Devoir surveillé — Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité

Consignes valables pour tout le sujet. Durée : 3 h 30. Calculatrice interdite. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. Toute utilisation d'un théorème doit être précédée de la vérification explicite de ses hypothèses : c'est cette vérification, autant que le résultat, qui est notée. Un résultat annoncé sans démonstration ne rapporte aucun point. L'exercice 5 est un problème dont les quatre parties s'enchaînent : les résultats des parties précédentes y sont utilisables même si elles n'ont pas été traitées.

Chacune des cinq affirmations suivantes est soit vraie, soit fausse. Si elle est vraie, la démontrer. Si elle est fausse, produire un contre-exemple entièrement justifié : il ne suffit pas de nommer une fonction, il faut vérifier qu'elle satisfait toutes les hypothèses et qu'elle met la conclusion en défaut.

a. Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ telles que

$$f(x)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty },g(x)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty },f(x)-g(x)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0.$$

Alors ${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}⟶1$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.

b. Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ telles que $f(x)<g(x)$ pour tout $x\mathrm{\ne }0$, et admettant chacune une limite finie en $0$. Alors $\underset{x\to 0}{\lim }f<\underset{x\to 0}{\lim }g$.

c. Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée s'annule en une infinité de points. Alors $f$ n'est pas strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

d. Toute fonction lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

e. Soit $f$ convexe et dérivable sur $\mathbb{R}$. S'il existe $a<b$ tels que $f^{\mathrm{\prime }}(a)=f^{\mathrm{\prime }}(b)=0$, alors $f$ est constante sur $[a,b]$.

Barème : a. 0,5 pt — b. 0,5 pt — c. 0,5 pt — d. 0,5 pt — e. 0,5 pt.

On considère les deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par

$$f(t)=e^{-\sqrt{3}t}\cos t\text{et}g(t)=e^{-\sqrt{3}t}\sin t,$$

ainsi que la fonction $F:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ définie par $F(t)=e^{(-\sqrt{3}+i)t}$.

Le calcul direct de $f^{(n)}$ par la formule de Leibniz est ici sans espoir : aucun des deux facteurs n'a de dérivées nulles à partir d'un certain rang. Le détour par $F$ règle la question en trois lignes.

1. Démontrer que $F=f+ig$, puis que $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $\mathbb{R}$. Qu'en déduit-on pour $f$ et $g$ ?

2. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ et tout $t\in \mathbb{R}$,

$$F^{(n)}(t)={(-\sqrt{3}+i)}^n{e}^{(-\sqrt{3}+i)t}\mathrm{.}$$

3. Écrire $-\sqrt{3}+i$ sous forme exponentielle, puis en déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$ et tout $t\in \mathbb{R}$,

$$f^{(n)}(t)=2^n{e}^{-\sqrt{3}t}\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(t+\frac{5n\pi }{6}),g^{(n)}(t)=2^n{e}^{-\sqrt{3}t}\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(t+\frac{5n\pi }{6})\mathrm{.}$$

4. Contrôler la formule donnant $f^{(n)}$ pour $n=1$ et $n=2$, en calculant directement $f^{\mathrm{\prime }}$ et $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$.

5. Deux questions arithmétiques sur cette formule.

a. Déterminer tous les entiers $n\in \mathbb{N}$ tels que $f^{(n)}(0)=0$.

b. Déterminer le plus petit entier $n⩾1$ tel que $f^{(n)}$ soit proportionnelle à $f$, et préciser le coefficient de proportionnalité.

Barème : 1. 0,5 pt — 2. 0,5 pt — 3. 0,75 pt — 4. 0,5 pt — 5. 0,75 pt.

Pour $x>0$ et $x\mathrm{\ne }1$, on pose

$$L(x)=\frac{x-1}{\ln x}\mathrm{.}$$

1. Démontrer que $L$ se prolonge par continuité en $1$ et préciser la valeur du prolongement. Dans toute la suite, $L$ désigne la fonction ainsi prolongée, définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

2. On pose $\phi (u)=u-{\displaystyle \frac{1}{u}}-2\ln u$ pour $u>0$. Calculer ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(u)$, puis en déduire le sens de variation de $\phi$ et son signe sur $]0,1]$ puis sur $[1,+\mathrm{\infty }[$.

3. En appliquant la question 2. à $u=\sqrt{x}$, démontrer que

$$\sqrt{x}⩽L(x)\text{pour tout }x>0,$$

avec égalité si et seulement si $x=1$.

