Devoir surveillé — Suites et séries de fonctions

Consignes générales. Calculatrice interdite. Les exercices 1 à 4 sont indépendants entre eux et indépendants de l'exercice 5, qui est un problème en trois parties enchaînées. La clarté de la rédaction entre dans la notation : tout théorème invoqué doit être cité avec ses hypothèses, et chacune d'elles vérifiée sur l'objet auquel on l'applique.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose

$$u_n={\displaystyle \frac{(3n)!}{{27}^n(n!{)}^3}}\mathrm{.}$$

1. (0,75 pt) Montrer que ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}={\displaystyle \frac{(3n+1)(3n+2)}{9(n+1{)}^2}}$, puis que la règle de d'Alembert ne permet pas de conclure quant à la nature de $\sum u_n$.

2. (1,5 pt) À l'aide de la formule de Stirling, établir que $u_n\sim {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2\pi n}}$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$, et en déduire la nature de $\sum u_n$. Contrôler l'équivalent en calculant $u_4$ exactement.

3. (0,75 pt) Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante. En déduire que la série $\sum (-1{)}^n{u}_n$ converge, puis encadrer sa somme $S$ à partir de sa somme partielle d'ordre $3$.

Pour $n⩾1$, on pose $a_n={\displaystyle \frac{1}{n(2n-1)}}$, et l'on note $S$ la somme de la série entière ${\sum }_{n⩾1}{a}_n{x}^n$.

On rappelle les trois développements usuels, valables pour $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }<1$ :

$$\sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{y^n}{n}}=-\ln (1-y),\sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{y^{2n-1}}{2n-1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln {\displaystyle \frac{1+y}{1-y}},\sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{(-1{)}^{n-1}{y}^{2n-1}}{2n-1}}=\mathrm{Arctan}y\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Déterminer le rayon de convergence $R$ de $\sum a_n{x}^n$.

2. (0,5 pt) Montrer que la série de fonctions ${\sum }_{n⩾1}{a}_n{x}^n$ converge normalement sur le segment $[-1,1]$. Qu'en déduit-on sur $S$ que la théorie des séries entières ne donne pas ?

3. (0,5 pt) Vérifier que $a_n={\displaystyle \frac{2}{2n-1}}-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ pour tout $n⩾1$.

4. (1,25 pt) En déduire une expression close de $S(x)$, en distinguant le cas $0<x<1$ (on posera $y=\sqrt{x}$) et le cas $-1<x<0$ (on posera $y=\sqrt{-x}$).

5. (0,5 pt) En déduire la valeur exacte de ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{1}{n(2n-1)}}}$.

6. (0,25 pt) Donner de même la valeur exacte de ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n(2n-1)}}}$.

Pour $n⩾1$ et $x⩾0$, on pose $u_n(x)=\ln (1+{\displaystyle \frac{x}{n^2}})$, et l'on étudie la fonction

$$f(x)=\sum _{n⩾1}\ln (1+{\displaystyle \frac{x}{n^2}})\mathrm{.}$$

On utilisera librement l'inégalité $0⩽\ln (1+u)⩽u$, valable pour tout $u⩾0$.

1. (0,5 pt) Montrer que la série $\sum u_n$ converge simplement sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

2. (0,5 pt) Montrer qu'elle converge normalement sur tout segment $[0,a]$ avec $a>0$, mais pas sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. En déduire que $f$ est continue sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

3. (0,75 pt) Montrer que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ avec $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{1}{n^2+x}}}$, puis déterminer le sens de variation et la concavité de $f$.

4. (0,75 pt) Établir les trois résultats suivants : $f(x)\sim x{\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}}$ quand $x\to 0^{+}$ ; $f^{\mathrm{\prime }}(x)\to 0$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$ ; $f(x)\to +\mathrm{\infty }$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$. Commenter l'allure de la courbe qui en résulte.

5. (1 pt) Par comparaison série-intégrale, montrer que pour tout $x>0$

$${\displaystyle \frac{\pi }{2\sqrt{x}}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽f^{\mathrm{\prime }}(x)⩽{\displaystyle \frac{\pi }{2\sqrt{x}}},$$

et en déduire un équivalent simple de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.

On note $\mathrm{j}={\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi \mathrm{/}3}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, de sorte que ${\mathrm{j}}^3=1$ et ${\mathrm{j}}^2=\bar{\mathrm{j}}$. On s'intéresse à la fonction

$$C(x)=\sum _{n⩾0}{\displaystyle \frac{x^{3n}}{(3n)!}}=1+{\displaystyle \frac{x^3}{6}}+{\displaystyle \frac{x^6}{720}}+\cdots$$

obtenue en ne gardant, dans la série exponentielle, que les termes dont l'exposant est un multiple de $3$.

1. (0,5 pt) Montrer que pour tout $m\in \mathbb{N}$, la somme $1+{\mathrm{j}}^m+{\mathrm{j}}^{2m}$ vaut $3$ si $m$ est un multiple de $3$, et $0$ sinon.

2. (0,5 pt) Montrer que pour tout nombre complexe $z$, la série ${\sum }_{m⩾0}{\displaystyle \frac{z^m}{m!}}$ converge absolument. En déduire que les trois séries $\sum \frac{x^m}{m!}$, $\sum \frac{(\mathrm{j}x{)}^m}{m!}$ et $\sum \frac{({\mathrm{j}}^{2}x{)}^m}{m!}$ peuvent être ajoutées terme à terme pour tout $x$ réel, et que $C$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.

