Exercices — Nombres réels et suites numériques

Pour chacune des parties suivantes de $\mathbb{R}$, dire si elle est majorée, minorée, bornée. Déterminer ensuite, lorsqu'elles existent, sa borne supérieure et sa borne inférieure, et préciser si elle admet un maximum et un minimum.

Chaque borne supérieure sera justifiée par les deux points de sa définition : c'est un majorant de la partie, et aucun réel strictement plus petit n'en est un. Même exigence pour les bornes inférieures.

1. Pour chacune des suites suivantes, dire si elle est majorée, minorée, bornée, monotone, stationnaire. Chaque réponse doit être justifiée : un encadrement ou un calcul pour une réponse positive, un contre-exemple explicite pour une réponse négative.

2. Écrire à l'aide de quantificateurs la proposition « la suite $(t_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est majorée », puis sa négation. Utiliser cette négation pour démontrer que la suite $(z_n)$ de la question 1. f. n'est pas majorée.

Déterminer la limite, lorsque $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, de la suite de terme général donné ci-dessous. On nommera à chaque fois le théorème utilisé, et on factorisera par le terme dominant chaque fois que c'est utile.

1. Dire si chacune des suites suivantes est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre. Préciser le premier terme et la raison le cas échéant.

2. La suite $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est arithmétique de raison $-4$ et vérifie $a_3=7$ ; la suite $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est géométrique de raison ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et vérifie $b_2=12$. Exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$, puis calculer $a_{20}$ et $b_6$.

3. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=0}^{20}(5k-3)}$ et ${\displaystyle \sum _{k=0}^{9}2\times 3^k}$.

4. Déterminer la limite de la suite de terme général $5q^n$ pour $q=\mathrm{0,8}$, puis $q=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, puis $q=1$, puis $q={\displaystyle \frac{3}{2}}$, puis $q=-2$.

5. Un capital de $12000$ € est placé au taux annuel de $3\mathrm{\%}$, les intérêts étant réinvestis chaque année. On note $C_n$ le capital, en euros, au bout de $n$ années.

5. a. Exprimer $C_n$ en fonction de $n$ et calculer $C_{10}$, arrondi à l'euro.

5. b. À partir de combien d'années le capital dépasse-t-il $20000$ € ? Quelle est la limite de $(C_n)$ ?

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes en écrivant d'abord un encadrement, puis en appliquant le théorème d'encadrement. On précisera à chaque fois quelles sont les deux suites qui encadrent, et quelle est leur limite commune.

1. $u_n={\displaystyle \frac{\cos n}{n}}$, pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

2. $v_n={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n^2+1}}$, pour $n\in \mathbb{N}$.

3. $w_n={\displaystyle \frac{n+\sin n}{n+1}}$, pour $n\in \mathbb{N}$.

4. $t_n={\displaystyle \frac{\lfloor n\sqrt{2}\rfloor }{n}}$, pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

5. ${\displaystyle S_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n^2+k}}$, pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. On montrera d'abord que ${\displaystyle \frac{n}{n^2+n}}⩽S_n⩽{\displaystyle \frac{n}{n^2+1}}$.

1. Soit $(u_n)$ une suite réelle bornée et $(v_n)$ une suite réelle de limite nulle. Démontrer, en revenant à la définition quantifiée de la limite, que la suite $(u_n{v}_n)$ converge vers $0$.

2. En appliquant ce résultat, déterminer la limite des suites suivantes. On précisera à chaque fois quel facteur est borné et quel facteur tend vers $0$.

3. On veut vérifier que l'hypothèse « $(u_n)$ bornée » ne peut pas être supprimée.

3. a. On pose $u_n=n$ et $v_n={\displaystyle \frac{1}{n}}$ pour $n⩾1$. Vérifier que $(v_n)$ tend vers $0$, que $(u_n)$ n'est pas bornée, et déterminer la limite de $(u_n{v}_n)$.

3. b. Même travail avec $u_n=n^2$ et $v_n={\displaystyle \frac{1}{n}}$.

3. c. Que peut-on en conclure ?

Étudier la monotonie de chacune des suites suivantes, en utilisant la technique indiquée. Lorsqu'une suite n'est pas monotone, on précisera à partir de quel rang elle le devient.

