Exercices — Suites et séries de fonctions

Pour chacune des suites de fonctions $(f_n)$ suivantes, déterminer l'ensemble des points où la suite numérique $(f_n(x){)}_n$ converge, puis expliciter la limite simple $f$. Préciser dans chaque cas si $f$ est continue.

Déterminer la nature de chacune des séries numériques suivantes, dont le terme général est strictement positif.

Pour chacune des suites de fonctions suivantes : déterminer la limite simple $f$, puis calculer $\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}$ par une étude de fonction, et conclure quant à la convergence uniforme sur $A$.

1. $f_n(x)={\displaystyle \frac{x}{1+n{x}^2}}$ sur $A=\mathbb{R}$, pour $n⩾1$.

2. $f_n(x)=x^n(1-x)$ sur $A=[0,1]$, pour $n⩾1$.

3. $f_n(x)={\displaystyle \frac{nx}{1+n^2{x}^2}}$ sur $A=\mathbb{R}$, puis sur $A_a=[a,+\mathrm{\infty }[$ où $a>0$ est fixé.

Étudier la convergence normale de chacune des séries de fonctions suivantes sur l'ensemble indiqué. Le réel $a>0$ est fixé.

1. Montrer que la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}}$ converge. Encadrer sa somme $S$ par deux sommes partielles consécutives, et majorer le reste $R_N$.

2. Montrer que la série ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{(-1{)}^n}{n^2+1}}$ converge. Combien de termes faut-il sommer pour approcher sa somme avec une erreur strictement inférieure à ${10}^{-3}$ ?

3. Montrer que la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^{n}n}{n^2+1}}$ converge, en justifiant soigneusement la décroissance par une étude de fonction.

4. On définit la suite $(u_n{)}_{n⩾1}$ par $u_{2p-1}={\displaystyle \frac{1}{p}}$ et $u_{2p}=-{\displaystyle \frac{1}{2p}}$ pour tout $p⩾1$. Vérifier que $(u_n)$ est alternée et que $u_n\to 0$, mais que $\left(\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }\right)$ n'est pas décroissante. Que vaut $\sum u_n$ ?

Déterminer le rayon de convergence $R$ de chacune des séries entières suivantes.

1. Reconnaître chacune des sommes suivantes comme la valeur d'une fonction usuelle, en précisant l'intervalle sur lequel l'égalité est valable.

2. Développer en série entière au voisinage de $0$ les fonctions suivantes, en précisant le rayon de convergence.

Pour $n⩾1$, on définit la fonction $u_n$ sur $\mathbb{R}$ par

$$u_n(x)=\frac{1}{n^2+x^2}$$

1. Montrer que la série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement sur $\mathbb{R}$.

2. En déduire que la somme $S(x)={\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{1}{n^2+x^2}}$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$. On citera explicitement les hypothèses du théorème utilisé.

3. Montrer que $S$ est paire, et décroissante sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

4. Établir que, pour tout $x\in \mathbb{R}$, ${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}⩽S(x)⩽\sum _{n⩾1}\frac{1}{n^2}}$.

5. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }S(x)}$.

Pour $n⩾1$, on pose $f_n(x)=x^n$ pour $x\in [0,1]$.

1. Déterminer la limite simple $f$ de la suite $(f_n)$ sur $[0,1]$. Est-elle continue ?

2. Montrer de deux façons que la convergence n'est pas uniforme sur $[0,1]$ : d'abord par le théorème de continuité, puis en calculant $\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[0,1]}$ à l'aide de la suite $x_n=2^{-1\mathrm{/}n}$.

3. Soit $a\in ]0,1[$. Montrer que la convergence est uniforme sur $[0,a]$.

4. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^1{f}_n(x)\mathrm{d}x}$ et ${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x}$. Que constate-t-on ?

5. Reprendre les questions 1, 2 et 4 pour $g_n(x)=n{x}^n(1-x)$, puis pour $h_n(x)=n^2{x}^n(1-x)$, sur $[0,1]$. Conclure sur le statut de l'hypothèse de convergence uniforme dans le théorème d'intégration sur un segment.

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ un paramètre fixé. Pour $n⩾1$, on définit une fonction $f_n$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ par

$$f_n(x)=n^{\alpha }x{\mathrm{e}}^{-nx}$$

1. Montrer que $(f_n{)}_{n⩾1}$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, et ce quelle que soit la valeur de $\alpha$.

