Exercices — Analyse asymptotique

Rappel. Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage d'un point $a$ (réel ou infini), la fonction $g$ ne s'annulant pas sur un voisinage de $a$ privé de $a$. On peut alors former le quotient ${\displaystyle \frac{f}{g}}$ au voisinage de $a$, et les trois relations de comparaison se lisent sur lui :

$$f=O(g)⟺\frac{f}{g}\text{ est born}\acute{\text{e}}\text{e au voisinage de }a,f=o(g)⟺\frac{f}{g}\underset{x\to a}{\overset{}{\to }}0,f\sim g⟺\frac{f}{g}\underset{x\to a}{\overset{}{\to }}1.$$

1. Pour chacun des huit couples ci-dessous, dire lesquelles des trois relations $f=O(g)$, $f=o(g)$ et $f\sim g$ sont vraies au point indiqué. On justifiera systématiquement par l'étude du quotient ${\displaystyle \frac{f}{g}}$.

2. Démontrer les deux implications suivantes : si $f\sim g$ en $a$, alors $f=O(g)$ ; si $f=o(g)$ en $a$, alors $f=O(g)$.

3. Peut-on avoir simultanément $f=o(g)$ et $f\sim g$ en un même point ?

4. Donner, parmi les huit couples de la question 1., un exemple où $f=O(g)$ sans que $f=o(g)$ ni $f\sim g$, puis un exemple où aucune des trois relations n'est vraie. Dans ce dernier cas, l'une des trois relations devient-elle vraie en échangeant les rôles de $f$ et de $g$ ?

1. Soient $\alpha >0$, $\beta >0$ et $\gamma >0$. Traduire chacune des trois croissances comparées du cours à l'aide du symbole $o$.

2. Ranger les six fonctions suivantes de la plus petite à la plus grande au voisinage de $+\mathrm{\infty }$, c'est-à-dire de sorte que chacune soit négligeable devant la suivante. Justifier chaque comparaison.

$$\ln x,(\ln x{)}^5,\sqrt{x},x^2,x^{100},e^{x\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$

3. Déterminer les six limites suivantes.

4. On admet la croissance comparée de référence ${\displaystyle \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^t}{t}=+\mathrm{\infty }}$.

a. En déduire que, pour tous $\alpha >0$ et $\gamma >0$, on a $x^{\alpha }=o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(e^{\gamma x}\right)$ en $+\mathrm{\infty }$.

b. En posant $x=e^t$, en déduire que $(\ln x{)}^{\beta }=o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x^{\alpha }\right)$ en $+\mathrm{\infty }$ pour tous $\alpha >0$ et $\beta >0$.

c. En posant $x={\displaystyle \frac{1}{t}}$, en déduire la croissance comparée en $0^{+}$ de la question 1. c.

1. Donner un équivalent simple, quand $x$ tend vers $0$, de chacune des huit fonctions suivantes.

2. Donner un équivalent simple, quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, de chacune des six fonctions suivantes.

3. Obtenir les deux équivalents suivants par encadrement, en $+\mathrm{\infty }$ :

4. En utilisant les questions précédentes, déterminer les quatre limites suivantes.

5. Soient $f$ et $g$ équivalentes en $a$, la fonction $g$ ne s'annulant pas sur un voisinage de $a$ privé de $a$.

a. Montrer que si $g$ admet une limite $\mathrm{\ell }$ en $a$ (finie ou infinie), alors $f$ admet la même limite.

b. Montrer que $f$ et $g$ ont le même signe sur un voisinage de $a$ privé de $a$.

c. Application : déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x+\sin x}{x^2}}$, puis le signe de $\ln (1+x)\mathrm{Arctan}(x)$ au voisinage de $0$.

Rappel. Pour deux suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$, la suite $(v_n)$ ne s'annulant pas à partir d'un certain rang, on dispose des caractérisations par le quotient :

$$u_n=O(v_n)⟺\left(\frac{u_n}{v_n}\right)\text{ est born}\acute{\text{e}}\text{e},u_n=o(v_n)⟺\frac{u_n}{v_n}\to 0,u_n\sim v_n⟺\frac{u_n}{v_n}\to 1.$$

1. Donner un équivalent simple de chacune des six suites suivantes quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

2. En déduire les quatre limites suivantes.

3. Soient $u_n\sim v_n$ et $a_n\sim b_n$, les suites $(v_n)$ et $(b_n)$ ne s'annulant pas à partir d'un certain rang. Démontrer que $u_n{a}_n\sim v_n{b}_n$, puis que ${\displaystyle \frac{u_n}{a_n}}\sim {\displaystyle \frac{v_n}{b_n}}$.

