Devoir surveillé — Espaces vectoriels et applications linéaires

Les cinq exercices du sujet sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La calculatrice n'est pas autorisée. La clarté de la rédaction et la justification des affirmations entrent dans la notation au même titre que l'exactitude des calculs : une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Dans tout le sujet, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et tous les espaces vectoriels considérés sont des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels.

1. (2 pt) Pour chacune des quatre affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse : on attend une démonstration lorsque l'affirmation est vraie, un contre-exemple explicite lorsqu'elle est fausse. Chaque affirmation vaut 0,5 point.

a. Toute famille génératrice de ${\mathbb{R}}^3$ formée de trois vecteurs est une base de ${\mathbb{R}}^3$.

b. Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels, $u\in \mathcal{L}(E,F)$ et $(x_1,x_2,x_3)$ une famille liée de $E$. Alors la famille $(u(x_1),u(x_2),u(x_3))$ est liée dans $F$.

c. Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de dimension finie d'un même espace vectoriel $E$ tels que $\dim F=\dim G$. Alors $F=G$.

d. Soit $u\in \mathcal{L}(E)$ tel que $u\circ u=u$ et $u$ injective. Alors $u={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$.

2. (1 pt) Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels et $u\in \mathcal{L}(E,F)$. Démontrer que $u$ est injective si et seulement si l'image par $u$ de toute famille libre de $E$ est une famille libre de $F$.

On travaille dans l'espace vectoriel ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, dont on note

$$E_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),E_{1,2}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),E_{2,1}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),E_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

la base canonique. On pose

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right),\text{et pour }M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),\sigma (M)=a+b+c+d\mathrm{.}$$

1. (0,75 pt) Démontrer que l'application $L:M⟼AM$ est un endomorphisme de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Déterminer $F=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}L$, en donner une base et préciser $\dim F$.

2. (0,5 pt) Déterminer $\mathrm{I}\mathrm{m}L$, en donner une base, et vérifier le théorème du rang pour $L$.

3. (0,5 pt) On note $R:M⟼MA$ et $G=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}R$. Déterminer une base de $G$ et préciser $\dim G$.

4. (0,75 pt) Déterminer $F\cap G$ et sa dimension. En déduire $\dim (F+G)$.

5. (0,5 pt) Démontrer que $H=\{M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R});\sigma (M)=0\}$ est un hyperplan de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, puis que $F+G=H$.

6. (0,5 pt) Démontrer que $AMA=\sigma (M)A$ pour toute matrice $M$. En déduire que $\mathrm{\Psi }:M⟼AMA$ est un endomorphisme de rang $1$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, préciser $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{\Psi }$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{\Psi }$, et retrouver ainsi l'inclusion $F+G\subset H$ sans aucun calcul de coefficients.

On note $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^4$, on pose $j=(1,1,1,1)$ et l'on considère l'application

$$u:{\mathbb{R}}^4⟶{\mathbb{R}}^4,(x_1,x_2,x_3,x_4)⟼(x_2-x_1,x_3-x_2,x_4-x_3,x_1-x_4)\mathrm{.}$$

Chaque coordonnée de l'image est la différence entre une coordonnée de $x$ et la précédente, la première suivant la dernière : d'où le nom de l'exercice. On note enfin

$$H=\{(y_1,y_2,y_3,y_4)\in {\mathbb{R}}^4;y_1+y_2+y_3+y_4=0\}\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Démontrer que $u$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}^4$, puis déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$, en donner une base et préciser sa dimension.

2. (0,75 pt) Donner $\mathrm{r}\mathrm{g}(u)$. Démontrer que $\mathrm{I}\mathrm{m}u\subset H$, puis que $H$ est un hyperplan de ${\mathbb{R}}^4$, et en déduire $\mathrm{I}\mathrm{m}u=H$. Donner une base de $\mathrm{I}\mathrm{m}u$ formée d'images de vecteurs de la base canonique.

3. (0,5 pt) Démontrer que ${\mathbb{R}}^4=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u\oplus \mathrm{I}\mathrm{m}u$.

4. (1 pt) On pose $b=(1,3,-2,-2)$. Justifier que l'équation $u(x)=b$, d'inconnue $x\in {\mathbb{R}}^4$, admet au moins une solution, en donner une, puis décrire l'ensemble de toutes ses solutions. Que se passerait-il avec $b^{\mathrm{\prime }}=(1,3,-2,-1)$ ?

5. (0,75 pt) Démontrer que $H$ est stable par $u$, c'est-à-dire que $u(H)\subset H$, puis que l'application $v:H\to H$ qui à $y\in H$ associe $u(y)$ est un automorphisme de $H$. Interpréter ce résultat en une phrase.

On rappelle qu'un projecteur d'un espace vectoriel $E$ est un endomorphisme $p$ de $E$ vérifiant $p\circ p=p$, et l'on utilisera librement le résultat du cours : pour un projecteur $p$, l'image est l'ensemble des vecteurs invariants, autrement dit $p(y)=y$ pour tout $y\in \mathrm{I}\mathrm{m}p$.

Dans les questions 1. à 3., $p$ et $q$ désignent deux projecteurs d'un même espace vectoriel $E$, et l'on pose $r=p+q$.

1. (0,75 pt) On suppose dans cette question que $p\circ q=q\circ p=0$. Démontrer que $r$ est un projecteur de $E$.

