Exercices — Matrices et déterminants

On note $e=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$ et $b=(1,X,X^2)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}_2[X]$.

1. Écrire les colonnes ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_e(u)$ et ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_e(v)$ des vecteurs $u=(2,-1,3)$ et $v=(0,5,-4)$, puis la colonne ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_b(P)$ du polynôme $P=3-2X+X^2$.

2. Écrire la matrice ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_e(u_1,u_2,u_3)$ de la famille définie par $u_1=(1,0,-1)$, $u_2=(2,1,0)$ et $u_3=(0,3,4)$.

3. Dans ${\mathbb{R}}^2$, on pose $e_1^{\mathrm{\prime }}=(1,1)$, $e_2^{\mathrm{\prime }}=(1,-1)$ et $e^{\mathrm{\prime }}=(e_1^{\mathrm{\prime }},e_2^{\mathrm{\prime }})$. Vérifier que $e^{\mathrm{\prime }}$ est une base de ${\mathbb{R}}^2$, puis déterminer ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e^{\mathrm{\prime }}}(w)$ pour $w=(5,1)$.

On munit ${\mathbb{R}}^2$ de sa base canonique $c_2=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)$ et ${\mathbb{R}}^3$ de sa base canonique $c_3=(e_1,e_2,e_3)$.

1. Soit $u:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ définie par $u(x,y,z)=(x+2y-z,3x-y)$. Écrire ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{c_3,c_2}(u)$.

2. Soit $v:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ définie par $v(x,y)=(2x-3y,x+y)$. Écrire ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{c_2}(v)$.

3. Soit $C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\\ 0& 3\end{array}\right)$. Préciser les espaces de départ et d'arrivée de l'application linéaire $w$ canoniquement associée à $C$, puis donner son expression.

Soit $u$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans la base canonique $e$ est

1. Déterminer $u(x)$ pour chacun des vecteurs suivants.

2. Soit $\phi$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}_2[X]$ de matrice $M=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ dans la base $b=(1,X,X^2)$. Déterminer $\phi (P)$ pour $P=2-3X+5X^2$.

On considère la matrice

1. Résoudre le système homogène $AX=0$ et en déduire une base de $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)$.

2. Déterminer une base de $\mathrm{I}\mathrm{m}(A)$, puis $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$.

3. Vérifier le théorème du rang pour l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ canoniquement associé à $A$.

Calculer le rang de chacune des matrices suivantes à l'aide d'opérations élémentaires sur les lignes, puis dire si la matrice carrée est inversible.

Calculer les déterminants suivants.

1. Calculer $\det T$ où $T=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& 5\\ 0& -1& 4\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$.

2. Calculer $\det B$ où $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 4\\ 2& 0& -1\\ 3& 0& 7\end{array}\right)$.

3. Calculer $\det C$ où $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& -2& 5\\ 4& 8& 0\end{array}\right)$.

4. Soit $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ telle que $\det A=5$. Calculer $\det (2A)$.

5. Justifier que cette matrice $A$ est inversible, puis calculer $\det (A^{-1})$ et $\det (A^3)$.

Chaque réponse sera justifiée par la propriété du cours utilisée.

Dans ${\mathbb{R}}^3$ muni de sa base canonique $e=(e_1,e_2,e_3)$, on pose

1. Montrer que $e^{\mathrm{\prime }}$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$, puis écrire la matrice de passage $P=P_{e\to e^{\mathrm{\prime }}}$.

2. Calculer $P^{-1}$ par la méthode du pivot.

3. Déterminer les coordonnées du vecteur $x=(1,2,3)$ dans la base $e^{\mathrm{\prime }}$.

On note $e=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$ et $f=(f_1,f_2)$ celle de ${\mathbb{R}}^2$. On considère les applications linéaires

1. Écrire $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,f}(u)$ et $B={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_f(v)$, puis calculer les coordonnées de $u(1,2,-1)$ à l'aide de $A$.

