Exercices — Espaces vectoriels et applications linéaires

On considère les cinq parties suivantes de ${\mathbb{R}}^3$.

1. Lesquelles de ces parties contiennent le vecteur nul $0_{{\mathbb{R}}^3}$ ? Qu'en déduit-on immédiatement pour l'une d'entre elles ?

2. Montrer que $F_1$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$.

3. Montrer que $F_5$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$, puis le décrire sous la forme $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(a)$ pour un vecteur $a$ à préciser.

4. Montrer que $F_3$ n'est pas un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$ : on exhibera deux vecteurs de $F_3$ dont la somme n'appartient pas à $F_3$.

5. Montrer que $F_4$ n'est pas un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$ : on exhibera un vecteur $u\in F_4$ et un réel $\lambda$ tels que $\lambda u\mathrm{\notin }{F}_4$.

6. L'ensemble vide est-il un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$ ? Et $\{0_{{\mathbb{R}}^3}\}$ ?

1. Pour chacun des espaces de référence ci-dessous, préciser le corps de base, ce qu'on appelle un vecteur, et quel est le vecteur nul $0_E$. Ni base ni dimension ne sont demandées.

   a. ${\mathbb{K}}^n$

   b. $\mathbb{K}[X]$

   c. ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$

   d. ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$

   e. $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$

2. Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, $x$ un vecteur de $E$ et $\lambda$ un scalaire. En n'utilisant que les axiomes, démontrer que a. $0\cdot x=0_E$ ; b. $\lambda \cdot 0_E=0_E$.

3. Avec les mêmes notations, en déduire que $(-1)\cdot x=-x$.

4. On suppose de plus que $\lambda \cdot x=0_E$. Montrer que $\lambda =0$ ou $x=0_E$.

5. Les ensembles suivants, munis des opérations usuelles, sont-ils des espaces vectoriels ? Justifier.

   a. L'ensemble $A$ des polynômes de $\mathbb{R}[X]$ de degré exactement $2$.

   b. L'ensemble $B$ des fonctions croissantes de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on pose

1. Le vecteur $w_1=(4,-1,3)$ appartient-il à $F$ ? Si oui, écrire explicitement $w_1$ comme combinaison linéaire de $u_1$ et $u_2$.

2. Même question pour le vecteur $w_2=(4,-1,2)$.

3. On pose $u_3=(3,0,1)$. Montrer que $u_3\in F$, puis que $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(u_1,u_2,u_3)=F$.

4. Dans ${\mathbb{R}}^4$, on pose $v_1=(1,0,1,1)$ et $v_2=(0,1,-1,2)$. Les vecteurs suivants appartiennent-ils à $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(v_1,v_2)$ ?

   a. $t_1=(2,-1,3,0)$

   b. $t_2=(1,1,0,1)$

5. Dans ${\mathbb{R}}_2[X]$, on pose $P_1=1-X$ et $P_2=X+2X^2$. Les polynômes $Q=2+X+6X^2$ et $R=1+X+X^2$ appartiennent-ils à $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(P_1,P_2)$ ?

Dire, pour chacune des familles suivantes, si elle est libre ou liée. Lorsqu'elle est liée, donner explicitement une relation linéaire non triviale entre ses vecteurs.

1. Dans ${\mathbb{R}}^3$, la famille $(v_1,v_2,v_3)$ avec $v_1=(1,1,0)$, $v_2=(0,1,1)$ et $v_3=(1,0,1)$.

2. Dans ${\mathbb{R}}^3$, la famille $(a_1,a_2)$ avec $a_1=(2,-4,6)$ et $a_2=(-3,6,-9)$.

3. Dans ${\mathbb{R}}^4$, la famille $(b_1,b_2,b_3)$ avec $b_1=(1,0,1,0)$, $b_2=(0,1,0,1)$ et $b_3=(2,-1,2,-1)$.

4. Dans ${\mathbb{R}}_3[X]$, la famille $(P_1,P_2,P_3)$ avec $P_1=1+X$, $P_2=2-X^2$ et $P_3=X^3+X$.

5. Dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, la famille $(A_1,A_2,A_3)$ où

   $$A_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right),A_3=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

6. La famille $(v_1,v_2,v_3,0_{{\mathbb{R}}^3})$ obtenue en ajoutant le vecteur nul à la famille de la question 1.

On considère les deux parties de ${\mathbb{R}}^4$ définies par

1. Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^4$.