1. (signe de $u_{n+1}-u_n$) $a_n={\displaystyle \frac{2n-1}{n+1}}$, pour $n\in \mathbb{N}$.

2. (signe de $u_{n+1}-u_n$) $b_n=n^2-6n+1$, pour $n\in \mathbb{N}$.

3. (comparaison de ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$ à $1$) $c_n={\displaystyle \frac{n!}{n^n}}$ et $d_n={\displaystyle \frac{n}{2^n}}$, pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

4. (fonction associée) $e_n={\displaystyle \frac{n}{n^2+1}}$, pour $n\in \mathbb{N}$.

5. On pose $g_n=-2^n$ pour $n\in \mathbb{N}$. Calculer ${\displaystyle \frac{g_{n+1}}{g_n}}$ et le comparer à $1$. Peut-on en déduire que $(g_n)$ est croissante ? Étudier alors le signe de $g_{n+1}-g_n$ et conclure.

1. Étudier la convergence des suites complexes suivantes en séparant partie réelle et partie imaginaire, et donner la limite en cas de convergence.

2. Étudier la suite géométrique ${\left(z^n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ dans les trois cas suivants : a. $z={\displaystyle \frac{1+i}{2}}$ ; b. $z=1+i$ ; c. $z=i$.

3. On pose $z_n={\displaystyle \frac{2+i(-1{)}^{n}n}{n+1}}$ pour $n\in \mathbb{N}$.

3. a. Montrer que la suite $(z_n)$ est bornée.

3. b. La suite $(z_n)$ converge-t-elle ?

3. c. Que penser des deux phrases suivantes : « la suite $(z_n)$ est croissante » et « la suite $(z_n)$ est majorée par $2$ » ?

1. Soit $X$ une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$, et soit $M\in \mathbb{R}$.

   a. Démontrer que $M=\sup X$ si et seulement si les deux conditions suivantes sont réunies :

   $$\text{(i)}\mathrm{\forall }a\in X,a⩽M\text{et}\text{(ii)}\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }a\in X,a>M-\epsilon$$

   b. Énoncer, sans démonstration, la caractérisation analogue de la borne inférieure.

2. Déterminer la borne supérieure des ensembles suivants en utilisant la caractérisation, et préciser à chaque fois s'il s'agit d'un maximum.

   a. $A=\{1-{\displaystyle \frac{1}{n}};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$

   b. $B=\{{\displaystyle \frac{2n+1}{n+2}};n\in \mathbb{N}\}$

   c. $C=\{x\in \mathbb{Q};x>0\text{ et }{x}^2<2\}$. On rappelle que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

3. Soient $E$ et $F$ deux parties non vides et majorées de $\mathbb{R}$ telles que $E\subset F$. Démontrer que $\sup E⩽\sup F$. Cette inégalité peut-elle être une égalité alors que $E\mathrm{\ne }F$ ?

Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et bornées de $\mathbb{R}$. Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, on pose

1. Justifier que $\sup A$, $\sup B$, $\inf A$ et $\inf B$ existent.
2. Démontrer que $\sup (A\cup B)=\max (\sup A,\sup B)$.
3. Démontrer que $\sup (A+B)=\sup A+\sup B$.
4. Démontrer que $\sup (-A)=-\inf A$.
5. Soit $\lambda >0$. Démontrer que $\sup (\lambda A)=\lambda \sup A$. Qu'obtient-on pour $\lambda <0$ ? Pour $\lambda =0$ ?
6. Donner un contre-exemple montrant que $\sup (AB)$ n'est pas toujours égal à $\sup A\times \sup B$.

Déterminer la limite des suites suivantes, définies pour $n⩾2$. Pour chacune, préciser d'abord la forme indéterminée rencontrée, puis nommer la technique employée pour la lever.

Pour g., on pourra encadrer $n\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})$ en utilisant deux fois l'inégalité $\ln (1+x)⩽x$, valable pour tout $x>-1$.

Dans tout l'exercice, on revient à la définition quantifiée de la limite, écrite ici avec des inégalités strictes (variante équivalente à celle du cours, qui les énonce avec des inégalités larges) :

1. Soit $u_n={\displaystyle \frac{2n+1}{n+3}}$ pour $n\in \mathbb{N}$. Démontrer, en revenant à la définition, que $(u_n)$ converge vers $2$, en explicitant un rang $N$ convenable en fonction de $\epsilon$.

