Exercices — Intégration

On rappelle qu'une subdivision du segment $[a,b]$ est une famille finie $\sigma =(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ de réels telle que $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ ; son pas est le réel $\max \{x_{i+1}-x_i;0⩽i⩽n-1\}$. Une fonction $\phi :[a,b]\to \mathbb{R}$ est en escalier s'il existe une subdivision $\sigma$ de $[a,b]$, dite adaptée à $\phi$, telle que $\phi$ soit constante sur chacun des intervalles ouverts $]x_i,x_{i+1}[$. En notant $c_i$ la valeur de $\phi$ sur $]x_i,x_{i+1}[$, son intégrale est

$${\int }_{[a,b]}\phi =\sum _{i=0}^{n-1}{c}_i(x_{i+1}-x_i)$$

et l'on sait que ce nombre ne dépend pas de la subdivision adaptée choisie.

1. Donner le pas de la subdivision $\sigma =(0,1,{\displaystyle \frac{5}{2}},3,5)$ de $[0,5]$.

2. Soit $\phi :[0,4]\to \mathbb{R}$ définie par $\phi (t)=3$ si $t\in [0,1[$, $\phi (1)=0$, $\phi (t)=-1$ si $t\in ]1,{\displaystyle \frac{5}{2}}[$, $\phi \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)=4$ et $\phi (t)=2$ si $t\in ]{\displaystyle \frac{5}{2}},4]$. Montrer que $\phi$ est en escalier en exhibant une subdivision adaptée, puis calculer ${\displaystyle {\int }_{[0,4]}\phi }$.

3. Montrer que $t\mapsto \lfloor t\rfloor$ est en escalier sur $[0,4]$ et calculer ${\displaystyle {\int }_{[0,4]}\lfloor t\rfloor \mathrm{d}t}$.

4. Soit $\phi$ une fonction en escalier sur $[a,b]$ et $\psi :[a,b]\to \mathbb{R}$ qui coïncide avec $\phi$ sauf en un nombre fini de points. Montrer que $\psi$ est en escalier et que ${\displaystyle {\int }_{[a,b]}\psi ={\int }_{[a,b]}\phi }$.

5. Soient $\phi$ et $\psi$ deux fonctions en escalier sur $[0,3]$, adaptées respectivement à $\sigma =(0,1,3)$ et à $\tau =(0,2,3)$. Justifier que $\phi +\psi$ est en escalier. Traiter le cas où $\phi$ vaut $1$ sur $]0,1[$ et $2$ sur $]1,3[$, et où $\psi$ vaut $3$ sur $]0,2[$ et $-1$ sur $]2,3[$, en vérifiant sur cet exemple que ${\displaystyle {\int }_{[0,3]}(\phi +\psi )={\int }_{[0,3]}\phi +{\int }_{[0,3]}\psi }$.

La courbe ci-dessus est celle d'une fonction $f$ continue sur $[-1,6]$, affine sur chacun des cinq intervalles délimités par les sommets visibles. On lit sur le graphique que ses sommets successifs sont

$$(-1,0),(0,2),(2,2),(4,-2),(5,-2),(6,0)$$

Ainsi $f$ croît de $0$ à $2$ sur $[-1,0]$, vaut $2$ sur $[0,2]$, décroît de $2$ à $-2$ sur $[2,4]$, vaut $-2$ sur $[4,5]$, puis remonte de $-2$ à $0$ sur $[5,6]$.

1. Sans aucun calcul, donner le signe (positif, négatif ou nul) de ${\displaystyle {\int }_0^{2}f}$, de ${\displaystyle {\int }_2^{4}f}$ et de ${\displaystyle {\int }_4^{6}f}$.

2. En décomposant en aires de rectangles et de triangles, calculer ${\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f}$, ${\displaystyle {\int }_0^{2}f}$, ${\displaystyle {\int }_2^{4}f}$, ${\displaystyle {\int }_4^{5}f}$ et ${\displaystyle {\int }_5^{6}f}$, puis en déduire ${\displaystyle {\int }_{-1}^{6}f}$.

3. Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[-1,6]$.

4. Calculer ${\displaystyle {\int }_{-1}^6\mid f\mid }$ et comparer ce nombre à ${\displaystyle {\int }_{-1}^{6}f}$. Le résultat était-il prévisible ?

5. On pose $F(x)={\displaystyle {\int }_{-1}^{x}f(t)\mathrm{d}t}$ pour $x\in [-1,6]$. Déterminer les intervalles sur lesquels $F$ croît, ceux sur lesquels elle décroît, et le point où elle atteint son maximum. Préciser la valeur de ce maximum.

Chacune des fonctions ci-dessous change d'expression au cours du segment d'intégration. La méthode est toujours la même : repérer les valeurs de $t$ où l'expression change, découper le segment en ces points grâce à la relation de Chasles, puis calculer sur chaque sous-segment avec la formule qui y est valable.

