Exercices — Endomorphismes des espaces euclidiens

On munit ${\mathbb{R}}^n$ de son produit scalaire canonique. On rappelle qu'une matrice $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est orthogonale lorsque $M^{\mathrm{\top }}M=I_n$, et l'on note ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices orthogonales de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

1. Pour chacune des quatre matrices suivantes, dire si elle est orthogonale. On justifiera de deux façons : par le calcul du produit $M^{\mathrm{\top }}M$, puis par la lecture des colonnes de $M$.

2. Calculer le déterminant de chacune des matrices orthogonales trouvées, et préciser celles qui appartiennent à ${\mathrm{S}\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$.

3. Déterminer le réel $\lambda >0$ tel que $\lambda D$ soit orthogonale. La matrice $\lambda D$ appartient-elle à ${\mathrm{S}\mathrm{O}}_3(\mathbb{R})$ ?

4. Soit $N=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$. Existe-t-il un réel $\lambda$ tel que $\lambda N$ soit orthogonale ?

On munit ${\mathbb{R}}^2$ et ${\mathbb{R}}^3$ de leur produit scalaire canonique. On rappelle qu'un endomorphisme $u$ d'un espace euclidien $E$ est une isométrie vectorielle lorsque $\parallel u(x)\parallel =\parallel x\parallel$ pour tout $x\in E$.

1. Pour chacun des quatre endomorphismes suivants, dire s'il s'agit d'une isométrie vectorielle. En cas de réponse négative, exhiber un vecteur explicite dont la norme n'est pas conservée.

2. Soit $E$ un espace euclidien et $\lambda \in \mathbb{R}$. On note $h_{\lambda }$ l'homothétie de rapport $\lambda$, définie par $h_{\lambda }(x)=\lambda x$. Déterminer tous les $\lambda$ pour lesquels $h_{\lambda }$ est une isométrie vectorielle.

3. Soit $u$ une isométrie vectorielle d'un espace euclidien $E$. Montrer que toute valeur propre de $u$ appartient à $\{-1,1\}$. Une isométrie vectorielle possède-t-elle toujours une valeur propre ?

4. Écrire la matrice de chacun des quatre endomorphismes de la question 1 dans la base canonique et retrouver les réponses par le critère matriciel.

On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique $⟨x,y⟩=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$, et l'on note $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ sa base canonique, qui est orthonormée. On considère les trois vecteurs

$$v_1=(1,1,1),v_2=(1,1,0),v_3=(1,0,0)$$

1. Montrer que $(v_1,v_2,v_3)$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$.

2. Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à cette famille : construire une base orthonormée $\mathcal{C}=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3)$ de ${\mathbb{R}}^3$ telle que, pour $k\in \{1,2,3\}$, $\mathrm{Vect}({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_k)=\mathrm{Vect}(v_1,\dots ,v_k)$.

3. Écrire la matrice de passage $P$ de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{C}$, puis vérifier par le calcul que $P^{\mathrm{\top }}P=I_3$. Pourquoi ce résultat était-il prévisible ?

4. En déduire $P^{-1}$ sans effectuer d'inversion de matrice. Calculer $\det P$ et dire si la base $\mathcal{C}$ est directe.

5. Déterminer les coordonnées du vecteur $x=(1,2,3)$ dans la base $\mathcal{C}$, et contrôler le résultat de deux façons.

On munit ${\mathbb{R}}^2$ de son produit scalaire canonique et de son orientation canonique. On rappelle la description de ${\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$ : toute matrice orthogonale $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ est d'un et d'un seul des deux types suivants,

$$R_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\text{avec }\det R_{\theta }=1,S_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)\text{avec }\det S_{\theta }=-1$$

la première étant la matrice de la rotation vectorielle d'angle $\theta$, la seconde celle de la réflexion (symétrie orthogonale) par rapport à une droite.

1. Vérifier que les quatre matrices suivantes sont orthogonales.

2. Pour chacune, calculer le déterminant et conclure : rotation ou réflexion. Dans le cas d'une rotation, déterminer son angle ; dans le cas d'une réflexion, déterminer son axe en résolvant $\mathrm{Ker}(M-I_2)$, et vérifier le résultat sur un vecteur orthogonal à cet axe.