2. a. Résoudre l'équation qui définit $H$ et en déduire une famille génératrice de $H$ formée de trois vecteurs. b. Montrer que cette famille est libre. Conclure : donner une base de $H$ et $\dim H$.

3. Reprendre le même travail avec $F$ : résoudre le système, en déduire une famille génératrice, montrer qu'elle est libre, puis donner une base de $F$ et $\dim F$.

4. Les vecteurs $w=(-2,3,1,2)$ et $w^{\mathrm{\prime }}=(1,1,2,1)$ appartiennent-ils à $F$ ? Le cas échéant, donner leurs coordonnées dans la base obtenue à la question 3.

1. Donner la dimension de chacun des espaces vectoriels suivants, en exhibant à chaque fois une base et en justifiant brièvement.

   a. ${\mathbb{K}}^n$

   b. ${\mathbb{K}}_n[X]$

   c. ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$, puis ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$

   d. $\{0_E\}$, où $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel

2. Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, $a$ un vecteur non nul de $E$ et $(a,b)$ une famille libre de $E$. Donner la dimension de la droite vectorielle $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(a)$, puis celle du plan vectoriel $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(a,b)$.

3. Soient $a\in \mathbb{R}$ et $\omega >0$. On note $S_1$ l'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation $y^{\mathrm{\prime }}+ay=0$, et $S_2$ l'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+{\omega }^{2}y=0$. Donner une base et la dimension de $S_1$, puis de $S_2$.

4. Soit $E=\{u\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}};\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_{n+2}=u_{n+1}+u_n\}$. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$, puis en donner une base et la dimension.

5. Montrer que $\mathbb{K}[X]$ n'est pas de dimension finie.

On considère les six applications suivantes.

Ici $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ désigne l'espace vectoriel des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$.

1. Rappeler ce qu'il faut démontrer pour établir qu'une application $u:E\to F$ est linéaire. Que vaut $u(0_E)$ lorsque $u$ est linéaire ?

2. Les applications $u_1$ et $u_2$ sont-elles linéaires ?

3. Montrer que $u_3$ et $u_4$ ne sont pas linéaires, à l'aide d'un contre-exemple chiffré.

4. Les applications $u_5$ et $u_6$ sont-elles linéaires ? Préciser s'il s'agit d'un endomorphisme ou d'une forme linéaire.

5. Mêmes questions pour $D:{\mathbb{R}}_3[X]\to {\mathbb{R}}_3[X]$, $P\mapsto P^{\mathrm{\prime }}$, et pour $T:{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\to {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, $A\mapsto {}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$, où $n$ est un entier naturel non nul.

On considère les trois applications

Chaque coordonnée des images de $u$ et de $v$ étant une expression homogène du premier degré, ces deux applications sont linéaires : on l'admettra.

1. a. Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ et en donner une base. b. Déterminer $\mathrm{I}\mathrm{m}u$ et en donner une base. c. L'application $u$ est-elle injective ? surjective ?

2. Mêmes questions pour $v$.

3. Vérifier que $w$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}_2[X]$, puis déterminer une base de $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}w$ et une base de $\mathrm{I}\mathrm{m}w$. L'application $w$ est-elle injective ? surjective ?

4. Vérifier, dans chacun des trois cas, l'égalité $\dim E=\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}+\dim \mathrm{I}\mathrm{m}$, où $E$ désigne l'espace de départ.

1. Soit $u\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^5,{\mathbb{R}}^3)$ dont on sait seulement que $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(a,b)$, où $a=(1,0,1,0,0)$ et $b=(0,1,0,1,0)$.

   a. Déterminer $\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$, puis $\mathrm{r}\mathrm{g}(u)$.

   b. L'application $u$ est-elle injective ? surjective ?

   c. Existe-t-il $w\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^5,{\mathbb{R}}^3)$ dont le noyau soit une droite vectorielle ?

2. On pose $\mathrm{\Phi }:{\mathbb{R}}_3[X]\to {\mathbb{R}}_3[X]$, $P\mapsto P+P^{\mathrm{\prime }}$. Vérifier que $\mathrm{\Phi }$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}_3[X]$, puis déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{\Phi }$.

3. a. En déduire que $\mathrm{\Phi }$ est bijective. b. Résoudre l'équation $P+P^{\mathrm{\prime }}=X^3$, d'inconnue $P\in {\mathbb{R}}_3[X]$.

