Devoir surveillé — Intégration

Chacune des cinq affirmations suivantes est soit vraie, soit fausse. Si elle est vraie, la démontrer. Si elle est fausse, produire un contre-exemple explicite et dire quelle hypothèse fait défaut. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. (0,5 pt) Soient $a<b$ et $f$ continue sur $[a,b]$ telle que ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t=0}$. Alors $f$ s'annule au moins une fois sur $[a,b]$.

2. (0,75 pt) Il existe une fonction $f$ continue et strictement positive sur $[0,1]$ telle que

$$f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right)={10}^6\text{et}{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t⩽{10}^{-6}\mathrm{.}$$

3. (0,75 pt) Soit $T>0$ et soit $f$ continue sur $\mathbb{R}$ et $T$-périodique. Alors la fonction $F:x\mapsto {\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t}$ est $T$-périodique.

4. (0,5 pt) Pour toute fonction $f$ continue sur $[0,1]$, ${\displaystyle {\int }_0^{1}f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(t^2\right)\mathrm{d}t={\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t}$.

5. (0,5 pt) Pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x$,

$$\mid e^x-\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\mid ⩽\frac{3\mid x{\mid }^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm{.}$$

On appelle polynôme trigonométrique toute fonction de la forme

$$P(t)=a_0+\sum _{k=1}^n(a_k\cos (kt)+b_k\sin (kt)),$$

où $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et où $a_0,\dots ,a_n,b_1,\dots ,b_n$ sont des réels. Une telle fonction est continue sur $\mathbb{R}$ et $2\pi$-périodique. On se propose de calculer la moyenne de son carré sur une période, puis d'en tirer deux conséquences.

1. (0,75 pt) Soit $m\in \mathbb{Z}$. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{e}^{imt}\mathrm{d}t}$ en distinguant les cas $m=0$ et $m\mathrm{\ne }0$.

2. (1 pt) Soient $j$ et $k$ deux entiers naturels. En écrivant les fonctions trigonométriques à l'aide de l'exponentielle complexe, calculer les trois intégrales suivantes. On distinguera à chaque fois les cas $j=k=0$, $j=k\mathrm{\ne }0$ et $j\mathrm{\ne }k$.

3. (0,75 pt) En déduire que

$$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }P(t{)}^2\mathrm{d}t=a_0^2+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)\mathrm{.}$$

4. (0,5 pt) En déduire que si $P$ est la fonction nulle, alors tous ses coefficients sont nuls. Qu'en conclut-on sur l'écriture d'un polynôme trigonométrique ?

5. (0,5 pt) Application à $P(t)=1+2\cos t+3\sin (2t)$. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }P(t{)}^2\mathrm{d}t}$, puis démontrer que ${\displaystyle \underset{\mathbb{R}}{\sup }\mid P\mid ⩾\sqrt{\frac{15}{2}}}$.

Une valeur approchée sans majoration d'erreur ne vaut rien. Cet exercice compare deux majorations : la première ne demande que la monotonie de la fonction, la seconde exploite sa régularité. Les deux parties sont indépendantes jusqu'à la question 6. La calculatrice est autorisée pour cet exercice, seul du sujet à demander des valeurs numériques.

Partie A. Une majoration qui ne demande que la monotonie.

Soit $f$ continue et décroissante sur $[a,b]$, avec $a<b$. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $h={\displaystyle \frac{b-a}{n}}$, $x_k=a+kh$ pour $0⩽k⩽n$, ainsi que

$$R_n=h\sum _{k=0}^{n-1}f(x_k)\text{et}{R}_n^{\mathrm{\prime }}=h\sum _{k=1}^{n}f(x_k)\mathrm{.}$$

1. (0,75 pt) Soit ${\phi }_n:[a,b]\to \mathbb{R}$ la fonction définie par ${\phi }_n(t)=f(x_k)$ pour $t\in ]x_k,x_{k+1}[$ et $0⩽k⩽n-1$, et par ${\phi }_n(x_k)=f(x_k)$ pour $0⩽k⩽n$. Justifier que ${\phi }_n$ est en escalier sur $[a,b]$ en exhibant une subdivision adaptée, puis démontrer que ${\displaystyle {\int }_{[a,b]}{\phi }_n=R_n}$.

2. (0,5 pt) Démontrer que $R_n^{\mathrm{\prime }}⩽{\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t⩽R_n}$. On travaillera sur chaque segment $[x_k,x_{k+1}]$.

3. (0,5 pt) En déduire que

$$0⩽R_n-{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t⩽\frac{(b-a)(f(a)-f(b))}{n}\mathrm{.}$$

Cette majoration suppose-t-elle $f$ dérivable ?

4. (0,75 pt) On pose ${\displaystyle J={\int }_0^1\sqrt{1-t^3}\mathrm{d}t}$. Justifier que la majoration d'erreur du cours pour la méthode des rectangles ne s'applique pas ici, alors que celle de la question 3. s'applique. Calculer $R_4$ et $R_4^{\mathrm{\prime }}$ (valeurs exactes, puis approchées à ${10}^{-3}$ près) et en déduire un encadrement certifié de $J$. Combien de subdivisions garantissent un encadrement d'amplitude au plus ${10}^{-2}$ ?

Partie B. Une majoration qui exploite la régularité.

Soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un segment $[\alpha ,\beta ]$ avec $\alpha <\beta$. On note $m={\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}$ son milieu et $M_2$ un majorant de $\mid f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\mid$ sur $[\alpha ,\beta ]$.

5. (1,25 pt) Démontrer que

$$\mid {\int }_{\alpha }^{\beta }f(t)\mathrm{d}t-(\beta -\alpha )f(m)\mid ⩽\frac{M_2(\beta -\alpha {)}^3}{24}\mathrm{.}$$

On appliquera l'inégalité de Taylor-Lagrange à $f$ entre $m$ et $t$, à un ordre bien choisi, et l'on calculera ${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }(t-m)\mathrm{d}t}$.

En déduire que si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $[a,b]$, si $M_2$ majore $\mid f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\mid$ sur $[a,b]$ et si l'on pose $m_k={\displaystyle \frac{x_k+x_{k+1}}{2}}$ puis $P_n=h{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}f(m_k)}$, alors

$$\mid {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t-P_n\mid ⩽\frac{M_2(b-a{)}^3}{24n^2}\mathrm{.}$$

6. (0,75 pt) Application à $f(t)={\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}$ sur $[0,1]$. Après avoir calculé $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, démontrer que $\mid f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)\mid ⩽2$ sur $[0,1]$. Calculer $P_4$ et en déduire un encadrement de $\pi$. Comparer en une phrase le coût des deux méthodes de cet exercice.

Dans tout l'exercice, les fonctions considérées sont continues sur $[0,1]$ et à valeurs réelles.

1. (0,75 pt) Soit $f$ continue et croissante sur $[0,1]$. Démontrer que la fonction

$$\varphi :t⟼(t-\frac{1}{2})(f(t)-f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right))$$

est positive sur $[0,1]$, puis en déduire que

$${\int }_0^{1}tf(t)\mathrm{d}t⩾\frac{1}{2}{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

2. (0,75 pt) Démontrer que cette inégalité est une égalité si et seulement si $f$ est constante.

3. (0,5 pt) Vérifier l'inégalité de la question 1. pour $f(t)=t^p$, où $p\in \mathbb{N}$. Pour quelles valeurs de $p$ y a-t-il égalité ? Le résultat est-il conforme à la question 2. ?

4. (1 pt) On suppose maintenant $f$ et $g$ continues et toutes deux croissantes sur $[0,1]$. Justifier l'existence d'un réel $c\in [0,1]$ tel que $f(c)={\displaystyle {\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t}$, puis démontrer que

$${\int }_0^{1}f(t)g(t)\mathrm{d}t⩾({\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t)({\int }_0^{1}g(t)\mathrm{d}t)\mathrm{.}$$

Retrouver la question 1. comme cas particulier, et vérifier l'inégalité sur $f(t)=t$ et $g(t)=e^t$.

Pour tout couple $(p,q)$ d'entiers naturels, on pose

$$B(p,q)={\int }_0^1{t}^p{(1-t)}^q\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Les parties A. et B. calculent ces nombres. La partie C. en tire deux résultats qui ne parlent plus d'intégrales du tout : une identité entre coefficients binomiaux, puis un encadrement du coefficient binomial central ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)}$.

Partie A. Premières propriétés.

1. (0,5 pt) Justifier que $B(p,q)$ est bien défini, puis que $B(p,q)>0$.

2. (0,5 pt) À l'aide du changement de variable $u=1-t$, démontrer que $B(p,q)=B(q,p)$.

3. (0,5 pt) Calculer $B(p,0)$ pour tout $p\in \mathbb{N}$, puis $B(1,1)$ et $B(2,1)$ en développant l'intégrande.

Partie B. Une formule close.

4. (0,75 pt) Soit $q⩾1$. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout $p\in \mathbb{N}$,

$$B(p,q)=\frac{q}{p+1}B(p+1,q-1)\mathrm{.}$$

5. (1 pt) En déduire, par récurrence sur $q$, que pour tous entiers naturels $p$ et $q$,

$$B(p,q)=\frac{p!q!}{(p+q+1)!}\mathrm{.}$$

On prendra garde à énoncer l'hypothèse de récurrence pour tous les entiers $p$ à la fois.

6. (0,25 pt) Contrôler cette formule sur les trois valeurs calculées à la question 3.

Partie C. Deux récoltes.

7. (0,75 pt) En développant $(1-t{)}^q$ par la formule du binôme, puis en intégrant, démontrer que pour tous entiers naturels $p$ et $q$,

$$\sum _{k=0}^q\frac{(-1{)}^k}{p+k+1}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{q}{k}\right)=\frac{p!q!}{(p+q+1)!}\mathrm{.}$$

8. (0,5 pt) En déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k+1}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$, puis la vérifier par un calcul direct pour $n=3$.

9. (0,75 pt) Démontrer que $t(1-t)⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$ pour tout $t\in [0,1]$, avec égalité si et seulement si $t={\displaystyle \frac{1}{2}}$. En déduire que $B(n,n)<4^{-n}$ pour tout $n⩾1$.

10. (0,5 pt) En déduire que ${\displaystyle \frac{4^n}{2n+1}}<{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)}$ pour tout $n⩾1$. Démontrer par ailleurs que ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)⩽4^n}$. Vérifier l'encadrement pour $n=5$ et commenter sa qualité.