Devoir surveillé — Raisonnement et vocabulaire ensembliste

Pour tout réel $a$, on note $P_a$ la proposition

$$P_a:\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2+ax+1>0.$$

1. (0,25 pt) Écrire la négation de $P_a$ sous forme quantifiée, sans faire figurer le symbole $\mathrm{\neg }$ ni la locution « il est faux que ».

2. (1 pt) Déterminer l'ensemble $A=\{a\in \mathbb{R};P_a\text{ est vraie}\}$. On prendra garde au cas d'égalité.

3. (0,75 pt) On note $B=\{a\in \mathbb{R};a^2<9\}$.

   a. La proposition $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R},(P_a⟹a^2<9)$ est-elle vraie ? Et sa réciproque ?

   b. Écrire la contraposée de l'implication $P_a⟹a^2<9$, en explicitant sa conclusion à l'aide de la question 1, puis dire ce qu'elle affirme concrètement.

   c. Compléter en justifiant : pour que $P_a$ soit vraie, la condition « $a^2<9$ » est ... . Quelle inclusion entre $A$ et $B$ traduit la réponse de la question a. ?

4. (0,75 pt) On considère les deux propositions

   $$U:\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }a\in \mathbb{R},x^2+ax+1=0\text{et}V:\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^{\ast },\mathrm{\exists }a\in \mathbb{R},x^2+ax+1=0.$$

   Démontrer que $U$ est fausse et que $V$ est vraie. Expliquer en une phrase ce que le passage de $\mathbb{R}$ à ${\mathbb{R}}^{\ast }$ a changé.

On rappelle le théorème de la division euclidienne : pour tous $a\in \mathbb{Z}$ et $b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, il existe un unique couple $(q,r)$ d'entiers relatifs tel que $a=bq+r$ et $0⩽r<b$.

Dans tout l'exercice, on n'utilisera pas de calculatrice, et l'on prendra soin de vérifier l'encadrement du reste. C'est l'unicité de ce couple qui sert d'outil de démonstration : pour établir qu'un couple est celui de la division euclidienne, il suffit d'exhiber l'égalité et de vérifier l'encadrement.

1. (0,5 pt) Effectuer la division euclidienne de $1789$ par $23$.

   En déduire, sans effectuer de nouvelle division, le quotient et le reste de la division euclidienne de $-1789$ par $23$.

2. (1 pt) Soient $a\in \mathbb{Z}$ et $b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. On note $a=bq+r$ la division euclidienne de $a$ par $b$. Déterminer, en fonction de $q$, $r$ et $b$, le quotient et le reste de la division euclidienne de $-a$ par $b$.

   On distinguera deux cas, et l'on justifiera chaque réponse en invoquant l'unicité du couple.

3. (1 pt) Soit $b$ un entier supérieur ou égal à $2$. Déterminer tous les entiers naturels $a$ dont la division euclidienne par $b$ a un quotient égal au reste.

   On rédigera par analyse-synthèse. Expliciter la liste obtenue pour $b=7$.

Soit $E$ un ensemble et $f:E\to E$ une application. On définit les itérées de $f$ en posant

$$f^0={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E\text{et}{f}^{n+1}=f\circ f^n\text{pour tout }n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

Ainsi $f^1=f$, $f^2=f\circ f$, et ainsi de suite.

Partie A — Un exemple. Dans cette partie, $E=\mathbb{R}\setminus \{0,1\}$ et $f$ est définie sur $E$ par $f(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{x}}$.

1. (0,5 pt) Démontrer que $f$ est bien une application de $E$ dans $E$, c'est-à-dire que $f(x)$ est défini et appartient à $E$ pour tout $x\in E$.

2. (1 pt) Calculer $f^2(x)$ et $f^3(x)$ pour $x\in E$. En déduire que $f$ est bijective et expliciter $f^{-1}$.

3. (0,25 pt) Démontrer que $f$ n'est pas l'identité de $E$, et que $f^2$ ne l'est pas non plus.

Partie B — Le cas général. Dans cette partie, $E$ est un ensemble quelconque et $f:E\to E$ une application quelconque.

4. (0,75 pt) a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $m$, $f^{m+1}=f^m\circ f$.

   b. En déduire, par récurrence sur $n$, que $f^{m+n}=f^m\circ f^n$ pour tous entiers naturels $m$ et $n$.

5. (0,5 pt) On suppose ici qu'il existe un entier $p⩾1$ tel que $f^p={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$. Démontrer que $f$ est bijective et que $f^{-1}=f^{p-1}$.