4. On pose $u_n=n+1$ et $v_n=n$.

a. Vérifier que $u_n\sim v_n$, et que pourtant $u_n-v_n$ ne tend pas vers $0$.

b. Montrer en revanche que, dans le cas général, $u_n\sim v_n$ équivaut à ${\displaystyle \frac{u_n-v_n}{v_n}}\to 0$, c'est-à-dire à $u_n=v_n+o(v_n)$.

5. Montrer par encadrement que $n+\cos n\sim n$, puis déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n+\cos n}{n-\sin n}}$.

1. Écrire, de mémoire, le développement limité en $0$ à l'ordre $4$ de chacune des huit fonctions suivantes.

2. Retrouver par la formule de Taylor-Young, c'est-à-dire par le calcul des dérivées successives en $0$ :

a. le développement limité de $\mathrm{ch}$ à l'ordre $4$ ;

b. le développement limité de $x\mapsto (1+x{)}^{\alpha }$ à l'ordre $3$, où $\alpha$ est un réel quelconque.

3. En déduire, par simple spécialisation de $\alpha$, les développements limités en $0$ à l'ordre $3$ de $\sqrt{1+x}$, de ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x}}}$ et de ${\displaystyle \frac{1}{1+x}}$.

4. Retrouver de même, par Taylor-Young, le développement limité de $\mathrm{Arctan}$ à l'ordre $3$ en $0$.

5. À l'aide du développement limité de $\cos$ à l'ordre $4$, donner une valeur approchée de $\cos (\mathrm{0,2})$, puis la comparer à la valeur $\cos (\mathrm{0,2})\approx \mathrm{0,98006658}$ donnée par la calculatrice.

Rappel. Si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^n$ sur un intervalle ouvert contenant $a$, alors, quand $x$ tend vers $a$,

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+o\text{\hspace{0.17em}⁣}((x-a{)}^n)\mathrm{.}$$

Dans tout l'exercice, on s'interdit les opérations sur les développements limités : chaque développement doit être obtenu par la seule formule de Taylor-Young. On justifiera donc à chaque fois que la formule s'applique, on dressera le tableau des dérivées successives évaluées au point considéré, puis on écrira le développement demandé.

1. Déterminer les quatre développements limités suivants.

2. Soit $\phi$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^3$ sur un intervalle ouvert contenant $0$, telle que

$$\phi (0)=2,{\phi }^{\mathrm{\prime }}(0)=-1,{\phi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=6,{\phi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=-12.$$

Écrire le développement limité de $\phi$ à l'ordre $3$ en $0$.

3. Réciproquement, soit $\psi$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^4$ sur un intervalle ouvert contenant $0$, dont on sait que

$$\psi (x)=3-2x+x^2-5x^4+o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x^4\right)\mathrm{.}$$

Déterminer $\psi (0)$, ${\psi }^{\mathrm{\prime }}(0)$, ${\psi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)$, ${\psi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)$ et ${\psi }^{(4)}(0)$. Quel théorème justifie cette lecture ?

4. Soit $n\in \mathbb{N}$. Déterminer, par Taylor-Young, le développement limité à l'ordre $n$ en $0$ de $x\mapsto e^{-x}$, puis celui de $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{1+x}}$, sous la forme d'une somme ${\displaystyle \sum _{k=0}^n}$ suivie d'un $o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x^n\right)$.

Tous les développements limités demandés sont au voisinage de $0$, et l'on n'utilisera que les développements usuels ainsi que les opérations de combinaison linéaire et de produit.

1. Déterminer les quatre développements limités suivants.

2. Déterminer les quatre développements limités suivants. Dans chaque cas, on précisera à quel ordre chaque facteur a été tronqué, et on justifiera ce choix.

3. Montrer que $\mathrm{ch}x\cos x=1-{\displaystyle \frac{x^4}{6}}+o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x^5\right)$.

