Devoir surveillé — Espaces vectoriels normés

Consignes générales, valables pour tout le sujet. Calculatrice interdite. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix ; à l'intérieur de l'exercice 5, en revanche, les parties A, B et C s'enchaînent. La qualité de la rédaction entre dans la notation : tout théorème invoqué doit être cité avec ses hypothèses, et chacune de ces hypothèses doit être vérifiée explicitement sur l'objet auquel on l'applique. Sauf mention contraire, ${\mathbb{R}}^n$ et ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ sont munis d'une norme quelconque : ces espaces étant de dimension finie, aucune des notions employées (partie bornée, ouverte, fermée, suite convergente, fonction continue) ne dépend de ce choix.

Chacune des six affirmations ci-dessous est soit vraie, soit fausse. Pour chacune, écrire vrai ou faux, puis justifier : une démonstration complète si l'affirmation est vraie, un contre-exemple entièrement vérifié si elle est fausse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. (0,5 pt) Si $A$ et $B$ sont deux parties fermées de ${\mathbb{R}}^2$, alors

$$A+B=\{a+b;a\in A,b\in B\}$$

est une partie fermée de ${\mathbb{R}}^2$.

2. (0,5 pt) Si $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ est continue et si $B$ est une partie bornée de $\mathbb{R}$, alors $f^{-1}(B)$ est une partie bornée de ${\mathbb{R}}^2$.

3. (0,5 pt) Une partie dense de ${\mathbb{R}}^2$ est nécessairement non bornée.

4. (0,5 pt) Une partie d'un espace vectoriel normé $E$ qui est à la fois dense et fermée est égale à $E$.

5. (0,5 pt) Si $U$ est une partie ouverte d'un espace vectoriel normé $E$ et si une suite d'éléments de $U$ converge dans $E$, alors sa limite appartient à $U$.

6. (0,5 pt) L'adhérence d'une partie convexe d'un espace vectoriel normé est convexe.

On munit ${\mathbb{R}}^2$ de la norme $\mathrm{\parallel }(x,y){\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=\max (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid })$. Pour une application $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, on appelle graphe de $f$ la partie de ${\mathbb{R}}^2$

$${\mathrm{\Gamma }}_f=\{(x,f(x));x\in \mathbb{R}\}\mathrm{.}$$

1. (0,75 pt) Démontrer que si $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, alors ${\mathrm{\Gamma }}_f$ est une partie fermée de ${\mathbb{R}}^2$.

2. (0,5 pt) Démontrer que, quelle que soit l'application $f$, la partie ${\mathrm{\Gamma }}_f$ n'est jamais bornée. En déduire que le théorème des bornes atteintes ne peut jamais s'appliquer à ${\mathrm{\Gamma }}_f$, et illustrer ce fait dans le cas $f=0$ en exhibant une fonction continue sur ${\mathrm{\Gamma }}_f$ qui n'y est pas bornée.

3. (1,25 pt) On pose désormais

$$f(x)=\frac{1}{x}\text{ si }x\mathrm{\ne }0,f(0)=0.$$

Démontrer que $f$ n'est pas continue en $0$, et que pourtant ${\mathrm{\Gamma }}_f$ est une partie fermée de ${\mathbb{R}}^2$. Que peut-on en conclure sur la réciproque de la question 1 ?

4. (0,5 pt) On suppose de nouveau $f$ continue sur $\mathbb{R}$. Démontrer que les deux parties

$$U=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;y>f(x)\}\text{et}V=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;y<f(x)\}$$

sont des ouverts de ${\mathbb{R}}^2$, et en déduire une seconde démonstration de la question 1.

Soit $n⩾2$ un entier. On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, espace vectoriel de dimension finie $n^2$, de la norme

$$N_{\mathrm{\infty }}(A)=\underset{1⩽i,j⩽n}{\max }\mathrm{\mid }{a}_{i,j}\mathrm{\mid }\text{pour}A=(a_{i,j}{)}_{1⩽i,j⩽n}\mathrm{.}$$

Pour une telle matrice $A$ et pour $i\in \{1,\dots ,n\}$, on note

$$S_i(A)=\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ j\mathrm{\ne }i\end{array}}^n\mathrm{\mid }{a}_{i,j}\mathrm{\mid }$$

la somme des modules des coefficients de la ligne $i$ situés hors de la diagonale. On appelle matrice à diagonale strictement dominante toute matrice $A$ telle que chaque coefficient diagonal l'emporte, en module, sur cette somme, et l'on pose

$$\mathcal{D}=\{A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C});\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\},\mathrm{\mid }{a}_{i,i}\mathrm{\mid }>S_i(A)\}\mathrm{.}$$

1. (0,75 pt) Démontrer que $\mathcal{D}$ est une partie ouverte de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$.