3. La matrice $-I_2$ est orthogonale. Est-ce la matrice d'une rotation ou celle d'une réflexion ?

On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique et de sa base canonique $(e_1,e_2,e_3)$, qui est orthonormée. On considère le plan

$$P=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3;x+y+z=0\}$$

On note $p$ la projection orthogonale sur $P$ et $s$ la symétrie orthogonale par rapport à $P$, c'est-à-dire l'endomorphisme $s=2p-{\mathrm{I}\mathrm{d}}_{{\mathbb{R}}^3}$.

1. Donner un vecteur normal $a$ au plan $P$, puis une base orthonormée de $P$.

2. Montrer que, pour tout $x\in {\mathbb{R}}^3$, $p(x)=x-{\displaystyle \frac{⟨a,x⟩}{\parallel a{\parallel }^2}}a$, et en déduire la matrice $A$ de $p$ dans la base canonique.

3. En déduire la matrice $S$ de $s$ dans la base canonique.

4. Vérifier que $S$ est symétrique, que $S^2=I_3$, que $S$ est orthogonale et que $\det S=-1$. Déterminer les sous-espaces propres de $s$.

5. Calculer $s(1,2,3)$ et $p(1,2,3)$, puis contrôler le résultat par trois vérifications géométriques.

On munit ${\mathbb{R}}^2$ et ${\mathbb{R}}^3$ de leur produit scalaire canonique. On rappelle qu'un endomorphisme $u$ d'un espace euclidien $E$ est autoadjoint lorsque

$$\mathrm{\forall }(x,y)\in E^2,⟨u(x),y⟩=⟨x,u(y)⟩$$

et l'on note $\mathcal{S}(E)$ l'ensemble des endomorphismes autoadjoints de $E$. On considère les trois endomorphismes suivants.

1. Pour chacun de ces trois endomorphismes, déterminer directement, à partir de la définition, s'il est autoadjoint.

2. Écrire la matrice de chacun dans la base canonique et retrouver les réponses de la question 1.

3. On considère l'endomorphisme $u_0$ de ${\mathbb{R}}^2$ dont la matrice dans la base canonique est $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, ainsi que la famille $f_1=(1,0)$, $f_2=(1,1)$. Montrer que $(f_1,f_2)$ est une base de ${\mathbb{R}}^2$ qui n'est pas orthonormée, puis écrire la matrice de $u_0$ dans cette base. Que faut-il en conclure sur la caractérisation matricielle des endomorphismes autoadjoints ?

4. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de l'endomorphisme $u$ de la question a.

On munit ${\mathbb{R}}^2$ de son produit scalaire canonique, pour lequel $⟨X,Y⟩=X^{\mathrm{\top }}Y$ lorsque $X$ et $Y$ sont vus comme des colonnes. On considère les deux matrices symétriques

Le théorème spectral affirme que toute matrice symétrique réelle $M$ s'écrit $M=PD{P}^{\mathrm{\top }}$ avec $D$ diagonale réelle et $P$ orthogonale, autrement dit qu'il existe une base orthonormée de vecteurs propres.

1. Soit $M\in {\mathcal{S}}_2(\mathbb{R})$, et soient $X$ et $Y$ deux vecteurs propres de $M$ associés à deux valeurs propres distinctes $\lambda$ et $\mu$. Montrer que $X$ et $Y$ sont orthogonaux.

2. Diagonaliser $A$ : valeurs propres, sous-espaces propres, puis matrices $P$ orthogonale et $D$ diagonale telles que $A=PD{P}^{\mathrm{\top }}$. Vérifier $P^{\mathrm{\top }}P=I_2$, puis recalculer le produit $PD{P}^{\mathrm{\top }}$.

3. Faire de même avec $B$.

4. Les matrices $P$ obtenues appartiennent-elles à ${\mathrm{S}\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$ ? Comment s'y ramener ?

