Exercices — Espaces vectoriels normés

On rappelle qu'une application $N$ d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ dans $\mathbb{R}$ est une norme lorsqu'elle vérifie les trois propriétés suivantes :

(i) $N(x)=0$ entraîne $x=0_E$ (séparation) ; (ii) $N(\lambda x)=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }N(x)$ pour tous $\lambda \in \mathbb{K}$ et $x\in E$ (homogénéité) ; (iii) $N(x+y)⩽N(x)+N(y)$ pour tous $x,y\in E$ (inégalité triangulaire). La positivité en découle, elle n'est pas à vérifier.

1. Parmi les six applications ci-dessous, dire lesquelles sont des normes sur l'espace indiqué. Dans chaque cas, démontrer la réponse : vérification complète des trois propriétés si c'est une norme, contre-exemple numérique explicite sinon, en précisant quelle propriété est en défaut.

2. Soient $N$ et $N^{\mathrm{\prime }}$ deux normes sur un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$, et soit $\alpha >0$. Montrer que $\alpha N$, $N+N^{\mathrm{\prime }}$ et $\max (N,N^{\mathrm{\prime }})$ sont encore des normes sur $E$.

3. En déduire, sans aucun nouveau calcul de norme, que les deux applications suivantes sont des normes sur ${\mathbb{R}}^2$ :

$$(x,y)\mapsto 3\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+6\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\text{et}(x,y)\mapsto \max (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+2\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid },\sqrt{x^2+xy+y^2})\mathrm{.}$$

Pour $x=(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{K}}^n$, on rappelle les définitions des trois normes usuelles :

$$\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_1=\sum _{k=1}^n\mathrm{\mid }{x}_k\mathrm{\mid },\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_2=\sqrt{\sum _{k=1}^n\mathrm{\mid }{x}_k{\mathrm{\mid }}^2},\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=\underset{1⩽k⩽n}{\max }\mathrm{\mid }{x}_k\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

1. Calculer $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$, $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$ et $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ pour chacun des vecteurs suivants.

2. Vérifier sur ces quatre exemples l'encadrement $\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}⩽\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_2⩽\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_1$.

3. Démontrer ces deux inégalités pour tout $x\in {\mathbb{K}}^n$.

4. Démontrer que, pour tout $x\in {\mathbb{K}}^n$,

$$\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_1⩽n\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}\text{et}\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_2⩽\sqrt{n}\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}\mathrm{.}$$

5. À l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans ${\mathbb{R}}^n$, montrer que $\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_1⩽\sqrt{n}\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_2$ pour tout $x\in {\mathbb{K}}^n$.

6. Pour chacune des cinq inégalités des questions 3, 4 et 5, donner un vecteur non nul de ${\mathbb{K}}^n$ qui réalise l'égalité. Que peut-on en dire des constantes obtenues ?

7. Conclure que les trois normes $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$, $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$ et $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ sont deux à deux équivalentes sur ${\mathbb{K}}^n$, en explicitant à chaque fois un couple de constantes.

Le plan ${\mathbb{R}}^2$ est muni de ses trois normes usuelles : $\mathrm{\parallel }(x,y){\mathrm{\parallel }}_1=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$, $\mathrm{\parallel }(x,y){\mathrm{\parallel }}_2=\sqrt{x^2+y^2}$ et $\mathrm{\parallel }(x,y){\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=\max (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid })$. On rappelle que la boule fermée et la sphère de centre $a$ et de rayon $r⩾0$ sont

$$B_f(a,r)=\{x;\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }⩽r\}\text{et}S(a,r)=\{x;\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }=r\}\mathrm{.}$$

La figure ci-dessous représente, dans un même repère orthonormé, les trois sphères unités $S(0,1)$ associées à ces trois normes : un carré, un losange et un cercle. Le losange et la boule fermée qu'il délimite sont coloriés.

1. Justifier l'association indiquée sur la figure entre chaque ligne et la norme dont elle est la sphère unité : pour chaque norme, écrire l'équation de la ligne de niveau $\mathrm{\parallel }(x,y)\mathrm{\parallel }=1$, en déduire la nature de la ligne obtenue et décrire la boule unité fermée correspondante.

2. Écrire les inclusions entre les trois boules unités fermées, et les relier aux inégalités entre les trois normes.

3. On dit qu'une partie d'un espace vectoriel normé est bornée lorsqu'il existe $M⩾0$ tel que $\mathrm{\parallel }u\mathrm{\parallel }⩽M$ pour tout élément $u$ de cette partie. Parmi les cinq parties suivantes de ${\mathbb{R}}^2$, dire lesquelles sont bornées, en le démontrant.

4. Soit $E$ un espace vectoriel normé quelconque, $a\in E$ et $r>0$. Montrer que la boule fermée $B_f(a,r)$ et la boule ouverte $B(a,r)$ sont des parties convexes de $E$, c'est-à-dire que pour tous $x,y$ dans la boule et tout $t\in [0,1]$, le point $(1-t)x+ty$ appartient encore à la boule.

5. La sphère $S(0,1)$ de ${\mathbb{R}}^2$ pour la norme $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$ est-elle convexe ?

1. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $p⩾1$, muni d'une base $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_p)$ et d'une norme $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$ quelconque. Expliquer pourquoi la convergence d'une suite de $E$ ne dépend pas de la norme choisie, puis démontrer le critère suivant : si $u_n={\sum }_{k=1}^p{u}_{n,k}{e}_k$ et $u={\sum }_{k=1}^p{u}_k{e}_k$, alors

$$u_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}u\text{si et seulement si}\text{pour tout }k\in \{1,\dots ,p\},u_{n,k}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{u}_k\mathrm{.}$$

2. Étudier la convergence de la suite $(A_n{)}_{n⩾1}$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ définie par

$$A_n=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{n}}& {\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n}}\\ \cos \left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)& {\displaystyle \frac{n}{n+1}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

3. Étudier la convergence des deux suites de ${\mathbb{R}}_2[X]$ définies pour $n⩾1$ par

$$P_n=(1+\frac{1}{n})X^2+\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}X+\frac{2n-3}{n+1}\text{et}{R}_n=\frac{1}{n}{X}^2+(-1{)}^{n}X+1.$$

4. Étudier la convergence de la suite $(w_n{)}_{n⩾1}$ de ${\mathbb{R}}^3$ définie par

$$w_n=(\frac{n^2+1}{2n^2-n},n\sin \left(\frac{1}{n}\right),\frac{\ln n}{n})\mathrm{.}$$

5. Donner un exemple, dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ :

a. d'une suite bornée et divergente ;

b. d'une suite convergente de matrices inversibles dont la limite n'est pas inversible. Que peut-on en conclure sur ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{R})$ ?

Dans tout l'exercice, ${\mathbb{R}}^2$ est muni de la norme $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$. Comme ${\mathbb{R}}^2$ est de dimension finie, toutes ses normes sont équivalentes et les notions d'ouvert et de fermé ne dépendent pas de ce choix.

1. Pour chacune des six parties suivantes de ${\mathbb{R}}^2$, dire si elle est ouverte, fermée, les deux, ou ni l'une ni l'autre. Justifier chaque réponse : par image réciproque d'un ouvert ou d'un fermé par une application continue, ou par une suite bien choisie, ou en revenant à la définition d'un point intérieur.

2. Donner deux parties de ${\mathbb{R}}^2$ qui sont à la fois ouvertes et fermées.

3. En utilisant les propriétés de stabilité du cours, justifier sans nouveau calcul que les deux parties suivantes sont respectivement ouverte et fermée :

$$W=D\cap \{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x+y>0\}\text{et}K=\bigcap _{n⩾1}\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x^2+y^2⩽1+\frac{1}{n}\}\mathrm{.}$$

Identifier de plus l'ensemble $K$.

On rappelle la caractérisation séquentielle de l'adhérence : si $A$ est une partie d'un espace vectoriel normé $E$ et $x\in E$, alors

$$x\in \bar{A}\text{si et seulement s’il existe une suite }(a_n)\text{ d’}\acute{\text{e}}\text{l}\acute{\text{e}}\text{ments de }A\text{ telle que }{a}_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}x\mathrm{.}$$

C'est le seul outil utilisé dans cet exercice. Dans toutes les questions, déterminer une adhérence signifie démontrer les deux inclusions.

1. Déterminer l'adhérence de $A=]0,1[$ dans $\mathbb{R}$.

2. Déterminer l'adhérence de $B=\{{\displaystyle \frac{1}{n}};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$ dans $\mathbb{R}$.

3. Déterminer l'adhérence de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{R}$.

4. Déterminer l'adhérence de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$. Qu'en déduit-on ?

5. Déterminer l'adhérence du disque ouvert $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x^2+y^2<1\}$, le plan étant muni de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$.

6. Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E$. Montrer que $A$ est fermée si et seulement si toute suite convergente d'éléments de $A$ a sa limite dans $A$. Illustrer sur deux des exemples précédents.

Le plan ${\mathbb{R}}^2$ est muni de la norme $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$, et l'on rappelle la caractérisation séquentielle de la limite : si $a$ est adhérent au domaine de $f$ et si $f$ admet la limite $\mathrm{\ell }$ en $a$, alors pour toute suite $(u_n)$ du domaine de $f$ convergeant vers $a$, la suite $(f(u_n))$ converge vers $\mathrm{\ell }$.

1. On définit $f$ sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\text{ si }(x,y)\mathrm{\ne }(0,0),f(0,0)=0.$$

a. Justifier que $f$ est continue en tout point de ${\mathbb{R}}^2$ privé de l'origine.

b. Calculer $f(\frac{1}{n},0)$ et $f(\frac{1}{n},\frac{1}{n})$ pour $n⩾1$. En déduire que $f$ n'est pas continue en $(0,0)$, et même qu'elle n'admet aucune limite en $(0,0)$.

2. On définit $g$ sur ${\mathbb{R}}^2$ par

$$g(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}\text{ si }(x,y)\mathrm{\ne }(0,0),g(0,0)=0.$$

Montrer que $\mathrm{\mid }g(x,y)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\parallel }(x,y){\mathrm{\parallel }}_2$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, puis que $g$ est continue en $(0,0)$. Que dire de la continuité de $g$ sur ${\mathbb{R}}^2$ tout entier ?

3. Justifier la continuité des trois applications suivantes, en citant précisément les théorèmes du cours utilisés.

a. $\phi :M\mapsto {(\det M)}^2$, de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$.

b. $\psi :x\mapsto \mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}^3$, d'un espace vectoriel normé $(E,\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel })$ dans $\mathbb{R}$.

c. $h:(x,y)\mapsto \sin (xy)$, de ${\mathbb{R}}^2$ dans $\mathbb{R}$.