4. Sans faire le calcul complet, dire à quel ordre il faut développer chaque facteur pour obtenir :

Achever ensuite le calcul du a.

1. Déterminer les six limites suivantes quand $x$ tend vers $0$. Chacune est une forme indéterminée du type ${\displaystyle \frac{0}{0}}$. On indiquera à chaque fois à quel ordre on a développé le numérateur, et pourquoi cet ordre-là.

2. Même question, cette fois en développant aussi le dénominateur.

3. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x})}$. De quel type est cette forme indéterminée ?

4. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{x^2-1}}$, en se ramenant à un développement limité en $0$.

5. Déterminer les deux limites suivantes, en se ramenant là encore à un développement limité en $0$.

1. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ contenant $a$. Démontrer que $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si $f$ admet un développement limité à l'ordre $1$ en $a$, et que ce développement s'écrit alors

$$f(a+h)=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)h+o(h)\mathrm{.}$$

En déduire l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$.

2. Pour chacune des quatre fonctions ci-dessous, dont on donne un développement limité, préciser la valeur de la fonction et celle de sa dérivée au point considéré, puis donner une équation de la tangente en ce point.

3. Réciproquement, écrire le développement limité à l'ordre $1$ au point indiqué, puis l'équation de la tangente correspondante.

4. Soit $f:x\mapsto \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$.

a. Montrer que $f$ admet un développement limité à l'ordre $0$ en $0$, et l'écrire.

b. Montrer que $f$ n'admet pas de développement limité à l'ordre $1$ en $0$. Qu'en conclut-on sur la dérivabilité de $f$ en $0$, et sur l'existence d'une tangente ?

5. Soit $f$ dérivable en $a$, avec $f(a)=0$ et $f^{\mathrm{\prime }}(a)\mathrm{\ne }0$.

a. Montrer que $f(a+h)\sim f^{\mathrm{\prime }}(a)h$ quand $h$ tend vers $0$.

b. Retrouver ainsi les équivalents $\ln x\sim x-1$ en $1$ et $\mathrm{Arctan}(5x)\sim 5x$ en $0$.

Toutes les relations de comparaison ci-dessous sont à comprendre au voisinage du point $a$ indiqué. On appliquera systématiquement la méthode du programme : poser $x=a+h$, puis faire tendre $h$ vers $0$.

1. Soient $a$ un réel et $f$, $g$ deux fonctions définies au voisinage de $a$, sauf peut-être en $a$, la fonction $g$ ne s'annulant pas sur ce voisinage (sauf peut-être en $a$). On pose $F(h)=f(a+h)$ et $G(h)=g(a+h)$. Démontrer que $f\sim g$ au voisinage de $a$ si et seulement si $F\sim G$ au voisinage de $0$, et énoncer les résultats analogues pour les relations $o$ et $O$.

2. Déterminer, pour chacune des fonctions suivantes, un équivalent de la forme $\lambda (x-a{)}^p$ au voisinage du point $a$ indiqué, où $\lambda$ est un réel non nul et $p$ un entier naturel.

3. Pour chacun des trois couples suivants, dire lesquelles des trois relations $f=o(g)$, $f=O(g)$ et $f\sim g$ sont vraies au voisinage du point $a$ indiqué.

4. Soit $f$ continue en $a$ avec $f(a)=\mathrm{\ell }\mathrm{\ne }0$. Montrer que $f\sim \mathrm{\ell }$ au voisinage de $a$. Pourquoi cet équivalent est-il sans intérêt pratique, et que fait-on à la place ? On illustrera sur $f=\cos$ en $a={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

5. En utilisant les équivalents obtenus à la question 2., calculer les limites suivantes.

On rappelle que, pour deux fonctions $f$ et $g$ définies au voisinage de $a$ (réel ou infini), la relation $f\sim g$ signifie qu'il existe une fonction $\epsilon$ de limite nulle en $a$ telle que $f=g(1+\epsilon )$ au voisinage de $a$ ; lorsque $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$ (sauf peut-être en $a$), cela équivaut à ${\displaystyle \frac{f}{g}}\to 1$.

Chacune des cinq questions suivantes suit le même schéma : un contre-exemple qui ruine une règle fausse, puis l'énoncé correct, à démontrer.