2. Soit $v_n=n^2-3n$. Démontrer, en revenant à la définition, que $v_n⟶+\mathrm{\infty }$, en explicitant un rang $N$ convenable en fonction de $A$.

3. a. Écrire la négation de « $(u_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$ », puis celle de « $(u_n)$ converge ».

   b. En déduire, par un raisonnement par l'absurde utilisant $\epsilon =1$, que la suite $((-1{)}^n)$ ne converge pas.

4. Démontrer l'unicité de la limite : si $(u_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$ et vers ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$, alors $\mathrm{\ell }={\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$.

On rappelle le théorème de la limite monotone : une suite croissante et majorée converge ; une suite croissante et non majorée tend vers $+\mathrm{\infty }$ (énoncés analogues pour une suite décroissante).

1. Pour $n⩾1$, on pose $S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}}$.

   a. Montrer que $(S_n)$ est croissante.

   b. Montrer que ${\displaystyle \frac{1}{k^2}}⩽{\displaystyle \frac{1}{k-1}}-{\displaystyle \frac{1}{k}}$ pour tout entier $k⩾2$, puis que $S_n⩽2-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ pour tout $n⩾1$.

   c. Conclure. La méthode fournit-elle la valeur de la limite ?

2. Pour $n⩾1$, on pose $u_n={\displaystyle \prod _{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}}$ et $v_n={\displaystyle \prod _{k=1}^n\frac{2k}{2k+1}}$.

   a. Montrer que $(u_n)$ est décroissante et minorée. Que peut-on en conclure ?

   b. Calculer le produit $u_n{v}_n$.

   c. Comparer $u_n$ et $v_n$, en déduire un majorant de $u_n$, puis la limite de $(u_n)$.

3. Pour $n⩾1$, on pose $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$.

   a. Montrer que $(H_n)$ est croissante.

   b. Montrer par récurrence que $H_{2^p}⩾1+{\displaystyle \frac{p}{2}}$ pour tout $p\in \mathbb{N}$.

   c. En déduire la limite de $(H_n)$.

1. Soient $a\in \mathbb{R}\setminus \{1\}$, $b\in \mathbb{R}$ et $u_0\in \mathbb{R}$. On considère la suite définie par $u_{n+1}=a{u}_n+b$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

   a. Montrer qu'il existe un unique réel $r$ tel que $r=ar+b$, et le calculer.

   b. Montrer que la suite $(u_n-r)$ est géométrique de raison $a$, puis en déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

   c. Discuter la limite de $(u_n)$ selon les valeurs de $a$ et de $u_0$.

2. Appliquer la méthode aux trois suites suivantes : terme général, puis limite.

   a. $u_0=5$ et $u_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{u}_n+4$

   b. $u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n-4$

   c. $u_0=0$ et $u_{n+1}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_n+3$

3. Un patient prend chaque matin $20$ mg d'un médicament. En vingt-quatre heures, son organisme élimine $20\mathrm{\%}$ de la quantité présente dans le sang. On note $q_n$ la quantité (en mg) présente juste après la prise du $(n+1)$-ième matin, de sorte que $q_0=20$.

   a. Justifier que $q_{n+1}=\mathrm{0,8}{q}_n+20$, puis exprimer $q_n$ en fonction de $n$.

   b. Déterminer la limite de $(q_n)$ et l'interpréter.

   c. À partir de quelle prise la quantité présente dépasse-t-elle $90$ mg ?

On rappelle le théorème du cours. Soient $a,b$ deux réels avec $b\mathrm{\ne }0$, et $(u_n)$ une suite réelle vérifiant $u_{n+2}=a{u}_{n+1}+b{u}_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. On appelle équation caractéristique l'équation $r^2=ar+b$ d'inconnue $r$.

• Deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ : il existe $(\lambda ,\mu )\in {\mathbb{R}}^2$ tel que $u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$.
• Une racine double $r_0$ : il existe $(\lambda ,\mu )\in {\mathbb{R}}^2$ tel que $u_n=(\lambda +\mu n)r_0^n$.
• Deux racines complexes conjuguées $\rho e^{i\theta }$ et $\rho e^{-i\theta }$ : il existe $(A,B)\in {\mathbb{R}}^2$ tel que $u_n={\rho }^n(A\cos (n\theta )+B\sin (n\theta ))$.

