Exercices — Polynômes

1. Pour chacun des polynômes suivants de $\mathbb{R}[X]$, donner le degré et le coefficient dominant, puis dire s'il est unitaire.

2. On pose $A=2X^3-X^2+4$ et $B=X^3+X^2-X$. Déterminer $\mathrm{deg}(A+B)$, $\mathrm{deg}(A-2B)$ et $\mathrm{deg}(AB)$, ainsi que le coefficient dominant de chacun de ces trois polynômes. Le produit $AB$ ne doit pas être développé.

3. Donner deux polynômes de degré $5$ dont la somme est de degré $2$. Le produit de deux polynômes de degré $5$ peut-il, lui aussi, être de degré strictement inférieur à $10$ ?

On travaille dans $\mathbb{R}[X]$ avec $A=X^2-3X+1$, $B=2X+1$ et $C=X^2+1$.

1. Calculer $A+B$ et $AB$, puis contrôler le produit obtenu en évaluant les deux membres en $x=1$.

2. Calculer $A\circ B$ et $B\circ A$. Que peut-on en conclure ?

3. Calculer $A\circ C$. Vérifier sur les trois compositions précédentes l'égalité $\mathrm{deg}(P\circ Q)=\mathrm{deg}P\times \mathrm{deg}Q$, puis démontrer cette égalité dans le cas général (avec $Q$ non constant).

4. On pose $P=3X^4-X^3+2X^2+X-5$ et $Q=X^3+4X^2-2X+1$. Sans développer le produit, donner le degré de $PQ$, son coefficient dominant et son coefficient constant, puis calculer le coefficient de $X^4$ de $PQ$ à l'aide de la formule $c_k={\displaystyle \sum _{i+j=k}{a}_i{b}_j}$.

1. Effectuer la division euclidienne de $A$ par $B$ dans $\mathbb{R}[X]$ dans les quatre cas suivants, c'est-à-dire déterminer l'unique couple $(Q,R)$ tel que $A=BQ+R$ avec $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}B$.

2. Dans lesquels de ces quatre cas a-t-on $B\mid A$ ?

3. Dans le cas c., comparer le reste obtenu et le nombre $A(-2)$. Expliquer ce que l'on observe.

1. Chacun des trois polynômes suivants admet une racine évidente parmi $-1$, $1$ et $2$. Pour chacun d'eux : repérer cette racine, factoriser par le facteur $(X-a)$ correspondant, achever la factorisation en produit d'irréductibles de $\mathbb{R}[X]$, puis résoudre l'équation $P(x)=0$ d'inconnue $x\in \mathbb{R}$.

2. Le polynôme de la question c. est de degré $4$, mais l'équation $P(x)=0$ n'a que deux solutions réelles. Est-ce contradictoire avec le fait qu'un polynôme non nul de degré $n$ possède au plus $n$ racines ?

1. Calculer $P^{\mathrm{\prime }}$ et $P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ pour chacun des polynômes suivants. Pour le troisième, utiliser la formule de dérivation d'un produit, puis contrôler en développant d'abord.

2. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $P=X^n$. Calculer $P^{(k)}$ pour tout $k\in \mathbb{N}$, en distinguant les cas $k⩽n$ et $k>n$.

3. Soient $a\in \mathbb{K}$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Démontrer par récurrence que ${((X-a{)}^n)}^{\mathrm{\prime }}=n(X-a{)}^{n-1}$.

4. Soit $P\in \mathbb{K}[X]$ de degré $n$ et de coefficient dominant $a_n$, et soit $k\in \mathbb{N}$. Donner $\mathrm{deg}{P}^{(k)}$ et, lorsque $P^{(k)}$ est non nul, son coefficient dominant.

On rappelle que $a$ est racine de multiplicité $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ de $P$ lorsque $(X-a{)}^m\mid P$ et $(X-a{)}^{m+1}\nmid P$.

1. Soit $A=X^4-2X^3+2X-1$. Déterminer la multiplicité de $1$ dans $A$ en divisant successivement par $X-1$, puis donner la factorisation de $A$ dans $\mathbb{R}[X]$.

2. Soit $B=X^4-4X^3+5X^2-4X+4$. Déterminer la multiplicité de $2$ dans $B$ à l'aide des dérivées successives, puis en déduire la factorisation de $B$ dans $\mathbb{R}[X]$.