4. Répondre aux deux questions de principe suivantes, en justifiant par le théorème du rang.

   a. Existe-t-il une application linéaire injective de ${\mathbb{R}}^4$ dans ${\mathbb{R}}^3$ ?

   b. Existe-t-il une application linéaire surjective de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^4$ ?

On note ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des suites réelles et $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ celui des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

1. Montrer que les parties suivantes sont des sous-espaces vectoriels de ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$.

   a. $\mathcal{B}$, l'ensemble des suites bornées.

   b. $\mathcal{C}$, l'ensemble des suites convergentes.

   c. ${\mathcal{C}}_0$, l'ensemble des suites de limite nulle.

   d. $\mathcal{R}=\{u\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}};\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n\}$.

2. L'ensemble $\mathcal{M}$ des suites croissantes est-il un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ ? Justifier par un contre-exemple explicite.

3. Montrer que les parties suivantes sont des sous-espaces vectoriels de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.

   a. $\mathcal{Z}=\{f\in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R});f(1)=0\}$.

   b. $\mathcal{D}$, l'ensemble des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

   c. $\mathcal{S}$, l'ensemble des fonctions deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$ vérifiant $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+f=0$.

4. Montrer, à l'aide d'un contre-exemple, que les parties suivantes ne sont pas des sous-espaces vectoriels de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.

   a. $\mathcal{A}=\{f\in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R});f(0)=1\}$.

   b. $\mathcal{T}$, l'ensemble des fonctions polynomiales de degré exactement $3$.

5. a. Justifier les inclusions ${\mathcal{C}}_0\subset \mathcal{C}\subset \mathcal{B}$, et en déduire que ${\mathcal{C}}_0$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}$.

   b. Donner une base de $\mathcal{R}$, puis une base de $\mathcal{S}$. On admet les résultats du cours sur les suites récurrentes linéaires d'ordre $2$ et sur les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants.

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on considère les vecteurs

et l'on pose $F=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(u_1,u_2)$ et $G=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(v_1,v_2)$.

1. Vérifier que $v_1$ et $v_2$ appartiennent à $F$, et en déduire l'inclusion $G\subset F$.

2. Établir l'inclusion réciproque, et conclure que $F=G$.

3. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur $(x,y,z)$ pour que $(x,y,z)$ appartienne à $F$. Contrôler les résultats des questions 1 et 2.

4. Dans ${\mathbb{R}}_2[X]$, montrer de la même façon que $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(1,X,X^2)=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(1,1+X,(1+X{)}^2)$.

5. On pose $w=(1,1,1)$ et $H=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(v_1,w)$. Montrer que $H\mathrm{\ne }F$.

6. Énoncer la méthode générale permettant de montrer que deux sous-espaces engendrés sont égaux, et expliquer pourquoi elle suffit.

Dans $E={\mathbb{R}}^4$, dont les vecteurs sont notés $(x,y,z,t)$, on considère

ainsi que les deux sous-espaces

1. Montrer que $G$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^4$, puis en déterminer une base et la dimension.

2. Montrer que $(u_1,u_2,u_3)$ est une base de $F$. En déduire $\dim F$.

3. Déterminer une base de $F\cap G$ et sa dimension.

4. Déterminer une base de $F+G$ et sa dimension. Que vaut $F+G$ ?

5. Vérifier la formule de Grassmann sur cet exemple. La somme $F+G$ est-elle directe ? Les sous-espaces $F$ et $G$ sont-ils supplémentaires dans ${\mathbb{R}}^4$ ?

Dans $E={\mathbb{R}}^3$, on pose $a=(1,1,0)$, puis

1. Montrer que $P$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$, en donner une base et la dimension. Vérifier que $a\mathrm{\notin }P$, puis donner $\dim D$.

2. Soit $v=(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$. Montrer par analyse et synthèse qu'il existe un unique couple $(p,d)\in P\times D$ tel que $v=p+d$, et l'expliciter. Qu'en conclut-on ?

3. Écrire la décomposition du vecteur $v=(2,2,3)$, et la vérifier.

4. Retrouver le résultat de la question 2 par un argument de dimension.

5. On remplace $a$ par $a^{\mathrm{\prime }}=(1,1,3)$ et l'on pose $D^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(a^{\mathrm{\prime }})$. Déterminer $P\cap D^{\mathrm{\prime }}$ et $P+D^{\mathrm{\prime }}$. La somme $P+D^{\mathrm{\prime }}$ est-elle directe ? Conclure.