Pour chacune des suites suivantes, déterminer le terme général, vérifier le résultat sur les premiers termes, puis étudier le comportement de $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

1. $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$, avec $u_0=1$ et $u_1=0$.
2. $u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_n$, avec $u_0=1$ et $u_1=6$.
3. $u_{n+2}=2u_{n+1}-4u_n$, avec $u_0=1$ et $u_1=2$.
4. $u_{n+2}=u_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{4}}{u}_n$, avec $u_0=1$ et $u_1=1$. Démontrer ensuite le résultat général : si toutes les racines de l'équation caractéristique sont de module strictement inférieur à $1$, alors toute suite solution tend vers $0$.

On rappelle qu'une suite extraite de $(u_n)$ est une suite de la forme $\left(u_{\phi (n)}\right)$, où $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ est strictement croissante.

1. a. Démontrer par récurrence que toute application $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ strictement croissante vérifie $\phi (n)⩾n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

   b. En déduire que si $(u_n)$ tend vers $\mathrm{\ell }$, alors toute suite extraite de $(u_n)$ tend vers $\mathrm{\ell }$.

   c. Énoncer le critère de divergence qui s'en déduit.

2. Démontrer que les suites suivantes n'ont pas de limite.

   a. $u_n=(-1{)}^n$

   b. $u_n=\cos \left({\displaystyle \frac{n\pi }{3}}\right)$

   c. $u_n=(-1{)}^n{\displaystyle \frac{n}{n+1}}$

   d. $u_n={\displaystyle \frac{1}{n}}$ si $n$ est pair, $u_n={\displaystyle \frac{n}{n+1}}$ si $n$ est impair (pour $n⩾1$)

3. Donner un exemple de suite non convergente dont une suite extraite converge. Pourquoi cela ne contredit-il pas la question 1. b. ? Quelle condition manque-t-il à une famille de suites extraites pour qu'elle permette, au contraire, de conclure à la convergence de $(u_n)$ ?

Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle. On note $(u_{2n})$ la suite de ses termes d'indice pair et $(u_{2n+1})$ celle de ses termes d'indice impair.

1. On suppose que $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent toutes les deux vers un même réel $\mathrm{\ell }$. Démontrer, en revenant à la définition quantifiée de la limite, que $(u_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$.

2. Donner l'exemple d'une suite divergente dont les deux suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent. Quelle hypothèse de la question 1. est ainsi mise en défaut ?

3. Étudier la convergence des deux suites suivantes.

a. $u_n=1+{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n}}$, pour $n⩾1$.

b. La suite $(v_n{)}_{n⩾1}$ définie par $v_n={\displaystyle \frac{n+2}{n+1}}$ si $n$ est pair, et $v_n={\displaystyle \frac{n^2}{n^2+1}}$ si $n$ est impair.

4. Énoncer et démontrer le critère analogue portant sur les trois suites $(u_{3n})$, $(u_{3n+1})$ et $(u_{3n+2})$, puis l'appliquer à la suite de terme général $w_n=\cos \left({\displaystyle \frac{2n\pi }{3}}\right)$.

1. Rappeler la définition de deux suites adjacentes, puis démontrer le théorème des suites adjacentes : si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes, elles convergent vers une même limite $\mathrm{\ell }$, et pour tout entier $n$, $u_n⩽\mathrm{\ell }⩽v_n$.

2. Pour $n⩾1$, on pose $u_n=1-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ et $v_n=1+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}$. Vérifier les trois conditions et donner la limite commune.

3. Pour $n⩾1$, on pose $u_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}}$ et $v_n=u_n+{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$.

a. Montrer que $(u_n)$ est croissante.

b. Calculer $v_{n+1}-v_n$. Que constate-t-on ?

c. Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

d. Calculer $u_n$ par télescopage, en déduire la limite commune, et expliquer le résultat de la question b.

4. Les deux couples suivants vérifient $b_n-a_n⟶0$. Montrer qu'aucun n'est formé de suites adjacentes et qu'aucune des quatre suites ne converge.

a. $a_n=(-1{)}^n$ et $b_n=(-1{)}^n+{\displaystyle \frac{1}{n}}$, pour $n⩾1$.

b. $a_n=n$ et $b_n=n+{\displaystyle \frac{1}{n}}$, pour $n⩾1$.