2. Étudier les variations de $f_n$ et calculer $\mathrm{\parallel }{f}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[0,+\mathrm{\infty }[}$.

3. Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles la convergence est uniforme sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

4. Soit $a>0$. Montrer que la convergence est uniforme sur $[a,+\mathrm{\infty }[$, quelle que soit la valeur de $\alpha$.

5. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^1{f}_n(x)\mathrm{d}x}$, puis déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles

$${\int }_0^1{f}_n(x)\mathrm{d}x\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\int }_0^1\left(\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n\right)\text{\hspace{0.17em}⁣}(x)\mathrm{d}x$$

Comparer avec la réponse de la question 3 et commenter.

1. Soit $\alpha >0$. Retrouver, par comparaison série-intégrale, la nature de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{1}{n^{\alpha }}}$.

2. Déterminer la nature des séries

$$\sum _{n⩾2}\frac{1}{n\ln n}\text{et}\sum _{n⩾2}\frac{1}{n(\ln n{)}^2}$$

3. Donner un équivalent simple, quand $n\to +\mathrm{\infty }$, de

$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\text{et de}{R}_n=\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3}$$

On admet la formule de Stirling :

1. Donner un équivalent simple de ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)}$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$.

2. Déterminer la nature des séries

$$\sum _{n⩾1}\frac{(n!{)}^2}{(2n)!}\text{et}\sum _{n⩾1}\frac{n!{\mathrm{e}}^n}{n^{n+\alpha }}(\alpha \in \mathbb{R})$$

3. Déterminer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(n!{)}^{1\mathrm{/}n}}{n}}$.

4. Donner un équivalent de $u_n={\displaystyle \frac{1}{4^n}}{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)}$, puis déterminer la nature des séries $\sum u_n$ et $\sum {\displaystyle \frac{u_n}{n}}$.

Pour $n⩾1$, on définit $f_n$ sur $I=[0,+\mathrm{\infty }[$ par

$$f_n(x)=\frac{(-1{)}^n}{n+x}$$

1. Montrer que la série de fonctions ${\sum }_{n⩾1}{f}_n$ converge simplement sur $I$. On note $S$ sa somme.

2. Montrer que $\sum f_n$ ne converge pas normalement sur $I$.

3. Montrer que $\sum f_n$ converge uniformément sur $I$.

4. En déduire que $S$ est continue sur $I$.

5. Montrer que $-{\displaystyle \frac{1}{1+x}}⩽S(x)⩽0$ pour tout $x\in I$, et en déduire ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }S(x)}$.

1. Justifier l'intégration terme à terme de ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$ sur $[0,\frac{1}{2}]$ et en déduire la valeur de

$$\sum _{n⩾0}\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}$$

2. Exprimer ${\displaystyle J={\int }_0^{1\mathrm{/}2}\frac{\ln (1+x)}{x}\mathrm{d}x}$ comme somme d'une série numérique.

3. On pose ${\displaystyle K={\int }_0^1\frac{x}{1+x^4}\mathrm{d}x}$. Expliquer pourquoi le théorème d'intégration terme à terme ne s'applique pas directement sur $[0,1]$, puis calculer $K$ de deux façons pour en déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}}$.

Pour $n⩾1$, on pose $u_n(x)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-nx}}{n^2}}$, et l'on considère

$$f(x)=\sum _{n⩾1}\frac{{\mathrm{e}}^{-nx}}{n^2}$$

1. Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$.

2. Montrer que $f$ est continue sur $D$.

3. Montrer que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et donner $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sous forme d'une série.

4. En déduire une expression explicite de $f^{\mathrm{\prime }}$, puis le sens de variation de $f$.

5. Montrer que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

1. On pose ${\displaystyle S(x)=\sum _{n⩾1}\frac{1}{n^2+{\mathrm{e}}^x}}$. Montrer que $S$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$, puis déterminer ses limites en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$.

2. On pose ${\displaystyle F(x)=\sum _{n⩾1}\frac{\mathrm{Arctan}(nx)}{n^2}}$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)}$.

3. On pose ${\displaystyle U(x)=\sum _{n⩾1}\frac{x}{n(n+x)}}$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

a. Justifier que $U$ est définie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ et déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }U(x)}$.

b. Le théorème de la double limite s'applique-t-il en $+\mathrm{\infty }$ ? Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }U(x)}$.