3. (1,25 pt) Établir que $C(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}x}+{\mathrm{e}}^{{\mathrm{j}}^{2}x})$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, puis en déduire l'expression réelle

$$C(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}({\mathrm{e}}^x+2{\mathrm{e}}^{-x\mathrm{/}2}\cos {\displaystyle \frac{x\sqrt{3}}{2}})\mathrm{.}$$

4. (0,75 pt) Contrôler ce résultat en développant le membre de droite à l'ordre $4$ au voisinage de $0$.

5. (1 pt) Montrer, par dérivation terme à terme, que $C$ est solution du problème

$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=y,y(0)=1,y^{\mathrm{\prime }}(0)=y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=0,$$

puis établir l'identité $C(x)+C^{\mathrm{\prime }}(x)+C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\mathrm{e}}^x$ et l'interpréter.

Les trois parties s'enchaînent : la partie B utilise le théorème démontré en partie A, et la partie C reprend l'identité établie en partie B pour en tirer une majoration explicite. On pourra admettre le résultat d'une question pour traiter les suivantes.

Ce problème construit une suite de polynômes qui converge uniformément vers la fonction racine carrée sur $[0,1]$. C'est un résultat qui ne va pas de soi : la racine carrée n'est pas dérivable en $0$, alors que chaque polynôme l'est indéfiniment. L'outil est un théorème de convergence monotone, démontré en partie A, qui transforme une simple convergence simple en convergence uniforme dès que la suite est croissante, l'intervalle un segment et la limite continue — les trois hypothèses comptent, la partie A le montre.

Partie A — quand la monotonie suffit

Dans toute cette partie, $[a,b]$ est un segment de $\mathbb{R}$ avec $a<b$, et $(g_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite de fonctions continues sur $[a,b]$ telle que

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }t\in [a,b],g_n(t)⩽g_{n+1}(t),$$

et qui converge simplement sur $[a,b]$ vers une fonction $g$ supposée continue. On pose $h_n=g-g_n$.

A.1 (0,5 pt) Montrer que chaque $h_n$ est continue et positive sur $[a,b]$, que la suite $(h_n(t){)}_n$ est décroissante pour tout $t$ fixé, et qu'elle tend vers $0$. Justifier que $h_n$ atteint sa borne supérieure en un point $x_n$ de $[a,b]$, et que la suite réelle $(\mathrm{\parallel }{h}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[a,b]}{)}_n$ est décroissante.

A.2 (0,25 pt) En déduire que si la convergence n'est pas uniforme sur $[a,b]$, alors il existe $\epsilon >0$ tel que $\mathrm{\parallel }{h}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[a,b]}⩾\epsilon$ pour tout $n$.

A.3 (0,75 pt) On suppose la convergence non uniforme et l'on garde les notations précédentes. À l'aide du théorème de Bolzano-Weierstrass, extraire de $(x_n)$ une suite convergente $\left(x_{\phi (n)}\right)$, de limite $c\in [a,b]$. Montrer que $h_p(c)⩾\epsilon$ pour tout entier $p$, et conclure. Énoncer alors le théorème que l'on vient de démontrer.

A.4 (0,5 pt) Montrer, sur les deux exemples suivants, que le théorème tombe si l'on retire la continuité de la limite, et qu'il tombe aussi si l'on remplace le segment par un intervalle non borné : la suite $g_n(t)={\displaystyle \frac{nt}{1+nt}}$ sur $[0,1]$, et la suite $g_n(t)={\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}n}$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ (pour $n⩾1$).

Partie B — la suite de polynômes

On définit une suite de fonctions $(p_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ sur $[0,1]$ par $p_0=0$ et

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }t\in [0,1],p_{n+1}(t)=p_n(t)+{\displaystyle \frac{1}{2}}(t-p_n(t{)}^2)\mathrm{.}$$

B.1 (0,25 pt) Justifier que chaque $p_n$ est une fonction polynomiale, et expliciter $p_1$ et $p_2$.

B.2 (0,75 pt) Vérifier l'identité

$$\sqrt{t}-p_{n+1}(t)=(\sqrt{t}-p_n(t))(1-{\displaystyle \frac{\sqrt{t}+p_n(t)}{2}}),$$

puis montrer par récurrence que $0⩽p_n(t)⩽\sqrt{t}$ pour tout $n$ et tout $t\in [0,1]$. En déduire que la suite $(p_n(t){)}_n$ est croissante.

B.3 (0,5 pt) Montrer que $(p_n)$ converge simplement sur $[0,1]$ vers la fonction $t\mapsto \sqrt{t}$.

B.4 (0,5 pt) En vérifiant une à une les hypothèses du théorème de la partie A, montrer que la convergence est uniforme sur $[0,1]$. Pourquoi ce résultat est-il remarquable ?

Partie C — la vitesse, et une conséquence

C.1 (0,75 pt) Déduire de l'identité de B.2 que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ et tout $t\in [0,1]$,

$$0⩽\sqrt{t}-p_n(t)⩽\sqrt{t}{(1-{\displaystyle \frac{\sqrt{t}}{2}})}^n\mathrm{.}$$

C.2 (0,75 pt) Montrer que $v(1-v{)}^n⩽{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ pour tout $v\in [0,1]$ et tout $n\in \mathbb{N}$, puis en déduire que

$${\parallel \sqrt{\cdot }-p_n\parallel }_{\mathrm{\infty },[0,1]}⩽{\displaystyle \frac{2}{n+1}}\mathrm{.}$$

Que gagne-t-on par rapport à la partie B ?

C.3 (0,25 pt) En déduire ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_0^1{p}_n(t)\mathrm{d}t}$, en citant le théorème utilisé, et contrôler l'ordre de grandeur pour $n=2$.

C.4 (0,25 pt) Montrer que la fonction $x\mapsto \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ est limite uniforme sur $[-1,1]$ d'une suite de fonctions polynomiales. Commenter.