Devoir surveillé — Matrices et déterminants

Consignes valables pour tout le sujet. Les exercices 1 à 4 sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix ; l'exercice 5 est un problème dont les trois parties s'enchaînent. Toutes les matrices et tous les espaces considérés sont réels. La calculatrice n'est pas autorisée : tous les calculs demandés se mènent à la main. La clarté de la rédaction et la justification des affirmations comptent dans la notation au même titre que l'exactitude des calculs ; un résultat annoncé sans justification ne rapporte aucun point.

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes les unes des autres.

1. (0,75 pt) On note $b=(E_{1,1},E_{1,2},E_{2,1},E_{2,2})$ la base canonique de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ et

$$\tau :{\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})⟶{\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),M⟼{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}M\mathrm{.}$$

Justifier que $\tau$ est un endomorphisme de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, écrire ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_b(\tau )$, puis calculer $\det (\tau )$.

2. (0,75 pt) Soient $A\in {\mathcal{M}}_{3,5}(\mathbb{R})$ et $B\in {\mathcal{M}}_{5,3}(\mathbb{R})$. Démontrer que la matrice $BA$ n'est jamais inversible, quelles que soient $A$ et $B$.

3. (0,75 pt) Le plan et l'espace sont rapportés à leurs bases canoniques.

4. (0,5 pt) Soient $a$, $b$, $c$, $d$ des réels. Calculer les deux déterminants

$${\mathrm{\Delta }}_3=\mid \begin{array}{ccc}0& 0& a\\ 0& b& 0\\ c& 0& 0\end{array}\mid ,{\mathrm{\Delta }}_4=\mid \begin{array}{cccc}0& 0& 0& a\\ 0& 0& b& 0\\ 0& c& 0& 0\\ d& 0& 0& 0\end{array}\mid ,$$

en n'utilisant que des échanges de lignes. On commentera la différence de signe.

5. (0,75 pt) Soit $n⩾1$ et $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^3=A$. Quelles sont les valeurs possibles de $\det (A)$ ? Montrer que chacune d'elles est effectivement atteinte.

On considère l'application

$$u:{\mathbb{R}}^4⟶{\mathbb{R}}^3,(x,y,z,t)⟼(x+2y+3z-t,y+z-t,2x+y+3z+t),$$

et l'on note $c_4$ et $c_3$ les bases canoniques respectives de ${\mathbb{R}}^4$ et de ${\mathbb{R}}^3$.

On sait écrire la matrice de $u$ dans les bases canoniques ; on se propose ici de choisir les deux bases pour rendre cette matrice aussi simple que possible.

1. (0,5 pt) Justifier que $u$ est linéaire, puis écrire $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{c_4,c_3}(u)$ en précisant à quel ensemble cette matrice appartient.

2. (0,75 pt) Résoudre le système $AX=0$ et en déduire une base de $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ ainsi que $\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$. En déduire $\mathrm{r}\mathrm{g}(u)$ par le théorème du rang, puis donner une base de $\mathrm{I}\mathrm{m}u$ formée de colonnes de $A$.

3. (0,5 pt) On pose

$${\epsilon }_1=(1,0,0,0),{\epsilon }_2=(0,0,1,0),{\epsilon }_3=(1,1,-1,0),{\epsilon }_4=(1,-1,0,-1)\mathrm{.}$$

Démontrer à l'aide d'un déterminant que $\epsilon =({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3,{\epsilon }_4)$ est une base de ${\mathbb{R}}^4$.

4. (0,75 pt) On pose $f_1=u\left({\epsilon }_1\right)$, $f_2=u\left({\epsilon }_2\right)$ et $f_3=(1,0,0)$. Démontrer que $f=(f_1,f_2,f_3)$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$, puis écrire $J={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\epsilon ,f}(u)$.

5. (0,5 pt) Écrire les matrices de passage $P=P_{c_4\to \epsilon }$ et $Q=P_{c_3\to f}$, énoncer la relation qui lie $J$, $Q$, $A$ et $P$, et la vérifier sur la première colonne.