3. Soit $C=X^5-X^4-2X^3+2X^2+X-1$. Déterminer la multiplicité de $1$ dans $C$ par les deux méthodes, achever la factorisation de $C$, et comparer les mérites respectifs des deux méthodes.

1. Rappeler quels sont les polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$, puis ceux de $\mathbb{R}[X]$.

2. Factoriser chacun des polynômes suivants en produit d'irréductibles, d'abord dans $\mathbb{C}[X]$, puis dans $\mathbb{R}[X]$. On justifiera à chaque fois que les facteurs obtenus sont bien irréductibles.

1. Pour chacun des trinômes suivants, donner la somme et le produit de ses racines dans $\mathbb{C}$, sans calculer ces racines. Préciser à chaque fois si le trinôme est scindé sur $\mathbb{R}$.

2. Soit $A=2X^3-5X^2-4X+3$, dont on admet qu'il est scindé sur $\mathbb{R}$, de racines $x_1$, $x_2$ et $x_3$. En développant $2(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$, exprimer $x_1+x_2+x_3$ et $x_1{x}_2{x}_3$ en fonction des coefficients de $A$, puis calculer ces deux nombres.

3. Trouver deux nombres dont la somme $S$ et le produit $P$ valent :

4. Soit $T=3X^2-5X+1$, de racines $x_1$ et $x_2$. Sans calculer ces racines, déterminer ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}$, puis $x_1^2+x_2^2$.

Soit $P={\sum }_{k=0}^n{a}_k{X}^k$ de degré $n$ et soit $a\in \mathbb{K}$. La méthode de Horner consiste à évaluer $P$ en $a$ sous forme emboîtée, ce qui s'écrit pour $n=4$ :

$$P(a)=\left(\right((a_{4}a+a_3)a+a_2)a+a_1)a+a_0$$

1. On prend $P=2X^4-3X^3+X-5$ et $a=2$. Calculer de proche en proche les nombres

$$b_3=a_4,b_2=a_3+a{b}_3,b_1=a_2+a{b}_2,b_0=a_1+a{b}_1,r=a_0+a{b}_0$$

et en déduire $P(2)$, ainsi que le reste de la division euclidienne de $P$ par $X-2$.

2. Vérifier que $b_3{X}^3+b_2{X}^2+b_{1}X+b_0$ est le quotient de cette division, puis démontrer le résultat général : dans la division euclidienne de $P$ par $X-a$, les coefficients du quotient et le reste sont exactement les nombres produits par le schéma de Horner.

3. Appliquer le schéma de façon répétée pour factoriser complètement $B=X^4-5X^3+6X^2+4X-8$ dans $\mathbb{R}[X]$, et préciser la multiplicité de chaque racine.

4. Compter le nombre de multiplications et d'additions qu'exige l'évaluation de $P(a)$ par la méthode de Horner, et le comparer au calcul direct de $a_n{a}^n+\cdots +a_{1}a+a_0$.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul. On cherche chaque reste sans poser la division, en évaluant l'égalité $A=BQ+R$ en des valeurs bien choisies.

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-1)(X-2)$.

2. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^{2026}$ par $X^2+1$.

3. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-1{)}^2$. Expliquer pourquoi la seule évaluation en $1$ ne suffit pas.

4. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-1{)}^2(X-2)$.

On note $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}$, de sorte que $j^3=1$ et $1+j+j^2=0$.

1. Démontrer le résultat suivant, qui sera utilisé dans tout l'exercice. Soient $a_1,\dots ,a_p$ des complexes deux à deux distincts et $P\in \mathbb{C}[X]$. Si $P(a_k)=0$ pour tout $k\in \{1,\dots ,p\}$, alors $(X-a_1)\cdots (X-a_p)$ divise $P$.

2. Démontrer que $X^2+1$ divise $A=X^4+3X^3-X^2+3X-2$, et donner le quotient.

3. Déterminer tous les couples $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$ tels que $X^2+1$ divise $X^4+X^3+a{X}^2+bX+1$, puis factoriser le polynôme obtenu.

4. Démontrer que, pour tous entiers naturels $n$, $m$ et $p$, le polynôme $X^2+X+1$ divise $X^{3n+2}+X^{3m+1}+X^{3p}$.

5. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le polynôme $X^2+X+1$ divise $(X+1{)}^{2n+1}+X^{n+2}$.

