Exercices — Calcul matriciel et systèmes linéaires

On considère les matrices

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 3& 5& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& -3\\ -2& 1& 2\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 0& 3& 1\\ 1& 1& -2\end{array}\right)$$

1. Préciser le format de chacune de ces trois matrices, puis donner les coefficients $a_{2,3}$, $b_{1,1}$ et $c_{3,2}$.

2. Calculer les matrices suivantes.

3. Déterminer la matrice $X$ vérifiant $2X+A=B$, puis contrôler le résultat.

4. a. Le produit $AC$ a-t-il un sens ? Et le produit $CA$ ? Justifier en comparant les formats.

b. Calculer par la règle ligne-colonne le coefficient de $AC$ situé en ligne $2$ et colonne $2$, puis calculer $AC$ en entier.

5. On pose $U=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$. Calculer $CU$.

Dans les questions 1. et 2., $A$ désigne une matrice de ${\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$, $B$ une matrice de ${\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{R})$ et $C$ une matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$.

1. Pour chacun des produits suivants, dire s'il a un sens et, dans ce cas, donner le format du résultat.

2. On prend désormais

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ -1& 3& 1\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\\ 3& 4\end{array}\right)$$

Calculer $AB$ et $BA$. Pourquoi ces deux matrices ne peuvent-elles pas être égales, sans même regarder leurs coefficients ?

3. On pose $M=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ et $N=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$. Calculer $MN$ et $NM$, et conclure.

4. a. On pose $P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ et $Q=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& -2\end{array}\right)$. Calculer $PQ$, puis $QP$. Que peut-on en conclure sur la règle « un produit est nul, donc l'un des facteurs est nul » ?

b. Vérifier que $J=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ est non nulle mais que $J^2=0$.

5. Avec les matrices $M$ et $N$ de la question 3., comparer $(M+N{)}^2$ et $M^2+2MN+N^2$. Énoncer la formule correcte pour $(M+N{)}^2$ et la vérifier sur cet exemple.

On rappelle que la transposée de $A=\left(a_{i,j}\right)$, notée ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$, est la matrice dont le coefficient en position $(i,j)$ vaut $a_{j,i}$ : les lignes de $A$ deviennent les colonnes de ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$.

1. Écrire la transposée de chacune des matrices suivantes, en précisant son format.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 5\\ 0& 3& 4\end{array}\right),V=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 6\end{array}\right),W=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& -7\\ 1& 2& 4\\ -5& 8& 9\end{array}\right)$$

2. Parmi les matrices suivantes, dire lesquelles sont symétriques, lesquelles sont antisymétriques, et lesquelles ne sont ni l'une ni l'autre.

$$M_1=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -3\end{array}\right),M_2=\left(\begin{array}{cc}0& 5\\ -5& 0\end{array}\right),M_3=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 0& -4\\ 0& -4& 7\end{array}\right)$$ $$M_4=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& -1\\ -3& 0& 2\\ 1& -2& 0\end{array}\right),M_5=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\right),M_6=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ -1& 0& 3\\ -2& -3& 1\end{array}\right)$$

3. Dans cette question et dans celle-ci seulement, on pose $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 0& 4& 1\end{array}\right)$, qui remplace la matrice $A$ de la question 1., et $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -3\\ -1& 5\end{array}\right)$. Calculer ${}^t(AB)$ et ${}^{t}B{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$, et comparer. Le produit ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A{}^{t}B$ a-t-il un sens ? Peut-il être égal à ${}^t(AB)$ ?

4. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ une matrice antisymétrique. Démontrer que tous ses coefficients diagonaux sont nuls.

5. a. Soit $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Démontrer que $M+{}^{t}M$ est symétrique et que $M-{}^{t}M$ est antisymétrique.

b. En déduire une écriture de $M$ comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique, puis expliciter cette écriture pour

$$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 0\\ 0& 6& -2\\ 2& 4& 8\end{array}\right)$$

On considère les matrices de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ suivantes :

$$D=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right),D^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{ccc}-4& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),T=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 3& 4\\ 0& 0& -2\end{array}\right),T^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& -1& 3\\ 0& 0& 5\end{array}\right)$$

1. Calculer $D{D}^{\mathrm{\prime }}$ et $D^{\mathrm{\prime }}D$. Que constate-t-on ? Démontrer le résultat général : le produit de deux matrices diagonales de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est diagonal, et ces deux matrices commutent.

2. Calculer $T{T}^{\mathrm{\prime }}$ et $T^{\mathrm{\prime }}T$. Vérifier que les deux résultats sont triangulaires supérieurs de même diagonale, mais qu'ils ne sont pas égaux.