1. On n'additionne pas. Vérifier que $\tan x\sim x$ et que $-\sin x\sim -x$ au voisinage de $0$, puis déterminer un équivalent de $\tan x-\sin x$ en $0$. Conclure. Démontrer ensuite l'énoncé correct : si $f_1\sim g_1$, $f_2\sim g_2$ et si $g_1>0$ et $g_2>0$ au voisinage de $a$, alors $f_1+f_2\sim g_1+g_2$.

2. On ne compose pas par l'exponentielle. Montrer que $x^2+x\sim x^2$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$, puis que $e^{x^2+x}$ n'est pas équivalent à $e^{x^2}$. Démontrer l'énoncé correct : si $f-g\to 0$ en $a$, alors $e^f\sim e^g$.

3. On ne compose pas par le logarithme. Montrer que $1+x\sim 1+2x$ au voisinage de $0$, puis que $\ln (1+x)$ n'est pas équivalent à $\ln (1+2x)$. Démontrer l'énoncé correct : si $f\sim g$, si $g>0$ au voisinage de $a$ et si $g$ tend vers $\mathrm{\ell }\in [0,+\mathrm{\infty }]$ avec $\mathrm{\ell }\mathrm{\ne }1$, alors $\ln f\sim \ln g$.

4. On n'écrit jamais un équivalent à zéro. Démontrer que $f\sim 0$ au voisinage de $a$ équivaut à « $f$ est la fonction nulle au voisinage de $a$ » (sauf peut-être en $a$). En déduire ce qu'il faut penser de la rédaction suivante : « puisque $\sin x\sim x$, on a $\sin x-x\sim x-x=0$ ». Donner le résultat exact.

5. On ne dérive pas. On pose, pour $x>0$, $f(x)=x^2$ et $g(x)=x^2+x\sin x$. Montrer que $f\sim g$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$, puis que $f^{\mathrm{\prime }}$ n'est pas équivalente à $g^{\mathrm{\prime }}$ en $+\mathrm{\infty }$.

1. Démontrer le théorème suivant, puis en énoncer la version pour les suites.

Soient $a$ un réel ou $\pm \mathrm{\infty }$, et $u$, $f$, $v$ trois fonctions définies au voisinage de $a$ telles que $u⩽f⩽v$ et $u>0$ au voisinage de $a$. Si $v\sim u$ au voisinage de $a$, alors $f\sim u$.

2. On note $\lfloor x\rfloor$ la partie entière du réel $x$.

a. Démontrer que $\lfloor x\rfloor \sim x$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$.

b. En déduire un équivalent de $\lfloor {\displaystyle \frac{1}{x}}\rfloor$ au voisinage de $0^{+}$.

c. La relation $\lfloor x\rfloor \sim x$ est-elle encore vraie au voisinage de $0^{+}$ ?

3. Pour $n⩾1$, on pose ${\displaystyle u_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n^2+k}}$. Déterminer un équivalent simple de $u_n$.

4. Pour $n⩾1$, on pose ${\displaystyle v_n=\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^3+k^2}}$. Déterminer un équivalent simple de $v_n$.

5. On considère la fonction $f$ définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)={\displaystyle \frac{3+\sin x}{2}}x$. Vérifier que $x⩽f(x)⩽2x$ pour tout $x>0$, puis montrer que $f$ n'admet aucun équivalent de la forme $\lambda x$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$. Quelle hypothèse du théorème de la question 1. est en défaut ?

Le programme ne demande aucun résultat général sur la composition des développements limités : on justifie donc, sur chaque exemple, que les termes écartés sont bien négligeables.

1. Soient $f$ et $g$ admettant chacune un développement limité d'ordre $n$ en $0$, avec $g(0)=0$. Expliquer pourquoi la substitution du développement de $g$ dans celui de $f$, suivie d'une troncature à l'ordre $n$, fournit le développement limité d'ordre $n$ de $f\circ g$. Que se passe-t-il si $g(0)\mathrm{\ne }0$ ?

2. Déterminer le développement limité en $0$, à l'ordre indiqué, de chacune des fonctions suivantes.

3. Déterminer le développement limité en $0$ à l'ordre $3$ de $e^{\sqrt{1+x}}$.

4. Dans une composition $f\circ g$ à l'ordre $n$, on suppose que $g(x)=O(x^p)$ avec $p⩾1$. À quel ordre suffit-il de développer $f$ ? Illustrer sur la question 2. d.