Pour $P\in \mathbb{K}[X]$, on note $P(-X)$ le composé de $P$ par le polynôme $-X$. On dit que $P$ est pair lorsque $P(-X)=P(X)$, et impair lorsque $P(-X)=-P(X)$.

1. Soit $P={\sum }_{k=0}^n{a}_k{X}^k$. Démontrer que $P$ est pair si et seulement si $a_k=0$ pour tout indice $k$ impair. Énoncer et démontrer de même le critère pour $P$ impair.

2. On suppose seulement que $P(-x)=P(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, égalité entre les deux fonctions polynomiales. Démontrer que $P$ est alors pair au sens de la définition ci-dessus.

3. Démontrer que tout polynôme $P\in \mathbb{K}[X]$ s'écrit de manière unique $P=A+B$ avec $A$ pair et $B$ impair.

4. Soit $P$ un polynôme pair et $a$ une racine de $P$ de multiplicité $m$. Démontrer que $-a$ est racine de $P$ de multiplicité exactement $m$.

5. Application : factoriser $P=X^4-5X^2+4$ dans $\mathbb{R}[X]$ et vérifier sur cet exemple la propriété de la question 4.

On considère $P=X^4-3X^3+2X-5$ et le point $a=2$.

1. Calculer $P^{(k)}(2)$ pour $k\in \{0,1,2,3,4\}$, puis écrire $P$ sous la forme ${\sum }_{k=0}^4{c}_k(X-2{)}^k$ à l'aide de la formule de Taylor polynomiale. Vérifier le résultat en redéveloppant.

2. Retrouver cette écriture par divisions euclidiennes successives par $X-2$, conduites avec le schéma de Horner. Comparer les deux méthodes.

3. Soit $R=X^4-5X^3+6X^2+4X-8$. Écrire $R$ selon les puissances de $X-2$, en déduire la multiplicité de $2$ comme racine de $R$, puis factoriser $R$.

On rappelle la formule de Leibniz : pour $U,V\in \mathbb{K}[X]$ et $k\in \mathbb{N}$,

$$(UV{)}^{(k)}=\sum _{j=0}^k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{k}{j}\right)U^{(j)}{V}^{(k-j)}\mathrm{.}$$

1. Soit $P=(X-1{)}^3(X+2{)}^4$. Sans développer $P$, calculer $P^{(k)}(1)$ pour $k\in \{0,1,2,3\}$, et retrouver ainsi la multiplicité de $1$ comme racine de $P$.

2. Soient $a\in \mathbb{K}$, $m⩾1$ et $Q\in \mathbb{K}[X]$. On pose $P=(X-a{)}^{m}Q$. Démontrer que $P^{(k)}(a)=0$ pour tout $k<m$, puis que $P^{(m)}(a)=m!Q(a)$.

3. Soit $n⩾2$. Calculer la dérivée $n$-ième de $P_n=X^2(X+1{)}^n$.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier supérieur ou égal à $2$ et l'on pose $\omega =e^{2i\pi \mathrm{/}n}$.

1. Factoriser $X^6-1$ dans $\mathbb{C}[X]$, puis dans $\mathbb{R}[X]$. Contrôler la factorisation réelle par développement.

2. Démontrer que $X^n-1={\prod }_{k=0}^{n-1}(X-{\omega }^k)$.

3. En déduire la factorisation de $X^n-1$ dans $\mathbb{R}[X]$, en distinguant les cas $n$ pair et $n$ impair. Justifier que les trinômes obtenus sont irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$.

4. En déduire la factorisation de $1+X+\cdots +X^{n-1}$ dans $\mathbb{C}[X]$ puis dans $\mathbb{R}[X]$.

Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes, et contrôler chaque résultat en évaluant en une valeur qui n'est pas un pôle.

Déterminer, sur l'intervalle indiqué, les primitives des fonctions suivantes.

1. $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2-4}}$ sur $]2,+\mathrm{\infty }[$.

2. $g(x)={\displaystyle \frac{2x+3}{(x-1)(x+2)}}$ sur $]1,+\mathrm{\infty }[$.

3. $h(x)={\displaystyle \frac{1}{x(x+1)(x+2)}}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

4. $k(x)={\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x^2+1)}}$ sur $]1,+\mathrm{\infty }[$, en admettant que sa décomposition est de la forme

$$\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{x^2+1}\mathrm{.}$$

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul fixé.