3. Démontrer, dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, que le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieur, et que ses coefficients diagonaux sont les produits des coefficients diagonaux correspondants.

4. On pose

$$U=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{et}L=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

Calculer $UL$ et $LU$. Le produit d'une matrice triangulaire supérieure par une matrice triangulaire inférieure est-il triangulaire ?

5. On pose $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$. Calculer $DM$ et $MD$, et décrire en une phrase l'effet de chacune de ces multiplications.

Pour $i$ et $j$ dans $\{1,2,3\}$, on note $E_{i,j}$ la matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui situé en ligne $i$ et colonne $j$, qui vaut $1$. On rappelle le symbole de Kronecker :

$${\delta }_{p,q}=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }p=q\\ 0& \text{si }p\mathrm{\ne }q\end{array}$$

de sorte que le coefficient de $E_{i,j}$ en position $(p,q)$ s'écrit ${\delta }_{i,p}{\delta }_{j,q}$.

1. Écrire explicitement les matrices $E_{1,2}$, $E_{2,3}$ et $E_{3,1}$.

2. Calculer les produits suivants.

3. Conjecturer une formule donnant $E_{i,j}{E}_{k,l}$, puis la démontrer à partir de la définition du produit matriciel.

4. Décomposer la matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 0\\ -1& 0& 3\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$ comme combinaison linéaire de matrices élémentaires. Écrire la formule générale correspondante pour une matrice quelconque de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$.

5. Soit $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$. Calculer $E_{1,2}M$ et $M{E}_{1,2}$, puis décrire dans le cas général l'effet des produits $E_{i,j}M$ et $M{E}_{i,j}$.

Soit $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ une matrice de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. On lui associe la matrice

$$\tilde{A}=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

obtenue en échangeant les deux coefficients diagonaux et en changeant le signe des deux autres.

1. Calculer $A\tilde{A}$ et $\tilde{A}A$.

2. En déduire que si $ad-bc\mathrm{\ne }0$, alors $A$ est inversible, et donner l'expression de $A^{-1}$.

3. Réciproquement, démontrer que si $ad-bc=0$, alors $A$ n'est pas inversible.

4. Appliquer ce qui précède aux trois matrices suivantes : dire si elles sont inversibles et, le cas échéant, calculer leur inverse et vérifier le résultat.

$$B=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 4& 1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 1& 3\end{array}\right)$$

Pour celle qui n'est pas inversible, exhiber en outre une matrice colonne $X\mathrm{\ne }0$ telle que $MX=0$, en notant $M$ cette matrice, et expliquer en quoi cela redémontre directement la non-inversibilité.

5. À l'aide de la question 4., résoudre le système

$$\{\begin{array}{l}3x+5y=1\\ x+2y=-1\end{array}$$

Résoudre dans ${\mathbb{R}}^3$ les trois systèmes suivants par la méthode du pivot de Gauss. À chaque étape, on écrira l'opération élémentaire utilisée et on justifiera qu'elle est réversible, de sorte que le système obtenu ait exactement les mêmes solutions que le précédent. On terminera dans chaque cas par une vérification.

1. $\{\begin{array}{l}x+2y-z=6\\ 2x-y+3z=-3\\ -x+y+2z=-1\end{array}$

2. $\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ 2x+3y-z=1\\ 3x+4y=5\end{array}$

3. $\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ 2x+3y-z=1\\ 3x+4y=3\end{array}$

4. Comparer les systèmes 2. et 3., et expliquer ce qui, dans les données, provoque la différence de conclusion.

On considère les matrices de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$

$$D=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& -3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{et}N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

1. Calculer $D^2$ et $D^3$, conjecturer une expression de $D^n$ pour $n\in \mathbb{N}$, puis la démontrer par récurrence.

2. Calculer ${\left(2I_3\right)}^n$ pour $n\in \mathbb{N}$. Plus généralement, exprimer $(\lambda D{)}^n$ en fonction de $\lambda$, de $n$ et de $D^n$, où $\lambda$ est un réel.

3. Calculer $N^2$ et $N^3$. En déduire $N^n$ pour tout $n⩾3$, et donner l'indice de nilpotence de $N$.

4. On pose $A=I_3+N$. Justifier que la formule du binôme s'applique au couple $(I_3,N)$, puis en déduire l'expression de $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Contrôler le résultat pour $n=2$ par un calcul direct.

5. Peut-on calculer $(D+N{)}^n$ par la même méthode ? Justifier.

On considère le système linéaire d'inconnue $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$

$$(\mathcal{S})\{\begin{array}{l}x+2y-z=1\\ 2x+5y+z=4\\ x+y-4z=-1\end{array}$$

1. Écrire $(\mathcal{S})$ sous la forme matricielle $AX=B$, en précisant les matrices $A$, $X$ et $B$ ainsi que l'ensemble auquel chacune appartient.