Développer en série entière au voisinage de $0$ les fonctions suivantes, en précisant à chaque fois le rayon de convergence.

1. $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2-3x+2}}$

2. $g(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{(x-1)(x+2)}}$

3. $h(x)={\displaystyle \frac{1}{(1-x{)}^2(1+x)}}$. Donner de plus une expression explicite du coefficient $a_n$ selon la parité de $n$.

4. Le rayon de convergence d'une somme de deux séries entières est-il toujours le minimum des deux rayons ? Justifier par un exemple.

1. Déterminer le rayon de convergence de ${\displaystyle \sum _{n⩾1}n{x}^n}$, puis calculer sa somme sur l'intervalle ouvert de convergence.

2. Même question pour ${\displaystyle \sum _{n⩾2}n(n-1)x^n}$.

3. En déduire les sommes de ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{n}^2{x}^n}$ et de ${\displaystyle \sum _{n⩾0}(n^2+n+1)x^n}$.

4. Calculer ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{n}{2^n}}$ et ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{n^2}{3^n}}$.

On rappelle que pour tout $t\in ]-1,1[$, ${\displaystyle \frac{1}{1-t}=\sum _{n⩾0}{t}^n}$.

Pour chacune des séries entières suivantes, déterminer le rayon de convergence $R$, puis calculer sa somme sur $]-R,R[$ en primitivant terme à terme une série géométrique.

Pour la série 3., le cas $x=0$ sera traité à part.

5. Donner la valeur des quatre sommes au point $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Dans tout l'exercice, $\sum a_n{x}^n$ et $\sum b_n{x}^n$ sont deux séries entières réelles, de rayons de convergence respectifs $R_a$ et $R_b$. Dans la question 1, seule la première intervient et on note simplement $R=R_a$. On rappelle la définition du rayon :

$$R=\sup \{r\in {\mathbb{R}}_{+};(a_n{r}^n{)}_{n\in \mathbb{N}}\text{ est born}\acute{\text{e}}\text{e}\}$$

Aucune des questions ne se traite par la règle de d'Alembert : il faut revenir à cette définition et au lemme d'Abel.

1. Déterminer le rayon de convergence de :

2. On suppose $a_n=O(b_n)$. Comparer $R_a$ et $R_b$. Que peut-on dire si $a_n\sim b_n$ ?

3. On note $R_s$ le rayon de $\sum (a_n+b_n)x^n$. Montrer que $R_s⩾\min (R_a,R_b)$, puis que $R_s=\min (R_a,R_b)$ dès que $R_a\mathrm{\ne }{R}_b$. Donner un exemple avec $R_a=R_b$ où $R_s$ est strictement plus grand.

4. Montrer que le rayon $R_p$ de $\sum a_n{b}_n{x}^n$ vérifie $R_p⩾R_a{R}_b$, et que l'inégalité peut être stricte.

On rappelle le théorème du cours : si $\sum a_n$ et $\sum b_n$ sont deux séries absolument convergentes (réelles ou complexes), alors la série $\sum c_n$ de terme général

$$c_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}$$

est absolument convergente et ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{c}_n=\left(\sum _{n⩾0}{a}_n\right)\left(\sum _{n⩾0}{b}_n\right)}$.

1. Soient $a_n=\frac{1}{2^n}$ et $b_n=\frac{1}{3^n}$. Vérifier les hypothèses, calculer $c_n$ sous forme close, puis vérifier « à la main » que $\sum c_n$ vaut bien le produit des deux sommes.

2. Soient $a,b$ deux réels. En appliquant le théorème à $\sum \frac{a^n}{n!}$ et $\sum \frac{b^n}{n!}$, retrouver ${\mathrm{e}}^a{\mathrm{e}}^b={\mathrm{e}}^{a+b}$.

3. Soit $x\in ]-1,1[$. En faisant le produit de Cauchy de la série géométrique par elle-même, montrer que

$$\sum _{n⩾0}(n+1)x^n=\frac{1}{(1-x{)}^2}$$

Retrouver ce résultat par dérivation terme à terme.

4. On pose $a_n=b_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n+1}}$. Montrer que $\sum a_n$ converge, mais que le produit de Cauchy $\sum c_n$ diverge. Conclure sur le caractère indispensable de l'hypothèse d'absolue convergence.