On rappelle les définitions. Une matrice $M\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ est positive lorsque $X^{\mathrm{\top }}MX⩾0$ pour toute colonne $X\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$, et définie positive lorsque de plus $X^{\mathrm{\top }}MX=0$ entraîne $X=0$. On note ${\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ et ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ les ensembles correspondants. La caractérisation spectrale est la suivante :

$$M\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})⟺\mathrm{S}\mathrm{p}(M)\subset {\mathbb{R}}_{+},M\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})⟺\mathrm{S}\mathrm{p}(M)\subset {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$$

On considère les trois matrices suivantes.

1. Vérifier que ces trois matrices sont symétriques, déterminer leur spectre, et classer chacune d'elles à l'aide de la caractérisation spectrale.

2. Retrouver directement les conclusions concernant $A$ et $B$ en écrivant $X^{\mathrm{\top }}AX$ et $X^{\mathrm{\top }}BX$ comme des sommes de carrés. Pour $C$, exhiber une colonne $X$ telle que $X^{\mathrm{\top }}CX<0$.

3. Soit $M=(m_{i,j})\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$. Montrer que $m_{i,i}⩾0$ pour tout $i$. La réciproque est-elle vraie, autrement dit une matrice symétrique à coefficients diagonaux positifs est-elle positive ?

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$, muni du produit scalaire $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et de la norme associée $\parallel x\parallel =\sqrt{⟨x,x⟩}$. Soit $u$ un endomorphisme de $E$, soit $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_n)$ une base orthonormée de $E$, et soit $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)$. On considère les quatre assertions

• (i) pour tout $x\in E$, $\parallel u(x)\parallel =\parallel x\parallel$ ;
• (ii) pour tous $x,y\in E$, $⟨u(x),u(y)⟩=⟨x,y⟩$ ;
• (iii) la famille $(u(e_1),\dots ,u(e_n))$ est une base orthonormée de $E$ ;
• (iv) $A^{\mathrm{\top }}A=I_n$.

1. Établir l'identité de polarisation : pour tous $x,y\in E$,

$$⟨x,y⟩=\frac{1}{2}(\parallel x+y{\parallel }^2-\parallel x{\parallel }^2-\parallel y{\parallel }^2)$$

2. Montrer que (i) et (ii) sont équivalentes.

3. Montrer que (ii) et (iii) sont équivalentes.

4. Montrer que (iii) et (iv) sont équivalentes.

5. En déduire qu'une isométrie vectorielle est bijective, et que sa réciproque est encore une isométrie vectorielle.

6. Montrer, par un contre-exemple explicite en dimension $2$, que l'hypothèse « $\parallel u(e_i)\parallel =\parallel e_i\parallel$ pour tout $i$ » ne suffit pas à faire de $u$ une isométrie vectorielle.

Le plan $E={\mathbb{R}}^2$ est muni de son produit scalaire canonique et orienté par la base orthonormée directe $\mathcal{B}=(e_1,e_2)$.

Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, on pose

$$u_{\alpha }=\cos \alpha e_1+\sin \alpha e_2,v_{\alpha }=-\sin \alpha e_1+\cos \alpha e_2$$

et on note $D_{\alpha }=\mathrm{Vect}\left(u_{\alpha }\right)$ la droite dirigée par $u_{\alpha }$, puis $s_{\alpha }$ la réflexion d'axe $D_{\alpha }$, c'est-à-dire la symétrie orthogonale par rapport à $D_{\alpha }$. Enfin, $r_{\theta }$ désigne la rotation vectorielle d'angle $\theta$, de matrice

$$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

dans la base $\mathcal{B}$.

1. Montrer que la matrice de $s_{\alpha }$ dans $\mathcal{B}$ est

$$S(\alpha )=\left(\begin{array}{cc}\cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{array}\right)$$

Vérifier que $S(\alpha {)}^{\mathrm{\top }}S(\alpha )=I_2$, que $\det S(\alpha )=-1$ et que $S(\alpha {)}^2=I_2$.

2. Soient ${\alpha }_1$ et ${\alpha }_2$ deux réels, $S_1=S\left({\alpha }_1\right)$ et $S_2=S\left({\alpha }_2\right)$. Calculer $S_1{S}_2$ et $S_2{S}_1$, et reconnaître les isométries correspondantes.

