Devoir surveillé — Nombres réels et suites numériques

Dans tout l'exercice, on utilisera la caractérisation de la borne supérieure : si $A$ est une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$, alors $M=\sup A$ si et seulement si $M$ est un majorant de $A$ et, pour tout $\epsilon >0$, il existe $a\in A$ tel que $a>M-\epsilon$. On dispose de la caractérisation analogue pour la borne inférieure.

1. On pose $A=\{(-1{)}^n+{\displaystyle \frac{1}{n}}:n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$. Déterminer $\sup A$ et $\inf A$, et préciser dans chaque cas si la borne est atteinte.

2. On pose $B=\{{\displaystyle \frac{1}{p}}-{\displaystyle \frac{1}{q}}:(p,q)\in {\left({\mathbb{N}}^{\ast }\right)}^2\}$. Déterminer $\sup B$ et $\inf B$, et préciser si ces bornes sont atteintes.

3. On pose $C=\{x+{\displaystyle \frac{1}{x}}:x\in ]0,+\mathrm{\infty }[\}$. Démontrer que $C$ admet un plus petit élément que l'on déterminera, puis démontrer que $C$ n'admet pas de borne supérieure dans $\mathbb{R}$.

4. Dans cette question, $X$ et $Y$ désignent deux parties non vides et majorées de $\mathbb{R}$, sans rapport avec les ensembles précédents. On pose

$$X+Y=\{x+y:x\in X,y\in Y\},XY=\{xy:x\in X,y\in Y\}\mathrm{.}$$

a. Démontrer que $X+Y$ est non vide et majorée, puis que $\sup (X+Y)=\sup X+\sup Y$.

b. Donner un exemple de deux parties $X$ et $Y$ non vides, majorées, pour lesquelles $XY$ est majorée mais $\sup (XY)\mathrm{\ne }\sup X\times \sup Y$. Que peut-on en conclure sur la « règle » analogue à celle de la question a pour le produit ?

Barème : 1. 0,75 pt — 2. 0,75 pt — 3. 0,5 pt — 4.a 1,25 pt — 4.b 0,75 pt.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0,2]$ par

$$f(x)=\frac{2x+3}{x+2},$$

et la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_0=0$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

1. Vérifier que, pour tout $x\in [0,2]$, $f(x)=2-{\displaystyle \frac{1}{x+2}}$. En déduire que $f$ est strictement croissante sur $[0,2]$, puis que $f([0,2])\subset [0,2]$. Démontrer que la suite $(u_n)$ est bien définie et que $u_n\in [0,2]$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

2. Étudier le signe de $f(x)-x$ sur $[0,2]$. En déduire, par récurrence et en utilisant la croissance de $f$, que la suite $(u_n)$ est croissante.

3. Démontrer que $(u_n)$ converge, puis que sa limite vaut $\sqrt{3}$.

4. Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$\mid u_{n+1}-\sqrt{3}\mid =\frac{\mid u_n-\sqrt{3}\mid }{(u_n+2)(2+\sqrt{3})}⩽\frac{1}{7}\mid u_n-\sqrt{3}\mid ,$$

puis que $\mid u_n-\sqrt{3}\mid ⩽{\displaystyle \frac{2}{7^n}}$. Déterminer un entier $n$ pour lequel $u_n$ est une valeur approchée de $\sqrt{3}$ à ${10}^{-6}$ près.

5. On pose, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_n={\displaystyle \frac{u_n-\sqrt{3}}{u_n+\sqrt{3}}}$. a. Justifier que $(v_n)$ est bien définie, puis démontrer qu'elle est géométrique de raison $q=7-4\sqrt{3}$. En déduire une expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$. b. Retrouver la limite de $(u_n)$ à partir de cette expression, et comparer la raison $q$ à la constante ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ obtenue à la question 4. Commenter.

Barème : 1. 0,75 pt — 2. 0,75 pt — 3. 0,75 pt — 4. 1 pt — 5.a 1 pt — 5.b 0,75 pt.

Partie A — Une récurrence linéaire d'ordre 2.

On considère la suite réelle $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par

$$u_0=1,u_1=1,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_{n+2}=u_{n+1}-u_n\mathrm{.}$$

1. Écrire l'équation caractéristique associée, la résoudre dans $\mathbb{C}$, et donner les deux racines sous forme exponentielle.

2. En déduire qu'il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $u_n=\lambda \cos {\displaystyle \frac{n\pi }{3}}+\mu \sin {\displaystyle \frac{n\pi }{3}}$ pour tout $n$, puis déterminer $\lambda$ et $\mu$. Écrire enfin $u_n$ sous la forme $R\cos ({\displaystyle \frac{n\pi }{3}}-\phi )$ avec $R>0$.

3. Démontrer que la suite $(u_n)$ est périodique de période $6$, et donner la liste des valeurs $u_0,u_1,\dots ,u_5$.

4. À l'aide de deux suites extraites bien choisies, démontrer que $(u_n)$ diverge. La suite $(u_n)$ est-elle bornée ?

Partie B — Une suite complexe.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. On définit la suite complexe $(z_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ par

$$z_0=0,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},z_{n+1}=\frac{1+i}{2}{z}_n+1,$$

et l'on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

5. Déterminer l'unique complexe $\mathrm{\ell }$ tel que $\mathrm{\ell }={\displaystyle \frac{1+i}{2}}\mathrm{\ell }+1$. Démontrer que la suite $(z_n-\mathrm{\ell })$ est géométrique, et en déduire une expression de $z_n$ en fonction de $n$.

6. Démontrer que $\mid z_n-\mathrm{\ell }\mid =\sqrt{2}{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)}^n$, puis que $(z_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$. Donner les expressions de $\mathrm{Re}(z_n)$ et de $\mathrm{Im}(z_n)$ en fonction de $n$.

7. On note $\mathrm{\Omega }$ le point d'affixe $\mathrm{\ell }$. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\mathrm{\Omega }{M}_n⩽{10}^{-2}$. On pourra raisonner sur $\mathrm{\Omega }{M}_n^2$.

8. Justifier que l'application $z\mapsto {\displaystyle \frac{1+i}{2}}z+1$ est la similitude directe de centre $\mathrm{\Omega }$, de rapport ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ et d'angle ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$. En déduire, en calculant le quotient ${\displaystyle \frac{\mathrm{\ell }-z_{n+1}}{z_n-z_{n+1}}}$, que le triangle $\mathrm{\Omega }{M}_n{M}_{n+1}$ est rectangle en $M_{n+1}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Barème : 1. 0,75 pt — 2. 0,75 pt — 3. 0,5 pt — 4. 0,5 pt — 5. 0,75 pt — 6. 0,75 pt — 7. 0,5 pt — 8. 0,5 pt.