Pour $n⩾1$, on pose ${\displaystyle H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$ (somme harmonique).

1. Par comparaison série-intégrale, montrer que pour tout $n⩾1$

$$\ln n+\frac{1}{n}⩽H_n⩽\ln n+1$$

En déduire que $H_n\sim \ln n$.

2. On pose $u_n=H_n-\ln n$. Montrer que la suite $(u_n{)}_{n⩾1}$ est décroissante et minorée. On note $\gamma$ sa limite : c'est la constante d'Euler.

3. En déduire un développement asymptotique de $H_n$ à la précision $o(1)$.

4. Calculer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(H_{2n}-H_n)}$. En considérant les sommes partielles d'ordre pair puis impair, en déduire que

$$\sum _{k⩾1}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}=\ln 2$$

5. Donner un équivalent de ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}}$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$.

Pour $n⩾1$, on définit $f_n$ par

$$f_n(x)={(1+\frac{x}{n})}^n$$

1. Préciser le domaine de définition de $f_n$, puis montrer que $(f_n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ vers la fonction $\exp$.

2. Établir que pour tout $x⩾0$ et tout $n⩾1$

$$0⩽{\mathrm{e}}^x-{(1+\frac{x}{n})}^n⩽\frac{x^2{\mathrm{e}}^x}{2n}$$

On pourra utiliser l'encadrement $u-\frac{u^2}{2}⩽\ln (1+u)⩽u$, valable pour $u⩾0$ (à démontrer). En déduire que la convergence est uniforme sur tout segment $[0,a]$ avec $a>0$.

3. Montrer que la convergence n'est uniforme ni sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, ni sur $\mathbb{R}$.

4. Calculer ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_0^1{(1+\frac{x}{n})}^n\mathrm{d}x}$ de deux façons : par un théorème du cours, puis par le calcul explicite de l'intégrale. Vérifier la cohérence des deux résultats.

On étudie la fonction $\zeta$ définie par

$$\zeta (x)=\sum _{n⩾1}\frac{1}{n^x},\text{o}\grave{\text{u}}\frac{1}{n^x}={\mathrm{e}}^{-x\ln n}$$

1. Montrer que le domaine de définition de $\zeta$ est $D=]1,+\mathrm{\infty }[$.

2. Montrer que la série converge normalement sur tout intervalle $[a,+\mathrm{\infty }[$ avec $a>1$, mais pas sur $D$ tout entier. En déduire que $\zeta$ est continue sur $D$.

3. Montrer que $\zeta$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $D$ et donner ${\zeta }^{(k)}(x)$. En déduire le sens de variation et la convexité de $\zeta$.

4. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\zeta (x)}$.

5. Par comparaison série-intégrale, établir l'encadrement $\frac{1}{x-1}⩽\zeta (x)⩽\frac{1}{x-1}+1$ pour $x>1$. En déduire ${\lim }_{x\to 1^{+}}\zeta (x)$ puis un équivalent de $\zeta (x)$ en $1^{+}$.

On veut calculer ${\displaystyle I={\int }_0^1{t}^t\mathrm{d}t}$, où $t^t={\mathrm{e}}^{t\ln t}$ pour $t\in ]0,1]$.

1. Montrer que $t\mapsto t^t$ se prolonge par continuité en $0$, avec la valeur $1$. On note encore $f$ ce prolongement : $I$ est donc l'intégrale d'une fonction continue sur le segment $[0,1]$.

2. Étudier la fonction $\phi :t\mapsto t\ln t$ sur $[0,1]$ et en déduire $\mathrm{\mid }t\ln t\mathrm{\mid }⩽\frac{1}{\mathrm{e}}$. Montrer alors que la série de fonctions $\sum u_n$, où $u_n(t)=\frac{(t\ln t{)}^n}{n!}$, converge normalement sur $[0,1]$ et a pour somme $f$.

3. Soit $n⩾1$. Calculer ${\displaystyle I_n={\int }_0^1{t}^n(\ln t{)}^n\mathrm{d}t}$ par intégrations par parties successives. On montrera d'abord que $J_k={\int }_0^1{t}^n(\ln t{)}^k\mathrm{d}t$ vérifie $J_k=-\frac{k}{n+1}{J}_{k-1}$ pour $1⩽k⩽n$.

