Exercices — Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité

Une limite ne se devine pas : on applique les théorèmes d'opérations sur les limites, et on ne transforme l'écriture que lorsque ces théorèmes ne concluent pas, c'est-à-dire devant une forme indéterminée. Il y en a exactement quatre :

$$\frac{0}{0},\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }},\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },0\times \mathrm{\infty }$$

Dans tout l'exercice, on justifiera à chaque étape la forme rencontrée, puis la transformation qui la lève.

1. Limites de quotients. Factoriser, en un point fini par la racine commune, à l'infini par le terme dominant.

2. Limites avec des racines. Utiliser la quantité conjuguée.

3. Limites par croissances comparées.

4. Ces trois limites sont des taux d'accroissement déguisés. Les reconnaître, puis conclure.

On rappelle deux points de cours utilisés dans tout l'exercice.

Partie entière. Pour tout réel $x$, il existe un unique entier $n\in \mathbb{Z}$ tel que $n⩽x<n+1$ ; cet entier est noté $\lfloor x\rfloor$ et appelé partie entière de $x$. Ainsi $\lfloor \mathrm{2,7}\rfloor =2$, $\lfloor 3\rfloor =3$ et $\lfloor -\mathrm{1,5}\rfloor =-2$.

Limites unilatérales. Soit $a$ un réel et $f$ une fonction définie au voisinage de $a$, sauf peut-être en $a$.

• Si $f$ n'est pas définie en $a$, alors $f$ admet une limite en $a$ si et seulement si elle admet une limite à gauche et une limite à droite en $a$ et que ces deux limites sont égales.
• Si $f$ est définie en $a$, alors (avec la convention des inégalités larges) $f$ admet une limite en $a$ si et seulement si ${\displaystyle \underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=f(a)}$, c'est-à-dire si et seulement si $f$ est continue en $a$.

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la limite à gauche et la limite à droite au point indiqué, puis conclure quant à l'existence d'une limite en ce point.

1. $f_1(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ en $0$.

2. $f_2(x)={\displaystyle \frac{x+2}{(x-1{)}^2}}$ en $1$.

3. $f_3(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{x}}$ en $0$.

4. $f_4(x)=e^{1\mathrm{/}x}$ en $0$.

5. $f_5(x)=\lfloor x\rfloor$, d'abord en $2$, puis en un réel $a$ non entier. Que peut-on en déduire sur l'ensemble des points où la partie entière est continue ?

6. Soit $a\in \mathbb{R}$ et $f_6$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f_6(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}}& \text{si }x<1\\ ax+3& \text{si }x⩾1\end{array}$$

Déterminer la valeur de $a$ pour laquelle $f_6$ admet une limite en $1$, et préciser alors cette limite.

Rappel. Soit $I$ un intervalle, $a\in I$ et $f$ une fonction définie et continue sur $I\setminus \{a\}$. On dit que $f$ est prolongeable par continuité en $a$ lorsque $f$ admet en $a$ une limite finie $\mathrm{\ell }$. Le prolongement est alors la fonction $\tilde{f}$ définie sur $I$ par

$$\tilde{f}(x)=f(x)\text{ si }x\mathrm{\ne }a,\tilde{f}(a)=\mathrm{\ell }$$

et c'est l'unique fonction continue sur $I$ qui coïncide avec $f$ sur $I\setminus \{a\}$. Une limite infinie, ou une absence de limite, interdit le prolongement.

Pour chacune des fonctions suivantes, dire si elle est prolongeable par continuité au point indiqué et, le cas échéant, préciser la valeur du prolongement en ce point. On rédigera à chaque fois une conclusion complète.

1. $f_1(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$ en $0$.

2. $f_2(x)={\displaystyle \frac{e^x-1}{x}}$ en $0$.

3. $f_3(x)=x\ln x$ en $0$ (la fonction est définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$).

4. $f_4(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}}$ en $1$.

5. $f_5(x)=x\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ en $0$.

6. $f_6(x)=\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ en $0$. On pourra utiliser les deux suites $u_n={\displaystyle \frac{1}{2n\pi }}$ et $v_n={\displaystyle \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2n\pi }}$, définies pour $n⩾1$.

7. Le prolongement $\widetilde{f_5}$ obtenu à la question 5. est-il dérivable en $0$ ?

Rappel. Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a\in I$. La fonction $f$ est dérivable en $a$ lorsque son taux d'accroissement en $a$ admet une limite finie :

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f^{\mathrm{\prime }}(a)$$

Si $a$ est intérieur à $I$, la fonction $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si elle admet en $a$ une dérivée à gauche $f_g^{\mathrm{\prime }}(a)$ et une dérivée à droite $f_d^{\mathrm{\prime }}(a)$ et que ces deux nombres sont égaux ; on a alors $f^{\mathrm{\prime }}(a)=f_g^{\mathrm{\prime }}(a)=f_d^{\mathrm{\prime }}(a)$.

1. Reconnaître chacune de ces limites comme un nombre dérivé, puis la calculer.

2. Étudier la dérivabilité en $0$ de $f:x\mapsto \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$, définie sur $\mathbb{R}$. Interpréter graphiquement.

3. Étudier la dérivabilité en $0$ de $g:x\mapsto \sqrt{x}$, définie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. Interpréter graphiquement.