6. On conserve l'hypothèse de la question 5.

   a. (0,75 pt) Soit $n\in \mathbb{N}$, et soit $r$ le reste de la division euclidienne de $n$ par $p$. Démontrer que $f^n=f^r$.

   b. (0,25 pt) Revenons à l'application de la partie A. Déterminer $f^{2026}$, puis calculer $f^{2026}(3)$.

   c. (1,25 pt) Soient $\alpha$ et $\beta$ deux entiers supérieurs ou égaux à $1$ tels que $f^{\alpha }={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ et $f^{\beta }={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$.

   (i) Démontrer que si $\alpha >\beta$, alors $f^{\alpha -\beta }={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$.

   (ii) En déduire que $f^{\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(\alpha ,\beta )}={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$. (On suivra les divisions successives de l'algorithme d'Euclide.)

Soit $h:E\to F$ une application. Pour $y\in F$, on appelle fibre de $h$ au-dessus de $y$ l'image réciproque du singleton $\{y\}$, c'est-à-dire la partie de $E$

$$h^{-1}(\{y\})=\{x\in E;h(x)=y\}\mathrm{.}$$

Partie A — Un exemple. On considère l'application $f:\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ définie par $f(a,b)=a-b$.

1. (0,75 pt) Déterminer l'image directe $f(\mathbb{N}\times \mathbb{N})$, et en déduire que $f$ est surjective. Démontrer ensuite que $f$ n'est pas injective, et décrire la fibre $f^{-1}(\{0\})$.

2. (0,5 pt) On pose $D=\mathbb{Z}\times \{0\}$. Démontrer que la restriction de $f$ à $D$ est une bijection de $D$ sur $\mathbb{Z}$ et expliciter sa réciproque. En déduire une application $g:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ telle que $f\circ g={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\mathbb{Z}}$.

Partie B — Le cas général. Dans cette partie, $h:E\to F$ est une application quelconque, et l'on note $I=h(E)$ son image directe.

3. (1 pt) Démontrer que la famille ${\left(h^{-1}(\{y\})\right)}_{y\in I}$ est une partition de $E$.

4. (0,5 pt) Démontrer que $h$ est injective si et seulement si toutes les fibres $h^{-1}(\{y\})$, pour $y\in I$, sont des singletons.

5. (0,5 pt) Un second exemple. On admet que $\sqrt{3}$ est irrationnel. On considère l'application

   $$\phi :\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{R},\phi (a,b)=a+b\sqrt{3}\mathrm{.}$$

   Déterminer la fibre ${\phi }^{-1}(\{0\})$. En déduire que si $a+b\sqrt{3}=a^{\mathrm{\prime }}+b^{\mathrm{\prime }}\sqrt{3}$ avec $a$, $b$, $a^{\mathrm{\prime }}$, $b^{\mathrm{\prime }}$ rationnels, alors $a=a^{\mathrm{\prime }}$ et $b=b^{\mathrm{\prime }}$. Qu'est-ce que cela autorise dans un calcul ?

Dans tout ce problème, on pose

$$n=2310=2\times 3\times 5\times 7\times 11,E=\{2,3,5,7,11\},$$

et l'on note $\mathcal{D}$ l'ensemble des diviseurs positifs de $n$. On remarquera que $n$ est le produit de cinq nombres premiers deux à deux distincts, chacun apparaissant à la puissance $1$.

À toute partie $X$ de $E$, on associe le produit de ses éléments,

$$\mathrm{\Theta }(X)=\prod _{p\in X}p,$$

avec la convention usuelle $\mathrm{\Theta }(\mathrm{\varnothing })=1$ (produit vide). Par exemple $\mathrm{\Theta }(\{3,7\})=21$.

Pour $X\subset E$ et $p\in E$, on note ${\mathbf{1}}_X(p)$ la valeur en $p$ de la fonction indicatrice de $X$, égale à $1$ si $p\in X$ et à $0$ sinon. Les complémentaires sont pris dans $E$.

On admet les résultats suivants, tous établis en cours :

• caractérisation des diviseurs : les diviseurs positifs de ${\prod }_i{p}_i^{{\alpha }_i}$ sont exactement les entiers ${\prod }_i{p}_i^{{\beta }_i}$ avec $0⩽{\beta }_i⩽{\alpha }_i$ pour tout $i$ ;
• lecture du PGCD et du PPCM : si $a={\prod }_i{p}_i^{{\alpha }_i}$ et $b={\prod }_i{p}_i^{{\beta }_i}$ sont écrits sur une même liste de nombres premiers $p_1<\cdots <p_r$, alors $\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(a,b)={\prod }_i{p}_i^{\min ({\alpha }_i,{\beta }_i)}$ et $\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{c}\mathrm{m}(a,b)={\prod }_i{p}_i^{\max ({\alpha }_i,{\beta }_i)}$ ;
• minimum et maximum d'indicatrices : pour toutes parties $X$ et $Y$ de $E$ et tout $p\in E$,

$$\min ({\mathbf{1}}_X(p),{\mathbf{1}}_Y(p))={\mathbf{1}}_{X\cap Y}(p)\text{et}\max ({\mathbf{1}}_X(p),{\mathbf{1}}_Y(p))={\mathbf{1}}_{X\cup Y}(p)\mathrm{.}$$