1. Calculer les intégrales suivantes.

2. Soit $f$ la fonction définie sur $[0,2]$ par

$$f(t)=\{\begin{array}{ll}{t}^2& \text{si }t⩽1\\ 2t-1& \text{si }t>1\end{array}$$

Montrer que $f$ est continue sur $[0,2]$, puis calculer ${\displaystyle {\int }_0^{2}f(t)\mathrm{d}t}$.

Dans tout l'exercice, les fonctions considérées sont continues sur le segment d'intégration.

1. Calculer les intégrales suivantes en utilisant la linéarité.

c. Sachant que ${\displaystyle {\int }_0^{1}f=3}$ et ${\displaystyle {\int }_0^{1}g=-2}$, calculer ${\displaystyle {\int }_0^1(2f-5g)}$.

2. Comparer, sans les calculer, ${\displaystyle {\int }_0^1{t}^2\mathrm{d}t}$ et ${\displaystyle {\int }_0^1{t}^3\mathrm{d}t}$, puis ${\displaystyle {\int }_1^2{t}^2\mathrm{d}t}$ et ${\displaystyle {\int }_1^2{t}^3\mathrm{d}t}$. Confirmer ensuite par le calcul.

3. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose ${\displaystyle I_n={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{1+t^n}}$. Montrer que ${\displaystyle \frac{n}{n+1}}⩽I_n⩽1$, puis déterminer la limite de la suite $\left(I_n\right)$.

4. Donner deux fonctions $f$ et $g$ et deux réels $a$ et $b$ tels que $f⩽g$ sur le segment considéré et pourtant ${\displaystyle {\int }_a^{b}f>{\int }_a^{b}g}$. Quelle hypothèse du théorème de croissance a été mise en défaut ?

5. Donner un exemple de fonction continue $f$ et de réels $a<b$ tels que ${\displaystyle {\int }_a^{b}f⩾0}$ sans que $f$ soit positive sur $[a,b]$.

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ avec $a<b$, sa valeur moyenne sur ce segment est le réel

$$\mu =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t$$

1. Calculer la valeur moyenne des fonctions suivantes sur le segment indiqué.

2. (Théorème de la moyenne.) Soit $f$ continue sur $[a,b]$ avec $a<b$. Montrer qu'il existe $c\in [a,b]$ tel que

$${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t=f(c)(b-a)$$

On utilisera le théorème des bornes atteintes puis le théorème des valeurs intermédiaires.

3. Déterminer explicitement un tel réel $c$ pour $t\mapsto t^2$ sur $[0,1]$, puis pour $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{t}}$ sur $[1,e]$.

4. Soit $\phi$ la fonction en escalier définie sur $[0,2]$ par $\phi (t)=0$ si $t\in [0,1[$ et $\phi (t)=1$ si $t\in [1,2]$. Montrer que la conclusion de la question 2 tombe en défaut pour $\phi$. Quelle hypothèse manque-t-il ?

On rappelle le théorème d'intégration par parties : si $u$ et $v$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur le segment $[a,b]$, alors

$${\int }_a^{b}u(t)v^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t=[u(t)v(t){]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\mathrm{\prime }}(t)v(t)\mathrm{d}t$$

On dérive le facteur qui se simplifie en étant dérivé (un polynôme, un logarithme, une fonction circulaire réciproque) et on intègre celui dont une primitive est immédiate.

Calculer les intégrales suivantes. Pour chacune, préciser les fonctions $u$ et $v$ choisies et justifier qu'elles sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur le segment d'intégration.

On rappelle le théorème de changement de variable : si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et si $\phi :[\alpha ,\beta ]\to I$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, alors

$${\int }_{\alpha }^{\beta }f\text{\hspace{0.17em}⁣}(\phi (u)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(u)\mathrm{d}u={\int }_{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(t)\mathrm{d}t$$

Ces hypothèses seront vérifiées à chaque question ; on ne les répétera pas.

1. Calculer les intégrales suivantes à l'aide du changement de variable indiqué.

2. Soit $f$ continue sur $[a,b]$. Montrer que ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(a+b-t)\mathrm{d}t={\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t}$. En déduire la valeur de ${\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\frac{\sin t}{\sin t+\cos t}\mathrm{d}t}$.

On rappelle le théorème fondamental : si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et si $a\in I$, alors $x\mapsto {\displaystyle {\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t}$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$ ; elle est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$ et sa dérivée est $f$.

1. Pour chacune des fonctions suivantes, préciser son ensemble de définition, justifier qu'elle est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et calculer sa dérivée.

2. Dresser le tableau de variations de $K$ sur $\mathbb{R}$.

Soit $a>0$ et $f$ une fonction continue sur $[-a,a]$.

1. À l'aide du changement de variable $t\mapsto -t$, montrer que ${\displaystyle {\int }_{-a}^{0}f(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{a}f(-u)\mathrm{d}u}$, puis en déduire que

$$\text{si }f\text{ est paire},{\int }_{-a}^{a}f=2{\int }_0^{a}f\text{et}\text{si }f\text{ est impaire},{\int }_{-a}^{a}f=0$$

2. Calculer les intégrales suivantes en exploitant, quand c'est possible, les symétries de l'intégrande.

3. Soit $f$ continue sur $\mathbb{R}$ et $F:x\mapsto {\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t}$. Montrer que $F$ est paire si $f$ est impaire, et impaire si $f$ est paire.