Quel rôle joue exactement l'hypothèse de monotonie ?

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$. On note $f$ la fonction définie sur $[-2,+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)=\sqrt{x+2}$, de sorte que $u_{n+1}=f(u_n)$.

1. Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$, puis une valeur approchée de $u_3$. Que peut-on conjecturer ?

2. Montrer que $f$ est croissante sur $[-2,+\mathrm{\infty }[$, que l'intervalle $[0,2]$ est stable par $f$, et en déduire que $u_n\in [0,2]$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

3. Étudier le signe de $f(x)-x$ et en déduire le sens de variation de $(u_n)$.

4. Démontrer que $(u_n)$ converge, puis déterminer sa limite.

5. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0⩽2-u_{n+1}⩽{\displaystyle \frac{2-u_n}{2}}$, puis que $0⩽2-u_n⩽2^{1-n}$. En déduire un rang à partir duquel $u_n$ approche sa limite à ${10}^{-3}$ près.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+2}{3}}$. Pour un réel $u_0⩾0$ donné, on considère la suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Montrer que $f$ est croissante sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et que cet intervalle est stable par $f$. Que peut-on en déduire sur la suite ?

2. Déterminer les points fixes de $f$, puis dresser le tableau de signes de $f(x)-x$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

3. Démontrer le théorème suivant : si $I$ est un intervalle stable par $f$, si $u_0\in I$ et si $f$ est croissante sur $I$, alors $(u_n)$ est monotone ; elle est croissante si $u_1⩾u_0$, décroissante si $u_1⩽u_0$.

4. Étudier la monotonie, la convergence et la limite éventuelle de $(u_n)$ dans chacun des cas suivants.

5. Illustrer par le calcul des trois premiers termes dans les cas $u_0=0$ et $u_0=3$.

1. Soit $A$ une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$, et soit $M=\sup A$. Démontrer qu'il existe une suite $(a_n)$ d'éléments de $A$ qui converge vers $M$. On pourra remarquer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, le réel $M-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ n'est pas un majorant de $A$.

2. Réciproquement, soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$ et $M$ un majorant de $A$. On suppose qu'il existe une suite $(a_n)$ d'éléments de $A$ qui converge vers $M$. Démontrer que $M=\sup A$.

3. On pose $A=\{{\displaystyle \frac{n-m}{n+m}};(n,m)\in {\left({\mathbb{N}}^{\ast }\right)}^2\}$.

a. Déterminer $\sup A$. La partie $A$ admet-elle un maximum ?

b. Déterminer $\inf A$.

4. Soit $A$ une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ telle que $\sup A\mathrm{\notin }A$. Démontrer que $A$ est infinie.

On dit qu'une partie $X$ de $\mathbb{R}$ est convexe lorsque, pour tous $a,b\in X$ tels que $a⩽b$, on a $[a,b]\subset X$.

1. Démontrer qu'une partie de $\mathbb{R}$ est un intervalle si et seulement si elle est convexe.

Pour la réciproque, on supposera $X$ non vide, on posera $m=\inf X$ si $X$ est minorée et $M=\sup X$ si $X$ est majorée, et on montrera que tout réel strictement compris entre ces deux bornes appartient à $X$.

2. Soient $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb{R}$. Démontrer les résultats suivants.

a. $I\cap J$ est un intervalle.

b. Si $I\cap J\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$, alors $I\cup J$ est un intervalle.

c. Donner un contre-exemple montrant que le résultat b. tombe en défaut sans l'hypothèse $I\cap J\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$.

3. Soient $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb{R}$. Montrer que l'ensemble $I+J=\{a+b;a\in I,b\in J\}$ est un intervalle, puis déterminer $[0,1]+]2,3[$.

Pour tout entier $n⩾1$, on pose :

Aucune de ces sommes ne se calcule en forme close. On les étudiera en encadrant chacun de leurs termes par le plus petit et le plus grand d'entre eux, puis en sommant.

1. Démontrer que ${\displaystyle \frac{1}{2}}⩽S_n⩽{\displaystyle \frac{n}{n+1}}$. Cet encadrement suffit-il à déterminer la limite de $(S_n)$ ? Démontrer néanmoins que $(S_n)$ converge et encadrer sa limite.