1. Déterminer tous les couples $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$ tels que $(X-1{)}^2$ divise $P=a{X}^{n+1}+b{X}^n+1$.

2. Pour $n=3$, factoriser complètement le polynôme obtenu, dans $\mathbb{R}[X]$ puis dans $\mathbb{C}[X]$.

3. Déterminer tous les triplets $(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3$ tels que $(X-1{)}^3$ divise $Q=a{X}^{n+2}+b{X}^{n+1}+c{X}^n+1$. Contrôler le résultat pour $n=1$ et $n=2$.

On cherche les polynômes de $\mathbb{R}[X]$ prenant les valeurs $1$, $3$ et $9$ en $0$, $1$ et $2$.

1. Déterminer tous les polynômes $P\in {\mathbb{R}}_2[X]$ tels que $P(0)=1$, $P(1)=3$ et $P(2)=9$, en résolvant par la méthode du pivot le système vérifié par les coefficients de $P$. On note $P_0$ le polynôme obtenu.

2. Retrouver l'unicité de $P_0$ dans ${\mathbb{R}}_2[X]$ sans aucun calcul, en considérant la différence de deux solutions.

3. On ne suppose plus le degré majoré. Démontrer que les polynômes $P\in \mathbb{R}[X]$ vérifiant $P(0)=1$, $P(1)=3$ et $P(2)=9$ sont exactement les polynômes de la forme

$$P=P_0+X(X-1)(X-2)Q,Q\in \mathbb{R}[X]\mathrm{.}$$

Combien y en a-t-il ?

4. Application. Déterminer $P\in {\mathbb{R}}_3[X]$ tel que $P(k)=2^k$ pour tout $k\in \{0,1,2,3\}$, puis calculer $P(4)$ et commenter.

On considère $P=X^3-6X^2+11X-6$.

1. Vérifier que $1$, $2$ et $3$ sont racines de $P$ et en déduire sa factorisation. Développer ensuite $(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$ pour trois réels quelconques $x_1$, $x_2$, $x_3$, et identifier les coefficients : exprimer les nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ tels que

$$(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)=X^3+\alpha X^2+\beta X+\gamma$$

en fonction de $x_1$, $x_2$, $x_3$. Contrôler sur $P$.

2. On note toujours $x_1$, $x_2$, $x_3$ les racines de $P$. Sans utiliser leurs valeurs, calculer

$${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}+{\displaystyle \frac{1}{x_3}}\text{et}{x}_1^2+x_2^2+x_3^2,$$

puis contrôler avec les valeurs trouvées à la question 1.

3. Déterminer les réels $m$ pour lesquels l'une des racines de $X^2-mX+8$ est le double de l'autre, et donner les racines dans chaque cas.

4. Déterminer les réels $x$, $y$, $z$ tels que $x+y+z=4$, $xy+yz+zx=1$ et $xyz=-6$.

1. Soit $P=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$ un polynôme unitaire de degré $n⩾1$ dont tous les coefficients $a_k$ sont des entiers relatifs. Démontrer que si $p\in \mathbb{Z}$ est racine de $P$, alors $p$ divise $a_0$.

2. Soit $A=X^4+2X^3-X-2$. Déterminer ses racines entières, puis factoriser $A$ dans $\mathbb{R}[X]$ et dans $\mathbb{C}[X]$.

3. Soit $B=X^4-6X^2+25$.

a. Démontrer que $B$ n'a aucune racine entière.

b. En écrivant $B$ comme une somme, démontrer que $B$ n'a même aucune racine réelle.

c. Factoriser $B$ dans $\mathbb{R}[X]$ en remarquant que $B=(X^2+5{)}^2-16X^2$, puis dans $\mathbb{C}[X]$.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on cherche un polynôme $T_n\in \mathbb{R}[X]$ tel que

$$T_n(\cos \theta )=\cos (n\theta )\text{pour tout }\theta \in \mathbb{R}\mathrm{.}$$

1. Vérifier que $T_0=1$ et $T_1=X$ conviennent. Établir ensuite, pour tout réel $\theta$ et tout $n\in \mathbb{N}$, l'identité $\cos ((n+2)\theta )+\cos (n\theta )=2\cos \theta \cos ((n+1)\theta )$, puis démontrer par récurrence double l'existence de $T_n$ pour tout $n$, avec la relation $T_{n+2}=2X{T}_{n+1}-T_n$.