Soient $(E,\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_E)$ et $(F,\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_F)$ deux espaces vectoriels normés, $A$ une partie de $E$ et $k⩾0$. On dit qu'une application $f:A\to F$ est $k$-lipschitzienne lorsque

$$\mathrm{\parallel }f(x)-f(y){\mathrm{\parallel }}_F⩽k\mathrm{\parallel }x-y{\mathrm{\parallel }}_E\text{pour tous }x,y\in A,$$

et lipschitzienne lorsqu'elle est $k$-lipschitzienne pour un certain $k⩾0$. Sauf mention contraire, $\mathbb{R}$ est muni de la valeur absolue.

1. Démontrer l'inégalité triangulaire renversée : pour tous $x,y$ d'un espace vectoriel normé $E$,

$$\mid \mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }-\mathrm{\parallel }y\mathrm{\parallel }\mid ⩽\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }\mathrm{.}$$

En déduire que l'application $x\mapsto \mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }$ est $1$-lipschitzienne de $E$ dans $\mathbb{R}$.

2. Soit $i\in \{1,\dots ,n\}$. Montrer que l'application coordonnée $p_i:x=(x_1,\dots ,x_n)\mapsto x_i$, de $({\mathbb{R}}^n,\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }})$ dans $\mathbb{R}$, est $1$-lipschitzienne, et que la constante $1$ ne peut pas être améliorée.

3. Soit $a\in E$ fixé. Montrer que l'application $x\mapsto \mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }$ est $1$-lipschitzienne de $E$ dans $\mathbb{R}$.

4. Montrer que toute application lipschitzienne est continue. On rédigera la démonstration complète.

5. En déduire que, pour tous $a\in E$ et $r>0$, la boule ouverte $B(a,r)$ est un ouvert de $E$, et que la boule fermée $B_f(a,r)$ ainsi que la sphère $S(a,r)$ sont des fermés de $E$.

6. Montrer que la fonction $t\mapsto \sqrt{t}$ est continue sur $[0,1]$ mais n'y est pas lipschitzienne. Que conclure sur la réciproque de la question 4 ?

Soit $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$. Pour $f\in E$, on pose

$$\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_1={\int }_0^1\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }\mathrm{d}t,\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_2={({\int }_0^{1}f(t{)}^2\mathrm{d}t)}^{1\mathrm{/}2},\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=\underset{t\in [0,1]}{\sup }\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

1. Justifier que ces trois quantités sont des réels bien définis.

2. Montrer que $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$ est une norme sur $E$. On soignera particulièrement l'axiome de séparation.

3. Montrer que $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(t)g(t)\mathrm{d}t$ définit un produit scalaire sur $E$. Qu'en déduit-on pour $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$ ? Écrire l'inégalité de Cauchy-Schwarz associée.

4. Démontrer que $\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_1⩽\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_2⩽\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ pour toute $f\in E$.

5. Calculer les trois normes des fonctions $f:t\mapsto t$, $g:t\mapsto t(1-t)$ et $h:t\mapsto {\mathrm{e}}^t$, et vérifier sur chacune les inégalités de la question 4.

Soit $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$, muni des deux normes

$$\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_1={\int }_0^1\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }\mathrm{d}t\text{et}\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=\underset{t\in [0,1]}{\sup }\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $f_n$ la fonction définie sur $[0,1]$ par $f_n(t)=t^n$.

1. Calculer $\mathrm{\parallel }{f}_n{\mathrm{\parallel }}_1$ et $\mathrm{\parallel }{f}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$.

2. Montrer que $\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_1⩽\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ pour toute $f\in E$, puis que les deux normes ne sont pas équivalentes. Laquelle des deux inégalités de la définition est en défaut ?

3. Montrer que $(f_n)$ converge vers la fonction nulle pour $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$, mais qu'elle ne converge vers aucune fonction de $E$ pour $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$.

4. Que penser alors de la phrase « la suite $(f_n)$ converge » ? Qu'est-ce qui, en dimension finie, empêche ce genre d'ambiguïté ?

5. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $g_n$ la fonction affine par morceaux définie par $g_n(t)=1-nt$ pour $t\in [0,\frac{1}{n}]$ et $g_n(t)=0$ pour $t\in [\frac{1}{n},1]$. Vérifier que $g_n\in E$, calculer $\mathrm{\parallel }{g}_n{\mathrm{\parallel }}_1$ et $\mathrm{\parallel }{g}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$. Puis, en posant $u_n=n{g}_n$, montrer que la suite $(u_n)$ est bornée pour $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$ et non bornée pour $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$.

Soient $E$ un espace vectoriel normé et $A$ une partie non vide de $E$. Pour $x\in E$, on pose

$$d(x,A)=\underset{a\in A}{\inf }\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }\mathrm{.}$$

1. Justifier que $d(x,A)$ est un réel bien défini, que $d(x,A)⩾0$, et que $d(x,A)=0$ dès que $x\in A$.

2. Montrer que $\mathrm{\mid }d(x,A)-d(y,A)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$ pour tous $x,y\in E$. Qu'en déduit-on sur l'application ${\delta }_A:x\mapsto d(x,A)$ ?

3. Montrer que $d(x,A)=0$ si et seulement si $x\in \bar{A}$.

4. En déduire que $\bar{A}$ est une partie fermée de $E$, puis que si $A$ est fermée et $x\mathrm{\notin }A$, alors $d(x,A)>0$.