2. Déterminer la limite de $(T_n)$.

3. Déterminer la limite de $(U_n)$.

4. Déterminer la limite de $(V_n)$.

5. Expliquer pourquoi la méthode aboutit aux questions 2., 3. et 4., mais échoue à la question 1.

Soit $a>0$. On considère la suite $(u_n)$ définie par un premier terme $u_0>0$ et la relation

1. Montrer que la suite est bien définie et que $u_n>0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

2. Établir l'identité $u_{n+1}-\sqrt{a}={\displaystyle \frac{{(u_n-\sqrt{a})}^2}{2u_n}}$, et en déduire que $u_n⩾\sqrt{a}$ pour tout $n⩾1$.

3. Montrer que la suite $(u_n{)}_{n⩾1}$ est décroissante.

4. En déduire qu'elle converge et déterminer sa limite.

5. On pose $e_n={\displaystyle \frac{u_n-\sqrt{a}}{2\sqrt{a}}}$ pour $n⩾1$. Montrer que $e_{n+1}⩽e_n^2$, puis que $e_n⩽e_1^{2^{n-1}}$ pour tout $n⩾1$.

6. Application numérique : $a=2$ et $u_0=2$. Donner les valeurs exactes de $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ sous forme de fractions, majorer l'erreur commise à chaque rang, et interpréter.

On définit la suite de Fibonacci par $F_0=0$, $F_1=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$.

1. Calculer $F_2,F_3,\dots ,F_{10}$. Démontrer que $F_n⩾1$ pour tout $n⩾1$.

2. Résoudre l'équation caractéristique associée à la relation de récurrence. On note $\phi$ la racine positive (le nombre d'or) et $\psi$ l'autre racine. Démontrer la formule de Binet :

3. Démontrer que $\mid F_n-{\displaystyle \frac{{\phi }^n}{\sqrt{5}}}\mid <{\displaystyle \frac{1}{2}}$, et en déduire que $F_n$ est l'entier le plus proche de ${\displaystyle \frac{{\phi }^n}{\sqrt{5}}}$. Vérifier pour $n=10$.

4. Démontrer que ${\displaystyle \frac{F_{n+1}}{F_n}}⟶\phi$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$.

5. Démontrer par récurrence que $F_{n+1}{F}_{n-1}-F_n^2=(-1{)}^n$ pour tout $n⩾1$. En déduire une expression de ${\displaystyle \frac{F_{n+1}}{F_n}}-{\displaystyle \frac{F_n}{F_{n-1}}}$ et commenter.

Pour tout entier $n⩾1$, on pose

On utilisera librement l'inégalité $\ln (1+x)⩽x$, valable pour tout réel $x>-1$.

1. En appliquant cette inégalité à deux valeurs de $x$ bien choisies, démontrer que pour tout entier $n⩾1$,

2. En déduire que $(u_n)$ est décroissante et que $(v_n)$ est croissante.

3. Calculer $u_n-v_n$, déterminer sa limite, et conclure que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. On note $\gamma$ leur limite commune : c'est la constante d'Euler.

4. Donner l'encadrement de $\gamma$ fourni par $v_4$ et $u_4$. Combien de termes faudrait-il calculer pour obtenir, par cette méthode, un encadrement d'amplitude inférieure à ${10}^{-2}$ ?

5. Démontrer que . Établir de plus que $H_n⩽\ln (n)+1$ pour tout $n⩾1$, et en déduire une minoration du nombre de termes nécessaires pour que $H_n$ atteigne $10$.

Soit $x$ un réel fixé. Pour tout entier naturel $n$, on pose

Un réel est dit décimal s'il s'écrit ${\displaystyle \frac{a}{{10}^m}}$ avec $a\in \mathbb{Z}$ et $m\in \mathbb{N}$.

1. Démontrer que $p_n⩽x<q_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. On dit que $p_n$ est la valeur approchée décimale de $x$ par défaut à ${10}^{-n}$ près.

2. a. Démontrer que $10a_n⩽a_{n+1}$, et en déduire que $(p_n)$ est croissante.

   b. Démontrer que $a_{n+1}⩽10a_n+9$, et en déduire que $(q_n)$ est décroissante.