6. (0,5 pt) Résoudre l'équation $u(x)=(1,0,2)$, d'inconnue $x\in {\mathbb{R}}^4$, en utilisant la matrice $J$ et non le système de départ. Préciser la structure de l'ensemble des solutions.

Soit $a$ un nombre réel et $n⩾2$ un entier. On note $A_n(a)\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ la matrice dont le coefficient d'indice $(i,j)$ vaut $a^{\mathrm{\mid }i-j\mathrm{\mid }}$, avec la convention $a^0=1$ :

$$A_n(a)=\left(\begin{array}{ccccc}1& a& a^2& \cdots & a^{n-1}\\ a& 1& a& \cdots & a^{n-2}\\ a^2& a& 1& \cdots & a^{n-3}\\ \mathrm{⋮}& \mathrm{⋮}& \mathrm{⋮}& \ddots & \mathrm{⋮}\\ a^{n-1}& a^{n-2}& a^{n-3}& \cdots & 1\end{array}\right),D_n(a)=\det A_n(a)\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Écrire $A_2(a)$ et $A_3(a)$, calculer $D_2(a)$ et $D_3(a)$ sous forme factorisée, puis conjecturer une expression de $D_n(a)$.

2. (1,5 pt) Dans le cas général, on effectue en partant du bas les opérations

$$L_n\leftarrow L_n-a{L}_{n-1},L_{n-1}\leftarrow L_{n-1}-a{L}_{n-2},\dots ,L_2\leftarrow L_2-a{L}_1\mathrm{.}$$

Justifier que ces opérations ne changent pas le déterminant, déterminer la matrice obtenue, et en déduire $D_n(a)$.

3. (0,75 pt) Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a$ pour que $A_n(a)$ soit inversible. Décrire les matrices $A_n(1)$ et $A_n(-1)$, et donner leur rang.

4. (0,75 pt) Calculer

$$\mid \begin{array}{ccc}4& 6& 9\\ 6& 4& 6\\ 9& 6& 4\end{array}\mid$$

en reconnaissant une matrice de la forme $\lambda A_3(a)$, puis contrôler le résultat par un calcul direct.

On définit la suite réelle ${\left(a_n\right)}_{n⩾0}$ par

$$a_0=0,a_1=1,a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n\text{pour tout }n\in \mathbb{N},$$

et l'on pose

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

1. (0,25 pt) Calculer $a_2$, $a_3$, $a_4$ et $a_5$, ainsi que $\det (A)$.

2. (1 pt) Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n⩾1$,

$$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& -a_n\\ a_n& -a_{n-1}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

3. (0,5 pt) En calculant $\det \left(A^n\right)$ de deux façons, démontrer que pour tout $n⩾1$,

$$a_n^2-a_{n+1}{a}_{n-1}=1,$$

et vérifier cette identité pour $n=3$.

4. (0,75 pt) a. En déduire que les seuls entiers qui divisent à la fois $a_n$ et $a_{n+1}$ sont $1$ et $-1$.

b. Justifier que $A^n$ est inversible pour tout $n⩾1$ et exprimer ${\left(A^n\right)}^{-1}$ à l'aide de $a_{n-1}$, $a_n$ et $a_{n+1}$.

Le cours a établi que le rang et le déterminant sont deux invariants de similitude, et il signale aussitôt leur limite : deux matrices de même rang et de même déterminant ne sont pas nécessairement semblables. Pour démontrer que deux matrices ne sont PAS semblables, il propose alors de comparer les rangs de $A-\lambda I_n$ pour un scalaire « bien choisi », sans dire comment le choisir. Ce problème construit un objet qui répond aux deux questions d'un coup : un polynôme attaché à la matrice, qui contient le déterminant, en révèle deux autres invariants au passage, et dont les racines sont exactement les scalaires « bien choisis ». Les trois parties s'enchaînent.

