Devoir surveillé — Analyse asymptotique

Dans tout l'exercice, on dit qu'une fonction $f$ admet l'ordre de grandeur $(c,\alpha )\in {\mathbb{R}}^{\ast }\times \mathbb{R}$ en $+\mathrm{\infty }$ lorsque

Même définition pour une suite $\left(u_n\right)$, avec $u_n\sim c{n}^{\alpha }$. Trouver l'ordre de grandeur d'une quantité, c'est répondre d'un coup à deux questions : « à quelle vitesse ? » et « avec quelle constante ? ».

1. (0,5 pt) Démontrer qu'une fonction admet au plus un ordre de grandeur en $+\mathrm{\infty }$ : si $(c_1,{\alpha }_1)$ et $(c_2,{\alpha }_2)$ conviennent tous les deux, alors $c_1=c_2$ et ${\alpha }_1={\alpha }_2$.

2. Déterminer l'ordre de grandeur de chacune des quantités suivantes, en justifiant brièvement. L'une des six n'en admet pas : il suffit ici de la repérer, sa démonstration fait l'objet de la question 3.

3. (0,5 pt) Rédiger complètement la démonstration pour la quantité repérée à la question 2.

4. (0,5 pt) Les deux affirmations suivantes sont-elles vraies ? Justifier chacune par une démonstration ou par un contre-exemple.

(i) Si $\left(u_n\right)$ admet l'ordre de grandeur $(c,\alpha )$ avec $\alpha <0$, alors $u_n\to 0$.

(ii) Si $u_n\to 0$, alors $\left(u_n\right)$ admet un ordre de grandeur.

On sait développer une fonction. Le but de cet exercice est de développer sa réciproque, y compris quand on ne sait pas la calculer.

Dans tout l'exercice, $I$ est un intervalle ouvert contenant $0$ et $f:I\to \mathbb{R}$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$, avec $f(0)=0$ et $f^{\mathrm{\prime }}(0)\mathrm{\ne }0$.

1. (0,5 pt) Démontrer qu'il existe un intervalle ouvert $J\subset I$ contenant $0$ sur lequel $f$ réalise une bijection de $J$ sur un intervalle ouvert $K$ contenant $0$.

On admet désormais que la bijection réciproque $g=f^{-1}:K\to J$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$. Pourquoi $g$ admet-elle alors un développement limité à tout ordre en $0$, et pourquoi ce développement est-il sans terme constant ?

2. Un cas où l'on peut vérifier. Dans cette question, $f(x)=x+x^2$.

3. (1,25 pt) La méthode générale. Toujours pour $f(x)=x+x^2$, on pose

$$g(t)=a_{1}t+a_2{t}^2+a_3{t}^3+o\left(t^3\right)$$

et l'on traduit l'égalité $f(g(t))=t$. Retrouver ainsi $a_1$, $a_2$, $a_3$, en justifiant les trois points qui rendent le calcul licite : l'existence du développement, la composition, l'unicité des coefficients.

4. Un cas où l'on ne peut pas. On prend maintenant $f(x)=x{e}^x$.

a. (0,25 pt) Vérifier que $f$ satisfait les hypothèses et donner un intervalle $J$ convenable.

b. (0,75 pt) Déterminer le développement limité de $g=f^{-1}$ à l'ordre $3$ en $0$.

c. (0,25 pt) En déduire la tangente en $O$ à la courbe ${\mathcal{C}}_g$ de $g$, la position de ${\mathcal{C}}_g$ par rapport à cette tangente, puis la limite

$$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{g(t)-t+t^2}{t^3}\mathrm{.}$$

On pose, pour $x\in ]-1,1[$,

$$F(x)=\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Justifier que $F$ est bien définie et de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $]-1,1[$, qu'elle y est impaire, et calculer $F^{\mathrm{\prime }}(x)$.

2. (0,75 pt) Soit $n\in \mathbb{N}$. Déterminer le développement limité de $F^{\mathrm{\prime }}$ à l'ordre $2n$ en $0$, puis en déduire celui de $F$ à l'ordre $2n+1$. Expliquer pourquoi le reste peut en fait s'écrire $o\left(x^{2n+2}\right)$.

3. (0,5 pt) Retrouver le coefficient de $x^3$ en calculant $F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)$.

4. Une valeur approchée de $\ln 2$.

a. (0,5 pt) Vérifier que $F\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=\ln 2$. Calculer, sous forme de fraction irréductible, la valeur en ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ de la partie régulière obtenue à la question 2. pour $n=2$. On donne ${\displaystyle \frac{842}{1215}}=\mathrm{0,693004}\dots$ et $\ln 2=\mathrm{0,693147}\dots$ Comparer l'écart obtenu à celui que produit le développement limité de $\ln (1+x)$ à l'ordre $3$ évalué en $x=1$.

b. (0,25 pt) Un développement limité en $0$ démontre-t-il que l'approximation précédente est bonne ? Répondre en deux phrases.

