{1}}_{A\setminus B}={\mathbf{1}}_A-{\mathbf{1}}_A{\mathbf{1}}_B$.
2. Démontrer les caractérisations $A\subset B⟺{\mathbf{1}}_A⩽{\mathbf{1}}_B$ et $A=B⟺{\mathbf{1}}_A={\mathbf{1}}_B$.
3. Redémontrer par les fonctions indicatrices la loi de De Morgan $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$, puis comparer avec la démonstration par double inclusion.
4. Montrer que ${\mathbf{1}}_A^2={\mathbf{1}}_A$. Réciproquement, montrer que toute application $f:E\to \{0,1\}$ est la fonction indicatrice d'une unique partie de $E$. En déduire que l'application $\mathrm{\Phi }:\mathcal{P}(E)\to \{0,1{\}}^E$, $A\mapsto {\mathbf{1}}_A$, est bijective.

On admet le résultat suivant, démontré par récurrence forte : tout entier supérieur ou égal à $2$ admet au moins un diviseur premier.

1. On raisonne par l'absurde et l'on suppose que l'ensemble des nombres premiers est fini. Justifier qu'on peut alors le noter $\{p_1,p_2,\dots ,p_r\}$ avec $r⩾1$, et poser $N=p_1{p}_2\cdots p_r+1$.
2. Justifier que $N⩾2$, puis que $N$ admet un diviseur premier $p$.
3. Démontrer qu'aucun des $p_i$ ne divise $N$. Conclure.
4. Vigilance. Le nombre $N$ construit ci-dessus est-il nécessairement premier ? On étudiera le cas $N=2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13+1$.
5. Soit $n$ un entier, $n⩾2$. Démontrer que les $n-1$ entiers consécutifs $n!+2,n!+3,\dots ,n!+n$ sont tous non premiers. Qu'en déduit-on sur la répartition des nombres premiers ?

1. Déterminer tous les entiers relatifs $n$ tels que $n+3$ divise $n^2+1$.
2. Soit $n$ un entier naturel. Calculer $\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(n,n+1)$.
3. Soit $n$ un entier naturel. Calculer $\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(2n+1,3n+2)$.
4. Soit $n$ un entier naturel. Calculer $\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(n^2+n,2n+1)$.

On n'utilisera que deux outils : le lemme $\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(a,b)=\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(b,a-qb)$ pour tout entier $q$, et la propriété selon laquelle un diviseur commun à deux entiers divise toute combinaison linéaire de ces entiers à coefficients entiers.

1. Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par $f(x)={\displaystyle \frac{x}{1+\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}}$. Démontrer que $f$ prend ses valeurs dans $]-1,1[$, que l'application induite de $\mathbb{R}$ dans $]-1,1[$ est bijective, et expliciter sa réciproque.
2. Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$ par $g(x)={\displaystyle \frac{2x-1}{x+3}}$. Déterminer une partie $F$ de $\mathbb{R}$ telle que $g$ soit une bijection de $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$ sur $F$, et expliciter la réciproque.
3. Soit $h:\mathbb{N}\to \mathbb{Z}$ définie par $h(n)={\displaystyle \frac{n}{2}}$ si $n$ est pair et $h(n)=-{\displaystyle \frac{n+1}{2}}$ si $n$ est impair. Démontrer que $h$ est bijective et expliciter sa réciproque.

Dans les trois cas, on appliquera la même méthode : montrer que pour tout $y$ de l'ensemble d'arrivée, l'équation d'inconnue $x$ « $f(x)=y$ » admet une unique solution dans l'ensemble de départ.

Soient $E$, $F$, $G$ trois ensembles, $f:E\to F$ et $g:F\to G$ deux applications.

1. Démontrer que si $g\circ f$ est injective, alors $f$ est injective.
2. Démontrer que si $g\circ f$ est surjective, alors $g$ est surjective.
3. Montrer que les deux autres implications sont fausses : construire un exemple explicite où $g\circ f$ est injective sans que $g$ le soit, et surjective sans que $f$ le soit. (Indication : chercher un exemple avec $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ ; un seul couple $(f,g)$ bien choisi suffit à traiter les deux cas.)
4. Démontrer que si $g\circ f$ est injective et si $f$ est surjective, alors $g$ est injective.
5. Démontrer que si $g\circ f$ est surjective et si $g$ est injective, alors $f$ est surjective.
6. Question d'oral. Soient $f:E\to F$ et $g,h:F\to E$ trois applications telles que $g\circ f={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ et $f\circ h={\mathrm{i}\mathrm{d}}_F$. Démontrer que $f$ est bijective, puis que $g=h=f^{-1}$. (Indication : pour l'égalité $g=h$, calculer $g\circ (f\circ h)$ de deux façons.)

Soit $f:E\to F$ une application, soient $A$ et $A^{\mathrm{\prime }}$ deux parties de $E$, soient $B$ et $B^{\mathrm{\prime }}$ deux parties de $F$. Les complémentaires de parties de $E$ sont pris dans $E$, ceux de parties de $F$ sont pris dans $F$.