On note $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, puis

1. Montrer que $\mathcal{P}$ et $\mathcal{I}$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$.

2. Montrer que $\mathcal{P}\cap \mathcal{I}=\{0_E\}$.

3. Soit $f\in E$. Montrer par analyse et synthèse qu'il existe un unique couple $(f_p,f_i)\in \mathcal{P}\times \mathcal{I}$ tel que $f=f_p+f_i$. Conclure.

4. Expliciter cette décomposition pour :

   a. la fonction $\exp :x\mapsto e^x$ ;

   b. la fonction $g:x\mapsto (x+1{)}^3$.

5. On note $e_1:x\mapsto e^x$ et $e_2:x\mapsto e^{-x}$, ainsi que $\mathrm{ch}$ et $\mathrm{sh}$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $\mathrm{ch}x={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$ et $\mathrm{sh}x={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$. Montrer que $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_1,e_2)=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\mathrm{ch},\mathrm{sh})$.

Soit $n⩾2$. Dans le $\mathbb{R}$-espace vectoriel ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, on pose

On note $(E_{i,j}{)}_{1⩽i,j⩽n}$ la base canonique de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, où $E_{i,j}$ est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui de la ligne $i$ et de la colonne $j$, égal à $1$.

1. Montrer que ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ et ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$ sont des sous-espaces vectoriels de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, puis que les coefficients diagonaux d'une matrice antisymétrique sont nuls.

2. Montrer que ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})\cap {\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})=\{0_{{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})}\}$.

3. Montrer par analyse et synthèse que ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})={\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})\oplus {\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$.

4. Expliciter la décomposition de $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 5& 6& 1\end{array}\right)$, et la vérifier.

5. Pour $n=2$, donner une base de ${\mathcal{S}}_2(\mathbb{R})$ et une base de ${\mathcal{A}}_2(\mathbb{R})$, ainsi que leurs dimensions.

6. Pour $n$ quelconque, exhiber une base de chacun des deux sous-espaces et en déduire

   $$\dim {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})=\frac{n(n+1)}{2},\dim {\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})=\frac{n(n-1)}{2}\mathrm{.}$$

   Vérifier que la somme de ces deux dimensions vaut $n^2$, et contrôler pour $n=2$ et $n=3$.

1. Soit $(P_0,P_1,\dots ,P_n)$ une famille de polynômes non nuls de $\mathbb{K}[X]$ telle que $\mathrm{deg}{P}_0<\mathrm{deg}{P}_1<\cdots <\mathrm{deg}{P}_n$. Montrer que cette famille est libre.

2. En déduire que la famille $\mathcal{B}=(1,X-1,(X-1{)}^2,(X-1{)}^3)$ est une base de ${\mathbb{R}}_3[X]$.

3. Déterminer les coordonnées dans la base $\mathcal{B}$ des polynômes suivants.

   a. $A=X^2$

   b. $B=X^3+X-2$

4. On pose $F=\{P\in {\mathbb{R}}_3[X];P(1)=P^{\mathrm{\prime }}(1)=0\}$. Montrer, en utilisant la base $\mathcal{B}$, que $F$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}_3[X]$, puis en donner une base et la dimension.

5. L'hypothèse sur les degrés est-elle nécessaire à la liberté ? On donnera une famille de trois polynômes non nuls de même degré qui est liée, puis une famille de deux polynômes non nuls de même degré qui est libre.

On pose $a_1=(1,0,0)$, $a_2=(1,1,0)$ et $a_3=(1,1,1)$ dans ${\mathbb{R}}^3$.

1. Montrer que $\mathcal{A}=(a_1,a_2,a_3)$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$ et exprimer les coordonnées d'un vecteur $(x,y,z)$ dans cette base.

2. Justifier qu'il existe une unique application linéaire $u\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^3)$ telle que

   $$u(a_1)=(1,1,0),u(a_2)=(0,1,1),u(a_3)=(1,2,1),$$

   puis déterminer $u(x,y,z)$ pour tout $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$.

3. Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ et en donner une base.