4. Étudier la dérivabilité en $0$ de $h:x\mapsto x\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$, définie sur $\mathbb{R}$.

5. Soit $\phi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+1& \text{si }x⩽1\\ 3x-1& \text{si }x>1\end{array}$$

Montrer que $\phi$ est continue en $1$, puis étudier sa dérivabilité en $1$.

6. Soient $a$ et $b$ deux réels et $\psi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\psi (x)=x^2$ si $x⩽1$ et $\psi (x)=ax+b$ si $x>1$. Déterminer $a$ et $b$ pour que $\psi$ soit dérivable en $1$. Que représente alors la droite d'équation $y=ax+b$ ?

Rappel. Soit $f$ dérivable en $a$. La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est la droite d'équation

$$y=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)+f(a)$$

De façon équivalente, $f$ admet en $a$ un développement limité à l'ordre $1$ : il existe une fonction $\epsilon$ de limite nulle en $0$ telle que, pour $h$ voisin de $0$,

$$f(a+h)=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)h+h\epsilon (h),\underset{h\to 0}{\lim }\epsilon (h)=0$$

Autrement dit, au voisinage de $a$, la fonction est bien approchée par la fonction affine dont la courbe est la tangente : c'est l'approximation affine $f(a+h)\approx f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)h$.

1. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$, dans chacun des cas suivants.

2. Écrire le développement limité à l'ordre $1$ en $0$ des quatre fonctions suivantes.

3. En déduire une valeur approchée de $\sqrt{\mathrm{1,02}}$, de $\ln (\mathrm{1,01})$, de $e^{\mathrm{0,03}}$ et de ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,98}}}$.

4. Déterminer les points de la courbe de $f:x\mapsto x^3-2x$ en lesquels la tangente est parallèle à la droite d'équation $y=x$, et donner les équations de ces tangentes.

5. Soit $g$ une fonction dérivable en $2$, telle que $g(2)=5$ et $g^{\mathrm{\prime }}(2)=-3$. Donner l'équation de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $2$, le développement limité de $g$ à l'ordre $1$ en $2$, puis une valeur approchée de $g(\mathrm{2,01})$.

Rappel. Le domaine de dérivabilité ${\mathcal{D}}_{f^{\mathrm{\prime }}}$ est toujours contenu dans le domaine de définition ${\mathcal{D}}_f$, mais il peut être strictement plus petit. Les deux sources d'écart les plus fréquentes sont :

• $\sqrt{u}$ est définie là où $u⩾0$, mais dérivable seulement là où $u>0$, avec ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{2\sqrt{u}}}$ ;
• $\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }$ n'est pas dérivable en un point $a$ où $u(a)=0$ et $u^{\mathrm{\prime }}(a)\mathrm{\ne }0$ ; si $u^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ également, elle peut l'être (comparer $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ et $\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^3$ en $0$).

1. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de définition ${\mathcal{D}}_f$, son ensemble de dérivabilité ${\mathcal{D}}_{f^{\mathrm{\prime }}}$, puis calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur ce dernier.

2. Pour lesquelles de ces fonctions a-t-on ${\mathcal{D}}_{f^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{\ne }{\mathcal{D}}_f$ ? Interpréter graphiquement.

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-3,5]$. La figure ci-dessus représente la courbe de sa dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$, et non celle de $f$ : c'est le point à ne pas perdre de vue pendant tout l'exercice.

On lit sur la figure : la courbe de $f^{\mathrm{\prime }}$ est une parabole tournée vers le haut ; elle coupe l'axe des abscisses en $x=-1$ et en $x=3$ ; son sommet est le point $S(1;-\mathrm{1,6})$ ; enfin $f^{\mathrm{\prime }}(-3)=f^{\mathrm{\prime }}(5)=\mathrm{4,8}$.

On suppose de plus que $f(-1)=2$.

1. Déterminer le signe de $f^{\mathrm{\prime }}$ sur $[-3,5]$ et le présenter dans un tableau.

2. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[-3,5]$.

3. Déterminer les points critiques de $f$ et préciser, pour chacun, s'il correspond à un extremum local. La fonction $f$ admet-elle d'autres extremums locaux sur $[-3,5]$ ?

4. Étudier la monotonie de $f^{\mathrm{\prime }}$ sur $[-3,5]$. Qu'en déduit-on sur la convexité de $f$ ?

5. Déterminer l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de $f$.

6. En quels points la courbe de $f$ admet-elle une tangente horizontale ? Donner l'équation de celles que les données permettent de déterminer.

7. Décrire l'allure de la courbe de $f$ sur $[-3,5]$, puis en tracer une esquisse.

Rappel. Pour $k\in \mathbb{N}$, une fonction est dite de classe ${\mathcal{C}}^k$ sur un intervalle $I$ lorsqu'elle est $k$ fois dérivable sur $I$ et que sa dérivée $k$-ième est continue sur $I$. Elle est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ lorsqu'elle est de classe ${\mathcal{C}}^k$ pour tout $k$.

Dans les questions 1. à 5., on calculera les premières dérivées, on conjecturera l'expression de la dérivée $n$-ième, puis on la démontrera par récurrence.

1. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ par $f(x)={\displaystyle \frac{1}{1-x}}$.

2. Soit $g$ définie sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$ par $g(x)=\ln (1+x)$. On donnera $g^{(n)}$ pour $n⩾1$.