2. Résoudre par la méthode du pivot le système homogène associé $AX=0$, et décrire l'ensemble $\mathcal{H}$ de ses solutions à l'aide d'un paramètre réel.

3. Déterminer une solution particulière $X_0$ de $(\mathcal{S})$, puis vérifier par le produit matriciel que $A{X}_0=B$.

4. Cas général. Soient $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$ et $B\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$. On suppose connue une solution $X_0$ de l'équation $AX=B$, et l'on note $\mathcal{E}$ l'ensemble des solutions de $AX=B$, $\mathcal{H}$ celui des solutions de $AX=0$. Démontrer par double inclusion que

$$\mathcal{E}=\{X_0+Y\mid Y\in \mathcal{H}\}\mathrm{.}$$

5. En déduire l'ensemble des solutions de $(\mathcal{S})$, puis déterminer celle dont la troisième coordonnée vaut $2$.

6. On remplace le second membre par la colonne $B^{\mathrm{\prime }}$ de coefficients $1$, $4$ et $0$. Montrer que le système $AX=B^{\mathrm{\prime }}$ n'a aucune solution. Déterminer plus généralement une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients $b_1$, $b_2$, $b_3$ d'une colonne $B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ pour que le système $AX=B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ admette au moins une solution.

On considère les matrices

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 1& 2& 3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}4\\ 7\\ 9\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& 1& 1\\ 4& 5& -1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Déterminer l'inverse de $A$ par la méthode du pivot, conduite en parallèle sur $A$ et sur $I_3$. On indiquera précisément chaque opération élémentaire employée.

2. Vérifier le résultat obtenu en calculant les deux produits $A{A}^{-1}$ et $A^{-1}A$.

3. En déduire l'unique solution du système $AX=B$, puis contrôler cette solution en la reportant dans le système.

4. Appliquer la méthode du pivot à la matrice $C$. Que constate-t-on ? Exhiber une colonne $X\mathrm{\ne }0$ telle que $CX=0$, et en déduire que $C$ n'est pas inversible.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

1. Écrire $A$ sous la forme $A=2I_3+N$, où $N$ est une matrice que l'on précisera. Calculer $N^2$ et $N^3$, puis en déduire $N^k$ pour tout $k⩾3$.

2. Justifier que les matrices $2I_3$ et $N$ commutent, et rappeler l'énoncé de la formule du binôme pour deux matrices qui commutent.

3. En déduire, pour tout entier $n⩾2$, l'expression de $A^n$ en fonction de $I_3$, $N$ et $N^2$, puis les neuf coefficients de $A^n$.

4. Contrôler la formule obtenue pour $n=2$ en calculant $A^2$ directement.

5. La formule des coefficients obtenue à la question 3 reste-t-elle valable pour $n=0$ et pour $n=1$ ?

6. On remplace formellement $n$ par $-1$ dans la formule de la question 3. Écrire la matrice $M$ ainsi obtenue, puis démontrer que $A$ est inversible d'inverse $M$.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& -1& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

1. Calculer $A^2$, puis vérifier l'égalité $A^2-3A+2I_3=0_3$.

2. En déduire que $A$ est inversible, exprimer $A^{-1}$ en fonction de $A$ et de $I_3$, puis donner explicitement les coefficients de $A^{-1}$.

3. Exprimer $A^3$, puis $A^4$, en fonction de $A$ et de $I_3$. Donner les coefficients de $A^3$.

4. Démontrer par récurrence qu'il existe deux suites réelles $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que $A^n=a_{n}A+b_n{I}_3$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Préciser les relations de récurrence qui les définissent, puis calculer $a_n$ et $b_n$ explicitement.

5. Contrôler la formule obtenue pour $n=0$, $n=2$ et $n=3$. Que donne-t-elle si l'on y remplace $n$ par $-1$ ?

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier supérieur ou égal à $1$. On rappelle qu'une matrice $N\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est dite nilpotente lorsqu'il existe un entier $k⩾1$ tel que $N^k=0_n$ ; le plus petit entier $p⩾1$ tel que $N^p=0_n$ s'appelle alors l'indice de nilpotence de $N$.

1. Exhiber deux matrices $A$ et $B$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, toutes deux non nulles, telles que $AB=0_2$. Calculer également $BA$ et commenter.

2. Démontrer qu'une matrice nilpotente non nulle n'est pas inversible.

3. Démontrer que si $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est inversible et si $B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ vérifie $AB=0_n$, alors $B=0_n$. En déduire une seconde démonstration de la question 2.