2. En déduire ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,f}(v\circ u)$ par un produit matriciel.

3. Retrouver ce résultat en calculant directement $v(u(x,y,z))$.

4. Montrer que $v$ est un isomorphisme, écrire ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_f(v^{-1})$ et vérifier le résultat par un produit.

On sait que $D:{\mathbb{R}}_3[X]\to {\mathbb{R}}_3[X]$, $P\mapsto P^{\mathrm{\prime }}$, est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}_3[X]$. On note $e=(1,X,X^2,X^3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}_3[X]$ et $N={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_e(D)$.

1. Écrire la matrice $N$.

2. Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}N$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}N$, en déduire $\mathrm{r}\mathrm{g}(N)$ et vérifier le théorème du rang. Traduire ces résultats sur $D$.

3. Calculer $N^2$ et $N^3$, puis montrer que $N^4=0$. Interpréter en termes de dérivations successives.

4. L'endomorphisme $D$ est-il inversible ? Donner deux justifications indépendantes.

Pour $m\in \mathbb{R}$, on pose

1. Échelonner $A_m$ par des opérations élémentaires sur les lignes, en veillant à ne diviser par aucune quantité susceptible de s'annuler.

2. En déduire $\mathrm{r}\mathrm{g}(A_m)$ selon les valeurs de $m$.

3. Calculer $\det A_m$, puis vérifier que les deux méthodes donnent les mêmes valeurs critiques de $m$.

On considère la matrice suivante, dont on note $C_1$, $C_2$, $C_3$ les colonnes, et l'endomorphisme $a$ de ${\mathbb{R}}^3$ qui lui est canoniquement associé :

Les quatre premières questions établissent chacune, par un argument différent, que $A$ est inversible.

5. Résoudre $AX=Y$ pour tout $Y\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$, en déduire $A^{-1}$, et vérifier le résultat par un produit.

Calculer les deux déterminants suivants en développant à chaque étape selon une ligne ou une colonne bien choisie :

On indiquera pour $D_1$ combien de déterminants d'ordre $3$ aurait coûté un développement selon la deuxième ligne.

Calculer les trois déterminants suivants à l'aide d'opérations élémentaires, en précisant à chaque étape l'effet exact de l'opération sur la valeur du déterminant.

Pour ${\mathrm{\Delta }}_1$, on remarquera que les trois colonnes ont la même somme ; pour ${\mathrm{\Delta }}_2$, qu'une ligne admet un facteur commun.

On note $e=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$ et $b=(1,X,X^2)$ celle de ${\mathbb{R}}_2[X]$. Dans chacun des cas suivants, dire si la famille proposée est une base de l'espace indiqué, en calculant son déterminant dans la base de référence.

1. $u_1=(1,2,1)$, $u_2=(0,1,3)$, $u_3=(2,1,1)$ dans ${\mathbb{R}}^3$.

2. $v_1=(1,-1,2)$, $v_2=(2,1,1)$, $v_3=(4,-1,5)$ dans ${\mathbb{R}}^3$ ; si la famille est liée, en exhiber une relation de liaison.

3. $P_1=1+X$, $P_2=X+X^2$, $P_3=1+X^2$ dans ${\mathbb{R}}_2[X]$.

4. Pour $t\in \mathbb{R}$ : $w_1=(1,0,t)$, $w_2=(0,1,1)$, $w_3=(t,1,2)$ dans ${\mathbb{R}}^3$. Discuter selon $t$, et écrire une relation de liaison dans les cas exclus.

Dans ${\mathbb{R}}^3$ muni de sa base canonique $e=(e_1,e_2,e_3)$, on pose

1. Écrire la matrice de passage $P=P_{e\to e^{\mathrm{\prime }}}$, puis justifier à l'aide d'un déterminant que $e^{\mathrm{\prime }}$ est bien une base de ${\mathbb{R}}^3$.