3. Démontrer que $(p_n)$ et $(q_n)$ sont adjacentes, et que leur limite commune est $x$.

4. En déduire que tout réel est la limite d'une suite de nombres rationnels.

5. Déterminer $p_0$, $p_1$, $p_2$ et $p_3$ pour $x=\sqrt{2}$, en justifiant la valeur de $p_3$ par un calcul exact.

6. Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $x<y$. Démontrer qu'il existe un nombre décimal $d$ tel que $x<d<y$.

Soit $(u_n{)}_{n⩾1}$ une suite réelle. On lui associe la suite de ses moyennes, dite suite des moyennes de Cesàro :

1. On suppose que $(u_n)$ converge vers un réel $\mathrm{\ell }$. Démontrer que $(C_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$. Indication : soit $\epsilon >0$ ; fixer un rang $N$ à partir duquel $\mid u_k-\mathrm{\ell }\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$, puis couper la somme en deux paquets.

2. La réciproque est-elle vraie ? On étudiera le cas $u_n=(-1{)}^n$.

3. Adapter la démonstration de la question 1 au cas où .

4. Soit $(w_n{)}_{n⩾0}$ une suite réelle telle que , avec $\mathrm{\ell }\in \mathbb{R}$. Démontrer que .

5. a. Application : la suite $(w_n)$ est définie par $w_0=2$ et $w_{n+1}=w_n+{\displaystyle \frac{5n+3}{n+2}}$. Déterminer la limite de ${\displaystyle \frac{w_n}{n}}$ et calculer ${\displaystyle \frac{w_5}{5}}$.

   b. Retrouver de deux façons que , où $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)={\displaystyle \frac{6}{1+x}}$, et soit $(u_n)$ la suite définie par

1. Calculer $u_1,u_2,u_3,u_4,u_5$ sous forme de fractions irréductibles. Que peut-on conjecturer sur les termes de rang pair et sur ceux de rang impair ?

2. Démontrer que l'intervalle $I=[1,3]$ est stable par $f$, puis que $u_n\in I$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

3. a. Déterminer le sens de variation de $f$ sur $I$.

   b. Calculer $g(x)$, où $g=f\circ f$, et justifier que $g$ est croissante sur $I$.

4. Démontrer que $\left(u_{2n}\right)$ est croissante et que $\left(u_{2n+1}\right)$ est décroissante.

5. Démontrer que ces deux suites convergent, puis, en résolvant l'équation $g(x)=x$ sur $I$, qu'elles ont la même limite.

6. Conclure quant à la convergence de $(u_n)$.

7. Démontrer que $u_{2n}⩽2⩽u_{2n+1}$ pour tout $n$, et donner l'encadrement de la limite fourni par $u_4$ et $u_5$.

On pose $a={\displaystyle \frac{1+i}{2}}$ et $b=1$, et l'on considère la suite complexe $(z_n)$ définie par

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct, et l'on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

1. Calculer $z_1$, $z_2$ et $z_3$ sous forme algébrique.

2. Démontrer qu'il existe un unique complexe $\omega$ vérifiant $\omega =a\omega +b$, et le déterminer.

3. Démontrer que la suite $(z_n-\omega )$ est géométrique de raison $a$, et en déduire l'expression de $z_n$ en fonction de $n$.

4. Déterminer le module et un argument de $a$. Interpréter géométriquement la transformation $z\mapsto az+b$, et décrire la position des points $M_n$.

5. Calculer $\mid z_n-\omega \mid$ et démontrer que $(z_n)$ converge vers $\omega$.

6. Expliciter $\mathrm{Re}\left(z_n\right)$ et $\mathrm{Im}\left(z_n\right)$, et retrouver leurs limites.

7. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\mid z_n-\omega \mid <{10}^{-3}$.

Soit $I$ un intervalle fermé de $\mathbb{R}$ et soit $f$ une fonction définie sur $I$ telle que $f(I)\subset I$. On suppose qu'il existe $\mathrm{\ell }\in I$ et $k\in ]0,1[$ tels que

Soit enfin $u_0\in I$ et $(u_n)$ la suite définie par $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

1. a. Justifier que $u_n\in I$ pour tout $n$, puis démontrer par récurrence que $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽k^n\mid u_0-\mathrm{\ell }\mid$. En déduire que $(u_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$.

   b. Démontrer que $\mathrm{\ell }$ est le seul point fixe de $f$ dans $I$.