4. Soit $N$ une matrice nilpotente d'indice $p$. Démontrer que $N^{p-1}\mathrm{\ne }{0}_n$, puis exhiber une matrice de ${\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ nilpotente d'indice exactement $4$.

5. Soit $S\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ à la fois symétrique et nilpotente. Démontrer, par un calcul direct sur les coefficients, que $S=0_2$.

Soit $n⩾1$. On rappelle qu'une matrice $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est dite symétrique lorsque ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}M=M$, et antisymétrique lorsque ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}M=-M$.

1. Démontrer que toute matrice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ s'écrit de manière unique sous la forme $A=S+T$, où $S$ est symétrique et $T$ antisymétrique. On précisera les expressions de $S$ et de $T$ en fonction de $A$ et de ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$.

2. Déterminer $S$ et $T$ pour la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& -1\\ 0& 2& 3\\ 5& -1& 6\end{array}\right)\mathrm{.}$$

3. Démontrer que, pour toute matrice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, les matrices $A{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$ et ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}AA$ sont symétriques. Le vérifier en calculant $A{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$ pour la matrice de la question 2.

4. Démontrer que si $S\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est symétrique et si $P\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est quelconque, alors ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}PSP$ est symétrique.

5. Combien de coefficients peut-on choisir librement dans une matrice symétrique d'ordre $n$ ? Dans une matrice antisymétrique d'ordre $n$ ? Justifier par un dénombrement, et vérifier la cohérence des deux réponses avec la question 1.

Soit $n⩾2$. On note $J\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$, et l'on pose, pour deux réels $a$ et $b$,

$$A=a{I}_n+bJ\mathrm{.}$$

1. Calculer le coefficient général de $J^2$ et en déduire que $J^2=nJ$. Démontrer ensuite que $J^k=n^{k-1}J$ pour tout entier $k⩾1$.

2. Justifier que $I_n$ et $J$ commutent, puis calculer $A^2$ sous la forme $\alpha I_n+\beta J$.

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $m⩾1$,

$$A^m=a^m{I}_n+c_{m}J,\text{avec}{c}_m=\frac{(a+nb{)}^m-a^m}{n}\mathrm{.}$$

Retrouver ce résultat à l'aide de la formule du binôme.

4. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur $a$ et $b$ pour que $A$ soit inversible. Donner alors $A^{-1}$ sous la forme $\alpha I_n+\beta J$.

5. Application numérique : on prend $n=3$ et

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ -1& 3& -1\\ -1& -1& 3\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Donner $A^m$ pour tout $m⩾1$, puis $A^{-1}$, et contrôler les deux résultats.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul et $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Une matrice $T=(t_{i,j})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est dite triangulaire supérieure lorsque $t_{i,j}=0$ dès que $i>j$, c'est-à-dire lorsque tous ses coefficients strictement sous la diagonale sont nuls. On note ${\mathcal{T}}_n$ l'ensemble des matrices triangulaires supérieures d'ordre $n$.

1. Soient $A=(a_{i,j})$ et $B=(b_{i,j})$ deux matrices de ${\mathcal{T}}_n$, et $C=AB=(c_{i,j})$.

a. En partant de $c_{i,j}={\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_{i,k}{b}_{k,j}}$ et en discutant soigneusement les indices $k$ qui contribuent réellement à cette somme, démontrer que $C$ est triangulaire supérieure.

b. Démontrer que $c_{i,i}=a_{i,i}{b}_{i,i}$ pour tout $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ : sur la diagonale, le produit des matrices donne le produit des coefficients.

2. En déduire, pour $T\in {\mathcal{T}}_n$ et $m\in \mathbb{N}$, que $T^m$ est triangulaire supérieure et que son coefficient d'indice $(i,i)$ vaut ${\left(t_{i,i}\right)}^m$.

3. On pose

$$U=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& -1& 4\\ 0& 0& 5\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Calculer $U^2$ et contrôler le résultat de la question 1. b. sur cet exemple.

4. Soit $T\in {\mathcal{T}}_n$ dont l'un au moins des coefficients diagonaux est nul. Démontrer que $T$ n'est pas inversible. Indication : construire une colonne $X\mathrm{\ne }0$ telle que $TX=0$, en notant $r$ le plus petit indice tel que $t_{r,r}=0$.

5. Soit $T\in {\mathcal{T}}_n$ dont tous les coefficients diagonaux sont non nuls. En résolvant le système $TX=Y$ « par remontée » (de la dernière ligne vers la première), démontrer que $T$ est inversible, que $T^{-1}$ est triangulaire supérieure, et que les coefficients diagonaux de $T^{-1}$ sont les ${\displaystyle \frac{1}{t_{i,i}}}$.