4. On pose $\psi (x)=(x+1)\ln x-2(x-1)$ pour $x>0$. Calculer ${\psi }^{\mathrm{\prime }}(x)$ et ${\psi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$.

5. En déduire le signe de ${\psi }^{\mathrm{\prime }}$, puis celui de $\psi$, et enfin que

$$L(x)⩽\frac{x+1}{2}\text{pour tout }x>0.$$

6. Application. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0<a<b$. Démontrer l'encadrement

$$\sqrt{ab}⩽\frac{b-a}{\ln b-\ln a}⩽\frac{a+b}{2}\mathrm{.}$$

Le contrôler numériquement pour $a=1$ et $b=e^2$, en donnant les trois quantités arrondies à ${10}^{-2}$. On utilisera $e\approx \mathrm{2,71828}$ et $e^2\approx \mathrm{7,38906}$.

Barème : 1. 0,5 pt — 2. 0,5 pt — 3. 0,5 pt — 4. 0,5 pt — 5. 0,5 pt — 6. 0,5 pt.

Soient $a<b$ deux réels et $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ une fonction continue. Pour $x\in [a,b]$, on pose

$$M(x)=\underset{t\in [a,x]}{\max }f(t),$$

c'est-à-dire la plus grande valeur prise par $f$ depuis $a$ jusqu'à $x$. La fonction $M$ enregistre le record de $f$ au fur et à mesure : elle ne peut que monter ou stagner. La question est de savoir si elle peut sauter.

Partie A. Définition et premières propriétés.

1. Justifier que, pour tout $x\in [a,b]$, le nombre $M(x)$ est bien défini.

2. Démontrer que $M$ est croissante sur $[a,b]$ et que $f(x)⩽M(x)$ pour tout $x\in [a,b]$.

3. Expliciter $M$ dans le cas $a=-2$, $b=2$ et $f(x)=x^3-3x$. On donnera l'expression de $M(x)$ sur chaque intervalle utile, après avoir dressé le tableau de variations de $f$.

Partie B. La fonction $M$ est continue.

Dans cette partie, $f$ est de nouveau une fonction continue quelconque sur $[a,b]$.

4. Soit $c\in ]a,b]$. Justifier que $M$ admet en $c$ une limite à gauche finie, que l'on note $M\left(c^{-}\right)$, et que

$$M\left(c^{-}\right)=\underset{t\in [a,c[}{\sup }M(t)⩽M(c)\mathrm{.}$$

5. Démontrer que $f(c)⩽M\left(c^{-}\right)$.

6. Soit $\epsilon >0$. En utilisant la continuité de $f$ en $c$, puis en découpant $[a,c]$ en $[a,t]\cup [t,c]$ pour un $t$ bien choisi, démontrer que $M(c)⩽M\left(c^{-}\right)+\epsilon$. En déduire que $M$ est continue à gauche en $c$.

7. Adapter le raisonnement pour démontrer que $M$ est continue à droite en tout point de $[a,b[$, puis conclure.

8. L'hypothèse de continuité de $f$ est-elle indispensable ? On pose $a=0$, $b=2$ et

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }0⩽x<1,\\ 1& \text{si }1⩽x⩽2.\end{array}$$

Vérifier que $M(x)$ est encore bien défini pour tout $x\in [0,2]$, l'expliciter, et dire laquelle des questions 4, 5, 6 tombe en défaut, en précisant à quel endroit exactement.

Barème : 1. 0,5 pt — 2. 0,5 pt — 3. 0,5 pt — 4. 0,5 pt — 5. 0,5 pt — 6. 1 pt — 7. 0,5 pt — 8. 0,5 pt.

Le cours donne un exemple de fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée n'est pas continue. On pourrait en conclure qu'une dérivée peut être aussi irrégulière qu'une fonction quelconque. Ce problème établit qu'il n'en est rien : une dérivée vérifie toujours la propriété des valeurs intermédiaires, qu'elle soit continue ou non. La partie D en tire une conséquence que rien ne laisse prévoir.

Les quatre parties s'enchaînent, mais les résultats des questions précédentes sont utilisables même si elles n'ont pas été traitées.

Partie A. Un minimum à l'intérieur.

Dans toute cette partie, $a<b$ sont deux réels et $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ est dérivable sur $[a,b]$ ; en $a$ et en $b$, il s'agit respectivement de la dérivabilité à droite et à gauche.

