Devoir surveillé — Calcul matriciel et systèmes linéaires

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes les unes des autres et peuvent être traitées dans l'ordre de votre choix.

1. (0,5 pt) Soit $n⩾1$. Démontrer qu'une matrice de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ à la fois triangulaire supérieure et symétrique est nécessairement diagonale.

2. (0,75 pt) Résoudre l'équation matricielle $2M+{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}M=A$, d'inconnue $M\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, où

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& -1\\ 6& 9& 2\\ -2& 1& 6\end{array}\right)\mathrm{.}$$

3. (0,5 pt) Démontrer, sans aucun pivot, que la matrice

$$B=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 5& 4& 9\\ 1& 3& 4\end{array}\right)$$

n'est pas inversible.

4. (0,75 pt) Dans ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, on pose

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 0\\ 0& 0& 0\\ -2& 0& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Écrire $A$ comme combinaison linéaire de matrices élémentaires, puis calculer $A^2$ et $A^3$ en utilisant la règle $E_{i,j}{E}_{k,l}={\delta }_{j,k}{E}_{i,l}$. Que peut-on en conclure sur $A$ ?

5. (0,5 pt) Soient

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\text{et}B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Résoudre l'équation $AXA=B$, d'inconnue $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

Un atelier prépare des engrais à partir de trois prémélanges $P_1$, $P_2$ et $P_3$. Une dose de prémélange apporte, en grammes, les quantités d'azote, de phosphore et de potassium données par le tableau suivant.

On note $x_1$, $x_2$, $x_3$ les nombres de doses de $P_1$, $P_2$, $P_3$ utilisées dans une préparation, et $y_1$, $y_2$, $y_3$ les masses d'azote, de phosphore et de potassium obtenues, exprimées en grammes. Les nombres $x_1$, $x_2$, $x_3$ sont des réels positifs ou nuls, pas nécessairement entiers.

1. (0,5 pt) Démontrer que la préparation se traduit par l'égalité matricielle $AX=Y$, en explicitant $A$, $X$ et $Y$ et en précisant leur format.

2. (1,25 pt) Résoudre le système $AX=Y$ par la méthode du pivot de Gauss, en gardant le second membre littéral. On écrira chaque opération élémentaire employée et on justifiera qu'elle est réversible.

3. (0,75 pt) En déduire que $A$ est inversible et donner $A^{-1}$. Vérifier le résultat par le produit $A{A}^{-1}$.

4. (0,75 pt) Déterminer, pour chacune des deux cibles suivantes, l'unique préparation qui la réalise, et vérifier le résultat :

(a) $10$ g d'azote, $26$ g de phosphore et $20$ g de potassium ;

(b) $5$ g d'azote, $14$ g de phosphore et $12$ g de potassium.

5. (0,75 pt) Une préparation n'a de sens que si les trois nombres de doses sont positifs ou nuls. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur $y_1$, $y_2$, $y_3$ pour que la cible $Y$ soit réalisable. La cible « $10$ g d'azote, $20$ g de phosphore, $15$ g de potassium » l'est-elle ?

Un réseau informatique comporte quatre machines numérotées de $1$ à $4$. La machine $1$ est un concentrateur : elle est reliée par un câble à chacune des machines $2$, $3$ et $4$, et il n'existe aucun autre câble. Autrement dit, les machines $2$, $3$ et $4$ ne sont pas reliées entre elles, et aucune machine n'est reliée à elle-même. Les machines $2$, $3$ et $4$ seront dites périphériques.

On note $A=(a_{i,j})\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ la matrice définie, pour tout couple $(i,j)$ d'éléments de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,4]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, par

$$a_{i,j}=\{\begin{array}{ll}1& \text{s’il existe un c}\hat{\text{a}}\text{ble entre la machine }i\text{ et la machine }j,\\ 0& \text{sinon.}\end{array}$$

Pour un entier $k⩾1$, on appelle trajet de longueur $k$ de la machine $i$ à la machine $j$ toute suite de machines $i=s_0,s_1,\dots ,s_k=j$ telle que, pour tout $l$ de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[0,k-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, il existe un câble entre $s_l$ et $s_{l+1}$. On a le droit de repasser plusieurs fois par la même machine.

1. (0,5 pt) Écrire la matrice $A$. Vérifier qu'elle est symétrique et interpréter cette symétrie en termes de câbles.

2. (1 pt) Démontrer par récurrence sur $k⩾1$ que le coefficient d'indice $(i,j)$ de $A^k$ est égal au nombre de trajets de longueur $k$ allant de la machine $i$ à la machine $j$.

3. (0,75 pt) Calculer $A^2$ et $A^3$. Vérifier que $A^3=3A$. Que comptent les coefficients diagonaux de $A^2$ ?

4. (0,75 pt) En déduire, pour tout entier $k⩾1$, l'expression de $A^k$ en fonction de $A$ ou de $A^2$, en distinguant selon la parité de $k$.

5. (0,5 pt) Combien y a-t-il de trajets de longueur $6$ de la machine $2$ à la machine $3$ ? Démontrer qu'aucun trajet de longueur impaire ne relie deux machines périphériques distinctes. La matrice $A$ est-elle inversible ?

Soient $n⩾1$ un entier et $A,B$ deux matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. On dit que $A$ et $B$ anticommutent lorsque

$$AB=-BA\mathrm{.}$$

On pose par ailleurs, dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$,

$$J=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\text{et}K=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Calculer $J^2$, $K^2$, $JK$ et $KJ$. Vérifier que $J$ et $K$ anticommutent.