6. Calculer l'inverse de la matrice $U$ de la question 3. et vérifier le résultat.

On travaille dans ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Pour $(i,j)\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,3]\text{\hspace{0.17em}⁣}{]}^2$, on note $E_{i,j}$ la matrice élémentaire dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d'indice $(i,j)$, qui vaut $1$ ; autrement dit ${\left(E_{i,j}\right)}_{p,q}={\delta }_{p,i}{\delta }_{q,j}$, où $\delta$ est le symbole de Kronecker. On introduit trois familles de matrices :

• la transvection $T_{i,j}(\lambda )=I_3+\lambda E_{i,j}$, où $i\mathrm{\ne }j$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ ;
• la dilatation $D_i(\alpha )=I_3+(\alpha -1)E_{i,i}$, où $\alpha \in {\mathbb{R}}^{\ast }$ ;
• la matrice d'échange $P_{i,j}$ ($i\mathrm{\ne }j$), obtenue en échangeant les lignes $i$ et $j$ de $I_3$.

On pose enfin

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& -1& 4\\ 0& 5& 2\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Écrire explicitement les matrices $T_{2,1}(\lambda )$, $D_3(\alpha )$ et $P_{1,3}$.

2. Calculer les six produits suivants et décrire, dans chaque cas, l'opération subie par $A$.

3. Soit $M=(m_{p,q})\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$.

a. Calculer le coefficient d'indice $(p,q)$ de $E_{i,j}M$, puis celui de $M{E}_{i,j}$.

b. En déduire, dans le cas général, que multiplier $M$ à gauche par $T_{i,j}(\lambda )$ effectue l'opération $L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j$, et que multiplier $M$ à droite par $T_{i,j}(\lambda )$ effectue l'opération $C_j\leftarrow C_j+\lambda C_i$.

4. Démontrer que les matrices $T_{i,j}(\lambda )$, $D_i(\alpha )$ et $P_{i,j}$ sont inversibles et déterminer leur inverse. Que constate-t-on sur le type de ces inverses ?

5. Soit $(S)$ le système $MX=B$, d'inconnue la colonne $X$. Expliquer pourquoi effectuer une opération élémentaire sur les lignes de $(S)$ fournit un système équivalent, et pourquoi la condition $\alpha \mathrm{\ne }0$ est indispensable dans la définition d'une dilatation.

Soit $a$ un nombre réel. On considère le système d'inconnue $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$

$$(S_a):\{\begin{array}{l}ax+y+z=1,\\ x+ay+z=a,\\ x+y+az=a^2\mathrm{.}\end{array}$$

1. Écrire $(S_a)$ sous forme matricielle $AX=B$, en précisant $A$, $X$ et $B$.

2. Résoudre $(S_a)$ par la méthode du pivot, en discutant selon la valeur de $a$. On signalera chaque division par une quantité susceptible de s'annuler.

3. Lorsque la solution est unique, la vérifier en la reportant dans les trois équations de départ.

4. Retrouver, en additionnant simplement les trois équations, le fait que $(S_{-2})$ n'a pas de solution.

5. Chaque équation de $(S_a)$ est l'équation cartésienne d'un plan de l'espace. Interpréter géométriquement les trois cas obtenus à la question 2.

Soient $d_1$, $d_2$, $d_3$ trois réels et

$$D=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(d_1,d_2,d_3)=\left(\begin{array}{ccc}{d}_1& 0& 0\\ 0& d_2& 0\\ 0& 0& d_3\end{array}\right)\mathrm{.}$$

On dit que $M\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ commute avec $D$ lorsque $DM=MD$.

1. Soit $M=(m_{i,j})\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Calculer le coefficient d'indice $(i,j)$ de $DM$, puis celui de $MD$. En déduire une condition portant sur les coefficients $m_{i,j}$ équivalente à $DM=MD$.

2. On suppose dans cette question que $d_1$, $d_2$, $d_3$ sont deux à deux distincts.

a. Démontrer que $M$ commute avec $D$ si et seulement si $M$ est diagonale.

b. Illustrer par un exemple explicite deux matrices $D$ et $M$ qui ne commutent pas.

3. On suppose maintenant $d_1=d_2\mathrm{\ne }{d}_3$. Décrire toutes les matrices qui commutent avec $D$.

4. Généraliser la question 2. a. à l'ordre $n$ : si $D=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(d_1,\dots ,d_n)$ a ses coefficients diagonaux deux à deux distincts, les matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ qui commutent avec $D$ sont exactement les matrices diagonales.