5. On munit ${\mathbb{R}}^2$ de la norme euclidienne $\mathrm{\parallel }(x,y)\mathrm{\parallel }=\sqrt{x^2+y^2}$. On note $0=(0,0)$, $u=(5,5)$, $v=(3,4)$ et $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;3x+4y=0\}$.

Dans chacun des trois cas, dire si la borne inférieure est atteinte.

Soit $n⩾2$. On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ d'une norme quelconque et on considère les parties suivantes, où $\mathcal{T}$ désigne l'ensemble des matrices de trace nulle, ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ celui des matrices symétriques, $\mathcal{P}$ celui des matrices $M$ telles que $M^2=M$, et $\mathcal{D}$ celui des matrices $M$ telles que $\det M>1$.

1. Justifier que la question « cette partie est-elle ouverte, fermée, bornée ? » ne dépend pas de la norme choisie sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

2. Pour chacune des parties ci-dessous, dire si elle est ouverte ou fermée, en exhibant à chaque fois une application continue et un ouvert ou un fermé dont elle est l'image réciproque.

3. Ces six parties sont-elles bornées ?

Soit $E$ un espace vectoriel normé non réduit au vecteur nul. Soient $a\in E$ et $r>0$. On rappelle les notations

$$B(a,r)=\{x\in E;\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }<r\}\text{et}{B}_f(a,r)=\{x\in E;\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }⩽r\}\mathrm{.}$$

1. Montrer que l'application $x\mapsto \mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }$ est continue sur $E$.

2. Montrer que $\overline{B(a,r)}\subset B_f(a,r)$.

3. Soit $x\in B_f(a,r)$. On pose $x_n=a+(1-\frac{1}{n})(x-a)$ pour $n⩾1$. Montrer que $x_n\in B(a,r)$ pour tout $n$, puis que $x_n\to x$. En déduire que $\overline{B(a,r)}=B_f(a,r)$.

4. Montrer que $\mathring{B_f(a,r)}=B(a,r)$.

5. Ces deux égalités reposent sur la structure de boule, et non sur une propriété générale de l'adhérence et de l'intérieur. Le vérifier en donnant une partie $A$ de $\mathbb{R}$ telle que $\overline{\stackrel{˚}{A}}\mathrm{\ne }A$. On traitera $A=[0,1]\cup \{2\}$, puis $A=\mathbb{Q}$.

Soit $(E,\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel })$ un espace vectoriel normé.

1. Rappeler ce qu'est une suite extraite de $(u_n)$, puis démontrer que toute suite extraite d'une suite convergente converge vers la même limite. En déduire un critère de divergence.

2. Montrer que la suite $(u_n{)}_{n⩾1}$ de ${\mathbb{R}}^2$ définie par $u_n=((-1{)}^n,\frac{1}{n})$ diverge.

3. Soit $A$ la matrice de la rotation d'angle $\frac{\pi }{2}$ dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Calculer $A^2$, $A^3$ et $A^4$, puis montrer que la suite $(A^n{)}_{n⩾0}$ diverge.

4. Soit $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ muni de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ et $g_n(t)=t^n$ pour $n⩾1$. Montrer, par l'absurde, que $(g_n)$ ne converge vers aucune fonction de $E$. Pourquoi le critère de la question 1 ne suffit-il pas ici ?

5. Les trois suites précédentes sont-elles bornées ? Qu'en conclure sur la réciproque du théorème « toute suite convergente est bornée » ?

Soit $n⩾1$. On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ de la norme

$$N(M)=\underset{1⩽i,j⩽n}{\max }\mathrm{\mid }{m}_{ij}\mathrm{\mid },\text{o}\grave{\text{u}}M=(m_{ij})\mathrm{.}$$

1. Justifier que $N$ est bien une norme, que le choix de la norme est sans importance pour tout ce qui suit, et rappeler à quoi équivaut la convergence d'une suite de matrices.

2. Montrer que $\det :{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ est continue.

3. Montrer que $\mathrm{t}\mathrm{r}:{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ est continue, et exhiber une constante de Lipschitz pour $N$.

4. Montrer que $N(AB)⩽nN(A)N(B)$ pour toutes matrices $A$ et $B$, puis que l'application $(A,B)\mapsto AB$ est continue.

5. Soient $(A_k)$ et $(B_k)$ deux suites de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telles que $A_k\to A$ et $B_k\to B$. Établir les trois passages à la limite suivants.

6. Application. Montrer que si une suite $(A_k)$ de matrices vérifiant $A_k^2=A_k$ converge, alors sa limite vérifie la même relation. Donner en revanche un exemple de suite de matrices inversibles dont la limite ne l'est pas, et commenter.

Soit $(E,\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel })$ un espace vectoriel normé.

1. Rappeler la définition d'une partie convexe. Montrer que, pour tous $a\in E$ et $r>0$, la boule ouverte $B(a,r)$ et la boule fermée $B_f(a,r)$ sont convexes.

2. Montrer qu'une intersection quelconque de parties convexes de $E$ est convexe. Le résultat vaut-il pour une réunion ?

3. Dans ${\mathbb{R}}^2$ muni de la norme euclidienne, montrer que $C=B_f((0,0),1)\cup B_f((3,0),1)$ n'est pas convexe.

4. Soient $N$ et $N^{\mathrm{\prime }}$ deux normes équivalentes sur $E$. Montrer qu'une partie bornée pour $N$ est bornée pour $N^{\mathrm{\prime }}$. Qu'en déduit-on lorsque $E$ est de dimension finie ?