2. Calculer $P^{-1}$ et préciser ce que représentent ses colonnes.

3. Le vecteur $v$ a pour coordonnées $(2,1,3)$ dans la base $e$. Déterminer ses coordonnées dans la base $e^{\mathrm{\prime }}$.

4. Le vecteur $w$ a pour coordonnées $(1,-2,1)$ dans la base $e^{\mathrm{\prime }}$. Déterminer ses coordonnées dans la base $e$.

Soit $u$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans la base canonique $e$ est

On pose $f_1=(1,1,1)$, $f_2=(1,1,0)$, $f_3=(0,1,1)$ et $e^{\mathrm{\prime }}=(f_1,f_2,f_3)$.

1. Montrer que $e^{\mathrm{\prime }}$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$ et écrire $P=P_{e\to e^{\mathrm{\prime }}}$.

2. Calculer $u(f_1)$, $u(f_2)$, $u(f_3)$, puis en déduire $D={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e^{\mathrm{\prime }}}(u)$.

3. Justifier que $D=P^{-1}AP$ sans calculer $P^{-1}$. Que dire des matrices $A$ et $D$ ?

4. Décrire simplement l'action de $u$, puis donner ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e^{\mathrm{\prime }}}(u^n)$ pour $n\in \mathbb{N}$.

Dans ${\mathbb{R}}^3$ muni de sa base canonique $e$, on considère

et on note $p$ la projection sur $\mathrm{\Pi }$ parallèlement à $\mathrm{\Delta }$. On pose $f_1=(1,-1,0)$, $f_2=(1,0,-1)$, $f_3=(1,0,0)$.

1. Montrer que ${\mathbb{R}}^3=\mathrm{\Pi }\oplus \mathrm{\Delta }$ et que $e^{\mathrm{\prime }}=(f_1,f_2,f_3)$ est une base adaptée à cette décomposition.

2. Écrire $D={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e^{\mathrm{\prime }}}(p)$.

3. Écrire $P=P_{e\to e^{\mathrm{\prime }}}$, calculer $P^{-1}$, puis en déduire $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_e(p)$.

4. Vérifier que $A^2=A$ et que $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)=2$, puis retrouver $\mathrm{I}\mathrm{m}(A)$ et $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)$.

Dans ${\mathbb{R}}^3$ muni de sa base canonique $e$, on considère

et on note $s$ la symétrie par rapport à $\mathrm{\Pi }$ parallèlement à $\mathrm{\Delta }$. On pose $f_1=(1,1,0)$, $f_2=(-1,0,1)$, $f_3=(1,1,1)$.

1. Vérifier que $e^{\mathrm{\prime }}=(f_1,f_2,f_3)$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$ adaptée à la décomposition ${\mathbb{R}}^3=\mathrm{\Pi }\oplus \mathrm{\Delta }$, puis écrire $D={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e^{\mathrm{\prime }}}(s)$.

2. Écrire $P=P_{e\to e^{\mathrm{\prime }}}$ et calculer $P^{-1}$.

3. En déduire $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_e(s)$, puis vérifier que $A^2=I_3$.

4. Calculer $\det (A)$ de deux façons et interpréter le résultat.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$ et, pour $B={}^t(b_1,b_2,b_3)\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$, le système $(S_B):AX=B$ d'inconnue $X={}^t(x,y,z,t)\in {\mathcal{M}}_{4,1}(\mathbb{R})$, où

1. Déterminer $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$.

2. Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)$ : une base, la dimension. Vérifier le théorème du rang.

3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(b_1,b_2,b_3)$ pour que $(S_B)$ admette au moins une solution, et en déduire $\mathrm{I}\mathrm{m}(A)$.