2. Démontrer que, pour chaque $n$, le polynôme $T_n$ est unique.

3. Calculer $T_2$, $T_3$ et $T_4$.

4. Démontrer que, pour tout $n⩾1$, $\mathrm{deg}{T}_n=n$ et le coefficient dominant de $T_n$ vaut $2^{n-1}$.

5. Soit $n⩾1$. Déterminer $n$ réels distincts de $]-1,1[$ annulant $T_n$, en déduire toutes les racines de $T_n$ et sa factorisation dans $\mathbb{R}[X]$. Contrôler le résultat pour $n=3$.

On note $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}$ et $C=X^2+X+1$.

1. Rappeler pourquoi $j^3=1$ et $1+j+j^2=0$, puis vérifier que $\bar{j}=j^2$ et que $C=(X-j)(X-j^2)$. En utilisant la division euclidienne par $C$, démontrer que pour $P\in \mathbb{C}[X]$,

$$C\mid P⟺P(j)=0\text{ et }P(j^2)=0,$$

et que si $P$ est à coefficients réels, la seule condition $P(j)=0$ suffit.

2. Déterminer tous les entiers $n⩾1$ tels que $C\mid (X+1{)}^n-X^n-1$.

3. Déterminer tous les entiers $n⩾1$ tels que $C\mid X^{2n}+X^n+1$.

1. Démontrer qu'il existe un unique polynôme $S\in \mathbb{R}[X]$ tel que

$$S(X+1)-S(X)=X^2\text{et}S(0)=0.$$

Pour l'existence, on cherchera $S$ de degré $3$ à coefficients indéterminés. Pour l'unicité, on considérera la différence $D$ de deux solutions et on montrera qu'elle s'annule en tout entier naturel.

2. En déduire par télescopage la valeur de ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{k}^2}$ pour $n⩾1$, et contrôler le résultat pour $n=4$.

3. Généralisation. Démontrer par récurrence forte sur $p$ que, pour tout $p\in \mathbb{N}$, il existe un polynôme $S_p$ de degré $p+1$ vérifiant $S_p(X+1)-S_p(X)=X^p$.

4. Appliquer la méthode de la question 1 au cas $p=3$ et en déduire ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{k}^3}$.

1. Factoriser $X^4+1$ dans $\mathbb{C}[X]$ en cherchant les racines quatrièmes de $-1$, puis dans $\mathbb{R}[X]$ en regroupant les racines conjuguées. Retrouver la factorisation réelle en écrivant $X^4+1={(X^2+1)}^2-2X^2$.

2. Factoriser $X^4+X^2+1$ dans $\mathbb{R}[X]$ par une astuce analogue, puis dans $\mathbb{C}[X]$. Contrôler en remarquant que $(X^2-1)(X^4+X^2+1)=X^6-1$.

3. Factoriser $X^4+4$ dans $\mathbb{R}[X]$, puis dans $\mathbb{C}[X]$.

4. Synthèse : factoriser $X^8-1$ dans $\mathbb{C}[X]$, puis dans $\mathbb{R}[X]$.

Chaque factorisation sera contrôlée en redéveloppant.

1. Déterminer les réels $a$, $b$, $c$ tels que, pour tout $x\mathrm{\notin }\{-1,1\}$,

$$\frac{1}{(x-1{)}^2(x+1)}=\frac{a}{(x-1{)}^2}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{x+1},$$

et contrôler le résultat en une valeur de $x$ bien choisie.

2. Décomposer ${\displaystyle \frac{1}{X^2-1}}$ en éléments simples. Démontrer ensuite par récurrence que, pour $a\in \mathbb{R}$ fixé, la fonction $u:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x-a}}$ vérifie $u^{(n)}(x)={\displaystyle \frac{(-1{)}^{n}n!}{(x-a{)}^{n+1}}}$ sur $]a,+\mathrm{\infty }[$, et en déduire la dérivée $n$-ième de $g:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}$ sur $]1,+\mathrm{\infty }[$.