Soit $T>0$ et soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et $T$-périodique, c'est-à-dire vérifiant $f(t+T)=f(t)$ pour tout réel $t$. On pose

$$\phi (x)={\int }_x^{x+T}f(t)\mathrm{d}t$$

1. Montrer que $\phi$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, calculer ${\phi }^{\mathrm{\prime }}$, et en déduire que pour tout réel $a$ :

$${\int }_a^{a+T}f(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{T}f(t)\mathrm{d}t$$

Autrement dit, l'intégrale sur une période ne dépend pas du point de départ.

2. Retrouver ce résultat par la relation de Chasles et un changement de variable.

3. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}t\mathrm{d}t}$, puis vérifier le résultat en le comparant à ${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}t\mathrm{d}t}$.

4. Calculer ${\displaystyle {\int }_{\pi \mathrm{/}3}^{\pi \mathrm{/}3+\pi }\mid \sin t\mid \mathrm{d}t}$.

5. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, calculer ${\displaystyle {\int }_0^{n\pi }\mid \sin t\mid \mathrm{d}t}$, puis en déduire la valeur moyenne de $\mid \sin \mid$ sur $[0,n\pi ]$.

On rappelle le théorème des sommes de Riemann : si $f$ est continue sur le segment $[a,b]$, alors

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{b-a}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f\text{\hspace{0.17em}⁣}(a+k\frac{b-a}{n})={\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t$$

Dans tout l'exercice, on se place sur $[0,1]$ : le pas vaut ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ et les points de subdivision sont les ${\displaystyle \frac{k}{n}}$. Reconnaître une somme de Riemann, c'est faire apparaître un facteur ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ devant une somme dont le terme général ne dépend de $k$ que par l'intermédiaire de ${\displaystyle \frac{k}{n}}$.

1. Déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n}$ où $u_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\sum }_{k=0}^{n-1}{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^2$, puis retrouver le résultat par un calcul exact de $u_n$.

2. Soit $g$ une fonction continue sur $[0,1]$. Comparer ${\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}g\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{k}{n}\right)}$ et ${\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}g\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{k}{n}\right)}$, et en déduire que ces deux suites ont la même limite.

3. Déterminer les limites de $v_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}}$ et de $w_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}}$.

4. Déterminer la limite de $x_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{k\pi }{n}\right)}$.

5. Déterminer la limite de $y_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}}$.

Si $f$ est une fonction continue sur $[a,b]$ à valeurs dans $\mathbb{C}$, on pose par définition

$${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t={\int }_a^b\mathrm{Re}(f(t))\mathrm{d}t+i{\int }_a^b\mathrm{Im}(f(t))\mathrm{d}t$$

L'intégrale reste linéaire (avec des coefficients complexes) et vérifie $\mid {\displaystyle {\int }_a^{b}f}\mid ⩽{\displaystyle {\int }_a^b\mid f\mid }$ lorsque $a⩽b$. On utilisera librement le fait suivant, connu depuis l'étude de l'exponentielle complexe : pour $\alpha \in {\mathbb{C}}^{\ast }$, la fonction $t\mapsto {\displaystyle \frac{e^{\alpha t}}{\alpha }}$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de $t\mapsto e^{\alpha t}$.

1. Calculer, par les deux méthodes (parties réelle et imaginaire, puis primitive complexe) :

2. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{(1+i)t}\mathrm{d}t}$, puis en déduire les valeurs de ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^t\cos t\mathrm{d}t}$ et de ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^t\sin t\mathrm{d}t}$.

3. Vérifier sur l'exemple $f(t)=e^{it}$ sur $[0,2\pi ]$ que l'inégalité $\mid {\displaystyle {\int }_a^{b}f}\mid ⩽{\displaystyle {\int }_a^b\mid f\mid }$ peut être strictement vérifiée.

4. Expliquer pourquoi il n'existe aucun énoncé de « croissance de l'intégrale » pour les fonctions à valeurs complexes. Quelles propriétés du cas réel survivent ?

Aucune des intégrales de cet exercice ne se calcule avec les primitives usuelles. On les encadre donc, en encadrant d'abord la fonction intégrée puis en intégrant les inégalités : si $a⩽b$ et si $m⩽f(t)⩽M$ pour tout $t\in [a,b]$, alors

$$m(b-a)⩽{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t⩽M(b-a)$$

1. Montrer que ${\displaystyle \frac{1}{2}}⩽{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{1+t^3}⩽1}$, puis améliorer la minoration en comparant ${\displaystyle \frac{1}{1+t^3}}$ à ${\displaystyle \frac{1}{1+t}}$.

2. Encadrer ${\displaystyle {\int }_1^2\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t}$ après avoir étudié les variations de la fonction intégrée.

3. Montrer que $1-{\displaystyle \frac{1}{e}}⩽{\displaystyle {\int }_0^1{e}^{-t^2}\mathrm{d}t⩽1}$, puis, à l'aide de l'inégalité $e^u⩾1+u$, affiner cet encadrement en ${\displaystyle \frac{2}{3}}⩽{\displaystyle {\int }_0^1{e}^{-t^2}\mathrm{d}t⩽{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}$.