4. Déterminer $\mathrm{I}\mathrm{m}u$, en donner une base et une équation. L'application $u$ est-elle bijective ?

5. On pose $b_1=(1,1,0)$, $b_2=(0,1,1)$ et $b_3=(1,2,1)$.

   a. Montrer qu'il n'existe aucune application linéaire $v\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^3)$ telle que $v(b_1)=(1,0,0)$, $v(b_2)=(0,1,0)$ et $v(b_3)=(0,0,1)$.

   b. Montrer qu'il existe une infinité d'applications linéaires $w\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^3)$ telles que $w(a_1)=(1,1,1)$ et $w(a_2)=(2,0,1)$ : on en exhibera deux, distinctes et explicites.

Soit $n⩾1$ un entier. On considère l'application $D:{\mathbb{R}}_n[X]\to {\mathbb{R}}_n[X]$, $P\mapsto P^{\mathrm{\prime }}$.

1. Montrer que $D$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}_n[X]$.

2. Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D$, puis $\mathrm{r}\mathrm{g}(D)$ à l'aide du théorème du rang, et enfin $\mathrm{I}\mathrm{m}D$. L'application $D$ est-elle injective ? surjective ?

3. On considère maintenant $\mathrm{\Delta }:{\mathbb{R}}_3[X]\to {\mathbb{R}}_3[X]$, $P\mapsto P(X+1)-P(X)$. Montrer que $\mathrm{\Delta }$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}_3[X]$, puis déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{\Delta }$.

4. En déduire $\mathrm{r}\mathrm{g}(\mathrm{\Delta })$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{\Delta }$, puis résoudre l'équation $\mathrm{\Delta }(P)=X^2$, d'inconnue $P\in {\mathbb{R}}_3[X]$.

5. On note enfin $\tilde{D}:\mathbb{R}[X]\to \mathbb{R}[X]$, $P\mapsto P^{\mathrm{\prime }}$, définie cette fois sur l'espace de tous les polynômes. Montrer que $\tilde{D}$ est surjective et qu'elle n'est pas injective. Commenter.

On rappelle qu'un projecteur d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ est un endomorphisme $p$ de $E$ vérifiant $p\circ p=p$.

1. Soit $p:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$, $(x,y,z)\mapsto (x+2y,0,z-y)$. Montrer que $p$ est un projecteur de ${\mathbb{R}}^3$.

2. Déterminer $\mathrm{I}\mathrm{m}p$ et $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}p$ : on en donnera une base et la dimension.

3. Vérifier que ${\mathbb{R}}^3=\mathrm{I}\mathrm{m}p\oplus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}p$ et que $\mathrm{I}\mathrm{m}p=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(p-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\mathbb{R}}^3})$, puis décrire géométriquement $p$.

4. Soient $H=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3;x+2y-z=0\}$ et $D=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}((1,0,0))$. Montrer que $H$ et $D$ sont supplémentaires dans ${\mathbb{R}}^3$, puis donner l'expression du projecteur $q$ sur $H$ parallèlement à $D$.

5. a. Soit $p$ un projecteur d'un espace vectoriel $E$. Montrer que ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E-p$ est un projecteur de $E$, puis que $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E-p)=\mathrm{I}\mathrm{m}p$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E-p)=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}p$.

   b. Expliciter ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\mathbb{R}}^3}-p$ pour le projecteur de la question 1 et vérifier ces deux égalités.

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on pose $H=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3;x+y+z=0\}$ et $D=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(a)$, où $a=(1,0,0)$.

1. Donner une base de $H$ et montrer que ${\mathbb{R}}^3=H\oplus D$.

2. Écrire la décomposition d'un vecteur $(x,y,z)$ dans cette somme directe. En déduire l'expression du projecteur $p$ sur $H$ parallèlement à $D$, puis celle de la symétrie $s$ par rapport à $H$ parallèlement à $D$, définie par $s=2p-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\mathbb{R}}^3}$.

3. Vérifier par le calcul que $s\circ s={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\mathbb{R}}^3}$. Qu'en déduit-on sur la bijectivité de $s$ ? Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(s-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\mathbb{R}}^3})$ et $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(s+{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\mathbb{R}}^3})$, et interpréter.

4. Réciproque. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) et $s\in \mathcal{L}(E)$ telle que $s\circ s={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$. On pose $F=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(s-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$ et $G=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(s+{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$. Montrer que $E=F\oplus G$, en s'aidant de l'écriture

   $$v=\frac{v+s(v)}{2}+\frac{v-s(v)}{2},$$

   puis que $s$ est la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$.

5. Application : identifier l'application $t:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$, $(x,y,z)\mapsto (y,x,-z)$.

Dans tout l'exercice, une matrice de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ est notée $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$.

1. Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des formes linéaires sur l'espace indiqué ?

   a. $f_1:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$, $(x,y,z)\mapsto 2x-y+5z$

   b. $f_2:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$, $(x,y,z)\mapsto x+yz$

   c. $f_3:{\mathbb{R}}_2[X]\to \mathbb{R}$, $P\mapsto P(1)$

   d. $f_4:{\mathbb{R}}_2[X]\to \mathbb{R}$, $P\mapsto {\displaystyle {\int }_0^{1}P(t)\mathrm{d}t}$

   e. $f_5:{\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$, $M\mapsto a+b+c+d$

   f. $f_6:{\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$, $M\mapsto ad$

2. Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n⩾1$ et $\phi$ une forme linéaire non nulle sur $E$. Montrer que $\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi =n-1$ : le noyau de $\phi$ est un hyperplan de $E$. Application : donner une base de $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{f}_3$ et une base de $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{f}_4$.

3. Dans ${\mathbb{R}}^4$, on pose $u_1=(1,1,0,0)$, $u_2=(0,1,1,0)$, $u_3=(0,0,1,1)$ et $H=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(u_1,u_2,u_3)$. Montrer que $H$ est un hyperplan de ${\mathbb{R}}^4$ et en déterminer une équation dans la base canonique.

4. Soit $\phi$ une forme linéaire non nulle sur un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$, $H=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi$ et $w\in E$ tel que $w\mathrm{\notin }H$. Montrer que $E=H\oplus \mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(w)$. Expliciter cette décomposition pour l'hyperplan $H$ de la question 3 et $w=(1,0,0,0)$.

5. Soient $\phi$ et $\psi$ deux formes linéaires non nulles sur un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$. Montrer que $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi =\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\psi$ si et seulement s'il existe $\lambda \in {\mathbb{R}}^{\ast }$ tel que $\psi =\lambda \phi$. Que peut-on en conclure sur les équations de l'hyperplan de la question 3 ?

On travaille dans ${\mathbb{R}}^4$. On rappelle que le rang d'une famille finie $\mathcal{F}$ de vecteurs est $\mathrm{r}\mathrm{g}(\mathcal{F})=\dim \mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\mathcal{F})$, et que les opérations élémentaires sur une famille (échanger deux vecteurs, multiplier un vecteur par un scalaire non nul, ajouter à un vecteur un multiple d'un autre vecteur de la famille) ne changent ni le sous-espace engendré, ni le rang.

1. On pose $u_1=(1,1,0,2)$, $u_2=(2,1,1,3)$ et $u_3=(0,1,-1,1)$. Déterminer le rang de ${\mathcal{F}}_1=(u_1,u_2,u_3)$, une base de $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}({\mathcal{F}}_1)$ et une relation de liaison entre ces trois vecteurs.

2. On ajoute $u_4=(0,0,1,0)$. Déterminer le rang de ${\mathcal{F}}_2=(u_1,u_2,u_3,u_4)$ et une base de $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}({\mathcal{F}}_2)$. La famille ${\mathcal{F}}_2$ est-elle libre ? génératrice de ${\mathbb{R}}^4$ ?

3. Soit $m\in \mathbb{R}$. On pose

   $$w_1=(1,1,1,1),w_2=(1,2,3,4),w_3=(1,3,5,7),w_4=(1,m,m,m)\mathrm{.}$$

   Discuter, selon la valeur de $m$, le rang de ${\mathcal{F}}_3=(w_1,w_2,w_3,w_4)$.

4. Dans chaque cas, donner $\dim \mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}({\mathcal{F}}_3)$, une base de $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}({\mathcal{F}}_3)$ et une relation de liaison explicite.

5. Existe-t-il une valeur de $m$ pour laquelle ${\mathcal{F}}_3$ est libre ? pour laquelle ${\mathcal{F}}_3$ est une base de ${\mathbb{R}}^4$ ? Énoncer la caractérisation générale utilisée.

Dans tout l'exercice, $E$ et $F$ sont deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels, $u\in \mathcal{L}(E,F)$ et $a\in F$. On note

l'ensemble des solutions de l'équation $u(x)=a$, d'inconnue $x\in E$, et l'on pose $x_0+\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u=\{x_0+h;h\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u\}$ pour $x_0\in E$.