4. Résoudre $(S_B)$ pour $B={}^t(1,5,6)$, puis conclure pour $B={}^t(1,5,7)$.

On considère le système $(S):AX=B$ d'inconnue $X={}^t(x,y,z)\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$, où

1. Calculer $\det (A)$ à l'aide d'opérations élémentaires. Qu'en déduit-on pour $(S)$ ?

2. Résoudre $(S)$ par la méthode du pivot.

3. Calculer $A^{-1}$, puis retrouver la solution sous la forme $X=A^{-1}B$.

4. Comparer les deux méthodes : dans quelle situation privilégier l'une ou l'autre ?

1. Soient $n⩾1$ et $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse : démontrer les vraies, réfuter les fausses par un contre-exemple explicite de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{K})$.

   a. $\det (AB)=\det (BA)$

   b. $\det (A^k)=(\det A{)}^k$ pour $k\in \mathbb{N}$

   c. $\det (\lambda A)=\lambda \det (A)$ pour $\lambda \in \mathbb{K}$

   d. $\det (A^{-1})={\displaystyle \frac{1}{\det (A)}}$ si $A\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$

   e. $\det ({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A)=\det (A)$

   f. $\det (A+B)=\det (A)+\det (B)$

2. Montrer que deux matrices semblables ont le même déterminant. La réciproque est-elle vraie ?

On considère les deux matrices de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$

1. Calculer $\det (P)$, en déduire que $P$ est inversible, puis déterminer $P^{-1}$.

2. Calculer le produit $AP$ et en déduire que $D=P^{-1}AP$ est une matrice diagonale, que l'on précisera.

3. Justifier que $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis expliciter les neuf coefficients de $A^n$.

4. Contrôler la formule obtenue pour $n=0$, $n=1$ et $n=2$.

On définit deux suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$ par $u_0=3$, $v_0=2$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

On pose $X_n=\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)$ et $P=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$.

1. Déterminer $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ telle que $X_{n+1}=A{X}_n$, puis montrer que $X_n=A^n{X}_0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

2. Montrer que $P$ est inversible, calculer $P^{-1}$, et vérifier que $D=P^{-1}AP$ est diagonale.

3. En déduire les expressions de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$, puis les contrôler pour $n=1$ et $n=2$.

4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\mathrm{/}{v}_n\right)$.

Soit $n⩾2$ et $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ une matrice non nulle.

1. Montrer que $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)=1$ si et seulement s'il existe une colonne non nulle $C\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$ et une ligne non nulle $L\in {\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{K})$ telles que $A=CL$.

2. On suppose $A=CL$ comme ci-dessus. Justifier que le produit $LC$ est une matrice à un seul coefficient, que l'on identifie à un scalaire $\alpha \in \mathbb{K}$, puis montrer que $A^2=\alpha A$.

3. En déduire que $A$ est nilpotente si et seulement si $\alpha =0$, et que si $\alpha \mathrm{\ne }0$, la matrice $\frac{1}{\alpha }A$ est celle d'un projecteur.

4. Appliquer ce qui précède à $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 2& -2& 4\\ 3& -3& 6\end{array}\right)$.

On considère la matrice

1. Calculer $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$ à l'aide d'opérations élémentaires sur les colonnes.

2. Écrire ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$ et calculer son rang à l'aide d'opérations élémentaires sur les lignes. Comparer avec la question 1.

3. En déduire que le rang de $A$ est aussi le nombre maximal de lignes de $A$ formant une famille libre, et le vérifier sur cet exemple.

4. Montrer que pour toute matrice $M\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$, $\mathrm{r}\mathrm{g}(M)⩽\min (n,p)$, et donner un exemple où l'inégalité est stricte.

Soit $u$ un endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ tel que $u^3=0$ et $u^2\mathrm{\ne }0$.

1. Justifier l'existence d'un vecteur $w$ tel que $u^2(w)\mathrm{\ne }0$, puis montrer que la famille $e=(w,u(w),u^2(w))$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$.

2. Écrire la matrice $N={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_e(u)$.

3. En déduire que $u$ n'est pas inversible et que $\det (u)=0$.

4. On pose $u(x,y,z)=(0,x,x+y)$. Vérifier que $u$ satisfait les hypothèses de l'énoncé et expliciter une base adaptée.

Deux matrices $A$ et $B$ de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ sont dites semblables lorsqu'il existe $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ telle que $B=P^{-1}AP$.