4. En déduire que ${\displaystyle {\int }_0^1{t}^t\mathrm{d}t=\sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^n}}$.

5. Donner une valeur approchée de $I$ à ${10}^{-4}$ près, avec la justification de la précision.

La règle de d'Alembert s'applique à une série entière $\sum a_n{x}^n$ à condition que les $a_n$ soient non nuls à partir d'un certain rang et que $\mid \frac{a_{n+1}}{a_n}\mid$ admette une limite. Ces deux hypothèses tombent souvent en défaut : c'est le cas des séries lacunaires (une infinité de coefficients nuls) et des coefficients qui oscillent.

Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes, en expliquant à chaque fois pourquoi la règle de d'Alembert ne peut pas être appliquée telle quelle.

e. ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{a}_n{x}^n}$, où $a_n=1$ si $n$ est pair et $a_n=2^n$ si $n$ est impair.

La suite de Fibonacci est définie par $F_0=0$, $F_1=1$ et $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ pour $n⩾0$. On note $R$ le rayon de convergence de la série entière $\sum F_n{x}^n$, et on pose

$$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2},\psi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

1. Montrer par récurrence que $0⩽F_n⩽2^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. En déduire $R⩾\frac{1}{2}$, et en particulier $R>0$.

2. On note $S(x)={\sum }_{n⩾0}{F}_n{x}^n$ pour $x\in ]-R,R[$. À l'aide de la relation de récurrence, montrer que $(1-x-x^2)S(x)=x$. En déduire que $R⩽\frac{1}{\phi }$, puis que

$$S(x)=\frac{x}{1-x-x^2}$$

3. Vérifier que $1-x-x^2=(1-\phi x)(1-\psi x)$, décomposer $S$ en éléments simples et en déduire la formule de Binet :

$$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}({\phi }^n-{\psi }^n)$$

4. En déduire la valeur exacte de $R$ et un équivalent de $F_n$.

5. Vérifier la formule de Binet pour $n=5$ et $n=10$.

Pour développer une fonction en série entière, le programme propose de la caractériser comme solution d'une équation différentielle linéaire, puis de chercher une solution développable en série entière. La méthode se conduit en deux temps : une analyse (si une telle série existe, ses coefficients sont imposés) et une synthèse (la série obtenue a un rayon strictement positif et sa somme est bien la fonction cherchée).

Partie A. La fonction $f:x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x^2\mathrm{/}2}$

1. Montrer que $f$ est solution sur $\mathbb{R}$ du problème de Cauchy

$$(E)y^{\mathrm{\prime }}+xy=0,y(0)=1$$

et justifier que ce problème n'a pas d'autre solution.

2. (Analyse.) On suppose qu'il existe une série entière $\sum a_n{x}^n$, de rayon $R>0$, dont la somme $S$ est solution de $(E)$ sur $]-R,R[$. Montrer que $a_0=1$, $a_1=0$, puis que

$$\mathrm{\forall }n⩾1,(n+1)a_{n+1}+a_{n-1}=0$$

En déduire la valeur de $a_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

3. (Synthèse.) Montrer que la série entière obtenue en 2 est de rayon infini et que sa somme est solution de $(E)$. Conclure : donner le développement en série entière de $f$ et son rayon.

Partie B. La fonction $g:x\mapsto (1+x{)}^{\alpha }$, où $\alpha \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{N}$

4. Montrer que $g$ est solution sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$ du problème

$$(F)(1+x)y^{\mathrm{\prime }}=\alpha y,y(0)=1$$

5. (Analyse.) Mêmes hypothèses qu'en 2 avec $(F)$ à la place de $(E)$ : établir la relation $(n+1)a_{n+1}=(\alpha -n)a_n$ et en déduire $a_n$.

6. (Synthèse.) Montrer que la série entière obtenue a pour rayon $1$, puis, en étudiant $h:x\mapsto (1+x{)}^{-\alpha }S(x)$, montrer que sa somme vaut $g$ sur $]-1,1[$.

7. En déduire le développement en série entière de $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x}}}$.

Pour $n⩾1$ et $x\in \mathbb{R}$, on pose

$$f_n(x)=\frac{(-1{)}^{n-1}}{n+x^2}$$

et l'on souhaite étudier la fonction $f$ définie par $f(x)={\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{f}_n(x)}$.