3. Soit $a$ un réel et $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=e^{ax}$.

4. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ et tout réel $x$, ${\cos }^{(n)}(x)=\cos (x+{\displaystyle \frac{n\pi }{2}})$. On rappelle que $\cos (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=-\sin \theta$ pour tout réel $\theta$.

5. Soit $u$ définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par $u(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

6. Soit $\phi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& \text{si }x⩾0\\ -x^2& \text{si }x<0\end{array}$$

a. Montrer que $\phi (x)=x\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ pour tout réel $x$.

b. Montrer que $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ et expliciter ${\phi }^{\mathrm{\prime }}$.

c. La fonction $\phi$ est-elle de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathbb{R}$ ? Et sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ ?

Rappel. Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

• $f$ est convexe sur $I$, c'est-à-dire $f(\lambda x+(1-\lambda )y)⩽\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$ pour tous $x,y\in I$ et tout $\lambda \in [0,1]$ ;
• $f^{\mathrm{\prime }}$ est croissante sur $I$ ;
• $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⩾0$ sur $I$.

On obtient les propriétés des fonctions concaves en renversant toutes les inégalités. La courbe d'une fonction convexe est située au-dessus de chacune de ses tangentes, celle d'une fonction concave en dessous. Enfin, un point d'inflexion est un point de la courbe où la convexité change.

Pour chacune des fonctions suivantes : calculer $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, étudier son signe dans un tableau, puis conclure sur les intervalles de convexité et de concavité et sur les points d'inflexion.

1. $f(x)=x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$.

2. $f(x)=e^x$ sur $\mathbb{R}$. En déduire la position de la courbe par rapport à sa tangente en $0$ et écrire l'inégalité correspondante.

3. $f(x)=\ln x$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. En déduire la position de la courbe par rapport à sa tangente en $1$ et écrire l'inégalité correspondante.

4. $f(x)=x^4$ sur $\mathbb{R}$. La courbe admet-elle un point d'inflexion en $0$ ? Que faut-il donc vérifier avant d'annoncer un point d'inflexion ?

5. $f(x)={\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}$ sur $\mathbb{R}$. On montrera au passage que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x(x^2-3)}{{(1+x^2)}^3}}$.

On utilise librement les deux théorèmes du cours, valables aussi bien en un point $a$ qu'en $+\mathrm{\infty }$.

Encadrement. Si $g(x)⩽f(x)⩽h(x)$ au voisinage de $a$ et si $g$ et $h$ admettent en $a$ la même limite finie $\mathrm{\ell }$, alors $f$ admet la limite $\mathrm{\ell }$ en $a$.

Comparaison. Si $f(x)⩾g(x)$ au voisinage de $a$ et si $g(x)\to +\mathrm{\infty }$, alors $f(x)\to +\mathrm{\infty }$ (énoncé symétrique, avec une majoration, pour $-\mathrm{\infty }$).

1. Déterminer les limites suivantes en construisant à chaque fois un encadrement explicite.

a. $\underset{x\to 0}{\lim }x\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}$

b. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\lfloor {\displaystyle \frac{1}{x}}\rfloor$

c. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$

2. Soit $f$ une fonction définie sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ dont on sait seulement que

$$\mathrm{\forall }x⩾1,x^2-x⩽f(x)⩽x^2+3x\mathrm{.}$$

a. Déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$.

b. Déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x^2}}$.

c. Peut-on déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)-x^2)$ ?

3. Démontrer les deux limites suivantes par minoration.

a. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x+\cos x)=+\mathrm{\infty }$

b. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x^2+x\sin x)=+\mathrm{\infty }$

4. Un élève rédige : « pour tout $x>0$, $x\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}⩽x$, et $x\to 0$ quand $x\to 0^{+}$, donc $x\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}\to 0$ ». La conclusion est exacte, la démonstration ne l'est pas.

a. Donner une fonction $\phi$ définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ telle que $\phi (x)⩽x$ pour tout $x>0$ et que $\phi$ n'ait pas pour limite $0$ en $0^{+}$.

b. Que faut-il ajouter à l'argument de l'élève pour qu'il devienne correct ?

Dans tout l'exercice, $f$ désigne une fonction définie sur une partie $D$ de $\mathbb{R}$, et $a$ un réel tel que $f$ soit définie au voisinage de $a$, sauf peut-être en $a$ : tout intervalle $[a-\delta ,a+\delta ]$ rencontre alors $D$. On utilise les définitions du cours, écrites avec des inégalités larges :

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\mathrm{\ell }⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in D,(\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta ⟹\mid f(x)-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon )$$ $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\ell }⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }B\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }x\in D,(x⩾B⟹\mid f(x)-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon )$$

1. Écrire avec des quantificateurs les quatre assertions suivantes.

2. Démontrer les deux limites suivantes en revenant à la définition, en explicitant un $\delta$ (respectivement un $B$) convenable.

a. $\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2=4$

b. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{3x+1}{x+2}}=3$

3. On pose $f(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{x}}$ pour $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$.

a. Écrire la négation de « $f$ tend vers $\mathrm{\ell }$ en $a$ ».

b. En déduire que $f$ ne tend pas vers $1$ en $0$.

c. Démontrer que $f$ n'a aucune limite en $0$.