3. Calculer la dérivée $n$-ième de $v:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{(x-a{)}^2}}$ sur $]a,+\mathrm{\infty }[$, puis celle de $f:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{(x-1{)}^2(x+1)}}$ sur $]1,+\mathrm{\infty }[$. Application : calculer $f^{\mathrm{\prime }}(2)$ et $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(2)$, et contrôler par un calcul direct.

Toutes les fractions de cet exercice n'ont que des pôles simples : la forme de la décomposition n'est donc pas donnée, elle se devine sur le dénominateur factorisé.

1. Décomposer ${\displaystyle \frac{1}{X(X+1)}}$ en éléments simples, puis calculer ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}}$ et sa limite quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

2. Décomposer ${\displaystyle \frac{1}{X(X+1)(X+2)}}$. Vérifier ensuite que, pour tout $k⩾1$,

$$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}),$$

et en déduire ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}}$. Contrôler pour $n=1$ et $n=2$.

3. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=2}^n\frac{1}{k^2-1}}$ pour $n⩾2$, et sa limite.

4. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{k}{(k+1)(k+2)(k+3)}}$, et sa limite.

On cherche tous les polynômes $P\in \mathbb{C}[X]$ vérifiant

$$P\left(X^2\right)=P(X)P(X-1)\mathrm{.}(\star )$$

1. Vérifier que $P=0$ est solution, puis déterminer les polynômes constants solutions de $(\star )$. Dans toute la suite, $P$ désigne une solution non constante, de degré $n⩾1$ et de coefficient dominant $c_n$ ; démontrer que $c_n=1$.

2. Soit $a$ une racine de $P$ dans $\mathbb{C}$. Démontrer que $a^2$ et $(a+1{)}^2$ sont encore des racines de $P$.

3. En déduire que $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=1$ pour toute racine $a$ de $P$. On pourra raisonner sur la suite $a,a^2,a^4,\dots$, puis écarter le cas $a=0$.

4. Démontrer que $\mathrm{\mid }a+1\mathrm{\mid }=1$, puis que $a=j$ ou $a=\bar{j}$, où $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}$.

5. On écrit alors $P=(X-j{)}^p{(X-\bar{j})}^q$. En comparant la multiplicité de $j$ dans les deux membres de $(\star )$, démontrer que $p=q$.

6. Conclure : donner l'ensemble des solutions de $(\star )$, réciproque comprise.

Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ scindé sur $\mathbb{R}$, de degré $n⩾2$ et de coefficient dominant $c$. On veut démontrer que $P^{\mathrm{\prime }}$ est lui aussi scindé sur $\mathbb{R}$.

1. Soit $a$ une racine de $P$ de multiplicité $m⩾1$. Démontrer que $a$ est racine de $P^{\mathrm{\prime }}$ de multiplicité exactement $m-1$ (pour $m=1$, cela signifie que $a$ n'est pas racine de $P^{\mathrm{\prime }}$).

2. On suppose dans cette question que $P$ possède $n$ racines simples $x_1<x_2<\cdots <x_n$. À l'aide du théorème de Rolle, démontrer que $P^{\mathrm{\prime }}$ est scindé sur $\mathbb{R}$ à racines simples, et que ses racines $c_1,\dots ,c_{n-1}$ s'intercalent : $x_1<c_1<x_2<c_2<\cdots <c_{n-1}<x_n$.

3. Cas général : on note $x_1<\cdots <x_r$ les racines distinctes de $P$, de multiplicités respectives $m_1,\dots ,m_r$. Démontrer que $P^{\mathrm{\prime }}$ est scindé sur $\mathbb{R}$ et préciser toutes ses racines avec leur multiplicité.

4. Application : soit $P=X^4-2X^3+2X-1$. Vérifier que $P=(X-1{)}^3(X+1)$, calculer et factoriser $P^{\mathrm{\prime }}$, puis confronter le résultat à la question 3.

5. Démontrer sur l'exemple $P=X^3-X^2+X$ que l'hypothèse « $P$ scindé sur $\mathbb{R}$ » ne peut pas être supprimée.

Un polynôme de la forme $P=a{X}^4+b{X}^3+c{X}^2+bX+a$, avec $(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3$ et $a\mathrm{\ne }0$, est dit réciproque : la liste de ses coefficients se lit indifféremment dans les deux sens.

1. Démontrer que $0$ n'est pas racine de $P$, et que si $x$ est une racine de $P$, alors ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ en est une aussi.