3. En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur ${\alpha }_1-{\alpha }_2$ pour que $s_{{\alpha }_1}$ et $s_{{\alpha }_2}$ commutent. Interpréter géométriquement.

4. Application numérique avec ${\alpha }_1={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ et ${\alpha }_2={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ : écrire $S_1$ et $S_2$, calculer les deux produits coefficient par coefficient et identifier les angles obtenus.

5. Décomposer la rotation $r_{\pi \mathrm{/}2}$ en produit de deux réflexions. Le couple de réflexions obtenu est-il unique ?

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾2$, dont le produit scalaire est noté $⟨x,y⟩$ et la norme $\parallel x\parallel$. Soit $a\in E$ un vecteur non nul et $H=a^{\perp }$ l'hyperplan orthogonal à $a$. On définit l'application

$$s:E⟶E,s(x)=x-2{\displaystyle \frac{⟨a,x⟩}{\parallel a{\parallel }^2}}a$$

1. Montrer que $s$ est un endomorphisme de $E$.

2. Calculer $s(a)$, et montrer que $s(x)=x$ pour tout $x\in H$. Que représente géométriquement $s$ ?

3. Calculer $\parallel s(x){\parallel }^2$ pour $x\in E$ quelconque et en déduire que $s$ est une isométrie de $E$.

4. Montrer que $s\circ s={\mathrm{I}\mathrm{d}}_E$.

5. Montrer que $s$ est autoadjointe, c'est-à-dire que $⟨s(x),y⟩=⟨x,s(y)⟩$ pour tous $x,y\in E$.

6. Application numérique. On prend $E={\mathbb{R}}^3$ muni de son produit scalaire canonique, rapporté à sa base canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$, qui est orthonormée, et $a=(2,-1,2)$. Déterminer $H$, écrire la matrice $S$ de $s$ dans $\mathcal{B}$, puis vérifier que $S$ est symétrique, que $S^{\mathrm{\top }}S=I_3$, que $\det S=-1$ et que $\mathrm{tr}(S)=n-2$.

7. Revenons au cas général. Déterminer $\det (s)$ et $\mathrm{tr}(s)$ en dimension $n$ quelconque, en utilisant une base orthonormée adaptée.

L'espace ${\mathbb{R}}^3$ est muni de son produit scalaire canonique et de sa base canonique, qui est orthonormée. On identifie un vecteur de ${\mathbb{R}}^3$ à la matrice colonne de ses coordonnées. On pose

$$C_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$$

1. Rappeler la caractérisation d'une matrice orthogonale $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ par ses colonnes. Vérifier que $C_1$ peut être la première colonne d'une telle matrice.

2. Déterminer une colonne $C_2$ unitaire et orthogonale à $C_1$, dont les coefficients sont des tiers d'entiers.

3. Déterminer toutes les colonnes $C_3$ telles que $A=\left(\begin{array}{ccc}{C}_1& C_2& C_3\end{array}\right)$ soit orthogonale, puis choisir celle pour laquelle $\det A=1$. Vérifier alors $A^{\mathrm{\top }}A=I_3$ et $\det A=1$ par le calcul.

4. Soient $A,B\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $AB\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$, que $A$ est inversible avec $A^{-1}=A^{\mathrm{\top }}\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$, et que $\det A\in \{-1,1\}$. La réciproque de ce dernier point est-elle vraie ? Donner une matrice de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ de déterminant $1$ qui n'est pas orthogonale.

5. Montrer que tous les coefficients d'une matrice de ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ appartiennent à $[-1,1]$. Étudier le cas d'égalité.

L'espace ${\mathbb{R}}^3$ est muni de son produit scalaire canonique et orienté par sa base canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$, qui est orthonormée directe. On identifie un vecteur à la colonne de ses coordonnées, et on note $u\wedge v$ le produit vectoriel de deux vecteurs. On pose

$$A={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ 2& 2& -1\\ -1& 2& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

et on note $f$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ de matrice $A$ dans $\mathcal{B}$.