4. Deux conséquences directes de la définition.

a. Démontrer l'unicité de la limite : si $f$ tend vers $\mathrm{\ell }$ et vers ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ en $a$, avec $\mathrm{\ell }$ et ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ réels, alors $\mathrm{\ell }={\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$.

b. Démontrer qu'une fonction admettant une limite finie en $a$ est bornée au voisinage de $a$. La réciproque est-elle vraie ?

On admet les deux résultats de densité suivants : tout réel est limite d'une suite de rationnels, et tout réel est limite d'une suite d'irrationnels.

1. Énoncer la caractérisation séquentielle de la limite, puis celle de la continuité en un point. En déduire un critère commode pour prouver qu'une fonction n'a pas de limite en $a$.

2. On pose $f(x)=\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}$ pour $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$.

a. Déterminer $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f\left(u_n\right)$ et $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f\left(v_n\right)$ pour $u_n={\displaystyle \frac{1}{2n\pi }}$ et $v_n={\displaystyle \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2n\pi }}$, où $n⩾1$.

b. En déduire que $f$ n'a pas de limite en $0$.

c. Le seul calcul de $\lim f\left(u_n\right)$ aurait-il permis de conclure quoi que ce soit ?

3. Démontrer que $x\mapsto \cos x$ n'a pas de limite en $+\mathrm{\infty }$.

4. Soit ${\mathbf{1}}_{\mathbb{Q}}$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par ${\mathbf{1}}_{\mathbb{Q}}(x)=1$ si $x\in \mathbb{Q}$, et ${\mathbf{1}}_{\mathbb{Q}}(x)=0$ sinon. Démontrer que ${\mathbf{1}}_{\mathbb{Q}}$ n'est continue en aucun point de $\mathbb{R}$.

5. Utiliser la caractérisation séquentielle dans l'autre sens pour déterminer les limites des suites suivantes.

a. $u_n=n\sin {\displaystyle \frac{1}{n}}$

b. $v_n={(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$

1. Énoncer le théorème de la limite monotone pour une fonction croissante, dans les deux situations : à l'extrémité droite d'un intervalle $]\alpha ,\beta [$ avec $\beta$ fini, et en $+\mathrm{\infty }$. Distinguer le cas majoré du cas non majoré.

2. On pose $f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{x^2+1}}$ pour $x\in [0,+\mathrm{\infty }[$.

a. Démontrer que $f$ est croissante et majorée par $1$.

b. Qu'affirme le théorème de la limite monotone ? Déterminer effectivement cette limite, puis $\underset{[0,+\mathrm{\infty }[}{\sup }f$. Cette borne supérieure est-elle atteinte ?

c. Soit $g$ une fonction croissante sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et majorée par $3$. Que peut-on affirmer sur $g$ en $+\mathrm{\infty }$ ? Peut-on affirmer que sa limite vaut $3$ ?

3. Soit $f$ une fonction croissante sur un intervalle $I$ et soit $c$ un point intérieur à $I$. Démontrer que $f$ admet en $c$ une limite à gauche et une limite à droite, toutes deux finies, et que

$$\underset{x\to c^{-}}{\lim }f(x)⩽f(c)⩽\underset{x\to c^{+}}{\lim }f(x)\mathrm{.}$$

4. Soit $f$ croissante sur un segment $[a,b]$ (avec $a<b$) dont l'image $f\left([a,b]\right)$ est un intervalle. On veut démontrer que $f$ est continue sur $[a,b]$. On note $f\left(c^{-}\right)$ et $f\left(c^{+}\right)$ les limites de la question 3.

a. Soit $c\in ]a,b[$. En supposant $f\left(c^{-}\right)<f(c)$ et en choisissant $y$ strictement compris entre ces deux valeurs, démontrer que $y$ n'est pas atteint par $f$, puis conclure.

b. Adapter l'argument pour montrer que $f\left(c^{+}\right)=f(c)$, puis traiter les deux extrémités $a$ et $b$.

On rappelle le théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur un segment $[a,b]$ et si $y$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=y$. Dans chaque question, les hypothèses devront être vérifiées explicitement.

1. Démontrer que chacune des équations suivantes admet au moins une solution réelle, et préciser un intervalle qui en contient une.

a. $x^3+x-1=0$ sur $[0,1]$

b. $e^x=3-x$

c. $\cos x=x$

2. Soit $n$ un entier naturel impair et $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$, avec $a_n\mathrm{\ne }0$. On veut montrer que $P$ s'annule au moins une fois sur $\mathbb{R}$. On suppose d'abord $a_n>0$.

a. Montrer que, pour $x\mathrm{\ne }0$, on peut écrire $P(x)=a_n{x}^n(1+\epsilon (x))$ où $\epsilon (x)\to 0$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$ et quand $x\to -\mathrm{\infty }$.

b. En déduire $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }P(x)=+\mathrm{\infty }$ et $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }P(x)=-\mathrm{\infty }$.

c. Conclure, puis traiter le cas $a_n<0$.

d. Où l'argument s'effondre-t-il si $n$ est pair ? Donner un polynôme de degré $2$ sans racine réelle.

3. On définit $f$ sur $[0,2]$ par $f(x)=-1$ si $x<1$ et $f(x)=1$ si $x⩾1$. Vérifier que $f(0)<0<f(2)$ et que pourtant $f$ ne s'annule pas. Quelle hypothèse du théorème est en défaut ?