5. En déduire ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^4}}$.

1. Soient $u$ et $v$ admettant chacune un développement limité d'ordre $n$ en $0$. Décrire la méthode permettant de développer ${\displaystyle \frac{u}{v}}$ à l'ordre $n$ lorsque $v(0)\mathrm{\ne }0$, puis expliquer comment se ramener à ce cas lorsque $u$ et $v$ s'annulent toutes les deux en $0$.

2. Déterminer le développement limité en $0$, à l'ordre indiqué, de chacune des fonctions suivantes.

3. Déterminer le développement limité en $0$ à l'ordre $3$ de ${\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{e^x-1}}$ par division suivant les puissances croissantes, et contrôler le résultat par la méthode de la question 1.

4. En déduire le développement limité en $0$ à l'ordre $3$ de la fonction $g$ définie par $g(x)={\displaystyle \frac{1}{\sin x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}$ pour $x$ voisin de $0$ et non nul, prolongée par $g(0)=0$.

1. Énoncer le théorème de primitivation d'un développement limité en précisant exactement ses hypothèses, puis le démontrer.

2. Soit $n⩾1$. Retrouver, par primitivation, le développement limité de $\ln (1+x)$ en $0$ à l'ordre $n$, avec son terme général.

3. Déterminer, par primitivation, le développement limité de $\mathrm{Arctan}x$ en $0$ à l'ordre $7$.

4. Déterminer, par primitivation de ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$, le développement limité de $\mathrm{Arcsin}x$ en $0$ à l'ordre $7$. En déduire celui de $\mathrm{Arccos}x$.

5. Calculer les limites suivantes.

6. Peut-on, symétriquement, dériver un développement limité ? On étudiera la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2\cos {\displaystyle \frac{1}{x}}$ pour $x\mathrm{\ne }0$ et $f(0)=0$.

1. Rappeler la définition d'un développement limité d'ordre $n$ en $0$, puis démontrer l'unicité de sa partie régulière.

2. Soit $f$ admettant un développement limité d'ordre $n$ en $0$.

a. Démontrer que $f$ admet alors un développement limité d'ordre $p$ pour tout entier $p⩽n$, et préciser sa partie régulière.

b. La propriété analogue est-elle vraie pour $p>n$ ? On étudiera la fonction $f:x\mapsto x\sqrt{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}$.

3. Soit $f$ paire admettant un développement limité d'ordre $n$ en $0$.

a. Démontrer que sa partie régulière ne contient que des puissances paires. Énoncer le résultat analogue pour une fonction impaire.

b. Vérifier sur $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$ et $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$.

4. Soit $f$ admettant en $0$ le développement limité $f(x)=3-x+2x^2+o(x^2)$.

a. Que valent $f(0)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(0)$ ?

b. Peut-on affirmer que $f$ est deux fois dérivable en $0$ ?

c. Si l'on suppose de plus $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ au voisinage de $0$, que vaut $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)$ ?

5. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que ${\displaystyle \frac{\sin x}{x}}-{\displaystyle \frac{1+a{x}^2}{1+b{x}^2}}=o\left(x^4\right)$ au voisinage de $0$.

1. Rappeler la définition de $u^v$ pour $u>0$, et décrire la méthode générale de levée d'une forme indéterminée du type puissance. Comment lit-on, sur l'exposant, l'ordre auquel il faut développer ?

2. Déterminer les limites suivantes.

3. Déterminer le développement limité à l'ordre $2$ en $0$ de $x\mapsto (1+x{)}^{1\mathrm{/}x}$ (prolongée par la valeur $e$ en $0$), puis en déduire ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{(1+x{)}^{1\mathrm{/}x}-e}{x}}}$.

4. Justifier que les écritures « $1^{+\mathrm{\infty }}=1$ », « $0^0=1$ » et « $(+\mathrm{\infty }{)}^0=1$ » n'ont aucun sens, en produisant pour chacune deux exemples de limites différentes.

1. Définir ce qu'est un développement limité d'ordre $n$ d'une fonction $f$ en un point $a$, et justifier que son obtention se ramène toujours à un développement limité en $0$.