5. Soit $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ muni de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$ et de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$, et soit

$$\mathcal{B}=\{f\in E;\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_1⩽1\}\mathrm{.}$$

Montrer que $\mathcal{B}$ est convexe et bornée pour $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$, mais non bornée pour $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$. On pourra considérer les fonctions $w_n:t\mapsto n{t}^n$.

On rappelle le théorème des bornes atteintes (admis) : soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie et soit $A$ une partie non vide, fermée et bornée de $E$. Alors toute fonction $f:A\to \mathbb{R}$ continue est bornée et atteint ses bornes, c'est-à-dire qu'il existe $a$ et $b$ dans $A$ tels que

$$f(a)=\underset{x\in A}{\min }f(x)\text{et}f(b)=\underset{x\in A}{\max }f(x)\mathrm{.}$$

Cinq hypothèses, donc, et aucune n'est décorative. Cet exercice les met à l'épreuve.

1. On munit ${\mathbb{R}}^3$ de la norme euclidienne $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$, on note $S=S(0,1)$ la sphère unité et on pose $f(x,y,z)=xy+yz+zx$.

a. Vérifier une par une les cinq hypothèses du théorème pour la partie $S$ et la fonction $f$, puis conclure que $f$ admet un maximum et un minimum sur $S$.

b. Montrer que $2f(x,y,z)=(x+y+z{)}^2-1$ pour tout $(x,y,z)\in S$. En déduire ${\max }_{S}f$ et ${\min }_{S}f$, en donnant à chaque fois un point où la borne est atteinte.

2. Soient $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie, $A$ une partie non vide, fermée et bornée de $E$, et $x\in E$. Montrer qu'il existe $a_0\in A$ tel que $\mathrm{\parallel }x-a_0\mathrm{\parallel }=d(x,A)$ : la distance d'un point à une telle partie est toujours atteinte.

3. Trois situations où la conclusion tombe. Dans chaque cas, dire quelle hypothèse manque et montrer que la fonction n'atteint pas sa borne supérieure.

4. Reste la dimension finie. Dans $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ muni de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$, on pose

$$A=\{u\in E;\mathrm{\parallel }u{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}⩽1\text{ et }u(0)=0\}\text{et}\phi (u)={\int }_0^{1}u(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Montrer que $A$ est non vide, fermée et bornée, que $\phi$ est continue sur $E$, et que pourtant $\phi$ n'atteint pas sa borne supérieure sur $A$.

On travaille dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, espace vectoriel de dimension finie $n^2$. Toutes les normes y étant équivalentes, la convergence d'une suite de matrices ne dépend pas de la norme choisie et on ne la précisera pas.

1. Soit $(A_k)$ une suite de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ et $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. Justifier que $A_k\to A$ si et seulement si $(A_k{)}_{i,j}\to a_{i,j}$ pour tout couple $(i,j)$.

2. Montrer que la limite d'une suite convergente de matrices symétriques de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est symétrique. On donnera deux rédactions : par la caractérisation séquentielle des fermés, puis par une image réciproque.

3. Montrer que la limite d'une suite convergente de matrices de trace nulle est de trace nulle.

4. Montrer que la limite d'une suite convergente de matrices orthogonales est orthogonale.

5. Montrer que la limite d'une suite convergente de matrices diagonalisables n'est pas nécessairement diagonalisable. On pourra considérer

$$A_k=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1+\frac{1}{k}\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),k⩾1.$$

Qu'en conclut-on sur l'ensemble des matrices diagonalisables de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ ?

Sur $E={\mathbb{R}}_2[X]$, on écrit tout polynôme $P$ sous la forme $P=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2$ et on pose

$$N(P)=\mathrm{\mid }{a}_0\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{a}_1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{a}_2\mathrm{\mid }\text{et}{N}^{\mathrm{\prime }}(P)=\underset{t\in [0,1]}{\sup }\mathrm{\mid }P(t)\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

1. Vérifier que $N$ et $N^{\mathrm{\prime }}$ sont deux normes sur $E$. On justifiera notamment que la borne supérieure définissant $N^{\mathrm{\prime }}(P)$ existe.

2. Montrer que $N^{\mathrm{\prime }}(P)⩽N(P)$ pour tout $P\in E$.

3. Justifier, sans aucun calcul, l'existence d'une constante $\alpha >0$ telle que $N⩽\alpha N^{\mathrm{\prime }}$.

4. Exprimer $a_0$, $a_1$ et $a_2$ en fonction de $P(0)$, $P\left(\frac{1}{2}\right)$ et $P(1)$. En déduire explicitement une constante $\alpha$ qui convient.

5. On pose $P_0=1-8X+8X^2$. Calculer $N(P_0)$ et $N^{\mathrm{\prime }}(P_0)$. Que peut-on en dire de la constante obtenue à la question 4 ?

6. Quelles conséquences tirer de l'encadrement obtenu, pour les boules, les suites convergentes, les ouverts et les fermés de $E$ ? Montrer enfin que sur $\mathbb{R}[X]$, où les deux mêmes formules définissent encore deux normes, celles-ci ne sont pas équivalentes : on pourra considérer $P_k=(1-X{)}^k$.