1. Montrer que la série $\sum f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}$. Établir de plus, pour tout $x$ réel,

$$0<f(x)⩽\frac{1}{1+x^2}\text{et}\mid \sum _{n=N+1}^{+\mathrm{\infty }}{f}_n(x)\mid ⩽\frac{1}{N+1}$$

2. La série $\sum f_n$ converge-t-elle normalement sur $\mathbb{R}$ ? Converge-t-elle uniformément sur $\mathbb{R}$ ?

3. En déduire que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ est paire.

4. Montrer que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$, expliciter $f^{\mathrm{\prime }}$, puis en déduire les variations de $f$.

5. Déterminer ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)}$ à l'aide du théorème de la double limite.

6. Donner un encadrement de $f(0)$ d'amplitude ${10}^{-1}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x)={\mathrm{e}}^{-1\mathrm{/}{x}^2}\text{si }x\mathrm{\ne }0,f(0)=0$$

1. Montrer que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ et qu'il existe une suite de polynômes $(P_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ telle que

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }x\mathrm{\ne }0,f^{(n)}(x)=P_n\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{x}\right){\mathrm{e}}^{-1\mathrm{/}{x}^2}$$

Préciser $P_0$ et $P_1$, ainsi qu'une relation entre $P_{n+1}$ et $P_n$.

2. Montrer que, pour tout polynôme $P$, ${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x\mathrm{\ne }0\end{array}}{\lim }P\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{x}\right){\mathrm{e}}^{-1\mathrm{/}{x}^2}=0}$.

3. En déduire, par récurrence, que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $\mathbb{R}$ tout entier et que $f^{(n)}(0)=0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

4. Écrire la série de Taylor de $f$ en $0$. Montrer que $f$ n'est développable en série entière sur aucun intervalle $]-r,r[$ avec $r>0$.

5. Quelle morale tirer de cet exemple ?

1. Déterminer le rayon de convergence et le disque ouvert de convergence de chacune des séries entières de la variable complexe suivantes.

2. Soit $\theta \in \mathbb{R}$ fixé. Justifier la convergence absolue de ${\displaystyle \sum _{n⩾0}\frac{{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right)}^n}{n!}}$, calculer sa somme, puis en déduire les valeurs de

$$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\cos (n\theta )}{n!}\text{et}\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin (n\theta )}{n!}$$

3. Soient $r\in [0,1[$ et $\theta \in \mathbb{R}$. En partant du développement de ${\displaystyle \frac{1}{1-z}}$ appliqué à $z=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$, calculer

$$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{r}^n\cos (n\theta )\text{et}\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{r}^n\sin (n\theta )$$

Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose

$$W_n={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{n}t\mathrm{d}t$$

Ces intégrales portent sur le segment $[0,\frac{\pi }{2}]$ et de fonctions continues : elles sont donc parfaitement définies. Le but de l'exercice est d'en déduire la formule de Stirling, constante comprise.

1. Montrer que $W_n>0$ pour tout $n$, que la suite $(W_n)$ est décroissante, et calculer $W_0$ et $W_1$.

2. À l'aide d'une intégration par parties, établir

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},W_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}{W}_n$$

3. En déduire par récurrence que $(n+1)W_{n+1}{W}_n={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

4. Montrer que $W_{n+1}\sim W_n$, puis que $W_n\sim \sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{2n}}}$.

5. Pour $n⩾1$, on pose $u_n={\displaystyle \frac{n!{\mathrm{e}}^n}{n^{n+1\mathrm{/}2}}}$. Montrer que $\ln u_{n+1}-\ln u_n=O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{n^2}}\right)$, en déduire que la suite $(\ln u_n)$ converge, puis qu'il existe une constante $C>0$ telle que

$$n!\sim C\sqrt{n}{\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)}^{\text{\hspace{0.17em}⁣}n}$$

6. Montrer que $W_{2n}={\displaystyle \frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, et en déduire la valeur de $C$.

On définit la suite $(c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ par $c_0=1$ et

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},c_{n+1}=\sum _{k=0}^n{c}_k{c}_{n-k}$$

1. Calculer $c_1$, $c_2$, $c_3$, $c_4$ et $c_5$.

2. Montrer par récurrence forte que $c_n⩽{\displaystyle \frac{{16}^n}{(n+1{)}^2}}$ pour tout $n$. (On pourra remarquer que, pour chaque $k$, l'un des deux entiers $k+1$ et $n-k+1$ est supérieur ou égal à $\frac{n+2}{2}$, et utiliser ${\sum }_{j=1}^m\frac{1}{j^2}⩽2$.) En déduire que le rayon de convergence $R$ de $\sum c_n{x}^n$ vérifie $R>0$.