2. Déterminer le développement limité à l'ordre $3$ de chacune des fonctions suivantes, au point $a$ indiqué. On explicitera le changement de variable $x=a+h$, puis on reviendra à la variable $x$ pour écrire la réponse en puissances de $x-a$.

On contrôlera à chaque fois que le terme constant vaut $f(a)$ et que le coefficient de $x-a$ vaut $f^{\mathrm{\prime }}(a)$.

3. En déduire les limites suivantes.

4. Un élève écrit, à propos de la question 2. c. : « $\ln x=\ln 2+{\displaystyle \frac{x-2}{2}}-{\displaystyle \frac{(x-2{)}^2}{8}}+{\displaystyle \frac{(x-2{)}^3}{24}}+o(x^3)$ », puis développe les puissances de $x-2$, réordonne selon les puissances de $x$, et annonce avoir obtenu le développement limité de $\ln$ à l'ordre $3$ en $0$. Relever et corriger les deux fautes.

Dans tout l'exercice, ${\mathcal{C}}_f$ désigne la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan. On utilisera la méthode du cours : si $f$ admet au voisinage de $a$ un développement limité de la forme

$$f(a+h)=c_0+c_{1}h+c_p{h}^p+o(h^p),p⩾2,c_p\mathrm{\ne }0,$$

alors la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=c_0+c_1(x-a)$, et la position locale de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $T$ est donnée par le signe de $c_p{h}^p$.

1. Soit $f:x\mapsto \ln (1+x)$, définie sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$. Donner l'équation de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$, puis la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $T$ au voisinage de $0$.

2. Mêmes questions pour $g:x\mapsto \mathrm{Arctan}(x)$ au point d'abscisse $0$. Quelle particularité présente ce point ?

3. Soit $\phi :x\mapsto x^3-3x^2+2x$. En posant $x=1+h$, développer $\phi (1+h)$, puis étudier la position de ${\mathcal{C}}_{\phi }$ par rapport à sa tangente au point d'abscisse $1$.

4. Soit $\psi :x\mapsto e^{-x^2}$. Déterminer la tangente à ${\mathcal{C}}_{\psi }$ au point d'abscisse $0$ et la position de la courbe. Qu'en déduit-on pour $\psi$ en $0$ ?

5. Soit $I$ un intervalle ouvert, $f$ de classe ${\mathcal{C}}^3$ sur $I$ et $a\in I$ tels que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=0$ et $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)\mathrm{\ne }0$. Montrer que ${\mathcal{C}}_f$ traverse sa tangente au point d'abscisse $a$.

On rappelle que la droite d'équation $y=ax+b$ est asymptote à la courbe de $f$ en $+\mathrm{\infty }$ lorsque $f(x)-(ax+b)⟶0$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$, et que la position de la courbe par rapport à cette droite est donnée par le signe de cette différence. Un développement asymptotique de la forme $f(x)=ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x}}+o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ fournit les deux renseignements d'un coup.

1. Soit $f:x\mapsto \sqrt{x^2+x+1}$.

a. Justifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$.

b. Écrire $f(x)=x+b+{\displaystyle \frac{c}{x}}+o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$. En déduire l'asymptote et la position de la courbe.

c. Reprendre l'étude en $-\mathrm{\infty }$ (attention au signe de $\sqrt{x^2}$).

d. Vérifier les deux résultats précédents en comparant $f(x{)}^2$ et ${(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2$.

2. Soit $g:x\mapsto {\displaystyle \frac{x^3+2x^2-1}{x^2+1}}$. Effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur, en déduire l'asymptote de ${\mathcal{C}}_g$ en $+\mathrm{\infty }$ et en $-\mathrm{\infty }$, la position de la courbe, et le point d'intersection de la courbe et de son asymptote.

3. Soit $h:x\mapsto x{e}^{1\mathrm{/}x}$, définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

a. Déterminer l'asymptote de ${\mathcal{C}}_h$ en $+\mathrm{\infty }$ et en $-\mathrm{\infty }$, ainsi que la position de la courbe.

b. Étudier le comportement de $h$ en $0^{+}$ puis en $0^{-}$ (on pourra poser $t=\frac{1}{x}$).