1. Démontrer que $f(A\cup A^{\mathrm{\prime }})=f(A)\cup f(A^{\mathrm{\prime }})$.
2. Démontrer que $f(A\cap A^{\mathrm{\prime }})\subset f(A)\cap f(A^{\mathrm{\prime }})$, puis montrer par un contre-exemple que cette inclusion peut être stricte.
3. Démontrer que $f^{-1}(B\cup B^{\mathrm{\prime }})=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B^{\mathrm{\prime }})$ et que $f^{-1}(B\cap B^{\mathrm{\prime }})=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(B^{\mathrm{\prime }})$.
4. Démontrer que $f^{-1}(\bar{B})=\overline{f^{-1}(B)}$.
5. Comparer $f(\bar{A})$ et $\overline{f(A)}$ : montrer, à l'aide de deux contre-exemples, qu'aucune des deux inclusions n'est vraie en général.
6. Démontrer que $A\subset f^{-1}(f(A))$ et que $f(f^{-1}(B))\subset B$, puis montrer sur des exemples que ces deux inclusions peuvent être strictes.
7. Expliquer la dissymétrie constatée : pourquoi l'image réciproque se comporte-t-elle parfaitement vis-à-vis de toutes les opérations ensemblistes, et pas l'image directe ?

Dans tout l'exercice, on utilise librement le fait que la somme, la différence, le produit de deux rationnels, ainsi que le quotient d'un rationnel par un rationnel non nul, sont des rationnels. On admet également, conformément au cours, l'existence et l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers de tout entier naturel non nul.

1. Soit $n$ un entier naturel qui n'est pas un carré parfait, c'est-à-dire tel qu'il n'existe aucun entier naturel $m$ vérifiant $n=m^2$. Démontrer que $\sqrt{n}$ est irrationnel. (Indication : raisonner par l'absurde, écrire $\sqrt{n}=p\mathrm{/}q$, en déduire $n{q}^2=p^2$, puis comparer, pour un nombre premier fixé, son exposant dans chacun des deux membres.)
2. En déduire que $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ est irrationnel. (Indication : élever au carré et faire apparaître $\sqrt{6}$.)
3. On note ${\log }_{10}$ le logarithme décimal, défini pour $x>0$ par ${\log }_{10}(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{\ln 10}}$. Démontrer que ${\log }_{10}(2)$ est irrationnel. (Indication : par l'absurde, se ramener à une égalité de la forme $2^q={10}^p$.)
4. Donner deux nombres irrationnels dont la somme et le produit sont rationnels.

Soit $f:E\to F$ une application. On utilisera librement les trois inclusions suivantes, valables pour toute application, pour toutes parties $A$ et $A^{\mathrm{\prime }}$ de $E$ et toute partie $B$ de $F$, et établies dans l'exercice sur les images directes et réciproques :

Démontrer les quatre équivalences suivantes, chacune dans les deux sens. (Indication pour les sens difficiles, ceux où la propriété sur les parties doit entraîner l'injectivité ou la surjectivité : l'hypothèse est valable pour toutes les parties, elle ne sert donc qu'en la spécialisant à des parties bien choisies, en pratique des singletons.)

1. $f$ est injective si et seulement si, pour toutes parties $A$ et $A^{\mathrm{\prime }}$ de $E$, $f(A\cap A^{\mathrm{\prime }})=f(A)\cap f(A^{\mathrm{\prime }})$.
2. $f$ est injective si et seulement si, pour toute partie $A$ de $E$, $f^{-1}(f(A))=A$.
3. $f$ est surjective si et seulement si, pour toute partie $B$ de $F$, $f(f^{-1}(B))=B$.
4. $f$ est injective si et seulement si, pour toute partie $A$ de $E$, $f(\bar{A})\subset \overline{f(A)}$, les complémentaires étant pris dans $E$ à gauche et dans $F$ à droite.
5. Vérifier enfin que les quatre propriétés tombent effectivement en défaut pour $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $x\mapsto x^2$.

Soit $E$ un ensemble. On rappelle que $\mathcal{P}(E)$ désigne l'ensemble des parties de $E$ : ses éléments sont exactement les parties de $E$. Ainsi, si $f:E\to \mathcal{P}(E)$ est une application et si $x$ est un élément de $E$, l'objet $f(x)$ est une partie de $E$, et la proposition « $x\in f(x)$ » a un sens : elle est vraie ou fausse.

1. Démontrer que l'application $\iota :E\to \mathcal{P}(E)$ définie par $\iota (x)=\{x\}$ est injective.
2. Théorème de Cantor. Soit $f:E\to \mathcal{P}(E)$ une application quelconque. On pose $D=\{x\in E\mid x\mathrm{\notin }f(x)\}$. Vérifier que $D$ est bien une partie de $E$, puis démontrer que $D$ n'admet aucun antécédent par $f$. En déduire qu'il n'existe aucune surjection de $E$ sur $\mathcal{P}(E)$.
3. En déduire qu'il n'existe aucune bijection de $E$ sur $\mathcal{P}(E)$.
4. Vérification sur un exemple. On prend $E=\{a,b\}$ avec $a\mathrm{\ne }b$, et l'application $f$ définie par $f(a)=\{a\}$ et $f(b)=\mathrm{\varnothing }$. Déterminer $D$, puis vérifier directement que $D$ n'est l'image d'aucun élément de $E$.
5. Question de méthode. Expliquer en quoi la construction de $D$ est un raisonnement « diagonal », et dire précisément à quel endroit l'hypothèse de surjectivité est utilisée.