Soit $E$ un espace vectoriel normé. On rappelle qu'une partie $D$ de $E$ est dense dans $E$ lorsque $\bar{D}=E$, c'est-à-dire lorsque tout point de $E$ est limite d'une suite d'éléments de $D$.

1. Montrer que ${\mathbb{Q}}^n$ est dense dans ${\mathbb{R}}^n$.

2. En déduire que l'ensemble ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{Q})$ des matrices à coefficients rationnels est dense dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

3. Montrer qu'une partie $D$ de $E$ est dense dans $E$ si et seulement si elle rencontre toute boule ouverte non vide, c'est-à-dire

$$D\cap B(a,r)\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }\text{pour tous }a\in E\text{ et }r>0.$$

4. Soient $D$ une partie dense de $E$ et $f,g:E\to \mathbb{R}$ deux applications continues qui coïncident sur $D$. Montrer que $f=g$.

5. Application. Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continue telle que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tous réels $x$ et $y$. Montrer que $f(x)=f(1)x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

6. Vérifier que si $N$ et $N^{\mathrm{\prime }}$ sont deux normes équivalentes sur $E$, elles ont les mêmes parties denses.

On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ d'une norme $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$ quelconque : cet espace étant de dimension finie $n^2$, toutes les normes y sont équivalentes et les notions d'ouvert, de fermé, d'adhérence et de limite ne dépendent pas de ce choix.

1. Justifier que $\det :{\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})\to \mathbb{K}$ est continue.

2. En déduire que ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ est un ouvert de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

3. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. Montrer qu'il existe un entier $k_0⩾1$ tel que

$$A_k=A-\frac{1}{k}{I}_n\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})\text{pour tout }k⩾k_0\mathrm{.}$$

4. En déduire que ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ est dense dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ : toute matrice est limite d'une suite de matrices inversibles.

5. Soit $\mathcal{N}={\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})\setminus {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices non inversibles. Montrer que $\mathcal{N}$ est fermé et que $\mathring{\mathcal{N}}=\mathrm{\varnothing }$.

6. Application classique. Montrer que ${\chi }_{AB}={\chi }_{BA}$ pour toutes matrices $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, où ${\chi }_M(X)=\det (X{I}_n-M)$.

On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ de l'application

$$⟨A,B⟩=\mathrm{t}\mathrm{r}\left({}^{t}AB\right),$$

et on note $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$ la norme associée. On rappelle que

$${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})=\{M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R});{}^{t}MM=I_n\}\mathrm{.}$$

1. Montrer que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ est un produit scalaire sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ et que la norme associée vaut

$$\mathrm{\parallel }A\mathrm{\parallel }=\sqrt{\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}^2}\mathrm{.}$$

2. Montrer que ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ est une partie fermée de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, de deux façons : par une image réciproque, puis par la caractérisation séquentielle.

3. Calculer $\mathrm{\parallel }M\mathrm{\parallel }$ pour $M\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$. En déduire que ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ est bornée, et même incluse dans une sphère que l'on précisera.

4. En déduire que toute fonction réelle continue sur ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ y est bornée et y atteint ses bornes.

5. Montrer que $\underset{M\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})}{\max }\mathrm{t}\mathrm{r}(M)=n$, et que ce maximum est atteint uniquement en $M=I_n$. Que vaut le minimum, et où est-il atteint ?

6. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe $\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ telle que $\mathrm{\parallel }A-\mathrm{\Omega }\mathrm{\parallel }=d(A,{\mathrm{O}}_n(\mathbb{R}))$.

Sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, on pose

$$N(A)=n\underset{1⩽i,j⩽n}{\max }\mid a_{i,j}\mid \mathrm{.}$$

1. Montrer que $N$ est une norme sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

2. Montrer que $N(AB)⩽N(A)N(B)$ pour toutes matrices $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. Le facteur $n$ était-il utile ?

3. En déduire que $N\left(A^k\right)⩽N(A{)}^k$ pour tout entier $k⩾1$.

4. En déduire que si $N(A)<1$, alors la suite ${\left(A^k\right)}_{k⩾1}$ converge vers la matrice nulle.

5. Application numérique. On pose

$$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{4}}& -{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

Calculer $N(A)$ et conclure. Calculer $A^2$ puis $A^4$, et comparer $N\left(A^2\right)$ et $N\left(A^4\right)$ aux majorations de la question 3.

6. Montrer que la condition $N(A)<1$ est suffisante mais pas nécessaire : donner une matrice non nulle $B$ telle que $N(B)⩾1$ et $B^k\to 0$.

On munit ${\mathbb{R}}^n$ d'une norme $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$. Une application $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ est dite coercive lorsque $f(x)$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ quand $\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, c'est-à-dire

$$\mathrm{\forall }M\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }R>0,\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^n,\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }>R⟹f(x)>M\mathrm{.}$$

Pour $R>0$, on note ${\mathcal{B}}_R=B_f(0,R)$ la boule fermée de centre $0$ et de rayon $R$ (l'indice $f$ de $B_f$ signifie ici « fermée », il ne renvoie pas à la fonction $f$).

1. Montrer que ${\mathcal{B}}_R$ est une partie non vide, fermée et bornée de ${\mathbb{R}}^n$.

2. Soit $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ continue et coercive. Montrer que $f$ admet un minimum global sur ${\mathbb{R}}^n$ : il existe $a\in {\mathbb{R}}^n$ tel que $f(a)⩽f(x)$ pour tout $x\in {\mathbb{R}}^n$.