2. (0,75 pt) Soient $A$ et $B$ deux matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ qui anticommutent. Démontrer que $A^2$ et $B$ commutent, puis, par récurrence, que $A^{m}B=(-1{)}^{m}B{A}^m$ pour tout $m\in \mathbb{N}$.

3. (0,75 pt) Soient $A$ et $B$ deux matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ qui anticommutent. Démontrer que $(A+B{)}^2=A^2+B^2$. La formule du binôme s'applique-t-elle au couple $(A,B)$ ? En déduire $(J+K{)}^m$ pour tout $m\in \mathbb{N}$.

4. (0,75 pt) Soient $A$ et $B$ deux matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ qui anticommutent, avec $A$ inversible. Démontrer que $A^{-1}$ et $B$ anticommutent. Déduire ensuite de la question 3. que $J+K$ est inversible et donner son inverse.

5. (0,75 pt) Déterminer toutes les matrices $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ qui anticommutent avec $K$.

Dans tout le problème, $n$ désigne un entier naturel non nul et l'on note $A=(a_{i,j})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. On dit que $A$ est à diagonale strictement dominante lorsque, pour chaque indice de ligne $i$, la valeur absolue du coefficient diagonal l'emporte strictement sur la somme des valeurs absolues des autres coefficients de la même ligne :

$$\mathrm{\forall }i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}],\mathrm{\mid }{a}_{i,i}\mathrm{\mid }>\sum _{j\mathrm{\ne }i}\mathrm{\mid }{a}_{i,j}\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

La somme ${\sum }_{j\mathrm{\ne }i}\mathrm{\mid }{a}_{i,j}\mathrm{\mid }$ porte sur tous les indices $j$ de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ différents de $i$ : elle comporte donc $n-1$ termes, et l'on convient qu'elle est nulle lorsque $n=1$.

Le but du problème est de démontrer qu'une telle matrice est toujours inversible, puis d'en tirer deux conséquences. La partie A rassemble les trois outils nécessaires, la partie B établit le théorème, la partie C l'exploite.

On utilisera librement le théorème du cours suivant, seul résultat d'inversibilité autorisé ici : pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, la matrice $A$ est inversible si et seulement si le système $AX=0$, d'inconnue $X\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$, n'admet que la solution nulle.

Partie A — Préliminaires.

1. (0,5 pt) Soient $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ et $X={}^t\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& \cdots & x_n\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$. Exprimer le $i$-ème coefficient de la colonne $AX$, puis traduire l'égalité $AX=0$ par un système de $n$ équations portant sur $x_1,\dots ,x_n$.

2. (0,5 pt) Démontrer que si deux colonnes de $A$ sont égales, alors $A$ n'est pas inversible.

3. (0,5 pt) Soit $X\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ une colonne non nulle. Justifier qu'il existe un indice $i_0$ tel que $\mathrm{\mid }{x}_{i_0}\mathrm{\mid }={\max }_{1⩽j⩽n}\mathrm{\mid }{x}_j\mathrm{\mid }$, et démontrer que $\mathrm{\mid }{x}_{i_0}\mathrm{\mid }>0$.

Partie B — Le théorème.

4. (0,25 pt) Parmi les deux matrices suivantes, dire laquelle est à diagonale strictement dominante et laquelle ne l'est pas, en détaillant les trois inégalités dans chaque cas :

$$U=\left(\begin{array}{ccc}5& -2& 1\\ 1& 4& -2\\ 2& -1& 6\end{array}\right),V=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ 1& 4& -2\\ 2& -1& 3\end{array}\right)\mathrm{.}$$

5. (0,25 pt) Démontrer que les coefficients diagonaux d'une matrice à diagonale strictement dominante sont tous non nuls.

6. (1,25 pt) Théorème. Démontrer que toute matrice à diagonale strictement dominante est inversible.

Indication. On raisonnera par l'absurde, en appliquant la question 3. à une colonne non nulle $X$ telle que $AX=0$.

7. (0,5 pt) La réciproque est-elle vraie ? Exhiber une matrice inversible de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ qui n'est pas à diagonale strictement dominante, puis une matrice non inversible qui ne l'est pas non plus. Que peut-on conclure sur la portée du théorème ?

Partie C — Deux exploitations.

8. (0,5 pt) On considère le système

$$(S)\{\begin{array}{l}4x-y=2\\ -x+4y-z=4\\ -y+4z=10\end{array}$$

Écrire sa matrice, démontrer qu'elle est à diagonale strictement dominante, et en déduire, sans aucun calcul de résolution, que $(S)$ admet une solution et une seule, et qu'il en irait de même avec n'importe quel second membre.

9. (0,5 pt) Résoudre $(S)$ par la méthode du pivot de Gauss et vérifier la solution obtenue.

10. (0,5 pt) On pose

$$M=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\right)\text{et, pour }t\in \mathbb{R},A(t)=M+t{I}_3\mathrm{.}$$

Écrire $A(t)$, puis déterminer l'ensemble des réels $t$ pour lesquels le théorème de la question 6. garantit que $A(t)$ est inversible.

11. (0,25 pt) Démontrer que $M$ est pourtant inversible. Qu'en conclure ?

12. (0,5 pt) Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ quelconque. Démontrer qu'il existe un réel $t_0⩾0$ tel que, pour tout réel $t$ vérifiant $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }>t_0$, la matrice $A+t{I}_n$ soit inversible. On explicitera un tel $t_0$ en fonction des coefficients de $A$.