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+3x-1$.

1. Étudier les variations de $f$ et déterminer ses limites en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$. Dresser son tableau de variations.

2. On s'intéresse à l'équation $f(x)=0$.

a. Démontrer qu'elle admet au moins une solution $\alpha$ dans $]0,1[$.

b. Démontrer que cette solution est unique dans $\mathbb{R}$.

c. Retrouver l'existence et l'unicité d'un seul coup, à l'aide du théorème de la bijection.

3. Encadrer $\alpha$ par dichotomie à partir de $]0,1[$, en détaillant trois étapes. Quelle est l'amplitude de l'encadrement obtenu ?

4. Combien d'étapes de dichotomie faut-il, à partir de $]0,1[$, pour obtenir un encadrement d'amplitude inférieure ou égale à ${10}^{-3}$ ?

5. On pose $g(x)=x^3-3x$. Vérifier que le théorème des valeurs intermédiaires s'applique à $g$ sur $[-2,2]$ pour la valeur $0$, puis déterminer toutes les solutions de $g(x)=0$ dans cet intervalle. Que faut-il en conclure sur la portée du théorème ?

1. Énoncer le théorème des bornes atteintes. Préciser ce qu'il affirme exactement, et rappeler son statut au programme.

2. On pose $f(x)=x{e}^{-x}$ pour $x\in [0,3]$.

a. Justifier, sans aucun calcul, que $f$ admet un maximum et un minimum sur $[0,3]$.

b. Déterminer effectivement ce maximum et ce minimum, ainsi que les points où ils sont atteints.

c. En déduire l'image $f\left([0,3]\right)$.

d. Le minimum est atteint en $0$, où pourtant $f^{\mathrm{\prime }}(0)=1\mathrm{\ne }0$. Est-ce en contradiction avec le théorème « en un extremum local intérieur, la dérivée s'annule » ?

3. Montrer, par un contre-exemple à chaque fois, qu'aucune des hypothèses ne peut être supprimée.

a. Une fonction continue sur $]0,1]$ qui n'est pas bornée.

b. Une fonction continue et bornée sur $[0,1[$ qui n'atteint pas sa borne supérieure.

c. Une fonction définie sur le segment $[0,1]$, non continue, qui n'atteint pas sa borne supérieure.

4. Soit $f$ continue sur un segment $[a,b]$. Démontrer que $f\left([a,b]\right)$ est un segment, en combinant le théorème des bornes atteintes et le théorème des valeurs intermédiaires.

On rappelle le théorème de la bijection : si $f$ est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $J=f(I)$, et la réciproque $f^{-1}$ est définie, continue et strictement monotone sur $J$, de même sens de variation que $f$. Dans tout l'exercice, on vérifiera une à une les trois hypothèses avant d'appliquer ce théorème.

Partie A : une réciproque explicite

Soit $f$ la fonction définie sur $I=]-1,+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)={\displaystyle \frac{x}{1+x}}$.

1. Montrer que $f(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{1+x}}$ pour tout $x\in I$. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, déterminer les limites de $f$ aux bornes de $I$, puis dresser le tableau de variations de $f$.

2. Montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.

3. Expliciter $f^{-1}(y)$ pour tout $y\in J$, puis vérifier le résultat obtenu.

Partie B : une réciproque non explicitable

Soit $g$ la fonction définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par $g(x)=x+\ln x$.

4. Montrer que $g$ réalise une bijection de $]0,+\mathrm{\infty }[$ sur $\mathbb{R}$.

5. Calculer $g^{-1}(1)$, puis montrer que $2<g^{-1}(3)<3$.

6. Déterminer les limites de $g^{-1}$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$, dresser son tableau de variations et expliquer comment on trace sa courbe à partir de celle de $g$.

On rappelle le théorème de dérivation d'une réciproque. Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, réalisant donc une bijection de $I$ sur l'intervalle $J=f(I)$. Soit $y_0\in J$ et $x_0=f^{-1}(y_0)$. Si $f$ est dérivable en $x_0$ et si $f^{\mathrm{\prime }}(x_0)\mathrm{\ne }0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0$ et

$${\left(f^{-1}\right)}^{\mathrm{\prime }}(y_0)=\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(f^{-1}(y_0))}\mathrm{.}$$

1. On admet que $f^{-1}$ est dérivable en $y_0$. En dérivant l'identité $f(f^{-1}(y))=y$, retrouver la formule ci-dessus. Que dire si $f^{\mathrm{\prime }}(x_0)=0$ ?

2. La fonction $\tan$ réalise une bijection de $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$ sur $\mathbb{R}$, de réciproque $\mathrm{Arctan}$. En partant de ${\tan }^{\mathrm{\prime }}=1+{\tan }^2$, démontrer que $\mathrm{Arctan}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que ${\mathrm{Arctan}}^{\mathrm{\prime }}(y)={\displaystyle \frac{1}{1+y^2}}$.

3. La fonction $\sin$ réalise une bijection de $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ sur $[-1,1]$, de réciproque $\mathrm{Arcsin}$. Démontrer que $\mathrm{Arcsin}$ est dérivable sur $]-1,1[$ et que ${\mathrm{Arcsin}}^{\mathrm{\prime }}(y)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}}$. Montrer ensuite que $\mathrm{Arcsin}$ n'est pas dérivable en $1$.

4. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^5+x+1$. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, puis calculer ${\left(f^{-1}\right)}^{\mathrm{\prime }}(1)$ et ${\left(f^{-1}\right)}^{\mathrm{\prime }}(3)$. En déduire une équation de la tangente à la courbe de $f^{-1}$ au point d'abscisse $3$.

5. Soit $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=x^3$. Montrer que $h$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, puis que sa réciproque n'est pas dérivable en $0$. Interpréter géométriquement.

On rappelle le théorème de Rolle : si $g$ est continue sur $[a,b]$ (avec $a<b$), dérivable sur $]a,b[$ et vérifie $g(a)=g(b)$, alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que $g^{\mathrm{\prime }}(c)=0$.

Le chapitre sur les polynômes n'ayant pas encore été traité, on convient du vocabulaire suivant. Une fonction polynomiale est une fonction $P:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ de la forme $P(x)=a_p{x}^p+\cdots +a_{1}x+a_0$, où $a_0,\dots ,a_p$ sont des réels ; elle est dérivable sur $\mathbb{R}$. Un réel $r$ est une racine de $P$ lorsque $P(r)=0$.

1. Soit $I$ un intervalle, $f:I\to \mathbb{R}$ dérivable sur $I$ et $n⩾2$ un entier. On suppose que $f$ s'annule en $n$ points distincts de $I$. Démontrer que $f^{\mathrm{\prime }}$ s'annule en au moins $n-1$ points distincts de $I$.

2. Soit $P$ la fonction polynomiale définie sur $\mathbb{R}$ par $P(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)$.

a. Que donne la question 1. pour $P^{\mathrm{\prime }}$ ? Préciser des intervalles contenant les points d'annulation obtenus.

b. Montrer que $P(x)={(x^2-3x)}^2+2(x^2-3x)$, en déduire une forme factorisée de $P^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis déterminer toutes les racines de $P^{\mathrm{\prime }}$. Comparer avec a.

3. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x+1$. Dresser le tableau de variations de $f$, montrer que $f$ possède exactement trois racines réelles et encadrer chacune d'elles par deux entiers consécutifs.

4. Soit $a$ un réel. On s'intéresse au nombre de solutions réelles de l'équation $e^x=ax$, et l'on pose $\phi (x)=e^x-ax$.

a. À l'aide de la question 1., montrer que cette équation admet au plus deux solutions, quelle que soit la valeur de $a$.

b. Discuter le nombre exact de solutions selon la valeur de $a$.

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $f:I\to \mathbb{R}$ et $K$ un réel positif. On dit que $f$ est $K$-lipschitzienne sur $I$ lorsque

$$\mathrm{\forall }(x,y)\in I^2,\mid f(x)-f(y)\mid ⩽K\mid x-y\mid ,$$

et que $f$ est lipschitzienne sur $I$ lorsqu'il existe un réel $K⩾0$ tel que $f$ soit $K$-lipschitzienne sur $I$.

On rappelle l'inégalité des accroissements finis : si $f$ est dérivable sur l'intervalle $I$ et s'il existe $K⩾0$ tel que $\mid f^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽K$ sur $I$, alors $f$ est $K$-lipschitzienne sur $I$.

1. Démontrer qu'une fonction $K$-lipschitzienne sur $I$ est continue sur $I$.

2. Démontrer les trois inégalités suivantes, valables pour tous $a$ et $b$ de l'intervalle indiqué.

3. Soit $f:x\mapsto x^2$ sur $[1,3]$. Montrer que $f$ est $6$-lipschitzienne sur $[1,3]$, puis que $6$ est la plus petite constante possible.

4. Montrer que la fonction racine carrée n'est pas lipschitzienne sur $[0,1]$. Que peut-on en conclure sur la réciproque de la question 1. ?

5. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+3}{4}}$, et $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.

a. Montrer que l'intervalle $[0,1]$ est stable par $f$, puis que $u_n\in [0,1]$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

b. Montrer que $f$ est ${\displaystyle \frac{1}{2}}$-lipschitzienne sur $[0,1]$ et déterminer l'unique point fixe $\mathrm{\ell }$ de $f$ dans $[0,1]$.

c. En déduire que $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\mid u_0-\mathrm{\ell }\mid$ pour tout $n$, puis la convergence de $(u_n)$. Déterminer un rang à partir duquel $u_n$ approche $\mathrm{\ell }$ à ${10}^{-3}$ près.

On rappelle le théorème de la limite de la dérivée. Soit $I$ un intervalle, $a\in I$ et $f:I\to \mathbb{R}$ continue sur $I$ et dérivable sur $I\setminus \{a\}$.

• Si $f^{\mathrm{\prime }}(x)⟶\mathrm{\ell }$ avec $\mathrm{\ell }\in \mathbb{R}$ quand $x\to a$, alors $f$ est dérivable en $a$, $f^{\mathrm{\prime }}(a)=\mathrm{\ell }$, et $f^{\mathrm{\prime }}$ est continue en $a$.
• Si $f^{\mathrm{\prime }}(x)⟶+\mathrm{\infty }$ (ou $-\mathrm{\infty }$) quand $x\to a$, alors le taux d'accroissement de $f$ en $a$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ (resp. $-\mathrm{\infty }$) : $f$ n'est pas dérivable en $a$ et sa courbe admet une tangente verticale au point d'abscisse $a$.