4. Majorer $\mid {\displaystyle {\int }_0^{\pi }\frac{\sin t}{1+t^2}\mathrm{d}t}\mid$ le plus finement possible.

5. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $u_n={\displaystyle {\int }_0^1\frac{t^n}{1+t}\mathrm{d}t}$. Montrer que $u_n$ tend vers $0$ sans chercher à calculer $u_n$.

On rappelle la formule d'intégration par parties : si $u$ et $v$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur le segment $[a,b]$, alors

$${\int }_a^{b}u(t)v^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t=[u(t)v(t){]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\mathrm{\prime }}(t)v(t)\mathrm{d}t$$

Quand le facteur polynomial est de degré $2$, une seule intégration par parties ne suffit pas : il en faut autant que le degré. Et quand aucun des deux facteurs ne se simplifie en étant dérivé, comme dans le produit d'une exponentielle par une fonction trigonométrique, on tourne en rond deux fois de suite pour retomber sur l'intégrale de départ.

1. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^1{t}^2{e}^t\mathrm{d}t}$ par deux intégrations par parties.

2. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{t}^2\cos t\mathrm{d}t}$ par deux intégrations par parties.

3. On pose $I={\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{e}^t\sin t\mathrm{d}t}$ et $J={\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{e}^t\cos t\mathrm{d}t}$. Établir deux relations entre $I$ et $J$ par intégration par parties, puis en déduire $I$ et $J$.

4. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{e}^{(1+i)t}\mathrm{d}t}$ et en déduire à nouveau $I$ et $J$. Vérifier que les résultats des questions 3. et 4. coïncident.

On rappelle le théorème de changement de variable : si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et si $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[\alpha ,\beta ]$ à valeurs dans $I$, alors

$${\int }_{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (u)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(u)\mathrm{d}u$$

Avant tout calcul, on vérifiera donc systématiquement trois points : $f$ est continue sur un intervalle, $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, et $\phi$ prend ses valeurs dans cet intervalle. La bijectivité, elle, n'est pas une hypothèse du théorème : on verra à la question 5. où elle intervient réellement.

1. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t}$ en posant $t=\sin u$, puis interpréter géométriquement le résultat.

2. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{{(1+t^2)}^2}}$ en posant $t=\tan u$.

3. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\frac{\mathrm{d}t}{2+\cos t}}$ en posant $t=2\mathrm{Arctan}u$ (changement de variable mémorisé sous la forme « $u=\tan \frac{t}{2}$ »). On établira au préalable que $\cos (2\mathrm{Arctan}u)={\displaystyle \frac{1-u^2}{1+u^2}}$.

4. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^{3}t\mathrm{d}t}$ en posant $u=\sin t$.

5. Dans lesquelles des questions précédentes la bijectivité du changement de variable a-t-elle réellement servi, et à quoi ?

On considère la fonction $F$ définie par

$$F(x)={\int }_x^{2x}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}$$

Aucune primitive de $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{\ln t}}$ ne s'exprime à l'aide des fonctions usuelles : toute l'étude se fera donc sans jamais calculer $F$.

1. Justifier que $F$ est bien définie sur $]1,+\mathrm{\infty }[$ et que $F(x)>0$ pour tout $x>1$.

2. Montrer que $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]1,+\mathrm{\infty }[$ et que, pour tout $x>1$,

$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{x}{2}\right)}{\ln (2x)\ln x}$$

3. En déduire le signe de $F^{\mathrm{\prime }}$ et le sens de variation de $F$.

4. Montrer que pour tout $x>1$, ${\displaystyle \frac{x}{\ln (2x)}}⩽F(x)⩽{\displaystyle \frac{x}{\ln x}}$. En déduire ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)}$ et un encadrement de $F(2)$.

5. Montrer que $\ln t⩽t-1$ pour tout $t>0$. En déduire que $F(x)⩾\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{2x-1}{x-1}}\right)$ pour $x>1$, puis ${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{\lim }F(x)}$.

6. Dresser le tableau de variations de $F$.

Dans tout l'exercice, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a⩽b$, et $f$ est une fonction continue sur $[a,b]$ à valeurs réelles.

1. Démontrer l'inégalité triangulaire intégrale : $\mid {\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t}\mid ⩽{\displaystyle {\int }_a^b\mid f(t)\mid \mathrm{d}t}$.

2. En déduire l'inégalité de la moyenne : $\mid {\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t}\mid ⩽(b-a){\displaystyle \underset{[a,b]}{\sup }\mid f\mid }$. On justifiera au passage que cette borne supérieure existe.

3. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $u_n={\displaystyle {\int }_n^{n+1}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t}$. Montrer que $\mid u_n\mid ⩽{\displaystyle \frac{1}{n}}$, puis déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n}$.

4. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $v_n={\displaystyle {\int }_0^1{t}^n{e}^t\mathrm{d}t}$. Que donne l'inégalité de la moyenne appliquée telle quelle ? Trouver une majoration plus fine et en déduire ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{v}_n}$.