5. Soient $A$ et $B$ deux matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ avec $A$ inversible.

a. Démontrer que si $A$ commute avec $B$, alors $A^{-1}$ commute avec $B$.

b. Application : à quelle condition la matrice $D$ de la question 2. est-elle inversible ? Vérifier que les matrices qui commutent avec $D^{-1}$ sont alors les mêmes que celles qui commutent avec $D$.

Soient $u_0$ et $v_0$ deux réels donnés. On définit deux suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$ par les relations, valables pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=3u_n-2v_n,\\ v_{n+1}=u_n\mathrm{.}\end{array}$$

On pose $X_n=\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Déterminer une matrice $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ telle que $X_{n+1}=A{X}_n$ pour tout $n$, puis démontrer par récurrence que $X_n=A^n{X}_0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

2. Calculer $A^2$ et vérifier la relation matricielle $A^2=3A-2I_2$.

3. Première méthode. Démontrer qu'il existe deux suites réelles $({\alpha }_n)$ et $({\beta }_n)$ telles que $A^n={\alpha }_{n}A+{\beta }_n{I}_2$ pour tout $n$, en précisant les relations de récurrence qu'elles vérifient. En déduire, puis démontrer par récurrence, que ${\alpha }_n=2^n-1$ et ${\beta }_n=2-2^n$.

4. Seconde méthode. On pose $N=A-I_2$. Calculer $N^2$, puis retrouver l'expression de $A^n$ à l'aide de la formule du binôme, en justifiant soigneusement son emploi.

5. Expliciter les quatre coefficients de $A^n$, puis en déduire $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$, $u_0$ et $v_0$. Contrôler le résultat pour $n=0$, $n=1$ et $n=2$ dans le cas $u_0=1$ et $v_0=0$.

6. Pour quels couples $(u_0,v_0)$ la suite $(u_n)$ est-elle bornée ?

Soient $b_1$, $b_2$, $b_3$ trois réels. On considère le système d'inconnue $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$

$$(S):\{\begin{array}{l}x+2y-z=b_1,\\ 2x+y+z=b_2,\\ x-y+2z=b_3\mathrm{.}\end{array}$$

1. Écrire $(S)$ sous la forme $AX=B$. Vérifier que la troisième ligne de $A$ est la deuxième moins la première, et en déduire une condition nécessaire portant sur $b_1$, $b_2$, $b_3$ pour que $(S)$ ait au moins une solution.

2. Mener le pivot de Gauss sur $(S)$ en gardant le second membre littéral. Retrouver la condition précédente et démontrer qu'elle est aussi suffisante.

3. Lorsque cette condition est vérifiée, résoudre $(S)$ : décrire l'ensemble des solutions à l'aide d'un paramètre, puis vérifier le résultat en le reportant dans les trois équations.

4. Démontrer le résultat de structure suivant : si $X_p$ est une solution particulière de $AX=B$, alors les solutions de ce système sont exactement les colonnes $X_p+X_h$, où $X_h$ parcourt les solutions du système homogène $AX=0$.

5. Traiter les deux cas numériques $(b_1,b_2,b_3)=(3,3,0)$ puis $(b_1,b_2,b_3)=(1,1,1)$.

6. En déduire que la matrice $A$ n'est pas inversible.

On considère les matrices de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\text{et}J=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Calculer $A^2$ et $A^3$. Vérifier au passage que, pour toute colonne $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$, on a $AX=\left(\begin{array}{c}z\\ x\\ y\end{array}\right)$ : la matrice $A$ décale circulairement les coordonnées.

2. En écrivant la division euclidienne de $n$ par $3$, déterminer $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

3. Démontrer que $A$ est inversible et que $A^{-1}=A^2$. Comparer $A^2$ et ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$.

4. On pose $B={\displaystyle \frac{1}{3}}J$.

a. Vérifier que $B={\displaystyle \frac{1}{3}}(I_3+A+A^2)$, puis calculer $B^2$.

b. En déduire $B^n$ pour tout entier $n⩾1$. Que se passe-t-il pour $n=0$ ?

c. Démontrer que $B$ n'est pas inversible.

5. Démontrer que $AB=BA=B$, puis calculer $(A+B{)}^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Pour tout réel $\theta$, on pose

$$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

1. Calculer $R(0)$, $R\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$ et $R(\pi )$.

2. Démontrer que, pour tous réels $\theta$ et $\phi$, $R(\theta )R(\phi )=R(\theta +\phi )$.

3. En déduire que $R(\theta )$ est inversible, préciser son inverse, et démontrer que deux matrices de cette forme commutent toujours.