3. On pose $f(x,y)=x^4+y^4-4xy$ sur ${\mathbb{R}}^2$. Montrer que $f$ est coercive.

4. En déduire que $f$ admet un minimum global, puis calculer sa valeur et les points où il est atteint.

5. Donner une fonction continue non coercive qui n'atteint pas sa borne inférieure, sur $\mathbb{R}$ puis sur ${\mathbb{R}}^2$.

On note $E=\mathbb{R}[X]$. Pour un polynôme $P={\sum }_{k=0}^d{a}_k{X}^k$ de $E$, on pose

$$N(P)=\sum _{k=0}^d\mathrm{\mid }{a}_k\mathrm{\mid }\text{et}{N}^{\mathrm{\prime }}(P)=\underset{t\in [0,1]}{\sup }\mathrm{\mid }P(t)\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

1. Justifier que $N(P)$ et $N^{\mathrm{\prime }}(P)$ sont bien définis pour tout $P\in E$, et que $N$ et $N^{\mathrm{\prime }}$ sont deux normes sur $E$.

2. Montrer que $N^{\mathrm{\prime }}(P)⩽N(P)$ pour tout $P\in E$.

3. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $P_n=(X-1{)}^n$. Calculer $N(P_n)$ et $N^{\mathrm{\prime }}(P_n)$. Les normes $N$ et $N^{\mathrm{\prime }}$ sont-elles équivalentes sur $E$ ?

4. On restreint maintenant $N$ et $N^{\mathrm{\prime }}$ au sous-espace ${\mathbb{R}}_1[X]$. Montrer que

$$N^{\mathrm{\prime }}(P)⩽N(P)⩽3N^{\mathrm{\prime }}(P)\text{pour tout }P\in {\mathbb{R}}_1[X],$$

puis montrer que la constante $3$ est la meilleure possible.

5. Pourquoi n'y a-t-il aucune contradiction entre les questions 3 et 4 ? Que peut-on dire de toute constante $C$ vérifiant $N⩽C{N}^{\mathrm{\prime }}$ sur ${\mathbb{R}}_n[X]$ ?

Partie A — en dimension finie.

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé de dimension finie $n⩾1$, de norme $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$, et soit $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_n)$ une base de $E$. Pour $x={\sum }_{i=1}^n{x}_i{e}_i$, on pose $N_{\mathrm{\infty }}(x)={\max }_{1⩽i⩽n}\mathrm{\mid }{x}_i\mathrm{\mid }$.

1. Vérifier que $N_{\mathrm{\infty }}$ est une norme sur $E$.

2. Soit $\phi$ une forme linéaire sur $E$. Montrer qu'il existe $C⩾0$ tel que $\mathrm{\mid }\phi (x)\mathrm{\mid }⩽C{N}_{\mathrm{\infty }}(x)$ pour tout $x\in E$, puis en déduire que $\phi$ est lipschitzienne pour $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$. Conclure que toute forme linéaire sur un espace de dimension finie est continue.

3. En déduire que tout hyperplan de $E$ est une partie fermée de $E$.

4. Soit $p⩾1$. Montrer que $\{M\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{R});\mathrm{t}\mathrm{r}(M)\mathrm{\ne }0\}$ est un ouvert de ${\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$.

Partie B — en dimension infinie.

On munit $E=\mathbb{R}[X]$ de $N^{\mathrm{\prime }}(P)={\sup }_{t\in [0,1]}\mathrm{\mid }P(t)\mathrm{\mid }$, dont on vérifie sans peine que c'est une norme (une fonction polynomiale nulle sur $[0,1]$ a une infinité de racines, donc est nulle). On pose $\phi (P)=P(2)$.

5. Vérifier que $\phi$ est une forme linéaire non nulle sur $E$.

6. Pour $k\in \mathbb{N}$, on pose $Q_k={\left({\displaystyle \frac{X}{2}}\right)}^k$. Calculer $N^{\mathrm{\prime }}(Q_k)$ et $\phi (Q_k)$. En déduire que $\phi$ n'est pas continue sur $(E,N^{\mathrm{\prime }})$.

7. Montrer que $H=\ker \phi$ est un hyperplan de $E$, et qu'il est dense dans $(E,N^{\mathrm{\prime }})$. En déduire que $H$ n'est pas fermé.

8. Commenter le contraste entre les deux parties.

On munit ${\mathbb{R}}^2$ de la norme euclidienne $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$ et on pose

$$A=\{(x,0);x\in \mathbb{R}\}\text{et}B=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;xy=1\}\mathrm{.}$$

1. Montrer que $A$ et $B$ sont deux parties fermées, non vides et disjointes de ${\mathbb{R}}^2$.

2. Justifier l'existence de $m=\inf \{\mathrm{\parallel }a-b{\mathrm{\parallel }}_2;a\in A,b\in B\}$, puis montrer que $m=0$.

3. Montrer qu'aucun couple $(a,b)\in A\times B$ ne réalise ce minimum.

4. Pour $b=(x,\frac{1}{x})$ avec $x\mathrm{\ne }0$, calculer $d(b,A)$. Montrer par ailleurs que, pour deux parties non vides $A$ et $B$ d'un espace vectoriel normé quelconque,

$$\inf \{\mathrm{\parallel }a-b\mathrm{\parallel };a\in A,b\in B\}=\underset{b\in B}{\inf }d(b,A)\mathrm{.}$$

Où est passée la contradiction apparente avec la question 3 ?