5. Donner un exemple de fonction pour laquelle l'inégalité de la moyenne est une égalité. Réciproquement, on suppose $a<b$ : montrer qu'il y a égalité si et seulement si $f$ est constante.

Soit $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$, avec $a<b$, et soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. On subdivise $[a,b]$ en $n$ segments de même longueur $h={\displaystyle \frac{b-a}{n}}$ en posant $x_k=a+kh$ pour $0⩽k⩽n$, et on approche l'intégrale par la somme des aires des rectangles « à gauche » :

$$R_n=\frac{b-a}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f(x_k)$$

Le théorème des sommes de Riemann affirme que $R_n$ tend vers ${\displaystyle {\int }_a^{b}f}$ ; l'objet de cet exercice est de dire à quelle vitesse. On note $M_1={\displaystyle \underset{[a,b]}{\sup }\mid f^{\mathrm{\prime }}\mid }$, qui existe car $f^{\mathrm{\prime }}$ est continue sur un segment.

1. Montrer que ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t-R_n=\sum _{k=0}^{n-1}{\int }_{x_k}^{x_{k+1}}(f(t)-f(x_k))\mathrm{d}t}$.

2. En déduire que $\mid {\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t-R_n}\mid ⩽{\displaystyle \frac{M_1(b-a{)}^2}{2n}}$.

3. On prend désormais $f(t)=e^{-t^2}$ sur $[0,1]$. Déterminer la valeur exacte de $M_1$ en étudiant les variations de $x\mapsto 2x{e}^{-x^2}$ sur $[0,1]$.

4. En déduire un entier $n$ garantissant une erreur inférieure à ${10}^{-3}$ pour le calcul approché de ${\displaystyle {\int }_0^1{e}^{-t^2}\mathrm{d}t}$ par la méthode des rectangles à gauche.

5. Commenter la vitesse de convergence en ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ et la comparer à celle de la méthode des trapèzes.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. Le théorème étudié ici est l'un des plus employés du chapitre : il transforme une information globale (une intégrale est nulle) en une information ponctuelle (la fonction est nulle en tout point). Il repose de façon essentielle sur la continuité, et la question 2 montre ce qu'il devient sans elle.

1. Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a,b]$ telle que ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t=0}$. Démontrer que $f$ est la fonction nulle sur $[a,b]$.

Indication : raisonner par l'absurde, en partant d'un point où $f$ ne s'annule pas, et utiliser la continuité en ce point.

2. Exhiber une fonction en escalier sur $[0,1]$, positive, d'intégrale nulle et non identiquement nulle. Qu'en conclure sur l'hypothèse de continuité ?

3. Soit $f$ continue sur $[a,b]$ telle que ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t{)}^2\mathrm{d}t=0}$. Démontrer que $f=0$.

4. Soient $f$ et $g$ continues sur $[a,b]$ telles que $f⩽g$ sur $[a,b]$ et ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t={\int }_a^{b}g(t)\mathrm{d}t}$. Démontrer que $f=g$.

5. Soit $f$ continue sur $[0,1]$ telle que ${\displaystyle {\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t=1}$ et ${\displaystyle {\int }_0^{1}f(t{)}^2\mathrm{d}t=1}$. Déterminer $f$.

On rappelle le théorème des sommes de Riemann : si $f$ est continue sur $[a,b]$, alors

$$\frac{b-a}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f\text{\hspace{0.17em}⁣}(a+k\frac{b-a}{n})\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t$$

La méthode est toujours la même : faire apparaître le facteur ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ devant la somme, puis reconnaître dans le terme général une expression ne dépendant de $k$ que par le quotient ${\displaystyle \frac{k}{n}}$. Ce quotient est alors la variable de la fonction $f$, et le segment est $[0,1]$.

1. Soit $f$ continue sur $[0,1]$. Démontrer que ${\displaystyle \frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{k}{n}\right)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t}$.

Déterminer les limites suivantes. Pour chacune, on précisera la fonction $f$ et le segment utilisés, et on justifiera la continuité de $f$ sur ce segment.

2. ${\displaystyle u_n=\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}}$

3. ${\displaystyle v_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}}$

4. ${\displaystyle w_n=\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n}k\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{k\pi }{n}\right)}$

5. ${\displaystyle z_n=\frac{1}{n^{\alpha +1}}\sum _{k=1}^n{k}^{\alpha }}$, où $\alpha >0$ est un réel fixé.

Cet exercice est un entraînement au maniement de l'inégalité de Taylor-Lagrange. C'est l'outil qui permet de chiffrer l'erreur commise lorsqu'on remplace une fonction par son polynôme de Taylor, non pas « au voisinage de $0$ » de façon vague, mais sur un segment donné et avec un nombre au bout.

1. Énoncer l'inégalité de Taylor-Lagrange en précisant soigneusement ses hypothèses.

2. Majorer l'erreur commise en remplaçant $\sin x$ par $x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}$, pour $x\in [-1,1]$.