1. Soient $A$ et $B$ semblables. Montrer que $\det (A)=\det (B)$ et que $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)=\mathrm{r}\mathrm{g}(B)$.

2. Montrer que $I_2$ et $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ ont même rang et même déterminant, sans être semblables.

3. On pose $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$. Vérifier qu'elles ont même rang et même déterminant, puis montrer qu'elles ne sont pas semblables en utilisant la relation $M^2=M$.

4. Retrouver le résultat de la question 3 avec l'invariant $\mathrm{r}\mathrm{g}(M-I_3)$.

Une matrice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est dite antisymétrique lorsque ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A=-A$.

1. Soit $A$ antisymétrique d'ordre $n$ impair. Montrer que $\det (A)=0$.

2. Montrer, sur un exemple d'ordre $2$ puis d'ordre $4$, que le résultat tombe en défaut lorsque $n$ est pair.

3. Soit $A$ antisymétrique d'ordre $3$.

a. Justifier que $A=\left(\begin{array}{ccc}0& a& b\\ -a& 0& c\\ -b& -c& 0\end{array}\right)$ avec $a,b,c\in \mathbb{R}$.

b. Montrer que si $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)⩽1$, alors $A=0$.

c. En déduire que $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)\in \{0,2\}$, et montrer que les deux valeurs sont atteintes.

Soit $n⩾2$ et $(a,b)\in {\mathbb{K}}^2$. On note $M_n(a,b)\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ la matrice dont tous les coefficients diagonaux valent $a$ et dont tous les autres coefficients valent $b$, et on pose $D_n=\det M_n(a,b)$ :

1. Montrer que l'opération $C_1\leftarrow C_1+C_2+\cdots +C_n$ laisse $D_n$ inchangé, puis en déduire que $a+(n-1)b$ se factorise dans $D_n$.

2. Conclure, à l'aide des opérations $L_i\leftarrow L_i-L_1$ pour $2⩽i⩽n$, que $D_n=(a+(n-1)b)(a-b{)}^{n-1}$.

3. Calculer $\det M_3(5,2)$ et $\det M_4(1,-1)$.

4. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $(a,b)$ pour que $M_n(a,b)\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$.

Pour $n⩾1$, on note $T_n\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ la matrice dont tous les coefficients diagonaux valent $2$, dont les coefficients situés juste au-dessus et juste au-dessous de la diagonale valent $-1$, et dont tous les autres coefficients sont nuls. On pose $D_n=\det T_n$ :

1. Calculer $D_1$, $D_2$ et $D_3$.

2. Montrer que $D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}$ pour tout $n⩾3$, en développant selon la première colonne, puis en développant le second mineur obtenu selon sa première ligne.

3. Résoudre cette relation de récurrence et en déduire l'expression de $D_n$ pour tout $n⩾1$.

4. La matrice $T_n$ est-elle inversible ?

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $3$ et $u\in \mathcal{L}(E)$. Un sous-espace $F$ de $E$ est dit stable par $u$ lorsque $u(F)\subset F$. On suppose ici que $F$ est stable par $u$ et que $\dim F=2$.

1. Soit $(f_1,f_2)$ une base de $F$, complétée en une base $f=(f_1,f_2,f_3)$ de $E$. Montrer que les deux premiers coefficients de la troisième ligne de ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_f(u)$ sont nuls, et expliquer en quoi ces deux zéros traduisent exactement la stabilité de $F$.

2. Exemple. Dans $E={\mathbb{R}}^3$ de base canonique $e$, on pose $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_e(u)$ et $F=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3;x+y+z=0\}$, avec

   $$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 0& 2\\ 0& 2& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

   Vérifier que $F$ est stable par $u$, puis écrire ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_f(u)$ pour $f=(f_1,f_2,f_3)$ avec $f_1=(1,-1,0)$, $f_2=(0,1,-1)$ et $f_3=(1,0,0)$.

