Devoir surveillé — Polynômes

Les cinq questions sont indépendantes.

1. (0,75 pt) Déterminer le degré et le coefficient dominant du polynôme

$$P={(2X^2-X)}^5-32X^{10}+80X^9\mathrm{.}$$

2. (0,75 pt) Soient $A$, $B$ et $D$ trois polynômes de $\mathbb{R}[X]$, avec $D$ non nul. On note $R_A$ et $R_B$ les restes des divisions euclidiennes de $A$ et de $B$ par $D$. Démontrer que le reste de la division euclidienne de $AB$ par $D$ est égal au reste de la division euclidienne de $R_A{R}_B$ par $D$. En déduire, par deux applications de ce résultat et sans effectuer aucun développement, le reste de la division euclidienne de ${(X^2+X+1)}^4$ par $X^2+X$. On remarquera que $X^2+X+1=(X^2+X)+1$, et que $4=2\times 2$.

3. (0,5 pt) Déterminer tous les réels $\lambda$ pour lesquels le polynôme $X^3-12X+\lambda$ admet une racine double dans $\mathbb{R}$. On remarquera que la dérivée ne dépend pas de $\lambda$. Pour chaque valeur trouvée, donner cette racine et la factorisation du polynôme.

4. (0,5 pt) Soient $p$ et $q$ deux réels et $P=X^3+pX+q$. Le théorème de d'Alembert-Gauss assure que $P$ est scindé sur $\mathbb{C}$ ; on note $x_1$, $x_2$, $x_3$ ses racines, comptées avec leur multiplicité. Sans calculer ces racines, déterminer $x_1^3+x_2^3+x_3^3$.

5. (1 pt) Ces deux affirmations sont-elles vraies ou fausses ? Justifier chaque réponse (démonstration si l'affirmation est vraie, contre-exemple sinon).

a. Si $P$ et $Q$ sont deux polynômes de $\mathbb{R}[X]$ tels que $P^2=X{Q}^2$, alors $P=Q=0$.

b. Si $P\in \mathbb{R}[X]$ vérifie $P(k)\in \mathbb{Z}$ pour tout $k\in \mathbb{Z}$, alors tous les coefficients de $P$ sont des entiers.

Soit $m$ un entier naturel non nul. On s'intéresse aux polynômes $P\in \mathbb{R}[X]$ vérifiant simultanément les deux conditions

$$(X-1{)}^m\mid P+1\text{et}(X+1{)}^m\mid P-1.({\mathcal{C}}_m)$$

Autrement dit : $P$ doit « coller » à la valeur $-1$ au voisinage de $1$ et à la valeur $1$ au voisinage de $-1$, avec à chaque fois un contact d'ordre $m$.

1. (0,75 pt) Soit $P$ une solution de $({\mathcal{C}}_m)$. En citant la caractérisation de la multiplicité d'une racine par les dérivées successives, démontrer que

$$P(1)=-1,P(-1)=1,{(X^2-1)}^{m-1}\mid P^{\mathrm{\prime }},$$

puis en déduire que $\mathrm{deg}P⩾2m-1$. On traitera séparément les deux conditions, puis on réunira les deux divisibilités obtenues sur $P^{\mathrm{\prime }}$.

2. (1 pt) On note $F$ la primitive de ${(X^2-1)}^{m-1}$ qui s'annule en $0$. Démontrer que $F(1)\mathrm{\ne }0$ et préciser son signe, puis que $({\mathcal{C}}_m)$ admet exactement une solution de degré $2m-1$, que l'on exprimera à l'aide de $F$. Cette solution sera notée $P_0$ dans toute la suite. On pourra étudier la monotonie de $F$ sur $[0,1]$ pour le premier point, puis observer que la question 1. contraint $P^{\mathrm{\prime }}$ à être proportionnel à $F^{\mathrm{\prime }}$ pour le second ; ne pas oublier la synthèse.

3. (0,25 pt) On admet que si $P$ est solution de $({\mathcal{C}}_m)$, alors $-P(-X)$ l'est aussi. Retrouver l'imparité de $P_0$ sans utiliser l'expression de $F$, en n'invoquant que l'unicité établie à la question 2.

4. (0,75 pt) Expliciter $P_0$ pour $m=2$, puis le vérifier en factorisant $P_0+1$ et $P_0-1$ dans $\mathbb{R}[X]$.

5. (0,75 pt) Expliciter $P_0$ pour $m=3$, et factoriser $P_0+1$ en produit d'irréductibles de $\mathbb{R}[X]$, puis dans $\mathbb{C}[X]$. On admettra qu'en posant $N=8(P_0+1)$, le quotient de $N$ par $(X-1{)}^3$ s'écrit $-3X^2+\alpha X+\beta$ : il ne reste qu'à déterminer $\alpha$ et $\beta$ par identification.

6. (0,5 pt) Démontrer que $P_0$ est strictement décroissant sur $[-1,1]$ et que $P_0([-1,1])=[-1,1]$. Quelle est, en une phrase, l'allure de $P_0$ sur ce segment ?