1. Vérifier que $A^{\mathrm{\top }}A=I_3$ et que $\det A=1$. Qu'en déduit-on sur $f$ ?

2. Déterminer l'axe de $f$, c'est-à-dire $\mathrm{Ker}(A-I_3)$, et vérifier qu'il s'agit bien d'une droite vectorielle.

3. Déterminer une mesure $\theta$ de l'angle de $f$ : d'abord $\cos \theta$ grâce à la relation $\mathrm{tr}(A)=1+2\cos \theta$, puis le signe de $\sin \theta$ grâce au produit mixte $\det (a,x,f(x))$, où $a$ oriente l'axe et où $x$ n'est pas colinéaire à $a$.

4. On pose $B=-A$. Montrer que $B$ est orthogonale, calculer $\det B$, et justifier que $B$ n'est ni une rotation ni une réflexion. Décrire enfin l'endomorphisme $g$ associé à $B$ en écrivant sa matrice dans une base orthonormée directe adaptée.

L'espace ${\mathbb{R}}^3$ est muni de son produit scalaire canonique et de sa base canonique, qui est orthonormée. On identifie un vecteur à la colonne de ses coordonnées. On considère

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ -1& 5& -1\\ 1& -1& 3\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

1. Justifier, sans aucun calcul, que $A$ est diagonalisable dans une base orthonormée de ${\mathbb{R}}^3$.

2. Calculer le polynôme caractéristique de $A$, le factoriser, et en déduire $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)$.

3. Déterminer une base de chaque sous-espace propre de $A$.

4. Vérifier que les trois vecteurs propres obtenus sont deux à deux orthogonaux. Pourquoi était-ce prévisible ?

5. En déduire une matrice $P\in {\mathrm{O}}_3(\mathbb{R})$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A=PD{P}^{\mathrm{\top }}$. Vérifier $P^{\mathrm{\top }}P=I_3$.

6. Vérifier l'égalité $AP=PD$ en calculant les deux membres colonne par colonne.

L'espace ${\mathbb{R}}^3$ est muni de son produit scalaire canonique et de sa base canonique, qui est orthonormée. On identifie un vecteur à la colonne de ses coordonnées. On considère

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

1. Vérifier que $4$ est valeur propre de $A$ et déterminer $E_4(A)$.

2. Déterminer $E_1(A)=\mathrm{Ker}(A-I_3)$ et sa dimension. En déduire, sans calculer le polynôme caractéristique, que ${\chi }_A(X)=(X-4)(X-1{)}^2$.

3. Vérifier que $E_4(A)$ et $E_1(A)$ sont orthogonaux. La base de $E_1(A)$ obtenue à la question 2 est-elle orthogonale ?

4. Orthonormaliser cette base de $E_1(A)$ par le procédé de Gram-Schmidt, en détaillant les calculs.

5. En déduire $P\in {\mathrm{O}}_3(\mathbb{R})$ et $D$ diagonale telles que $P^{\mathrm{\top }}AP=D$. Vérifier l'égalité.

6. Montrer que $P$ n'est pas unique en exhibant une autre matrice orthogonale $P^{\mathrm{\prime }}$ convenant pour la même matrice $D$. Que peut-on dire, en revanche, de l'unicité de $D$ ?

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$, de produit scalaire $⟨x,y⟩$ et de norme $\parallel x\parallel$.

On appelle projecteur de $E$ tout endomorphisme $p$ de $E$ vérifiant $p\circ p=p$, et projecteur orthogonal tout projecteur $p$ tel que $\mathrm{Ker}p={(\mathrm{Im}p)}^{\perp }$, c'est-à-dire la projection orthogonale sur $\mathrm{Im}p$.

1. Soit $p$ un projecteur de $E$. Montrer que $p(x)=x$ pour tout $x\in \mathrm{Im}p$, puis que $E=\mathrm{Ker}p\oplus \mathrm{Im}p$.