1. a. Montrer que $S$ est vide, ou bien que $S=x_0+\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ pour n'importe quelle solution particulière $x_0\in S$.

   b. On suppose $S$ non vide. Montrer que $S$ est réduit à un seul élément si et seulement si $u$ est injective.

   c. Montrer que $S$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $a=0_F$.

2. Résoudre dans ${\mathbb{R}}^4$ le système

   $$(\mathrm{\Sigma })\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4=1\\ x_1+2x_2+3x_3+4x_4=2\\ 2x_1+3x_2+4x_3+5x_4=3\end{array}$$

   en précisant l'application linéaire $u$, les espaces de départ et d'arrivée, une solution particulière et une base de $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$.

3. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}+2y=e^x$, en précisant les mêmes objets.

4. Déterminer les suites réelles $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ telles que $u_{n+1}=3u_n-4$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, en précisant les mêmes objets, puis celle qui vérifie $u_0=5$.

5. Quel lien observe-t-on, dans les trois exemples, entre $\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ et le nombre de paramètres réels qui décrivent l'ensemble des solutions ?

On travaille dans le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, on note $e_{\lambda }$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $e_{\lambda }(x)=e^{\lambda x}$.

1. Soient ${\lambda }_1<{\lambda }_2$ deux réels. Montrer que la famille $(e_{{\lambda }_1},e_{{\lambda }_2})$ est libre.

2. Soient ${\lambda }_1<{\lambda }_2<{\lambda }_3$ trois réels. Montrer que la famille $(e_{{\lambda }_1},e_{{\lambda }_2},e_{{\lambda }_3})$ est libre.

3. Démontrer par récurrence sur $n⩾1$ la propriété suivante : pour tous réels ${\lambda }_1<{\lambda }_2<\cdots <{\lambda }_n$, la famille $(e_{{\lambda }_1},\dots ,e_{{\lambda }_n})$ est libre.

4. En déduire que $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ n'est pas de dimension finie.

5. Montrer que la famille $(\cos ,\sin ,\exp )$ est libre dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.

Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels et $u\in \mathcal{L}(E,F)$. Pour $V$ une partie de $E$ et $W$ une partie de $F$, on pose

1. Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $E$. Montrer que $u(V)$ est un sous-espace vectoriel de $F$.

2. Soit $W$ un sous-espace vectoriel de $F$. Montrer que $u^{-1}(W)$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Pourquoi cette notation a-t-elle un sens même si $u$ n'est pas bijective ?

3. Retrouver, comme cas particuliers, que $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}u$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$ et de $F$.

4. Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $E$. Montrer que $u^{-1}(u(V))=V+\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$, puis que $u^{-1}(u(V))=V$ si et seulement si $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u\subset V$.

5. Soit $W$ un sous-espace vectoriel de $F$. Montrer que $u(u^{-1}(W))=W\cap \mathrm{I}\mathrm{m}u$, puis que $u(u^{-1}(W))=W$ si et seulement si $W\subset \mathrm{I}\mathrm{m}u$.

6. On considère $u:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ définie par $u(x,y,z)=(x+y,y+z,x-z)$. Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}u$, puis illustrer les questions 4 et 5 avec $V=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}((1,0,0))$ et $W=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}((1,0,0))$.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ de dimensions finies. On pose

On fixe une base $(e_1,\dots ,e_p)$ de $F\cap G$, que l'on complète en une base $(e_1,\dots ,e_p,a_1,\dots ,a_{f-p})$ de $F$ et en une base $(e_1,\dots ,e_p,b_1,\dots ,b_{g-p})$ de $G$. On note enfin

1. Justifier que ces complétions sont possibles, puis montrer que $\mathcal{B}$ est une famille génératrice de $F+G$.

2. Montrer que $\mathcal{B}$ est libre, et en déduire la formule de Grassmann :

   $$\dim (F+G)=\dim F+\dim G-\dim (F\cap G)\mathrm{.}$$

3. Soient $F$ et $G$ deux plans distincts de ${\mathbb{R}}^3$. Montrer que $F\cap G$ est une droite vectorielle. Illustrer avec $F$ d'équation $x+y+z=0$ et $G$ d'équation $x-z=0$.

4. Soit $E$ de dimension $6$, et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ de dimensions respectives $3$ et $4$. Montrer que $F\cap G$ contient un vecteur non nul.

5. Soit $E$ de dimension finie. Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ si et seulement si $F\cap G=\{0_E\}$ et $\dim F+\dim G=\dim E$.