5. Déterminer les limites suivantes.

On considère la fonction $f$ définie par

$$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}$$

et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. (0,5 pt) Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$, montrer que $f$ est paire, et déterminer les limites de $f$ en $1^{+}$ et en $+\mathrm{\infty }$. Qu'en déduit-on graphiquement au voisinage de $x=1$ ?

2. (0,75 pt) Montrer que, pour tout $x\in D$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x(x^2-2)}{{(x^2-1)}^{3\mathrm{/}2}}}$. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]1,+\mathrm{\infty }[$ et préciser son minimum.

3. (0,5 pt) Vérifier que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x^2+2}{{(x^2-1)}^{5\mathrm{/}2}}}$. Que conclut la condition suffisante d'ordre $2$ au point critique trouvé à la question 2. ? En quoi cette conclusion est-elle plus faible que celle de la question 2. ?

4. (1 pt) Déterminer le développement asymptotique de $f(x)$ en $+\mathrm{\infty }$ à la précision $o\left({\displaystyle \frac{1}{x^3}}\right)$. En déduire une asymptote de $\mathcal{C}$ en $+\mathrm{\infty }$ et la position de $\mathcal{C}$ par rapport à cette asymptote.

5. (0,5 pt) En déduire, sans nouveau développement, l'asymptote de $\mathcal{C}$ en $-\mathrm{\infty }$ et la position de $\mathcal{C}$ par rapport à elle.

6. (0,75 pt) Déterminer un équivalent simple de $f(x)$ quand $x\to 1^{+}$. Déterminer enfin les points d'intersection de $\mathcal{C}$ avec la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$, et comparer cette information à celle fournie par la question 4.

Étant donné deux réels $0<b_0<a_0$, on construit deux suites en remplaçant à chaque étape le couple $(a_n,b_n)$ par sa moyenne arithmétique et sa moyenne géométrique :

$$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},b_{n+1}=\sqrt{a_n{b}_n}(n\in \mathbb{N})\mathrm{.}$$

On pose $d_n=a_n-b_n$. La partie A établit deux résultats préliminaires, la partie B montre que les deux suites convergent vers une même limite $\mathrm{\ell }$, et la partie C mesure la vitesse de cette convergence — c'est là que se trouve l'intérêt du procédé.

(Malgré le nom, rien à voir avec les suites arithmético-géométriques $u_{n+1}=\lambda u_n+\mu$ du premier semestre.)

Partie A — Deux préliminaires

1. (0,5 pt) Démontrer que, pour tous réels $u>0$ et $v>0$,

$$\sqrt{uv}⩽\frac{u+v}{2},$$

avec égalité si et seulement si $u=v$.

2. (0,5 pt) On pose, pour $t⩾0$, $\delta (t)={\displaystyle \frac{1+t}{2}}-\sqrt{t}$. Montrer que $1$ est un point critique de $\delta$ et déterminer sa nature à l'aide de ${\delta }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)$. Retrouver ce résultat, et le fait que ce minimum est global, en factorisant $\delta (t)$.

3. (0,5 pt) Déduire de la forme factorisée que

et vérifier la cohérence de ce résultat avec la formule de Taylor-Young appliquée à $\delta$ en $1$.

Partie B — Une limite commune

4. (0,5 pt) Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0<b_n<a_n$. En particulier, les deux suites sont bien définies.

5. (0,5 pt) Démontrer que $\left(a_n\right)$ est strictement décroissante et que $\left(b_n\right)$ est strictement croissante.

6. (0,5 pt) Démontrer que $0<d_{n+1}<{\displaystyle \frac{d_n}{2}}$ pour tout $n$. En déduire que les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ sont adjacentes, qu'elles convergent vers une même limite $\mathrm{\ell }$, et que $\mathrm{\ell }⩾b_0>0$.

7. (0,5 pt) Pour $a_0=2$ et $b_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$, une machine fournit les valeurs suivantes.

Combien de décimales $a_n$ et $b_n$ ont-elles en commun pour $n=1$, $2$, $3$, $4$ ? Que constate-t-on ? La majoration de la question 6. rend-elle compte de ce phénomène ?

Partie C — La vitesse : le nombre de décimales double

8. (0,75 pt) Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$d_{n+1}=\frac{{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})}^2}{2},\text{puis}{d}_{n+1}=\frac{d_n^2}{2{(\sqrt{a_n}+\sqrt{b_n})}^2}\mathrm{.}$$

9. (0,75 pt) En déduire que

10. (0,5 pt) Démontrer que $d_{n+1}⩽{\displaystyle \frac{d_n^2}{8b_0}}$ pour tout $n$. On pose $e_n={\displaystyle \frac{d_n}{8b_0}}$ ; en déduire que $e_{n+1}⩽e_n^2$, puis que $e_{N+k}⩽e_N^{2^k}$ pour tous $N,k\in \mathbb{N}$.

11. (0,5 pt) On suppose qu'il existe un rang $N$ tel que $e_N⩽{10}^{-1}$. Démontrer que

$$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},d_{N+k}⩽8b_0\times {10}^{-2^k}\mathrm{.}$$

Appliquer au cas numérique de la question 7. avec $N=1$, et conclure sur le tableau observé.