3. Déduire de la question 1 une expression de $\det u$ comme produit d'un déterminant d'ordre $2$ et d'un déterminant d'ordre $1$, et la vérifier sur l'exemple.

Soit $n⩾2$ et $x_1,\dots ,x_n\in \mathbb{K}$. On appelle déterminant de Vandermonde de ces scalaires le déterminant

1. Calculer $V(x_1,x_2,x_3)$ en effectuant, dans cet ordre, $C_3\leftarrow C_3-x_1{C}_2$ puis $C_2\leftarrow C_2-x_1{C}_1$, et factoriser le résultat.

2. Montrer par récurrence sur $n⩾2$ que $V(x_1,\dots ,x_n)={\displaystyle \prod _{1⩽i<j⩽n}(x_j-x_i)}$.

3. Soient $a_1,\dots ,a_n$ deux à deux distincts et $y_1,\dots ,y_n\in \mathbb{K}$. En déduire qu'il existe un unique polynôme $P\in {\mathbb{K}}_{n-1}[X]$ tel que $P(a_i)=y_i$ pour tout $i$.

Soient $a,b,c\in \mathbb{R}$ et $C\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ la matrice circulante de première ligne $(a,b,c)$, chaque ligne se déduisant de la précédente par un décalage vers la droite :

1. En effectuant $C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3$, montrer que $a+b+c$ se factorise dans $\det C$, puis achever le calcul par des opérations sur les lignes.

2. Calculer par ailleurs $\det C$ en développant selon la première ligne, et en déduire l'identité $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$.

3. On pose $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}$. Montrer que $(a+jb+j^{2}c)(a+j^{2}b+jc)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$, puis donner une condition nécessaire et suffisante sur $(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3$ pour que $C\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_3(\mathbb{R})$.

Soit $n⩾1$ et $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ de rang $r$. On considère

On note $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)=\{X\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K});AX=0\}$ le noyau de la matrice $A$.

1. Montrer que ${\mathrm{\Phi }}_A$ est un endomorphisme de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

2. Montrer que $M\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}({\mathrm{\Phi }}_A)$ si et seulement si chacune des colonnes de $M$ appartient à $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)$, puis en déduire que $\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}({\mathrm{\Phi }}_A)=n(n-r)$.

3. En déduire $\mathrm{r}\mathrm{g}({\mathrm{\Phi }}_A)$.

4. Traiter les cas $A\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ et $A=0$, puis expliciter noyau et image pour $n=2$ et $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$.

Soit $n⩾2$, $C\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$ une colonne non nulle et $L\in {\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{K})$ une ligne non nulle. On pose $A=CL\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ et on note $\alpha \in \mathbb{K}$ l'unique scalaire tel que $LC=(\alpha )$. On identifie ${\mathbb{K}}^n$ à ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$ et on note $a$ l'endomorphisme canoniquement associé à $A$.

1. Montrer que $a(X)=(LX)C$ pour toute colonne $X$, que $\mathrm{I}\mathrm{m}(a)=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(C)$, et que $H=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(a)$ est un hyperplan. Montrer enfin que $C\in H$ si et seulement si $\alpha =0$.

2. Premier cas : $\alpha \mathrm{\ne }0$. Montrer que $(C,h_2,\dots ,h_n)$ est une base de ${\mathbb{K}}^n$ pour toute base $(h_2,\dots ,h_n)$ de $H$, écrire la matrice de $\mathrm{i}\mathrm{d}+a$ dans cette base et en déduire $\det (I_n+A)=1+\alpha$.

3. Second cas : $\alpha =0$. Choisir une base adaptée et montrer que la formule reste vraie.

4. Application : $C={}^t(1,2,-1)$ et $L=(2,1,1)$. Calculer $\det (I_3+A)$ des deux façons.