Soit $n\in \mathbb{N}$ et soient $a_0,a_1,\dots ,a_n$ des réels deux à deux distincts. On considère l'application

1. Montrer que $\mathrm{\Phi }$ est linéaire, puis que $\mathrm{\Phi }$ est injective.

2. En déduire que $\mathrm{\Phi }$ est un isomorphisme. Traduire ce résultat : que peut-on dire, pour $(y_0,\dots ,y_n)\in {\mathbb{R}}^{n+1}$ donné, des polynômes $P\in {\mathbb{R}}_n[X]$ tels que $P(a_i)=y_i$ pour tout $i$ ?

3. Pour $i\in \{0,1,\dots ,n\}$, on pose

   $$L_i=\prod _{\begin{array}{c}0⩽j⩽n\\ j\mathrm{\ne }i\end{array}}\frac{X-a_j}{a_i-a_j}\mathrm{.}$$

   Justifier que $L_i\in {\mathbb{R}}_n[X]$, puis calculer $L_i(a_k)$ pour tout $k\in \{0,\dots ,n\}$.

4. Montrer que $(L_0,L_1,\dots ,L_n)$ est une base de ${\mathbb{R}}_n[X]$.

5. Montrer que tout $P\in {\mathbb{R}}_n[X]$ s'écrit $P={\sum }_{i=0}^{n}P(a_i)L_i$.

6. Application avec $n=2$ : déterminer l'unique $P\in {\mathbb{R}}_2[X]$ tel que $P(-1)=3$, $P(0)=1$ et $P(2)=3$.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $u\in \mathcal{L}(E)$. On note $u^2=u\circ u$.

1. Montrer que $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u\subset \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{u}^2$ et que $\mathrm{I}\mathrm{m}{u}^2\subset \mathrm{I}\mathrm{m}u$.

2. Montrer l'équivalence

   $$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{u}^2⟺\mathrm{I}\mathrm{m}u\cap \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u=\{0_E\}\mathrm{.}$$

   (Aucune hypothèse de dimension finie ici.)

3. On suppose désormais $E$ de dimension finie. Montrer que $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{u}^2$ si et seulement si $E=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u\oplus \mathrm{I}\mathrm{m}u$.

4. Toujours en dimension finie, montrer que $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{u}^2$ si et seulement si $\mathrm{I}\mathrm{m}u=\mathrm{I}\mathrm{m}{u}^2$.

5. Donner un exemple explicite d'endomorphisme pour lequel $E\mathrm{\ne }\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u\oplus \mathrm{I}\mathrm{m}u$, et vérifier sur cet exemple que toutes les conditions précédentes sont en défaut. On traitera $u:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$, $(x,y)\mapsto (y,0)$, puis la dérivation $D:{\mathbb{R}}_2[X]\to {\mathbb{R}}_2[X]$, $P\mapsto P^{\mathrm{\prime }}$.

6. Vérifier que tout projecteur $p$ de $E$ (c'est-à-dire $p\in \mathcal{L}(E)$ tel que $p\circ p=p$) satisfait la condition de la question 2.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n⩾1$. On rappelle qu'un hyperplan de $E$ est un sous-espace vectoriel de dimension $n-1$, et que les hyperplans de $E$ sont exactement les noyaux des formes linéaires non nulles sur $E$.

1. Soient $V$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $H$ un hyperplan de $E$. En considérant la restriction à $V$ d'une forme linéaire $\phi$ telle que $H=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi$, montrer que

   $$\dim (V\cap H)⩾\dim V-1.$$

2. En déduire par récurrence sur $p⩾1$ que, pour tous hyperplans $H_1,\dots ,H_p$ de $E$,

   $$\dim (H_1\cap H_2\cap \cdots \cap H_p)⩾n-p\mathrm{.}$$

3. Dans ${\mathbb{R}}^4$, donner un exemple de deux hyperplans dont l'intersection est de dimension $2$, puis un exemple où elle est de dimension $3$. Commenter.

4. Réciproquement, soit $V$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $n-p$, avec $1⩽p⩽n$. Montrer que $V$ est l'intersection de $p$ hyperplans de $E$. Traiter ensuite explicitement le cas de la droite $D=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}((1,2,-1))$ de ${\mathbb{R}}^3$.

5. Écrire $V=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}((1,0,1,0),(0,1,1,1))$ comme intersection de deux hyperplans de ${\mathbb{R}}^4$. Pourquoi un seul hyperplan ne peut-il pas suffire ?