2. Démontrer le théorème suivant : un projecteur $p$ de $E$ est un projecteur orthogonal si et seulement si $p$ est autoadjoint, c'est-à-dire si et seulement si $⟨p(x),y⟩=⟨x,p(y)⟩$ pour tous $x,y\in E$.

3. Application. Dans ${\mathbb{R}}^3$ muni de son produit scalaire canonique et de sa base canonique (orthonormée), on pose

$$M={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{ccc}5& -1& -2\\ -1& 5& -2\\ -2& -2& 2\end{array}\right)$$

Vérifier que $M^2=M$ et que $M^{\mathrm{\top }}=M$. Que peut-on en conclure ?

4. Déterminer $\mathrm{Ker}p$ et $\mathrm{Im}p$, où $p$ est l'endomorphisme de matrice $M$, et vérifier directement qu'ils sont orthogonaux.

5. Calculer la distance du vecteur $b=(1,2,3)$ au sous-espace $\mathrm{Im}p$.

6. Donner une matrice $M_0\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ vérifiant $M_0^2=M_0$ mais dont le projecteur associé n'est pas orthogonal. Le vérifier en explicitant son image et son noyau.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$, de produit scalaire $⟨x,y⟩$ et de norme $\parallel x\parallel$. On rappelle qu'un endomorphisme $u$ de $E$ est une isométrie vectorielle (on note $u\in \mathrm{O}(E)$) lorsque $\parallel u(x)\parallel =\parallel x\parallel$ pour tout $x\in E$, ce qui équivaut à $⟨u(x),u(y)⟩=⟨x,y⟩$ pour tous $x,y\in E$.

Soit $u\in \mathrm{O}(E)$ et soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$, c'est-à-dire tel que $u(F)\subset F$.

1. Montrer que $u$ est injective, puis que l'endomorphisme induit $u_{\mathrm{\mid }F}:F\to F$ est un automorphisme de $F$. En déduire que $u(F)=F$.

2. Montrer que $F^{\perp }$ est stable par $u$. Où l'égalité $u(F)=F$ intervient-elle ?

3. Montrer que $u_{\mathrm{\mid }F}$ est une isométrie de $F$, et de même pour $u_{\mathrm{\mid }{F}^{\perp }}$.

4. Contre-exemple. Dans ${\mathbb{R}}^2$ muni de son produit scalaire canonique et de sa base canonique $(e_1,e_2)$, on considère l'endomorphisme $v$ de matrice

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$$

Montrer que $F=\mathrm{Vect}\left(e_1\right)$ est stable par $v$, mais que $F^{\perp }$ ne l'est pas. Pourquoi cela ne contredit-il pas la question 2 ?

5. Application. Soit $u$ une isométrie de ${\mathbb{R}}^3$ admettant $1$ pour valeur propre, et soit $a$ un vecteur propre associé. Montrer que le plan $a^{\perp }$ est stable par $u$ et que $u$ induit sur ce plan une isométrie.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$, de produit scalaire $⟨x,y⟩$. On rappelle qu'un endomorphisme $u$ de $E$ est autoadjoint (on note $u\in \mathcal{S}(E)$) lorsque

$$⟨u(x),y⟩=⟨x,u(y)⟩\text{pour tous }x,y\in E$$

Dans les questions 1 à 3, $u$ désigne un endomorphisme autoadjoint de $E$.

1. Soient $\lambda$ et $\mu$ deux valeurs propres distinctes de $u$. Montrer que les sous-espaces propres $E_{\lambda }(u)$ et $E_{\mu }(u)$ sont orthogonaux.

2. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$. Montrer que $F^{\perp }$ est stable par $u$.

3. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$. Montrer que l'endomorphisme induit $u_{\mathrm{\mid }F}$ est un endomorphisme autoadjoint de $F$.