1. Soit $f:x\mapsto {\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{x}}$, définie sur $D=]-1,0[\cup ]0,+\mathrm{\infty }[$.

a. Déterminer le développement limité de $f$ à l'ordre $2$ en $0$.

b. En déduire que $f$ se prolonge par continuité en $0$, et que ce prolongement (encore noté $f$) est dérivable en $0$ ; préciser $f(0)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(0)$.

c. Donner l'équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$ et la position de la courbe par rapport à cette tangente.

2. Mêmes questions pour $g:x\mapsto {\displaystyle \frac{e^x-1}{x}}$, définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Comparer les deux tangentes obtenues.

3. Soit $h:x\mapsto x\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$, définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

a. Montrer que $h$ se prolonge par continuité en $0$.

b. Le prolongement est-il dérivable en $0$ ? Interpréter graphiquement.

c. Le prolongement admet-il un développement limité d'ordre $1$ en $0$ ?

4. Soit $r>0$ et $u$ une fonction définie sur $]-r,r[\setminus \{0\}$ telle que $u(x)=a+bx+o(x)$ au voisinage de $0$, avec $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$. Montrer que $u$ se prolonge par continuité en $0$ et que ce prolongement est dérivable en $0$, de nombre dérivé $b$. Énoncer et démontrer la réciproque.

Dans les questions 1. et 2., $I$ est un intervalle, $a$ un point intérieur à $I$ et $f:I\to \mathbb{R}$ une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$. On rappelle qu'un point critique de $f$ est un point où $f^{\mathrm{\prime }}$ s'annule.

1. (Condition suffisante.) On suppose $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ et $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)>0$. Montrer que $f$ admet en $a$ un minimum local strict. On écrira la formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ en $a$.

2. (Condition nécessaire.) On suppose que $f$ admet en $a$ un minimum local. Montrer que $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ et $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)⩾0$. Cette inégalité large peut-elle être remplacée par une inégalité stricte ?

3. Étudier la nature du point critique $0$ pour chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :

Que conclure sur le cas $f^{\mathrm{\prime }}(a)=f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=0$ ?

4. Déterminer la nature du point critique $0$ pour :

5. Soit $F:]0,+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$ définie par $F(x)=x^x=e^{x\ln x}$. Déterminer les points critiques de $F$ et leur nature, puis la valeur de l'extremum correspondant.

La fonction $\tan$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$, où elle vérifie ${\tan }^{\mathrm{\prime }}=1+{\tan }^2$. Le développement limité de $\tan$ à l'ordre $3$ en $0$ est au programme ; on se propose de le retrouver de deux façons et de le pousser à l'ordre $5$.

1. Justifier que $\tan$ admet en $0$ un développement limité à tout ordre, et que celui-ci ne contient que des puissances impaires de $x$. Que peut-on en déduire pour le développement limité à l'ordre $4$ ?

2. Déterminer le développement limité de ${\displaystyle \frac{1}{\cos x}}$ à l'ordre $4$ en $0$, puis celui de $\tan$ à l'ordre $5$ en $0$.

3. Retrouver ce résultat par une autre méthode : écrire $\tan x=ax+b{x}^3+c{x}^5+o(x^5)$, former le développement limité de $1+{\tan }^{2}x$ à l'ordre $4$, puis primitiver.

4. En déduire :

a. la limite de ${\displaystyle \frac{\tan x-x}{x^3}}$ quand $x\to 0$ ;

b. un équivalent simple de $\tan x-\sin x$ en $0$ ;

c. la position de la courbe de $\tan$ par rapport à sa tangente en $0$.

5. Déterminer le développement limité de $\tan$ à l'ordre $3$ au point ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$. On posera $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+h$ et on utilisera l'identité $\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}+h)={\displaystyle \frac{1+\tan h}{1-\tan h}}$.

On rappelle que, pour tout réel $x$,

$$\mathrm{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\mathrm{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},{\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x=1,$$

que $\mathrm{sh}$ est impaire, $\mathrm{ch}$ est paire, et que ${\mathrm{sh}}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{ch}$, ${\mathrm{ch}}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{sh}$.

1. À partir du développement limité de $\exp$, établir ceux de $\mathrm{sh}$ à l'ordre $5$ et de $\mathrm{ch}$ à l'ordre $4$ en $0$. Justifier par la parité que le développement de $\mathrm{sh}$ ne comporte que des puissances impaires.