1. Soit $f$ définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)=x^2\ln x$. Montrer que $f$ se prolonge par continuité en $0$ en posant $f(0)=0$, puis que la fonction ainsi prolongée est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. Retrouver la valeur de $f^{\mathrm{\prime }}(0)$ par le taux d'accroissement.

2. Soient $a$, $b$, $c$ trois réels et $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^x& \text{si }x⩽0\\ a{x}^2+bx+c& \text{si }x>0\end{array}$$

Déterminer $a$, $b$ et $c$ pour que $g$ soit de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathbb{R}$. La fonction obtenue est-elle de classe ${\mathcal{C}}^3$ ?

3. Soit $h$ définie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ par $h(x)=\sqrt{x}$. Étudier la dérivabilité de $h$ en $0$ à l'aide du théorème, puis vérifier la conclusion par le taux d'accroissement.

4. Soit $\phi$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\phi (0)=0$ et $\phi (x)=x^2\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}$ pour $x\mathrm{\ne }0$.

a. Montrer, en revenant à la définition, que $\phi$ est dérivable en $0$ et calculer ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(0)$.

b. Calculer ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour $x\mathrm{\ne }0$, puis montrer que ${\phi }^{\mathrm{\prime }}$ n'admet pas de limite en $0$.

c. Qu'en conclut-on sur la réciproque du théorème de la limite de la dérivée ?

5. Soit $\psi$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\psi (x)=x$ si $x<0$ et $\psi (x)=x+1$ si $x⩾0$. Calculer ${\lim }_{x\to 0}{\psi }^{\mathrm{\prime }}(x)$. La fonction $\psi$ est-elle dérivable en $0$ ? Quelle hypothèse du théorème est en défaut ?

On rappelle la formule de Leibniz : si $u$ et $v$ sont $n$ fois dérivables sur un intervalle $I$, alors $uv$ l'est aussi et

$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)u^{(k)}{v}^{(n-k)}\mathrm{.}$$

Dans les questions 1. à 3., on choisira pour $u$ le facteur polynomial de degré $2$ : ses dérivées d'ordre supérieur ou égal à $3$ sont nulles, et la somme se réduit à trois termes.

1. Soit $f:x\mapsto x^2{e}^x$. Calculer $f^{(n)}(x)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis contrôler le résultat pour $n=1$ et $n=2$ par un calcul direct.

2. Soit $g:x\mapsto x^2\sin x$.

a. Démontrer par récurrence que ${\sin }^{(j)}(x)=\sin (x+{\displaystyle \frac{j\pi }{2}})$ pour tout $j\in \mathbb{N}$ et tout réel $x$.

b. En déduire $g^{(n)}(x)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, sous une forme ne faisant intervenir que $\sin (x+{\displaystyle \frac{n\pi }{2}})$ et $\cos (x+{\displaystyle \frac{n\pi }{2}})$.

3. Soit $h:x\mapsto (x^2+1)\ln x$, définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

a. Démontrer que ${\ln }^{(j)}(x)={\displaystyle \frac{(-1{)}^{j-1}(j-1)!}{x^j}}$ pour tout entier $j⩾1$.

b. En déduire $h^{(n)}(x)$ pour $n⩾3$, et vérifier le résultat pour $n=3$.

4. Soit $F:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$. On donne la décomposition

$$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})\mathrm{.}$$

Après avoir vérifié cette égalité, démontrer par récurrence que ${\left({\displaystyle \frac{1}{x-a}}\right)}^{(n)}={\displaystyle \frac{(-1{)}^{n}n!}{(x-a{)}^{n+1}}}$ pour tout réel $a$ fixé, puis en déduire $F^{(n)}(x)$.

5. On note $A=\mathrm{Arctan}$, qui est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $\mathbb{R}$.

a. Justifier l'identité $(1+x^2)A^{\mathrm{\prime }}(x)=1$, puis, en appliquant la formule de Leibniz à cette identité, démontrer que pour tout $n⩾1$ et tout réel $x$ :

$$(1+x^2)A^{(n+1)}(x)+2nx{A}^{(n)}(x)+n(n-1)A^{(n-1)}(x)=0.$$

b. En déduire $A^{(n+1)}(0)$ en fonction de $A^{(n-1)}(0)$, puis calculer $A^{(n)}(0)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Pour tout entier $n⩾1$, on pose

$$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}\mathrm{.}$$

L'objectif est d'encadrer $H_n$ en comparant chaque terme ${\displaystyle \frac{1}{k}}$ à un accroissement du logarithme, l'outil étant à chaque fois l'égalité des accroissements finis.

1. Soit $n⩾1$. Justifier que l'égalité des accroissements finis s'applique à la fonction $\ln$ sur le segment $[n,n+1]$, et en déduire qu'il existe $c\in ]n,n+1[$ tel que

$$\ln (1+\frac{1}{n})=\frac{1}{c}\mathrm{.}$$

En déduire l'encadrement ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}⩽\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})⩽{\displaystyle \frac{1}{n}}$.