4. Démontrer que $R(\theta )=I_2$ si et seulement si $\theta \equiv 0[2\pi ]$.

5. Démontrer que $R(\theta {)}^n=R(n\theta )$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis que cette formule reste vraie pour tout $n\in \mathbb{Z}$.

6. Calculer ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}R(\theta )$ et en déduire que ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}R(\theta )R(\theta )=I_2$.

7. Soit $n$ un entier naturel non nul. Déterminer tous les réels $\theta$ tels que $R(\theta {)}^n=I_2$.

8. Application numérique : calculer explicitement $R{\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)}^{2026}$.

9. Pour finir, calculer ${(I_2+R(\theta ))}^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, en utilisant la formule du binôme puis la factorisation par l'arc moitié $1+e^{i\theta }=2\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}{e}^{i\theta \mathrm{/}2}$.

Dans tout l'exercice, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. On note $E_{i,j}$ la matrice élémentaire de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la ligne $i$ et de la colonne $j$, égal à $1$ ; autrement dit ${\left(E_{i,j}\right)}_{k,l}={\delta }_{i,k}{\delta }_{j,l}$, où $\delta$ est le symbole de Kronecker. On cherche à déterminer l'ensemble

$$\mathcal{C}=\{M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K});\mathrm{\forall }A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K}),MA=AM\}\mathrm{.}$$

1. Vérifier que toute matrice scalaire $\lambda I_n$, avec $\lambda \in \mathbb{K}$, appartient à $\mathcal{C}$.

2. Démontrer que $E_{i,j}{E}_{k,l}={\delta }_{j,k}{E}_{i,l}$ pour tous indices $i$, $j$, $k$, $l$.

3. Soit $M=\left(m_{k,l}\right)$ une matrice de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. Calculer le coefficient $(k,l)$ de $M{E}_{i,j}$ et celui de $E_{i,j}M$, puis décrire en mots ces deux matrices.

4. Soit $M\in \mathcal{C}$. En écrivant $M{E}_{i,j}=E_{i,j}M$, démontrer que $M$ est diagonale, puis que tous ses coefficients diagonaux sont égaux. Conclure : déterminer $\mathcal{C}$.

5. On note maintenant ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}$ l'ensemble des matrices $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ qui commutent avec toutes les matrices inversibles, c'est-à-dire telles que $MA=AM$ pour toute $A\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$.

a. Démontrer que, pour $i\mathrm{\ne }j$, la matrice $I_n+E_{i,j}$ est inversible et préciser son inverse.

b. En déduire ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}$. Comparer avec $\mathcal{C}$.

6. Une variante économique. On note $D$ la matrice diagonale de coefficients diagonaux $1,2,\dots ,n$ et $U$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$. Démontrer qu'une matrice qui commute avec ces deux matrices seulement est déjà une matrice scalaire.

On considère la matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ dont les seuls coefficients non nuls sont $n_{1,2}=1$ et $n_{2,3}=1$ :

$$N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

On appelle commutant de $N$ l'ensemble $\mathcal{C}(N)=\{M\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R});MN=NM\}$.

1. Calculer $N^2$ et $N^3$. Qu'en déduit-on sur $N$ ?

2. Soit $M=\left(m_{i,j}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Calculer $MN$ et $NM$, et décrire en mots l'effet de la multiplication par $N$ à droite et à gauche.

3. Déterminer $\mathcal{C}(N)$ en résolvant le système que l'égalité $MN=NM$ impose aux neuf coefficients de $M$.

4. En déduire que $\mathcal{C}(N)$ est exactement l'ensemble des matrices de la forme $a{I}_3+bN+c{N}^2$, avec $(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3$, et démontrer que cette écriture est unique.

5. Démontrer que $\mathcal{C}(N)$ est stable par produit, et que deux éléments de $\mathcal{C}(N)$ commutent toujours entre eux.

6. Déterminer les matrices de $\mathcal{C}(N)$ qui sont inversibles, et donner l'inverse de chacune sous la forme $a^{\mathrm{\prime }}{I}_3+b^{\mathrm{\prime }}N+c^{\mathrm{\prime }}{N}^2$.

7. Application : calculer l'inverse de $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$.

Dans tout l'exercice, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $n$ un entier naturel non nul. Une matrice $N\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est dite nilpotente s'il existe un entier $q⩾1$ tel que $N^q=0$ ; le plus petit entier $p⩾1$ tel que $N^p=0$ s'appelle l'indice de nilpotence, et il vérifie donc $N^p=0$ et $N^{p-1}\mathrm{\ne }0$ (avec la convention $N^0=I_n$). On fixe une matrice $N$ nilpotente d'indice $p$.