2. En déduire les équivalents suivants en $0$ :

Calculer ensuite ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sh}x-x}{x-\sin x}}$.

3. (Équivalent par encadrement.) Montrer que pour tout $x⩾0$ on a $x⩽\mathrm{sh}x⩽x\mathrm{ch}x$, et retrouver $\mathrm{sh}x\sim x$ en $0$ sans utiliser de développement limité.

4. Déterminer le développement limité à l'ordre $4$ en $0$ de $x\mapsto \ln (\mathrm{ch}x)$. En déduire la position, au voisinage de $0$, de la courbe de cette fonction par rapport à la parabole d'équation $y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$.

5. Montrer qu'en $+\mathrm{\infty }$ on a $\mathrm{sh}x\sim \mathrm{ch}x\sim {\displaystyle \frac{e^x}{2}}$, puis calculer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{sh}(2x)}{\mathrm{ch}(3x)}}$. Calculer enfin $\mathrm{ch}x-\mathrm{sh}x$ : pouvait-on obtenir cette différence en soustrayant les équivalents précédents ?

1. (Le principe.) Soient $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, des réels $c_0,c_1,\dots ,c_{n-1}$ et $\mathrm{\ell }$, et $f$ une fonction définie au voisinage de $0$, sauf peut-être en $0$. On note $P(x)=c_0+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}{x}^{n-1}$. Montrer l'équivalence

$$\frac{f(x)-P(x)}{x^n}\underset{x\to 0}{\overset{}{\to }}\mathrm{\ell }⟺f(x)=P(x)+\mathrm{\ell }{x}^n+o(x^n)\mathrm{.}$$

En déduire la méthode : si $f$ admet en $0$ un développement limité d'ordre $n$, à quelle condition le quotient a-t-il une limite finie, et que vaut alors cette limite ?

2. Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que ${\displaystyle \frac{\ln (1+x)-ax-b{x}^2}{x^3}}$ admette une limite finie en $0$, et donner cette limite.

3. Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que ${\displaystyle \frac{a\sin x+b\mathrm{Arctan}(x)-x}{x^5}}$ admette une limite finie en $0$, et donner cette limite.

4. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que

$$\frac{\sin x}{x}-\frac{1+a{x}^2}{1+b{x}^2}=o(x^4)\text{au voisinage de }0.$$

5. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que ${(x^3+x^2)}^{1\mathrm{/}3}-ax-b⟶0$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$. Donner alors un équivalent de cette différence et interpréter graphiquement.

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose

$$u_n={(1+\frac{1}{n})}^n\mathrm{.}$$

1. Montrer que $u_n⟶e$.

2. Montrer que pour tout $t>0$ on a $\ln (1+t)<t$, et en déduire que $u_n<e$ pour tout $n⩾1$.

3. Établir le développement asymptotique à deux termes

$$u_n=e-\frac{e}{2n}+o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{n}\right),$$

et en déduire un équivalent de $e-u_n$. Commenter au regard de la question 2.

4. Pousser le développement d'un cran, c'est-à-dire déterminer le terme en ${\displaystyle \frac{1}{n^2}}$.

5. On pose $v_n={(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^{n+1}$. Donner le développement asymptotique de $v_n$ à deux termes, en déduire un équivalent de $v_n-u_n$, et retrouver ce dernier résultat par un calcul direct.

6. Déterminer un équivalent simple de $w_n={(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^{n^2}$.

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on considère l'équation

$$(E_n):x+\ln x=n,\text{d’inconnue }x\in ]0,+\mathrm{\infty }[\mathrm{.}$$

1. Montrer que $\phi :x\mapsto x+\ln x$ réalise une bijection de $]0,+\mathrm{\infty }[$ sur $\mathbb{R}$. En déduire que $(E_n)$ admet une unique solution, notée $x_n$.

2. Montrer que la suite $(x_n{)}_{n⩾1}$ est strictement croissante, puis qu'elle tend vers $+\mathrm{\infty }$.

3. Montrer que $x_n\sim n$.

4. En déduire que $x_n=n-\ln n+o(1)$.

5. Pousser le développement d'un cran : montrer que

$$x_n=n-\ln n+\frac{\ln n}{n}+o\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{\ln n}{n}\right)\mathrm{.}$$

6. Déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x_{n+1}-x_n)}$.