2. (1 pt) Démontrer que toute matrice de $\mathcal{D}$ est inversible. On pourra considérer une colonne $X$ telle que $AX=0$ et un indice $i_0$ en lequel $\mathrm{\mid }{x}_{i_0}\mathrm{\mid }$ est maximal.

3. (0,75 pt) Démontrer que $\mathcal{D}$ n'est ni fermée, ni bornée, ni convexe, en exhibant à chaque fois un contre-exemple explicite.

4. (0,75 pt) Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ quelconque. Démontrer que $A+\lambda I_n\in \mathcal{D}$ pour tout nombre complexe $\lambda$ vérifiant

$$\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }>\underset{1⩽i⩽n}{\max }\sum _{j=1}^n\mathrm{\mid }{a}_{i,j}\mathrm{\mid },$$

et en déduire que $A+\lambda I_n$ est inversible dès que $\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }$ est assez grand.

5. (0,75 pt) Soient $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ et $\lambda$ une valeur propre de $A$. Démontrer qu'il existe un indice $i$ tel que

$$\mathrm{\mid }\lambda -a_{i,i}\mathrm{\mid }⩽S_i(A)\mathrm{.}$$

Application : pour

$$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 1\\ 0& 3& 1\\ 1& 1& -5\end{array}\right),$$

donner trois disques fermés du plan complexe dont la réunion contient toutes les valeurs propres de $A$, et retrouver que $A$ est inversible.

Soit $n⩾1$. On munit ${\mathbb{R}}^n$ de sa base canonique $(e_1,\dots ,e_n)$ et de la norme

$$\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=\underset{1⩽i⩽n}{\max }\mathrm{\mid }{x}_i\mathrm{\mid }\text{pour}x=(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n{x}_i{e}_i\mathrm{.}$$

Dans tout l'exercice, $N$ désigne une norme quelconque sur ${\mathbb{R}}^n$. On note

$$S=\{x\in {\mathbb{R}}^n;\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=1\}$$

la sphère unité de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$.

1. (1 pt) Démontrer qu'il existe un réel $C>0$ tel que $N(x)⩽C\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ pour tout $x\in {\mathbb{R}}^n$, en donnant une valeur explicite de $C$ en fonction des $N(e_i)$. En déduire que $N$ est $C$-lipschitzienne de $({\mathbb{R}}^n,\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }})$ dans $\mathbb{R}$, donc continue.

2. (1,25 pt) Démontrer que $N$ atteint sur $S$ un minimum, noté $\alpha$, et un maximum, noté $\beta$, en vérifiant une à une les hypothèses du théorème utilisé. Démontrer ensuite que $\alpha >0$.

3. (0,75 pt) En déduire que

$$\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^n,\alpha \mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}⩽N(x)⩽\beta \mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }},$$

puis que $\alpha$ est la plus grande constante possible et $\beta$ la plus petite. Quel théorème du cours vient-on de redémontrer, dans le cas particulier où l'une des deux normes est $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ ?

4. (1 pt) On prend $n=2$ et l'on pose, pour $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$,

$$N(x,y)=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

On admet que $N$ est une norme sur ${\mathbb{R}}^2$. Déterminer les valeurs de $\alpha$ et de $\beta$, ainsi que l'ensemble des points de $S$ en lesquels le minimum est atteint. Le point où une borne est atteinte est-il unique ?

Les trois parties s'enchaînent : la partie B utilise la partie A, et la partie C utilise les deux précédentes.