Pour une matrice $A=\left(a_{i,j}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, on appelle trace de $A$ le réel

$$\mathrm{t}\mathrm{r}(A)=a_{1,1}+a_{2,2}+a_{3,3},$$

on note $\sigma (A)$ la somme de ses trois mineurs diagonaux d'ordre $2$,

$$\sigma (A)=\mid \begin{array}{cc}{a}_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,1}& a_{2,2}\end{array}\mid +\mid \begin{array}{cc}{a}_{1,1}& a_{1,3}\\ a_{3,1}& a_{3,3}\end{array}\mid +\mid \begin{array}{cc}{a}_{2,2}& a_{2,3}\\ a_{3,2}& a_{3,3}\end{array}\mid ,$$

et l'on pose, pour tout $t\in \mathbb{R}$,

$${\chi }_A(t)=\det (A+t{I}_3)\mathrm{.}$$

Partie A — Le polynôme ${\chi }_A$

A.1 (0,5 pt) On pose

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 3& -1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Calculer ${\chi }_A(t)$ pour tout $t\in \mathbb{R}$ et donner le résultat sous forme factorisée.

A.2 (1,25 pt) Soit $A=\left(a_{i,j}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ quelconque. En développant $\det (A+t{I}_3)$ par la formule d'ordre $3$ du cours, démontrer que, pour tout $t\in \mathbb{R}$,

$${\chi }_A(t)=t^3+\mathrm{t}\mathrm{r}(A)t^2+\sigma (A)t+\det (A)\mathrm{.}$$

En particulier, ${\chi }_A$ est une fonction polynomiale de degré $3$, de coefficient dominant $1$.

A.3 (0,25 pt) Vérifier la formule de la question A.2 sur la matrice de la question A.1.

Partie B — Un invariant de similitude

B.1 (0,75 pt) Soient $A$ et $B$ deux matrices semblables de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Démontrer que ${\chi }_A(t)={\chi }_B(t)$ pour tout $t\in \mathbb{R}$.

B.2 (0,5 pt) En déduire que deux matrices semblables de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ ont même trace, même $\sigma$ et même déterminant. On rappelle que deux fonctions polynomiales égales sur $\mathbb{R}$ ont les mêmes coefficients.

B.3 (1,25 pt) On pose

$$M=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 1& 0& -4\\ 0& 1& 4\end{array}\right),N=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 1& 0& -5\\ 0& 1& 4\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Ces deux matrices ne diffèrent que par un coefficient. Vérifier qu'elles ont même rang, même déterminant et même trace, puis démontrer qu'elles ne sont pourtant pas semblables.

B.4 (0,5 pt) Le polynôme ${\chi }_A$ contient le déterminant de $A$ ; contient-il son rang ? Exhiber deux matrices non nulles de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ ayant le même polynôme $\chi$ et des rangs différents. Qu'en déduire sur la réciproque de la question B.1, et sur la comparaison entre l'invariant « rang » et l'invariant « $\chi$ » ?

Partie C — Deux exploitations

C.1 (0,75 pt) Soit $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Démontrer que l'ensemble

$${\mathcal{E}}_A=\{\lambda \in \mathbb{R};A+\lambda I_3\mathrm{\notin }{\mathrm{G}\mathrm{L}}_3(\mathbb{R})\}$$

possède au plus trois éléments. En déduire qu'il existe un réel $\alpha >0$ tel que $A+\lambda I_3$ soit inversible pour tout $\lambda \in ]0,\alpha [$.

C.2 (0,75 pt) Soient $A,B\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ avec $A$ inversible. Démontrer que $AB$ et $BA$ sont semblables, puis en déduire qu'elles ont même trace, même $\sigma$ et même déterminant.

C.3 (0,5 pt) On ne suppose plus $A$ inversible. Démontrer que l'on a toujours $\det (AB)=\det (BA)$, mais donner un exemple où $AB$ et $BA$ ne sont pas semblables.