1. Justifier que $f$ est continue sur $[a,b]$, puis qu'il existe $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=\underset{[a,b]}{\min }f$.

2. On suppose dans cette question que $f^{\mathrm{\prime }}(a)<0$. En appliquant la définition de $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ avec $\epsilon =-{\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(a)}{2}}$, démontrer qu'il existe $x\in ]a,b]$ tel que $f(x)<f(a)$. En déduire que $c\mathrm{\ne }a$.

3. On suppose maintenant que $f^{\mathrm{\prime }}(b)>0$. Démontrer de même que $c\mathrm{\ne }b$.

4. En déduire le résultat suivant : si $f^{\mathrm{\prime }}(a)<0<f^{\mathrm{\prime }}(b)$, alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$.

5. Comparer les hypothèses de la question 4. à celles du théorème de Rolle. Donner un exemple de fonction vérifiant les hypothèses de la question 4. sur un segment, mais pas celles du théorème de Rolle sur ce même segment.

Partie B. Le théorème de Darboux.

Dans cette partie, $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point et $f:I\to \mathbb{R}$ est dérivable sur $I$. On ne suppose pas $f^{\mathrm{\prime }}$ continue.

6. Soient $u<v$ deux points de $I$ et soit $\lambda$ un réel strictement compris entre $f^{\mathrm{\prime }}(u)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(v)$. En appliquant la question 4. à une fonction auxiliaire bien choisie, démontrer qu'il existe $c\in ]u,v[$ tel que $f^{\mathrm{\prime }}(c)=\lambda$. On traitera les deux ordres possibles de $f^{\mathrm{\prime }}(u)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(v)$.

7. En déduire que $f^{\mathrm{\prime }}(I)$ est un intervalle. On rappelle qu'une partie $J$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle si et seulement si, pour tous $y_1,y_2$ de $J$ et tout réel $y$ tel que $y_1<y<y_2$, on a $y\in J$.

Partie C. Deux conséquences.

8. Démontrer qu'il n'existe aucune fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-1\text{ pour tout }x<0\text{et}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=1\text{ pour tout }x⩾0.$$

Quelle morale générale en tirer sur les fonctions qui peuvent être des dérivées ?

9. Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ telle que $f^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\ne }0$ pour tout $x\in I$. Démontrer que $f^{\mathrm{\prime }}$ garde un signe constant sur $I$, puis que $f$ est strictement monotone sur $I$. Quelle hypothèse supplémentaire aurait-il fallu pour obtenir ce résultat avec le seul théorème des valeurs intermédiaires ?

Partie D. Une dérivée ne saute pas.

Dans cette partie, $I$ est un intervalle ouvert et $f:I\to \mathbb{R}$ est dérivable sur $I$. On ne suppose toujours pas $f^{\mathrm{\prime }}$ continue.

10. Soit $c\in I$. On suppose que $f^{\mathrm{\prime }}$ admet en $c$ une limite à gauche finie, notée ${\mathrm{\ell }}_g$. Démontrer que ${\mathrm{\ell }}_g=f^{\mathrm{\prime }}(c)$. On raisonnera par l'absurde, en supposant d'abord ${\mathrm{\ell }}_g<f^{\mathrm{\prime }}(c)$ et en choisissant un réel $\lambda$ strictement compris entre ${\mathrm{\ell }}_g$ et $f^{\mathrm{\prime }}(c)$.

11. Énoncer le résultat analogue pour la limite à droite. En déduire qu'une dérivée ne peut présenter en aucun point une discontinuité par saut : si $f^{\mathrm{\prime }}$ admet en $c$ une limite à gauche finie et une limite à droite finie, alors $f^{\mathrm{\prime }}$ est continue en $c$.

12. Application. On suppose de plus $f$ convexe sur $I$, de sorte que $f^{\mathrm{\prime }}$ est croissante (théorème du cours). Démontrer que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$. Le cours observe qu'une fonction monotone peut parfaitement sauter, et le montre sur la partie entière : expliquer en une phrase ce qui l'en empêche ici.

Barème : 1. 0,5 pt — 2. 0,5 pt — 3. 0,5 pt — 4. 0,5 pt — 5. 0,5 pt — 6. 0,75 pt — 7. 0,5 pt — 8. 0,75 pt — 9. 0,75 pt — 10. 0,5 pt — 11. 0,5 pt — 12. 0,75 pt.