1. Démontrer qu'une matrice nilpotente n'est jamais inversible.

2. Démontrer l'identité $(I_n-N)(I_n+N+N^2+\cdots +N^{p-1})=I_n$, ainsi que celle obtenue en échangeant l'ordre des deux facteurs. En déduire que $I_n-N$ est inversible et préciser son inverse.

3. Application : soit $N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$. Calculer ${(I_3-N)}^{-1}$ et vérifier le résultat.

4. Soit $\lambda \in \mathbb{K}$ non nul. Démontrer que $\lambda I_n-N$ est inversible et donner son inverse. Que se passe-t-il lorsque $\lambda =0$ ?

5. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ inversible et commutant avec $N$.

a. Démontrer que $A^{-1}$ commute elle aussi avec $N$.

b. Démontrer que $A^{-1}N$ est nilpotente.

c. En factorisant $A+N$ par $A$, démontrer que $A+N$ est inversible et donner son inverse.

6. Démontrer, sur un exemple dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, que l'hypothèse de commutation ne peut pas être purement et simplement supprimée : exhiber $A$ inversible et $N$ nilpotente, ne commutant pas, telles que $A+N$ ne soit pas inversible.

On considère le système homogène suivant, d'inconnues réelles $x$, $y$, $z$, $t$ :

$$\left(S_0\right)\{\begin{array}{l}x+y+z+t=0,\\ x+2y+3z+4t=0,\\ x+3y+5z+7t=0.\end{array}$$

On considère aussi, pour trois réels $a$, $b$, $c$, le système $\left(S_{a,b,c}\right)$ obtenu en remplaçant les trois seconds membres nuls par $a$, $b$ et $c$ :

$$\left(S_{a,b,c}\right)\{\begin{array}{l}x+y+z+t=a,\\ x+2y+3z+4t=b,\\ x+3y+5z+7t=c\mathrm{.}\end{array}$$

1. Résoudre $\left(S_0\right)$ par la méthode du pivot de Gauss. Préciser les inconnues principales et décrire l'ensemble des solutions à l'aide de deux paramètres.

2. On pose $u=(1,-2,1,0)$ et $v=(2,-3,0,1)$. Vérifier que $u$ et $v$ sont solutions de $\left(S_0\right)$, puis démontrer que les solutions de $\left(S_0\right)$ sont exactement les quadruplets $\lambda u+\mu v$, où $(\lambda ,\mu )$ décrit ${\mathbb{R}}^2$. Démontrer de plus que cette écriture est unique.

3. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur $(a,b,c)$ pour que $\left(S_{a,b,c}\right)$ admette au moins une solution. Traiter les cas $(a,b,c)=(1,2,3)$ et $(a,b,c)=(1,2,4)$.

4. Lorsque cette condition est vérifiée, décrire l'ensemble des solutions de $\left(S_{a,b,c}\right)$. Démontrer au passage le principe général : si $w_0$ est une solution particulière, les solutions du système sont exactement les $w_0+w$, où $w$ parcourt les solutions du système homogène associé.

5. Démontrer qu'un système linéaire homogène ayant strictement plus d'inconnues que d'équations admet toujours une solution autre que la solution nulle.

Soit $n$ un entier naturel non nul. Une matrice $P\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est dite idempotente lorsque $P^2=P$, et une matrice $S\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est dite involutive lorsque $S^2=I_n$.

1. Soit $P$ une matrice idempotente.

a. Démontrer que $P^k=P$ pour tout entier $k⩾1$.

b. Démontrer que $I_n-P$ est idempotente.

c. Calculer $P(I_n-P)$ et $(I_n-P)P$. Qu'observe-t-on lorsque $P$ n'est ni $0$ ni $I_n$ ?

d. Démontrer que $P$ est inversible si et seulement si $P=I_n$.

2. Soit $S$ une matrice involutive. Démontrer que $S$ est inversible et préciser son inverse. Donner un exemple de matrice involutive de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ autre que $I_2$ et $-I_2$.

3. La correspondance entre les deux familles.

a. Soit $S$ involutive. Démontrer que $P={\displaystyle \frac{1}{2}}(I_n+S)$ est idempotente.

b. Soit $P$ idempotente. Démontrer que $S=2P-I_n$ est involutive.

c. Démontrer que ces deux constructions sont inverses l'une de l'autre : partant d'une matrice involutive, la construction a puis la construction b la redonnent, et inversement.

4. Déterminer toutes les matrices idempotentes de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, en résolvant l'équation $P^2=P$ sur les quatre coefficients de $P=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$.

5. En déduire toutes les matrices involutives de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.