3. Majorer $\mid e^x-(1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}})\mid$ pour $x\in [0,1]$.

4. Déterminer un entier $n$ tel que le polynôme de Taylor d'ordre $n$ de la fonction $\cos$ en $0$ approche $\cos (\mathrm{0,5})$ à ${10}^{-6}$ près.

5. Comparer l'inégalité de Taylor-Lagrange et la formule de Taylor-Young : que permet l'une que l'autre ne permet pas, et réciproquement ?

Pour tout entier naturel $n$, on pose

$$I_n={\int }_0^1\frac{t^n}{1+t}\mathrm{d}t$$

Ces intégrales ne se calculent pas une à une, mais elles obéissent à une relation de récurrence très simple. Cette relation permettra d'atteindre, à la fin de l'exercice, la limite de la suite de terme général $S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}}$, c'est-à-dire de la suite $1$, $1-\frac{1}{2}$, $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$, etc.

1. Justifier que $I_n$ est bien définie, puis démontrer que $I_n>0$ et que la suite $(I_n)$ est décroissante.

2. Démontrer l'encadrement ${\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}}⩽I_n⩽{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$, et en déduire la limite de $(I_n)$.

3. Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $I_{n+1}+I_n={\displaystyle \frac{1}{n+1}}$. Calculer $I_0$, puis $I_1$ et $I_2$.

4. On pose $S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}}$ pour $n⩾1$. Démontrer que $S_n=\ln 2+(-1{)}^{n+1}{I}_n$.

5. En déduire que la suite $(S_n)$ converge et donner sa limite. À partir de quel rang peut-on garantir $\mid S_n-\ln 2\mid ⩽{10}^{-3}$ ?

Pour tout entier $n⩾1$, on pose

$$I_n={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{{(1+t^2)}^n}$$

Seule la première de ces intégrales se calcule de front. Comme toujours avec une suite d'intégrales, c'est une relation de récurrence obtenue par intégration par parties qui les livre toutes, puis un encadrement qui donne le comportement de la suite.

1. Justifier que $I_n$ est bien définie pour tout $n⩾1$, calculer $I_1$, et démontrer que $I_n>0$.

2. Démontrer que la suite ${\left(I_n\right)}_{n⩾1}$ est strictement décroissante. Qu'en déduit-on sur sa convergence ?

3. Soit $n⩾1$. Intégrer $I_n$ par parties en dérivant $t\mapsto {(1+t^2)}^{-n}$ et en prenant $t$ pour primitive de $1$, puis, en écrivant $t^2=(1+t^2)-1$, démontrer que

$$2n{I}_{n+1}=(2n-1)I_n+\frac{1}{2^n}$$

4. En déduire les valeurs exactes de $I_2$ et $I_3$.

5. Démontrer que ${(1+t^2)}^n⩾1+n{t}^2$ pour tout réel $t$ et tout $n⩾1$. En déduire, à l'aide du changement de variable $u=\sqrt{n}t$, que

$$0<I_n⩽\frac{\pi }{2\sqrt{n}}$$

puis déterminer la limite de la suite $\left(I_n\right)$.

Une somme de $n$ termes ne se calcule pas toujours, mais elle s'encadre souvent par des intégrales, à condition que le terme général provienne d'une fonction monotone. C'est la méthode de comparaison somme-intégrale, et elle donne ici le comportement de la suite harmonique.

Pour $n⩾1$, on pose

$$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\text{et}{A}_n=\sum _{k=1}^n\sqrt{k}$$

1. Soit $f$ une fonction continue et décroissante sur un intervalle contenant $[k,k+1]$, où $k$ est un entier. Démontrer que

$$f(k+1)⩽{\int }_k^{k+1}f(t)\mathrm{d}t⩽f(k)$$

2. En appliquant ce résultat à $f(t)={\displaystyle \frac{1}{t}}$, démontrer que pour tout $n⩾1$,

$$\ln (n+1)⩽H_n⩽1+\ln n$$

3. En déduire la limite de $(H_n)$, puis que $H_n\sim \ln n$.

4. Énoncer et démontrer l'encadrement analogue à celui de la question 1 lorsque $f$ est croissante.

5. En déduire un encadrement de $A_n$, puis démontrer que $A_n\sim {\displaystyle \frac{2}{3}}{n}^{3\mathrm{/}2}$.

L'exercice 24 a établi que $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$ vérifie $H_n\sim \ln n$. Cet équivalent laisse une question ouverte : que devient l'écart $H_n-\ln n$ ? On va voir qu'il ne tend pas vers $0$, mais vers une constante, notée $\gamma$ et appelée constante d'Euler.

Pour $n⩾1$, on pose

$$u_n=H_n-\ln n\text{et}{v}_n=H_n-\ln (n+1)$$

1. Démontrer que pour tout entier $k⩾1$, ${\displaystyle \frac{1}{k+1}}⩽\ln (k+1)-\ln k⩽{\displaystyle \frac{1}{k}}$.

2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

3. Démontrer que la suite $(v_n)$ est croissante, puis que $u_n-v_n\to 0$. Qu'en conclure ?

4. Encadrer numériquement $\gamma$ en utilisant les termes de rang $4$.

5. En déduire que $H_n=\ln n+\gamma +o(1)$, puis déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(H_{n^2}-2H_n)}$.

Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$, avec $a<b$. Pour $n⩾1$, on pose $h={\displaystyle \frac{b-a}{n}}$ et $x_k=a+kh$ pour $k\in \{0,\dots ,n\}$, ainsi que $m_k={\displaystyle \frac{x_k+x_{k+1}}{2}}$. On considère trois approximations de ${\displaystyle {\int }_a^{b}f}$ :

$$T_n=h(\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{k=1}^{n-1}f(x_k)),G_n=h\sum _{k=0}^{n-1}f(x_k),P_n=h\sum _{k=0}^{n-1}f(m_k)$$

soit respectivement la méthode des trapèzes, celle des rectangles à gauche et celle des rectangles au point milieu (pour $n=1$, la somme définissant $T_1$ est vide, donc nulle).

1. Démontrer que $T_n={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\frac{h}{2}(f(x_k)+f(x_{k+1}))}$ et interpréter géométriquement.

2. On suppose $f$ convexe sur $[a,b]$. Démontrer que ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t⩽T_n}$.

3. On suppose de plus $f$ dérivable. Démontrer que $P_n⩽{\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t}$.

4. On suppose $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ et on note $M_1$ un majorant de $\mid f^{\mathrm{\prime }}\mid$ sur $[a,b]$. Démontrer que

$$\mid {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t-G_n\mid ⩽\frac{M_1(b-a{)}^2}{2n}$$

On admet que si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ et si $M_2$ majore $\mid f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\mid$ sur $[a,b]$, alors $\mid {\displaystyle {\int }_a^{b}f-T_n}\mid ⩽{\displaystyle \frac{M_2(b-a{)}^3}{12n^2}}$.

5. Application à ${\displaystyle {\int }_1^2\frac{\mathrm{d}t}{t}}$ : combien de subdivisions garantissent une erreur inférieure à ${10}^{-4}$ par la méthode des trapèzes ? par celle des rectangles ? Conclure sur la comparaison des deux méthodes.

Soient $a<b$ deux réels et $f$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$, à valeurs réelles. Pour $n⩾1$, on pose

$$J_n={\int }_a^{b}f(t)\sin (nt)\mathrm{d}t\text{et}{K}_n={\int }_a^{b}f(t)\cos (nt)\mathrm{d}t$$

Quand $n$ grandit, la fonction $t\mapsto \sin (nt)$ oscille de plus en plus vite : sur chaque petit intervalle où $f$ varie peu, les contributions positives et négatives se compensent presque exactement. L'exercice montre que cette intuition est juste, et la quantifie.

1. À l'aide d'une intégration par parties, exprimer $J_n$ en fonction de $f(a)$, $f(b)$ et d'une intégrale faisant intervenir $f^{\mathrm{\prime }}$.

2. En déduire l'existence d'une constante $C$, indépendante de $n$, telle que $\mid J_n\mid ⩽{\displaystyle \frac{C}{n}}$ pour tout $n⩾1$. Quelle est la limite de $(J_n)$ ?

3. Adapter le raisonnement à $K_n$.

4. Vérifier le résultat sur l'exemple $f(t)=t$ sur $[0,1]$ : calculer $J_n$ explicitement et contrôler la majoration de la question 2.

5. On prend $f$ constante égale à $1$ sur $[0,\pi ]$. Calculer $J_n$ et en déduire que la majoration en ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ ne peut pas être améliorée.

Certaines intégrales ne se calculent pas en cherchant une primitive : elles se calculent en les comparant à elles-mêmes. Le changement de variable $u=a+b-t$, qui retourne le segment $[a,b]$ sur lui-même, est l'outil de base de cette technique.

1. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a⩽b$, et $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Démontrer que

$${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t={\int }_a^{b}f(a+b-t)\mathrm{d}t$$

2. Soit $f$ une fonction continue sur $[-1,1]$. En utilisant la question 1, démontrer que

$${\int }_0^{\pi }tf(\sin t)\mathrm{d}t=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin t)\mathrm{d}t$$

3. En déduire la valeur de ${\displaystyle I={\int }_0^{\pi }\frac{t\sin t}{1+{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t}$.

4. Calculer ${\displaystyle J={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\frac{\cos t}{\cos t+\sin t}\mathrm{d}t}$. On introduira l'intégrale $K$ obtenue en remplaçant $\cos t$ par $\sin t$ au numérateur.

5. Soit $g$ continue sur $[a,b]$ telle que $g(a+b-t)=-g(t)$ pour tout $t\in [a,b]$. Démontrer que ${\displaystyle {\int }_a^{b}g(t)\mathrm{d}t=0}$, puis appliquer ce résultat à ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\cos }^{3}t\mathrm{d}t}$ et contrôler par un calcul direct.

Une somme de Riemann permet de calculer la limite d'une somme de $n$ termes. Pour un produit de $n$ facteurs strictement positifs, on passe d'abord au logarithme : le produit devient une somme, et l'exponentielle ramène ensuite au résultat cherché.