Partie A — L'application $\mathrm{\Theta }$

1. (0,5 pt) Calculer $\mathrm{\Theta }(\{2,5,7\})$, $\mathrm{\Theta }(\{3,11\})$ et $\mathrm{\Theta }(E)$. Déterminer la partie $X$ de $E$ telle que $\mathrm{\Theta }(X)=165$.

2. (0,5 pt) Soit $X$ une partie de $E$. Démontrer que $\mathrm{\Theta }(X)\times \mathrm{\Theta }\left(\bar{X}\right)=n$, et en déduire que $\mathrm{\Theta }(X)$ divise $n$.

3. (1 pt) Démontrer que $\mathrm{\Theta }$ réalise une bijection de $\mathcal{P}(E)$ sur $\mathcal{D}$. On traitera séparément l'injectivité et la surjectivité, et l'on décrira ${\mathrm{\Theta }}^{-1}(d)$ pour $d\in \mathcal{D}$.

Partie B — Le dictionnaire

Dans toute cette partie, $X$, $Y$ et $Z$ désignent des parties de $E$.

4. (0,5 pt) Démontrer que $\mathrm{\Theta }(X)={\displaystyle \prod _{p\in E}{p}^{{\mathbf{1}}_X(p)}}$.

5. (0,75 pt) En déduire les deux égalités

$$\mathrm{\Theta }(X\cap Y)=\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(\mathrm{\Theta }(X),\mathrm{\Theta }(Y))\text{et}\mathrm{\Theta }(X\cup Y)=\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{c}\mathrm{m}(\mathrm{\Theta }(X),\mathrm{\Theta }(Y))\mathrm{.}$$

6. (0,5 pt) En déduire que $X\subset Y$ si et seulement si $\mathrm{\Theta }(X)$ divise $\mathrm{\Theta }(Y)$.

7. (0,5 pt) On admet l'identité ensembliste $X\cap (Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup (X\cap Z)$, démontrée en cours. En la traduisant par $\mathrm{\Theta }$, démontrer que pour tous diviseurs positifs $d$, $d^{\mathrm{\prime }}$ et $d^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ de $2310$,

$$\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(d,\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{c}\mathrm{m}(d^{\mathrm{\prime }},d^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}))=\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{c}\mathrm{m}(\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(d,d^{\mathrm{\prime }}),\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(d,d^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}))\mathrm{.}$$

Vérifier cette égalité sur $d=30$, $d^{\mathrm{\prime }}=21$ et $d^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=55$.

8. (0,5 pt) Déduire de la question 2 que $\mathrm{\Theta }\left(\bar{X}\right)={\displaystyle \frac{n}{\mathrm{\Theta }(X)}}$, puis démontrer que $\mathrm{\Theta }(X)$ et $\mathrm{\Theta }\left(\bar{X}\right)$ sont premiers entre eux. En déduire le résultat suivant : si $d$ et $d^{\mathrm{\prime }}$ sont deux entiers naturels non nuls tels que $d\times d^{\mathrm{\prime }}=2310$, alors $d$ et $d^{\mathrm{\prime }}$ sont premiers entre eux.

Partie C — Deux conséquences

9. (0,75 pt) Démontrer que $2310$ n'est le carré d'aucun entier, en n'utilisant que l'application $\mathrm{\Theta }$ et les résultats de la partie B.

10. (0,75 pt) On pose maintenant $m=60=2^2\times 3\times 5$ et $E^{\mathrm{\prime }}=\{2,3,5\}$, et l'on définit $\mathrm{\Psi }(X)={\prod }_{p\in X}p$ pour $X\subset E^{\mathrm{\prime }}$, à valeurs dans l'ensemble des diviseurs positifs de $m$. On admet que $\mathrm{\Psi }$ est injective, pour la même raison qu'à la question 3 : ce n'est donc pas de ce côté que le dictionnaire se casse.

    L'application $\mathrm{\Psi }$ est-elle surjective ? Décrire son image, et dire quelle propriété de $2310$ faisait fonctionner le dictionnaire des parties A et B.