4. Application numérique. Dans ${\mathbb{R}}^3$ muni de son produit scalaire canonique et de sa base canonique (orthonormée), on considère

$$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& -1\\ 0& 4& 1\\ -1& 1& 5\end{array}\right)$$

et l'on admet que $4$ et $3$ sont valeurs propres de $A$.

a. Justifier que l'endomorphisme $u$ canoniquement associé à $A$ est autoadjoint.

b. Vérifier que $v_1=(1,1,0)$ engendre $E_4(u)$ et que $v_2=(1,-1,1)$ engendre $E_3(u)$, puis contrôler leur orthogonalité.

c. Sans calculer le polynôme caractéristique, déterminer le troisième sous-espace propre de $A$ et la valeur propre associée. On utilisera l'orthogonalité et la trace.

d. Écrire une matrice $P\in {\mathrm{O}}_3(\mathbb{R})$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A=PD{P}^{\mathrm{\top }}$.

On munit ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ du produit scalaire canonique $⟨X,Y⟩=X^{\mathrm{\top }}Y$ et de la norme associée $\parallel X\parallel =\sqrt{X^{\mathrm{\top }}X}$. On rappelle les définitions

$${\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})=\{S\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R});\mathrm{\forall }X\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R}),X^{\mathrm{\top }}SX⩾0\}$$ $${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})=\{S\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R});\mathrm{\forall }X\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R}),X\mathrm{\ne }0⟹X^{\mathrm{\top }}SX>0\}$$

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

1. Montrer que $A^{\mathrm{\top }}A$ est symétrique.

2. Montrer que pour toute colonne $X\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ on a $X^{\mathrm{\top }}\left(A^{\mathrm{\top }}A\right)X=\parallel AX{\parallel }^2$. En déduire que $A^{\mathrm{\top }}A\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$.

3. Montrer que $\mathrm{Ker}\left(A^{\mathrm{\top }}A\right)=\mathrm{Ker}(A)$, puis que $A^{\mathrm{\top }}A\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ si et seulement si $A$ est inversible.

4. En déduire que $\mathrm{rg}\left(A^{\mathrm{\top }}A\right)=\mathrm{rg}(A)$.

5. Les questions 1 à 4 s'adaptent mot pour mot à une matrice rectangulaire $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$, pour laquelle $A^{\mathrm{\top }}A$ appartient à ${\mathcal{S}}_p(\mathbb{R})$. Le vérifier sur l'exemple

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

en calculant $A^{\mathrm{\top }}A$, ses valeurs propres, et en concluant sur son appartenance à ${\mathcal{S}}_2^{+}(\mathbb{R})$ ou ${\mathcal{S}}_2^{++}(\mathbb{R})$.

6. Montrer, sans utiliser le théorème spectral, que toute valeur propre de $A^{\mathrm{\top }}A$ est positive. Montrer enfin que $\mathrm{tr}\left(A^{\mathrm{\top }}A\right)$ est la somme des carrés de tous les coefficients de $A$, et le vérifier sur l'exemple de la question 5.

Soit $n⩾2$. On note $J\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$, et $U\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ la colonne dont toutes les coordonnées valent $1$. On munit ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ du produit scalaire canonique $⟨X,Y⟩=X^{\mathrm{\top }}Y$ et de la norme associée $\parallel X\parallel =\sqrt{X^{\mathrm{\top }}X}$, pour lesquels la base canonique est orthonormée. On note enfin $H$ l'hyperplan

$$H=\{X\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R});x_1+\cdots +x_n=0\}$$

Rappels. Pour toute colonne $X$ de coordonnées $x_1,\dots ,x_n$, la $i$-ième coordonnée de $JX$ vaut $x_1+\cdots +x_n$ quel que soit $i$, autrement dit $JX=(x_1+\cdots +x_n)U$. On en déduit $J^2=nJ$, puis $\mathrm{S}\mathrm{p}(J)=\{0,n\}$ avec $\mathrm{Ker}J=E_0(J)=H$ de dimension $n-1$, et $E_n(J)=\mathrm{Vect}(U)$ de dimension $1$. On admet ces résultats, établis dans le chapitre « Algèbre linéaire » : le présent exercice ne les redémontre pas et se place uniquement du point de vue euclidien.

1. Justifier que $J$ est symétrique et que le théorème spectral s'applique. Retrouver, sans calcul, que $H=\mathrm{Vect}(U{)}^{\perp }$, et vérifier que les deux sous-espaces propres de $J$ sont orthogonaux, comme le prévoit le théorème spectral.