2. Soit $x\mathrm{\ne }0$ et $u=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$. Démontrer que $x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=u^2-2$, puis que

$$P(x)=0⟺a{u}^2+bu+(c-2a)=0.$$

3. Résoudre entièrement $X^4-4X^3+5X^2-4X+1=0$, d'abord dans $\mathbb{R}$, puis dans $\mathbb{C}$, et donner la factorisation du polynôme dans $\mathbb{R}[X]$ et dans $\mathbb{C}[X]$.

4. Résoudre $X^4+X^3+X^2+X+1=0$ dans $\mathbb{C}$, et en déduire la valeur exacte de $\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$.

5. Cas général : soit $P={\sum }_{k=0}^n{a}_k{X}^k$ de degré $n$ impair, vérifiant $a_k=a_{n-k}$ pour tout $k\in \{0,\dots ,n\}$. Démontrer que $-1$ est racine de $P$.

1. Soit $A\in \mathbb{R}[X]$ et $w\in \mathbb{C}$. Démontrer que $A\left(\bar{w}\right)=\overline{A(w)}$. En déduire que si $P\in \mathbb{R}[X]$ est non nul et si $z\in \mathbb{C}$ est racine de $P$ de multiplicité $m$, alors $\bar{z}$ est racine de $P$ de multiplicité $m$ elle aussi.

2. En déduire les deux résultats suivants.

a. Tout polynôme de $\mathbb{R}[X]$ de degré impair admet au moins une racine réelle.

b. Les polynômes irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ sont exactement les polynômes de degré $1$ et les trinômes $a{X}^2+bX+c$ de discriminant strictement négatif.

3. Déterminer le polynôme unitaire $P\in \mathbb{R}[X]$ de degré $5$ dont $i$ est racine double et $2$ racine simple. Donner sa forme développée, puis sa factorisation dans $\mathbb{R}[X]$ et dans $\mathbb{C}[X]$.

4. Déterminer tous les polynômes unitaires de $\mathbb{R}[X]$ de degré $4$ dont $1+i$ est racine double.

Soit $P\in \mathbb{C}[X]$ non constant, de degré $n⩾1$ et de coefficient dominant $\lambda$. On suppose que $P^{\mathrm{\prime }}\mid P$. Le but est de démontrer qu'il existe $r\in \mathbb{C}$ tel que $P=\lambda (X-r{)}^n$.

1. Démontrer que $\mathrm{deg}{P}^{\mathrm{\prime }}=n-1$, puis qu'il existe $r\in \mathbb{C}$ tel que $nP=(X-r)P^{\mathrm{\prime }}$.

2. Soit $a$ une racine de $P$ de multiplicité $m⩾1$. Démontrer que $a$ est racine de $P^{\mathrm{\prime }}$ de multiplicité exactement $m-1$.

3. Démontrer que toute racine de $P^{\mathrm{\prime }}$ est une racine de $P$.

4. On note $x_1,\dots ,x_p$ les racines distinctes de $P$, de multiplicités respectives $m_1,\dots ,m_p$. En comptant les racines de $P^{\mathrm{\prime }}$ avec leur multiplicité, démontrer que $p=1$, puis conclure.

5. Réciproque : vérifier que tout polynôme $\lambda (X-r{)}^n$ convient. Traiter l'exemple $P=8X^3-12X^2+6X-1$ en explicitant $r$, et expliquer pourquoi $P=X^2-1$ ne vérifie pas $P^{\mathrm{\prime }}\mid P$.

Soit $n⩾2$ un entier et $\omega =e^{2i\pi \mathrm{/}n}$.

1. Justifier l'égalité $X^n-1={\prod }_{k=0}^{n-1}(X-{\omega }^k)$, puis en déduire

$$1+X+\cdots +X^{n-1}=\prod _{k=1}^{n-1}(X-{\omega }^k)\mathrm{.}$$

2. En évaluant cette dernière égalité en $1$, démontrer que ${\prod }_{k=1}^{n-1}(1-{\omega }^k)=n$.

3. Démontrer que $1-e^{i\theta }=-2i\sin \left({\displaystyle \frac{\theta }{2}}\right)e^{i\theta \mathrm{/}2}$ pour tout $\theta \in \mathbb{R}$, puis en déduire

$$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \left(\frac{k\pi }{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}}\mathrm{.}$$

4. Vérifier cette formule pour $n=2$, $n=3$ et $n=4$.

5. Soit $A_0,A_1,\dots ,A_{n-1}$ les points du plan complexe d'affixes respectives $1,\omega ,\dots ,{\omega }^{n-1}$ (les sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle unité). Démontrer que ${\prod }_{k=1}^{n-1}{A}_0{A}_k=n$, et l'illustrer sur le carré.

Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ tel que $P(x)⩾0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. On veut démontrer qu'il existe $A,B\in \mathbb{R}[X]$ tels que $P=A^2+B^2$.

1. Démontrer que toute racine réelle de $P$ est de multiplicité paire.

2. On suppose $P$ non nul, de degré $n$ et de coefficient dominant $c$. Démontrer que $c>0$, puis que la factorisation de $P$ dans $\mathbb{R}[X]$ est de la forme

$$P=c\prod _{i=1}^s{[(X-a_i{)}^{m_i}]}^2\prod _{j=1}^t{(X^2+p_{j}X+q_j)}^{{\nu }_j},p_j^2-4q_j<0.$$

3. Démontrer que tout trinôme $X^2+pX+q$ avec $p^2-4q<0$ s'écrit $A^2+B^2$ avec $A,B\in \mathbb{R}[X]$.

4. Démontrer l'identité $(A^2+B^2)(C^2+D^2)={(AC-BD)}^2+{(AD+BC)}^2$, et conclure.

5. Traiter entièrement l'exemple $P=X^4+1$ : exhiber $A$ et $B$, et vérifier l'égalité par développement.

Soit $n⩾1$. On pose $A={(X^2-1)}^n$ et $L_n=A^{(n)}$.

1. Déterminer le degré et le coefficient dominant de $L_n$ (on trouvera ${\displaystyle \frac{(2n)!}{n!}}$).

2. Démontrer que $1$ et $-1$ sont racines de $A$ de multiplicité $n$, et en déduire que $A^{(j)}(1)=A^{(j)}(-1)=0$ pour tout $j\in \{0,\dots ,n-1\}$.

3. Démontrer par récurrence sur $j\in \{1,\dots ,n\}$ que $A^{(j)}$ possède au moins $j$ racines distinctes dans $]-1,1[$. En déduire que $L_n$ est scindé sur $\mathbb{R}$, à racines simples, toutes situées dans $]-1,1[$.

4. À l'aide de la formule de Leibniz appliquée à $A=(X-1{)}^n(X+1{)}^n$, calculer $L_n(1)$.

5. Expliciter $L_1$, $L_2$ et $L_3$, et vérifier sur ces trois polynômes toutes les propriétés démontrées.

Soit $P\in \mathbb{C}[X]$ scindé, non constant, de coefficient dominant $a$, dont les racines deux à deux distinctes sont $x_1,\dots ,x_r$, de multiplicités respectives $m_1,\dots ,m_r$.

1. À partir de $P=a{\prod }_{k=1}^r{(X-x_k)}^{m_k}$ et de la dérivée d'un produit, démontrer que

$$\frac{P^{\mathrm{\prime }}}{P}=\sum _{k=1}^r\frac{m_k}{X-x_k}\mathrm{.}$$

2. Décomposer ${\displaystyle \frac{P^{\mathrm{\prime }}}{P}}$ pour $P=X^2(X-1{)}^3(X+2)$. Réciproquement, déterminer les polynômes $Q$ tels que ${\displaystyle \frac{Q^{\mathrm{\prime }}}{Q}}={\displaystyle \frac{1}{X-3}}+{\displaystyle \frac{4}{X+1}}$.

3. On suppose maintenant les $n$ racines $x_1,\dots ,x_n$ de $P$ simples. Écrire la décomposition obtenue, puis calculer ${\sum }_{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{2-x_k}}$ pour $P=X^4-1$.

4. Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ scindé sur $\mathbb{R}$ à racines simples $x_1<\cdots <x_n$, avec $n⩾2$. En étudiant la fonction $f:x\mapsto {\displaystyle \frac{P^{\mathrm{\prime }}(x)}{P(x)}}$ sur $]x_j,x_{j+1}[$, démontrer que $P^{\mathrm{\prime }}$ admet une unique racine dans cet intervalle.

5. Application complète à $P=X^3-X$.