2. a. Démontrer que, pour tout $n⩾1$, ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\ln (1+\frac{1}{k})=\ln (n+1)}$.

b. En déduire que, pour tout $n⩾1$, $\ln (n+1)⩽H_n⩽1+\ln (n)$, puis déterminer la limite de la suite $(H_n)$.

3. Pour $n⩾1$, on pose $u_n=H_n-\ln (n)$. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$, et conclure qu'elle converge. Sa limite est notée $\gamma$ : c'est la constante d'Euler-Mascheroni. Que donnent les questions précédentes comme encadrement de $\gamma$ ?

4. Par la même méthode, démontrer que pour tout réel $x⩾0$,

$$\frac{x}{1+x}⩽\ln (1+x)⩽x\mathrm{.}$$

Interpréter graphiquement cet encadrement, et retrouver la question 1. comme cas particulier.

On étudie la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\cos (u_n)$, les angles étant en radians. On note $f$ la fonction cosinus.

On utilisera les valeurs approchées suivantes :

$$\cos (\mathrm{0,7})\approx \mathrm{0,7648},\cos (\mathrm{0,8})\approx \mathrm{0,6967},\sin (1)\approx \mathrm{0,8415},\ln (\mathrm{0,85})\approx -\mathrm{0,1625},\ln (3)\approx \mathrm{1,0986.}$$

1. Démontrer que l'intervalle $[0,1]$ est stable par $f$, puis que $u_n\in [0,1]$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

2. Démontrer, à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires et d'un argument de stricte monotonie, que l'équation $\cos (x)=x$ admet une unique solution $\mathrm{\ell }$ dans $[0,1]$. Établir ensuite que $\mathrm{0,7}<\mathrm{\ell }<\mathrm{0,8}$.

3. Démontrer que $\mathrm{\mid }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{0,85}$ pour tout $x\in [0,1]$, et en déduire que $f$ est $\mathrm{0,85}$-lipschitzienne sur $[0,1]$.

4. En déduire, par récurrence, que pour tout $n\in \mathbb{N}$

$$\mathrm{\mid }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽\mathrm{0,3}\times (\mathrm{0,85}{)}^n,$$

puis que la suite $(u_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$.

5. Combien d'itérations cette majoration garantit-elle pour obtenir $\mathrm{\ell }$ à ${10}^{-6}$ près ?

6. Démontrer que $\mathrm{\ell }$ est toujours compris entre $u_n$ et $u_{n+1}$, et en déduire la majoration pratique $\mathrm{\mid }{u}_n-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }{u}_{n+1}-u_n\mathrm{\mid }$. Le calcul numérique montre en fait que $\mathrm{\mid }{u}_{32}-\mathrm{\ell }\mathrm{\mid }<{10}^{-6}$ : commenter l'écart avec la question 5., et expliquer pourquoi aucune majoration de ce type ne pourra jamais faire mieux qu'une convergence géométrique pour cette suite.

Partie A. Points fixes.

1. Soit $f:[0,1]\to [0,1]$ une fonction continue. Démontrer que $f$ admet au moins un point fixe, c'est-à-dire qu'il existe $c\in [0,1]$ tel que $f(c)=c$. On pourra introduire $g(x)=f(x)-x$.

2. On considère la fonction $h:[0,1]\to [0,1]$ définie par $h(x)={\displaystyle \frac{x+1}{2}}$ si $x\in [0,1[$ et $h(1)=0$. Vérifier que $h$ est bien à valeurs dans $[0,1]$ et qu'elle n'admet aucun point fixe. Où l'hypothèse de continuité a-t-elle été utilisée à la question 1. ?

3. Soient $a<b$ deux réels et $f:[a,b]\to [a,b]$ continue. Adapter la démonstration de la question 1. pour montrer que $f$ admet un point fixe.

Partie B. Théorème de la corde horizontale.

Dans toute cette partie, $f$ est une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $f(0)=f(1)$.

4. On pose $g(x)=f(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})-f(x)$ pour $x\in [0,{\displaystyle \frac{1}{2}}]$. Calculer $g(0)+g\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$, puis démontrer qu'il existe $c\in [0,{\displaystyle \frac{1}{2}}]$ tel que

$$f(c+\frac{1}{2})=f(c)\mathrm{.}$$

5. Soit $n⩾2$ un entier. On pose cette fois $g_n(x)=f(x+{\displaystyle \frac{1}{n}})-f(x)$ pour $x\in [0,1-{\displaystyle \frac{1}{n}}]$. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{g}_n\left(\frac{k}{n}\right)}$ et en déduire qu'il existe $c\in [0,1-{\displaystyle \frac{1}{n}}]$ tel que $f(c+{\displaystyle \frac{1}{n}})=f(c)$.

6. Le résultat vaut-il pour un pas quelconque ? Soit $a\in ]0,1[$ tel que ${\displaystyle \frac{1}{a}}$ ne soit pas un entier, et soit $f$ définie sur $[0,1]$ par

$$f(x)={\sin }^2\left(\frac{\pi x}{a}\right)-x{\sin }^2\left(\frac{\pi }{a}\right)\mathrm{.}$$

Vérifier que $f$ est continue sur $[0,1]$ et que $f(0)=f(1)$, puis calculer $f(x+a)-f(x)$ pour $x\in [0,1-a]$. Conclure, et traiter le cas $a={\displaystyle \frac{2}{3}}$.