On considère $P=X^4+4X^2-X+6$.

Les polynômes de degré $4$ factorisés dans le chapitre l'étaient tous grâce à une identité remarquable, du type $X^4+4={(X^2+2)}^2-(2X{)}^2$. Cette voie est ici fermée : la présence du terme en $X$ interdit d'écrire $P$ comme une différence de deux carrés de polynômes en $X^2$. Il faut donc chercher la factorisation par identification des coefficients.

1. (0,5 pt) Démontrer que $P$ n'admet aucune racine réelle.

2. (0,5 pt) Soit $Q$ un polynôme unitaire de degré $4$ de $\mathbb{R}[X]$, sans racine réelle et sans terme en $X^3$. Démontrer qu'il existe trois réels $a$, $b$, $b^{\mathrm{\prime }}$ tels que

$$Q=(X^2+aX+b)(X^2-aX+b^{\mathrm{\prime }}),$$

les deux trinômes étant irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$. On s'appuiera sur la description des irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ donnée par le cours. Le polynôme $P$ vérifie ces hypothèses.

3. (1,5 pt) On applique ce résultat à $P$ et on pose $t=a^2$. On admettra le développement

$$(X^2+aX+b)(X^2-aX+b^{\mathrm{\prime }})=X^4+(b+b^{\mathrm{\prime }}-a^2)X^2+a(b^{\mathrm{\prime }}-b)X+b{b}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$

Démontrer que

$$b+b^{\mathrm{\prime }}=4+t,b^{\mathrm{\prime }}-b=-\frac{1}{a},b{b}^{\mathrm{\prime }}=6,$$

puis que $t$ est solution de l'équation $t^3+8t^2-8t-1=0$. Vérifier que $1$ est solution de cette équation, démontrer que c'est sa seule solution strictement positive, et en déduire la factorisation de $P$ en produit d'irréductibles de $\mathbb{R}[X]$, puis en une ligne celle de $P$ dans $\mathbb{C}[X]$.

4. (0,5 pt) On applique maintenant la même méthode au polynôme $G=X^4+X+1$, dont on admet qu'il ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$. Le développement admis à la question 3. donne cette fois, sans nouveau calcul, $b+b^{\mathrm{\prime }}=t$, $b^{\mathrm{\prime }}-b={\displaystyle \frac{1}{a}}$ et $b{b}^{\mathrm{\prime }}=1$. Établir que le réel $t=a^2$ associé vérifie

$$t^3-4t-1=0.$$

En étudiant les variations de $\phi :t\mapsto t^3-4t-1$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, démontrer que cette équation admet exactement une solution strictement positive $t_0$. Que peut-on en conclure sur la factorisation de $G$ dans $\mathbb{R}[X]$, et sur la portée de la méthode ?

Dans tout l'exercice, $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$, et $B\in \mathbb{C}[X]$ est un polynôme unitaire de degré $n$, scindé, à racines simples, dont les racines deux à deux distinctes sont notées $x_1,\dots ,x_n$. On admet les deux résultats du cours suivants :

$$\frac{A}{B}=\sum _{k=1}^n\frac{c_k}{X-x_k}\text{avec}{c}_k=\frac{A\left(x_k\right)}{B^{\mathrm{\prime }}\left(x_k\right)}\text{pour tout }A\text{ tel que }\mathrm{deg}A⩽n-1;(\star )$$ $$B^{\mathrm{\prime }}\left(x_k\right)=\prod _{j\mathrm{\ne }k}(x_k-x_j)\text{pour tout }k\mathrm{.}(\star \star )$$

L'objet de l'exercice est la somme des coefficients $c_k$, dont on va voir qu'elle ne dépend presque de rien, puis qu'elle produit une identité qui n'a plus rien à voir avec les fractions rationnelles.

1. (0,75 pt) Soit $A$ un polynôme tel que $\mathrm{deg}A⩽n-1$, et soit $\alpha$ son coefficient dominant lorsque $A\mathrm{\ne }0$. Démontrer que

$$\sum _{k=1}^n{c}_k=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }\mathrm{deg}A⩽n-2,\\ \alpha & \text{si }\mathrm{deg}A=n-1.\end{array}$$

On pourra, comme le fait le cours pour étudier une fraction rationnelle à l'infini, évaluer $(\star )$ en un réel $x$ qui n'est pas un pôle, multiplier par $x$, puis faire tendre $x$ vers $+\mathrm{\infty }$ en mettant en facteur le terme dominant au numérateur et au dénominateur.

2. (0,75 pt) Soient $y_1,\dots ,y_n$ des nombres complexes deux à deux distincts, sans aucune autre hypothèse (ils ne sont plus supposés être les racines du polynôme $B$ ci-dessus). Démontrer que

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{{\displaystyle \prod _{j\mathrm{\ne }k}(y_k-y_j)}}=0\text{et}\sum _{k=1}^n\frac{y_k^{n-1}}{{\displaystyle \prod _{j\mathrm{\ne }k}(y_k-y_j)}}=1.(†)$$

Vérifier ces deux identités sur $y_1=1$, $y_2=2$, $y_3=4$.