2. On prend $I=[1,2]$, $f(x)={\displaystyle \frac{x+3}{x+1}}$ et $u_0=1$.

   a. Démontrer que $f(I)\subset I$ et que $\sqrt{3}$ est l'unique point fixe de $f$ dans $I$.

   b. On admet l'inégalité des accroissements finis, qui sera démontrée au chapitre suivant : si $\mid f^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽k$ sur $I$, alors $\mid f(x)-f(y)\mid ⩽k\mid x-y\mid$ pour tous $x,y\in I$. En déduire l'hypothèse de la question 1 avec $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$, puis la limite de $(u_n)$.

3. Combien d'itérations suffisent pour garantir $\mid u_n-\sqrt{3}\mid ⩽{10}^{-6}$ ? Comparer à l'erreur réellement commise au rang $6$, sachant que $u_6={\displaystyle \frac{71}{41}}$.

4. Démontrer que la conclusion de la question 1 peut tomber en défaut lorsque $k=1$, en étudiant $f(x)=-x$ sur $I=[-1,1]$ avec $u_0=1$.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0<b<a$. On définit deux suites par

1. Démontrer que les deux suites sont bien définies et que tous leurs termes sont strictement positifs.

2. Démontrer l'inégalité arithmético-géométrique : pour tous réels $x,y⩾0$, $\sqrt{xy}⩽{\displaystyle \frac{x+y}{2}}$, avec égalité si et seulement si $x=y$. En déduire que $v_n<u_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

3. Démontrer que $(u_n)$ est décroissante et que $(v_n)$ est croissante.

4. Démontrer que $0⩽u_{n+1}-v_{n+1}⩽{\displaystyle \frac{u_n-v_n}{2}}$, puis que $0⩽u_n-v_n⩽{\displaystyle \frac{a-b}{2^n}}$.

5. En déduire que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers une même limite, notée $M(a,b)$ et appelée moyenne arithmético-géométrique de $a$ et $b$. Encadrer $M(a,b)$.

6. Calculer les termes des deux suites jusqu'au rang $3$ pour $a=2$ et $b=1$. Que constate-t-on ?

7. Démontrer que $M(ta,tb)=tM(a,b)$ pour tout réel $t>0$.

Pour tout entier naturel $n$, on pose

On rappelle que $0!=1$.

1. Démontrer que $(u_n)$ est strictement croissante.

2. Démontrer que pour tout $n⩾1$, $v_{n+1}-v_n=-{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+1)!}}$, et en déduire le sens de variation de $(v_n)$.

3. Démontrer que , puis que les suites ${\left(u_n\right)}_{n⩾1}$ et ${\left(v_n\right)}_{n⩾1}$ sont adjacentes. On note $L$ leur limite commune ; on admet que $L=e$.

4. Démontrer que $u_n<L<v_n$ pour tout $n⩾1$, avec des inégalités strictes. En déduire un encadrement de $e$ par deux rationnels en prenant $n=5$.

5. On raisonne par l'absurde : on suppose que $L$ est rationnel, et on l'écrit $L={\displaystyle \frac{p}{q}}$ avec $p$ et $q$ entiers strictement positifs.

   a. Démontrer que $q!u_q$ et $q!L$ sont des entiers.

   b. Multiplier par $q!$ l'encadrement de la question 4 écrit au rang $n=q$, et conclure.

Pour tout entier $n⩾1$, on note $f_n$ la fonction définie sur $[0,1]$ par

1. Démontrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $x_n$ dans $[0,1]$, et que l'on a en fait $0<x_n<1$.

2. Déterminer les valeurs exactes de $x_1$ et $x_2$.

3. Calculer $f_{n+1}\left(x_n\right)$ et en déduire que la suite $\left(x_n\right)$ est strictement croissante.

4. En déduire que $\left(x_n\right)$ converge. On note $\mathrm{\ell }$ sa limite ; démontrer que ${\displaystyle \frac{1}{2}}⩽\mathrm{\ell }⩽1$.

5. Démontrer par l'absurde que $\mathrm{\ell }=1$.

6. Démontrer que , et donner un encadrement de $x_3$ d'amplitude ${10}^{-2}$.