Dans tout ce problème, $E$ désigne ${\mathbb{R}}^n$ muni d'une norme $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$, et $K$ une partie non vide de $E$. Une application $f:K\to K$ est dite strictement contractante sur $K$ lorsque

$$\mathrm{\forall }x,y\in K,x\mathrm{\ne }y⟹\mathrm{\parallel }f(x)-f(y)\mathrm{\parallel }<\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }\mathrm{.}$$

On appelle point fixe de $f$ tout élément $a$ de $K$ tel que $f(a)=a$.

On prendra garde à ce que cette hypothèse ne fournit aucune constante $k<1$ telle que $\mathrm{\parallel }f(x)-f(y)\mathrm{\parallel }⩽k\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$ pour tous $x,y$ : les rapports ${\displaystyle \frac{\mathrm{\parallel }f(x)-f(y)\mathrm{\parallel }}{\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }}}$ sont tous strictement inférieurs à $1$, mais rien n'interdit qu'ils s'approchent de $1$ d'aussi près que l'on veut.

Partie A — Préliminaires

A.1. (0,5 pt) Démontrer que toute application strictement contractante sur $K$ est $1$-lipschitzienne sur $K$, puis qu'elle y est continue.

A.2. (0,5 pt) Soit $f:K\to K$ strictement contractante. Démontrer que l'application

$$g:K⟶\mathbb{R},g(x)=\mathrm{\parallel }f(x)-x\mathrm{\parallel }$$

est continue sur $K$.

A.3. (0,5 pt) Démontrer que $f$ admet au plus un point fixe dans $K$.

Partie B — Existence lorsque $K$ est fermée et bornée

Dans toute cette partie, $K$ est une partie non vide, fermée et bornée de $E$, et $f:K\to K$ est strictement contractante.

B.1. (0,75 pt) Démontrer que $g$ atteint un minimum sur $K$, en vérifiant une à une les hypothèses du théorème utilisé. On note désormais $a$ un point de $K$ en lequel ce minimum est atteint.

B.2. (1 pt) Démontrer que $g(a)=0$. On pourra raisonner par l'absurde et considérer le point $f(a)$.

B.3. (0,25 pt) Énoncer le résultat démontré par les questions A.3, B.1 et B.2.

B.4. (0,5 pt) On munit ${\mathbb{R}}^2$ de sa norme euclidienne $\mathrm{\parallel }(x,y)\mathrm{\parallel }=\sqrt{x^2+y^2}$ et l'on pose $K=S(0,1)$, dont on admet qu'elle est non vide, fermée et bornée. On pose

$$r:{\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^2,r(x,y)=(-y,x)\mathrm{.}$$

Démontrer que $r(K)\subseteq K$, que $\mathrm{\parallel }r(u)-r(v)\mathrm{\parallel }=\mathrm{\parallel }u-v\mathrm{\parallel }$ pour tous $u,v\in {\mathbb{R}}^2$, et que $r$ n'a aucun point fixe dans $K$. Que montre cet exemple sur l'hypothèse de stricte contraction de la partie B ?

Partie C — Le rôle de l'hypothèse « bornée », et un exemple concret

C.1. (0,5 pt) On prend $E=\mathbb{R}$ muni de la valeur absolue, $K=\mathbb{R}$, et

$$\phi (x)=\sqrt{1+x^2}\mathrm{.}$$

Démontrer que $\phi$ est strictement contractante sur $\mathbb{R}$ et qu'elle n'y admet aucun point fixe. Quelle hypothèse de la partie B est ici en défaut ?

C.2. (1,5 pt) On munit ${\mathbb{R}}^2$ de la norme $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ et l'on pose

$$f(x,y)=(\frac{x+y}{3}+\frac{1}{2},\frac{x-y}{4})\mathrm{.}$$

a. Démontrer que $\mathrm{\parallel }f(u)-f(v){\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}⩽{\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{\parallel }u-v{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ pour tous $u,v\in {\mathbb{R}}^2$, puis que $f$ est strictement contractante sur ${\mathbb{R}}^2$.

b. Démontrer que $K=B_f(0,2)$ est non vide, fermée et bornée, et que $f(K)\subseteq K$.

c. En déduire que $f$ admet un unique point fixe dans $K$, puis le déterminer.

d. Démontrer que ce point est le seul point fixe de $f$ dans ${\mathbb{R}}^2$ tout entier.