5. Soient $E$ un espace vectoriel normé, $F$ une partie fermée non vide de $E$ et $x\in E\setminus F$. Montrer que ${\delta }_F:y\mapsto d(y,F)$ est $1$-lipschitzienne sur $E$, puis que $d(x,F)>0$.

6. Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie. Soient $A^{\mathrm{\prime }}$ une partie non vide, fermée et bornée de $E$, et $B^{\mathrm{\prime }}$ une partie non vide et fermée de $E$, avec $A^{\mathrm{\prime }}\cap B^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{\varnothing }$. Montrer que

$$\inf \{\mathrm{\parallel }a-b\mathrm{\parallel };a\in A^{\mathrm{\prime }},b\in B^{\mathrm{\prime }}\}>0.$$

7. Quelle morale tirer de la comparaison entre les questions 2 et 6 ?

On travaille dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, où $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, muni d'une norme quelconque : l'espace étant de dimension finie $n^2$, toutes les normes y sont équivalentes et les notions d'ouvert, de fermé et d'adhérence ne dépendent pas de ce choix. Pour $r\in \{0,1,\dots ,n\}$, on pose

$${\mathcal{R}}_{⩽r}=\{M;\mathrm{r}\mathrm{g}(M)⩽r\},{\mathcal{R}}_{⩾r}=\{M;\mathrm{r}\mathrm{g}(M)⩾r\},{\mathcal{R}}_r=\{M;\mathrm{r}\mathrm{g}(M)=r\}\mathrm{.}$$

Pour $I$ et $J$ deux parties de $\{1,\dots ,n\}$ de même cardinal $s$, on note $M_{I,J}$ la matrice carrée de taille $s$ obtenue en ne gardant que les lignes indexées par $I$ et les colonnes indexées par $J$, et $\det \left(M_{I,J}\right)$ le mineur correspondant.

1. Soit $s\in \{1,\dots ,n\}$. Montrer que $\mathrm{r}\mathrm{g}(M)⩾s$ si et seulement s'il existe $I$ et $J$ de cardinal $s$ tels que $\det \left(M_{I,J}\right)\mathrm{\ne }0$. En déduire une caractérisation de ${\mathcal{R}}_{⩽r}$ par annulation de mineurs.

2. En déduire que ${\mathcal{R}}_{⩽r}$ est une partie fermée de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, puis que ${\mathcal{R}}_{⩾r}$ en est une partie ouverte.

3. On prend $n=2$, $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ et $r=1$. Montrer que ${\mathcal{R}}_1$ n'est ni fermée, ni ouverte, à l'aide de contre-exemples explicites. Que se passe-t-il pour $0<r<n$ quelconque ?

4. Déterminer $\overline{{\mathcal{R}}_r}$ pour $0⩽r⩽n$.

5. Que donne la question 4 dans le cas $r=n$ ?

Soient $n⩾1$ et $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, de dimension finie $n^2$, de la norme

$$\mathrm{\parallel }M{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=\underset{1⩽i,j⩽n}{\max }\mathrm{\mid }{m}_{i,j}\mathrm{\mid },$$

qui est la norme du maximum des coordonnées dans la base canonique. Toutes les normes de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ étant équivalentes, les notions de convergence et de partie bornée ne dépendront pas de ce choix.

On rappelle (résultat d'algèbre linéaire, non redémontré ici) la formule de la comatrice :

$$M\cdot {}^t\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}(M)={}^t\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}(M)\cdot M=(\det M)I_n,\text{d’o}\grave{\text{u}}{M}^{-1}=\frac{1}{\det M}{}^t\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}(M)\text{ si }M\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K}),$$

le coefficient d'indice $(i,j)$ de $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}(M)$ étant le cofacteur $(-1{)}^{i+j}{\mathrm{\Delta }}_{i,j}(M)$, où ${\mathrm{\Delta }}_{i,j}(M)$ est le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ de $M$.

1. Montrer que $\det$ est continue sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, puis que ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ est un ouvert de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

2. Montrer que chaque coefficient de $M^{-1}$ est le quotient de deux fonctions polynomiales des coefficients de $M$, de dénominateur ne s'annulant pas sur ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$. En déduire que $\iota :M\mapsto M^{-1}$ est continue sur ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$.

3. En déduire que si $(A_k)$ est une suite de ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ convergeant vers une matrice $A$ inversible, alors $A_k^{-1}\to A^{-1}$.

4. Donner un exemple explicite dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ d'une suite de matrices inversibles convergeant vers une matrice non inversible, et calculer la suite des inverses. Que peut-on en dire ?

5. Montrer que pour toute matrice $B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, $\mid \det B\mid ⩽n!\mathrm{\parallel }B{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}^n$.

6. Soit $(A_k)$ une suite de ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ convergeant vers une matrice $A$ non inversible. Montrer que

$${\parallel A_k^{-1}\parallel }_{\mathrm{\infty }}⩾{\left(\frac{1}{n!\mid \det A_k\mid }\right)}^{1\mathrm{/}n},$$

puis que la suite $\left(A_k^{-1}\right)$ n'est pas bornée.

7. Pourquoi ne peut-on pas se contenter de « passer à la limite » dans l'égalité $A_k{A}_k^{-1}=I_n$ ?