Pour tout entier $n⩾1$, on pose

$$a_n={\left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)}^{1\mathrm{/}n},b_n=\frac{1}{n}{(\prod _{k=1}^n(n+k))}^{1\mathrm{/}n},c_n={\left(\prod _{k=1}^n(1+\frac{k}{n})\right)}^{1\mathrm{/}n}$$

1. Démontrer que $a_n=b_n=c_n$ pour tout entier $n⩾1$.

2. Démontrer que $\ln c_n$ est une somme de Riemann associée à une fonction continue sur un segment, que l'on précisera.

3. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^1\ln (1+x)\mathrm{d}x}$, puis en déduire la limite de la suite $(c_n)$ en justifiant soigneusement le passage du logarithme à la limite.

4. Contrôler le résultat en calculant $c_{10}$, et commenter la vitesse de convergence.

5. Par la même méthode, déterminer la limite de ${\displaystyle d_n={\left(\prod _{k=1}^n(1+\frac{k^2}{n^2})\right)}^{1\mathrm{/}n}}$.

On rappelle l'inégalité de Taylor-Lagrange : si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{n+1}$ sur un intervalle $I$, si $a$ et $x$ appartiennent à $I$, et si $M$ majore $\mid f^{(n+1)}\mid$ sur le segment d'extrémités $a$ et $x$, alors

$$\mid f(x)-\sum _{k=0}^n\frac{(x-a{)}^k}{k!}{f}^{(k)}(a)\mid ⩽M\frac{\mathrm{\mid }x-a{\mathrm{\mid }}^{n+1}}{(n+1)!}$$

Pour tout entier naturel $n$, on pose ${\displaystyle S_n=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}}$ et ${\displaystyle T_n=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}}$. On utilisera l'encadrement classique $2<e<3$.

1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $\mid e-S_n\mid ⩽{\displaystyle \frac{3}{(n+1)!}}$.

2. En déduire que la suite $(S_n)$ converge et donner sa limite.

3. Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel la majoration de la question 1 garantit une erreur inférieure ou égale à ${10}^{-6}$, puis donner la valeur approchée de $e$ correspondante.

4. Reprendre les trois questions précédentes pour $e^{-1}$ et la suite $(T_n)$.

On considère la fonction $F$ définie par

$$F(x)={\int }_0^x\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2+t^4}$$

Aucune primitive simple de l'intégrande n'est disponible : toute l'étude se fait sans jamais calculer $F$.

1. Justifier que $F$ est définie sur $\mathbb{R}$, qu'elle y est de classe ${\mathcal{C}}^1$, calculer $F^{\mathrm{\prime }}$ et en déduire le sens de variation de $F$.

2. Démontrer que $F$ est impaire.

3. Démontrer que pour tout $x⩾0$, $0⩽F(x)⩽\mathrm{Arctan}x$. En déduire que $F$ admet une limite finie $\mathrm{\ell }$ en $+\mathrm{\infty }$, avec $\mathrm{\ell }⩽{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, puis donner la limite de $F$ en $-\mathrm{\infty }$.

4. Affiner l'encadrement précédent en démontrant que ${\displaystyle \frac{1}{3}}⩽\mathrm{\ell }⩽{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}$.

5. Déterminer la tangente à la courbe de $F$ en $0$ et la position de la courbe par rapport à cette tangente, puis dresser le tableau de variations de $F$ et décrire l'allure de la courbe.

Soient $a<b$ deux réels et $f$, $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$, à valeurs réelles. On pose

$$A={\int }_a^{b}f(t{)}^2\mathrm{d}t,B={\int }_a^{b}f(t)g(t)\mathrm{d}t,C={\int }_a^{b}g(t{)}^2\mathrm{d}t$$

et, pour tout réel $\lambda$, ${\displaystyle P(\lambda )={\int }_a^b{(f(t)+\lambda g(t))}^2\mathrm{d}t}$. On utilisera le théorème du cours : une fonction continue et positive sur $[a,b]$ dont l'intégrale est nulle est la fonction nulle.

1. Démontrer que $P(\lambda )=C{\lambda }^2+2B\lambda +A$ et que $P(\lambda )⩾0$ pour tout réel $\lambda$.

2. Traiter le cas $C=0$ : démontrer que $g$ est la fonction nulle, puis que $B^2⩽AC$.

3. Dans le cas $C>0$, démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

$${({\int }_a^{b}f(t)g(t)\mathrm{d}t)}^2⩽({\int }_a^{b}f(t{)}^2\mathrm{d}t)({\int }_a^{b}g(t{)}^2\mathrm{d}t)$$

4. Démontrer que l'égalité a lieu si et seulement s'il existe un couple $(\alpha ,\beta )\mathrm{\ne }(0,0)$ de réels tel que $\alpha f+\beta g$ soit la fonction nulle.

5. Applications, pour $f$ continue sur $[0,1]$ : démontrer que ${\left({\displaystyle {\int }_0^{1}f}\right)}^2⩽{\displaystyle {\int }_0^1{f}^2}$ en précisant le cas d'égalité, puis majorer ${\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{t}f(t)\mathrm{d}t}$.