3. On note $S$ la somme de cette série entière. À l'aide d'un produit de Cauchy, montrer que

$$\mathrm{\forall }x\in ]-R,R[,S(x)=1+xS(x{)}^2$$

4. En déduire qu'il existe $\eta >0$ tel que $S(x)={\displaystyle \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}}$ pour $0<\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<\eta$. (On justifiera soigneusement le choix de la racine.)

5. Développer $x\mapsto \sqrt{1-4x}$ en série entière, et en déduire que $c_n={\displaystyle \frac{1}{n+1}}{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)}$.

6. Déterminer la valeur exacte de $R$ et un équivalent de $c_n$.

L'objectif est d'établir le développement en série entière de $\mathrm{Arctan}$ jusqu'aux bornes $\pm 1$, en contrôlant explicitement le reste, puis d'en déduire la formule de Leibniz.

1. Montrer que, pour tout $t\in \mathbb{R}$ et tout $N\in \mathbb{N}$,

$$\frac{1}{1+t^2}=\sum _{k=0}^N(-1{)}^k{t}^{2k}+\frac{(-1{)}^{N+1}{t}^{2N+2}}{1+t^2}$$

Il s'agit d'une identité exacte entre fonctions : aucune convergence n'intervient.

2. En intégrant cette identité sur le segment $[0,x]$, montrer que, pour tout $x\in [0,1]$,

$$\mathrm{Arctan}x=\sum _{k=0}^N\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{2k+1}+{\epsilon }_N(x)\text{avec}\mathrm{\mid }{\epsilon }_N(x)\mathrm{\mid }⩽\frac{x^{2N+3}}{2N+3}$$

3. En déduire que

$$\mathrm{\forall }x\in [-1,1],\mathrm{Arctan}x=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{2k+1}$$

et en particulier la formule de Leibniz ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{2k+1}}$.

4. Quel est le rayon de convergence de cette série entière ?

5. Combien de termes de la formule de Leibniz faut-il sommer pour obtenir $\pi$ à ${10}^{-3}$ près ? Commenter.

1. À partir du développement usuel de $(1+u{)}^{\alpha }$ avec $\alpha =-\frac{1}{2}$, développer en série entière au voisinage de $0$ la fonction

$$x⟼\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

On montrera que le coefficient de $x^{2n}$ vaut ${\displaystyle \frac{1}{4^n}}{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)}$, et l'on précisera le rayon de convergence.

2. Par primitivation terme à terme sur $]-1,1[$, en déduire que

$$\mathrm{Arcsin}x=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{4^n(2n+1)}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)x^{2n+1}$$

et donner le rayon de convergence de cette série entière.

3. (Vérification par une autre méthode.) Montrer que $y:x\mapsto \mathrm{Arcsin}x$ vérifie sur $]-1,1[$

$$(1-x^2)y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-x{y}^{\mathrm{\prime }}=0,y(0)=0,y^{\mathrm{\prime }}(0)=1$$

Chercher alors une solution développable en série entière de ce problème : établir la relation de récurrence sur les coefficients et retrouver le développement de la question 2.

4. Donner une valeur approchée de $\mathrm{Arcsin}(\mathrm{0,5})$ à l'aide des premiers termes, et la comparer à ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.

On pose $H_0=0$ et, pour $n⩾1$, $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$ (nombres harmoniques).

1. Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum H_n{x}^n$. (On pourra encadrer $H_n$ entre deux suites simples.)

2. À l'aide du produit de Cauchy des séries ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{x^n}{n}}$ et ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{x}^n}$, montrer que

$$\mathrm{\forall }x\in ]-1,1[,\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{H}_n{x}^n=\frac{-\ln (1-x)}{1-x}$$

3. En déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{H_n}{2^n}}$.

4. Par dérivation terme à terme, calculer ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}n{H}_n{x}^n}$ pour $x\in ]-1,1[$.

5. Par primitivation terme à terme, calculer ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{H_n}{n+1}{x}^{n+1}}$ pour $x\in ]-1,1[$.