3. (0,75 pt) On choisit maintenant $y_k=k$ pour $k\in \{1,\dots ,n\}$. Démontrer que

$$\prod _{j\mathrm{\ne }k}(k-j)=(-1{)}^{n-k}(k-1)!(n-k)!\mathrm{.}$$

4. (1 pt) En déduire les deux identités

$$\sum _{k=1}^n(-1{)}^k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{k-1}\right)=0\text{et}\sum _{k=1}^n(-1{)}^{n-k}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{k-1}\right)k^{n-1}=(n-1)!\mathrm{.}$$

On multipliera les égalités $(†)$ par $(n-1)!$ pour y faire apparaître un coefficient binomial. Vérifier les deux identités pour $n=4$. Laquelle des deux était déjà connue, et pourquoi ce fait est-il rassurant ?

Si $P\in \mathbb{R}[X]$ est de degré $n$, ses dérivées successives $P^{(k)}$ sont nulles dès que $k>n$. La somme de toutes les dérivées de $P$, dérivée d'ordre $0$ comprise, ne comporte donc qu'un nombre fini de termes non nuls : c'est un polynôme, que l'on note

$$\mathcal{S}(P)=P+P^{\mathrm{\prime }}+P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+\cdots =\sum _{k⩾0}{P}^{(k)}\mathrm{.}$$

On pose de plus $\mathcal{S}(0)=0$. Ce problème établit une propriété de $\mathcal{S}$ que rien ne laisse prévoir, et en tire un résultat sur une famille de polynômes bien connue.

Les trois parties s'enchaînent. Les résultats des questions précédentes sont utilisables même si elles n'ont pas été traitées.

Partie A — L'équation $T-T^{\mathrm{\prime }}=P$.

1. (0,5 pt) Calculer $\mathcal{S}(P)$ pour $P=X^3$, puis pour $P=X^2-4X+3$.

2. (0,5 pt) Soit $P$ un polynôme non nul de degré $n$ et de coefficient dominant $a$. Démontrer que $\mathcal{S}(P)$ est de degré $n$ et de coefficient dominant $a$. En déduire que $\mathcal{S}(P)=0$ si et seulement si $P=0$.

3. (0,5 pt) Démontrer que, pour tout $P\in \mathbb{R}[X]$,

$$\mathcal{S}(P)-\mathcal{S}(P{)}^{\mathrm{\prime }}=P\mathrm{.}$$

4. (0,5 pt) Soit $P\in \mathbb{R}[X]$. La question 3. montre que le polynôme $T=\mathcal{S}(P)$ vérifie $T-T^{\mathrm{\prime }}=P$. Démontrer que c'est le seul.

5. (0,5 pt) Soit $n\in \mathbb{N}$. Expliciter l'unique polynôme $T$ tel que $T-T^{\mathrm{\prime }}=X^n$, et contrôler le résultat pour $n=3$ à l'aide de la question 1.

Partie B — Un polynôme positif le reste.

Dans toute cette partie, $P\in \mathbb{R}[X]$ vérifie $P(x)⩾0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. On pose $T=\mathcal{S}(P)$ et l'on considère la fonction

$$g:x⟼e^{-x}T(x)\mathrm{.}$$

6. (0,5 pt) Démontrer que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $g^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^{-x}P(x)$. En déduire que $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.

7. (0,5 pt) Démontrer que $g(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

8. (0,5 pt) En déduire que $g(x)⩾0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, puis le résultat suivant : si un polynôme $P$ est positif sur $\mathbb{R}$, alors $\mathcal{S}(P)$ l'est aussi.

9. (0,5 pt) Améliorer le résultat : démontrer que si de plus $P\mathrm{\ne }0$, alors $\mathcal{S}(P)(x)>0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. On pourra supposer que $g$ s'annule en un point $x_0$ et regarder ce qui se passe sur $[x_0,+\mathrm{\infty }[$.

10. (0,25 pt) La réciproque du résultat de la question 8. est-elle vraie ? Autrement dit, si $\mathcal{S}(P)$ est positif sur $\mathbb{R}$, le polynôme $P$ l'est-il nécessairement ? Justifier.

Partie C — L'exponentielle tronquée.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose

$$E_n=\sum _{k=0}^n\frac{X^k}{k!}=1+X+\frac{X^2}{2}+\cdots +\frac{X^n}{n!}\mathrm{.}$$

11. (0,25 pt) Démontrer que $\mathcal{S}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{X^n}{n!}}\right)=E_n$.

12. (0,25 pt) En déduire que, si $n$ est pair, alors $E_n(x)>0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. Que peut-on dire des racines réelles de $E_n$ ?

13. (0,75 pt) On suppose maintenant $n$ impair. Démontrer que $E_n^{\mathrm{\prime }}=E_{n-1}$, puis que $E_n$ admet exactement une racine réelle. Pour l'existence, on citera le résultat du cours sur les polynômes réels de degré impair.

14. (0,25 pt) Localiser cette racine pour $n=3$ entre deux entiers consécutifs.