2. On suppose réciproquement que $r$ est un projecteur de $E$.

a. (0,5 pt) Démontrer que $p\circ q+q\circ p=0$.

b. (0,5 pt) En composant l'égalité précédente par $p$ à gauche, puis par $p$ à droite, démontrer que $p\circ q=q\circ p$.

c. (0,25 pt) En déduire que $p\circ q=q\circ p=0$. On précisera où intervient le fait que $\mathbb{K}$ est $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

3. (1 pt) On suppose de nouveau $p\circ q=q\circ p=0$. Démontrer que

$$\mathrm{I}\mathrm{m}r=\mathrm{I}\mathrm{m}p\oplus \mathrm{I}\mathrm{m}q\text{et}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}r=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}p\cap \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}q\mathrm{.}$$

4. (1 pt) Dans $E={\mathbb{R}}^3$, dont on note $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique, on pose

$$p(x,y,z)=(x+z,0,0)\text{et}q(x,y,z)=(0,y-z,0)\mathrm{.}$$

Vérifier que $p$ et $q$ sont des projecteurs, calculer $p\circ q$ et $q\circ p$, donner l'expression de $r$ et justifier que c'est un projecteur. Déterminer enfin $\mathrm{I}\mathrm{m}p$, $\mathrm{I}\mathrm{m}q$, $\mathrm{I}\mathrm{m}r$, $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}p$, $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}q$ et $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}r$, et contrôler sur cet exemple les deux formules de la question 3.

Dans tout ce problème, $E$ désigne un espace vectoriel non réduit à $\{0_E\}$. Pour $\lambda \in \mathbb{K}$, on appelle homothétie de rapport $\lambda$ l'endomorphisme $h_{\lambda }:x\mapsto \lambda x$. On dit qu'un sous-espace vectoriel $V$ de $E$ est stable par $u\in \mathcal{L}(E)$ lorsque $u(V)\subset V$, c'est-à-dire lorsque $u(x)\in V$ pour tout $x\in V$.

Une homothétie laisse évidemment stable n'importe quel sous-espace. La question posée ici est la réciproque, et elle est loin d'être évidente : à partir de quelle quantité d'information sur ses sous-espaces stables peut-on affirmer qu'un endomorphisme est une homothétie ? La partie A rassemble les outils, la partie B répond avec les droites, la partie C répond avec les hyperplans, et la partie D montre qu'en dimension $3$, quatre droites bien choisies suffisent. Les parties s'enchaînent.

Partie A — Le rapport attaché à une droite stable (1,5 point)

1. (0,25 pt) Soit $\lambda \in \mathbb{K}$. Vérifier que toute droite vectorielle de $E$ est stable par $h_{\lambda }$.

2. (0,5 pt) Soient $u\in \mathcal{L}(E)$ et $x\in E$ non nul tel que la droite $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(x)$ soit stable par $u$. Démontrer qu'il existe un unique scalaire, que l'on notera ${\lambda }_x$, tel que $u(x)={\lambda }_{x}x$.

3. (0,25 pt) Soient $x$ et $y$ deux vecteurs non nuls et colinéaires, engendrant des droites stables par $u$. Démontrer que ${\lambda }_x={\lambda }_y$.

4. (0,5 pt) Soient maintenant $x$ et $y$ deux vecteurs tels que la famille $(x,y)$ soit libre, et supposons que les trois droites $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(x)$, $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(y)$ et $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(x+y)$ soient stables par $u$. Démontrer que

$${\lambda }_x={\lambda }_y={\lambda }_{x+y}\mathrm{.}$$

Partie B — Le théorème des droites stables (1,5 point)

5. (1 pt) Soit $u\in \mathcal{L}(E)$ tel que toute droite vectorielle de $E$ soit stable par $u$. Démontrer qu'il existe $\lambda \in \mathbb{K}$ tel que $u=h_{\lambda }$.

6. (0,5 pt) Énoncer l'équivalence ainsi obtenue. Puis exhiber un endomorphisme de ${\mathbb{R}}^2$ qui n'est pas une homothétie et qui laisse pourtant stables deux droites distinctes : que peut-on en conclure sur l'hypothèse « toute droite » ?

Partie C — Le théorème des hyperplans stables (2 points)

Dans cette partie, $E$ est de dimension finie $n⩾2$.

7. (0,75 pt) Soient $x$ et $y$ deux vecteurs de $E$ tels que la famille $(x,y)$ soit libre. Démontrer qu'il existe un hyperplan $H$ de $E$ tel que $x\in H$ et $y\mathrm{\notin }H$.

8. (0,5 pt) Soit $x\in E$ non nul. Démontrer que l'intersection de tous les hyperplans de $E$ contenant $x$ est exactement $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(x)$.

9. (0,75 pt) Soit $u\in \mathcal{L}(E)$ tel que tout hyperplan de $E$ soit stable par $u$. Démontrer que $u$ est une homothétie.

Partie D — Dans ${\mathbb{R}}^3$, quatre droites suffisent (1 point)

Dans cette partie, $(e_1,e_2,e_3)$ désigne la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$ et l'on pose $j=(1,1,1)$.

10. (0,5 pt) On pose $u(x,y,z)=(x,y,0)$ et $Q=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3;z=0\}$. Vérifier que toute droite incluse dans $Q$ est stable par $u$, et que $u$ n'est pourtant pas une homothétie. Exhiber une droite de ${\mathbb{R}}^3$ non stable par $u$, et expliquer pourquoi il n'y a aucune contradiction avec la partie B.

11. (0,5 pt) Soit $u\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^3)$ tel que les quatre droites

$$\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_1),\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_2),\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_3),\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(j)$$

soient stables par $u$. Démontrer que $u$ est une homothétie. Commenter par rapport à la partie B.