2. Montrer que $P={\displaystyle \frac{1}{n}}J$ est la matrice de la projection orthogonale sur la droite $\mathrm{Vect}(U)$. On vérifiera $P^2=P$ et $P^{\mathrm{\top }}=P$, et on identifiera $\mathrm{Im}P$ et $\mathrm{Ker}P$.

3. On pose $X_0=(1,2,\dots ,n{)}^{\mathrm{\top }}$. Calculer la distance de $X_0$ à l'hyperplan $H$, ainsi que le projeté orthogonal de $X_0$ sur $H$. Détailler le cas $n=4$.

4. Soit $X$ une colonne quelconque. En appliquant le théorème de Pythagore à la décomposition de $X$ associée à $P$, établir l'inégalité

$$(x_1+\cdots +x_n{)}^2⩽n(x_1^2+\cdots +x_n^2)$$

et déterminer ses cas d'égalité. Interpréter l'écart entre les deux membres, puis contrôler le tout sur $X_0=(1,2,3,4{)}^{\mathrm{\top }}$.

5. Soient $a$ et $b$ deux réels. Montrer que $a{I}_n+bJ$ appartient à ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ si et seulement si $a>0$ et $a+nb>0$. Application : pour quelles valeurs du réel $t$ la matrice de ${\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ dont les coefficients diagonaux valent $1$ et tous les autres valent $t$ est-elle définie positive ?

On munit ${\mathbb{R}}^n$ de son produit scalaire canonique, pour lequel la base canonique est une base orthonormée. On rappelle que, si $F$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^n$, tout vecteur $x$ s'écrit de façon unique $x=x_F+x_{F^{\perp }}$ avec $x_F\in F$ et $x_{F^{\perp }}\in F^{\perp }$, et que la symétrie orthogonale par rapport à $F$ est l'endomorphisme $s$ défini par $s(x)=x_F-x_{F^{\perp }}$.

Soit $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})\cap {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$, c'est-à-dire une matrice vérifiant à la fois $A^{\mathrm{\top }}=A$ et $A^{\mathrm{\top }}A=I_n$. On note $u$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^n$ canoniquement associé à $A$.

1. Montrer que $A^2=I_n$.

2. En déduire que $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\subseteq \{-1,1\}$.

3. On pose $F=\mathrm{Ker}(A-I_n)$ et $G=\mathrm{Ker}(A+I_n)$.

a. À l'aide du théorème spectral, montrer que ${\mathbb{R}}^n=F\oplus G$.

b. Montrer que $F$ et $G$ sont orthogonaux, puis que $G=F^{\perp }$.

c. En déduire que $u$ est la symétrie orthogonale par rapport à $F$.

4. Réciproquement, soit $s$ la symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace $F$ de ${\mathbb{R}}^n$, et $S$ sa matrice dans la base canonique. Montrer que $S\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})\cap {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$.

5. Application. On pose

$$A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1& -2& -2\\ -2& 1& -2\\ -2& -2& 1\end{array}\right)$$

a. Vérifier que $A\in {\mathcal{S}}_3(\mathbb{R})\cap {\mathrm{O}}_3(\mathbb{R})$.

b. Déterminer $F=\mathrm{Ker}(A-I_3)$ et $F^{\perp }$, en donner une base, et identifier la symétrie orthogonale correspondante.

c. Vérifier la relation $\mathrm{tr}(A)=\dim F-\dim F^{\perp }$, ainsi que la valeur de $\det A$.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$, de produit scalaire $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et de norme $\parallel \cdot \parallel$. Soit $u\in \mathcal{S}(E)$ un endomorphisme autoadjoint, c'est-à-dire vérifiant

$$\mathrm{\forall }x,y\in E,⟨u(x),y⟩=⟨x,u(y)⟩$$

D'après le théorème spectral, il existe une base orthonormée $(e_1,\dots ,e_n)$ de $E$ formée de vecteurs propres de $u$. On note ${\lambda }_1⩽{\lambda }_2⩽\cdots ⩽{\lambda }_n$ les valeurs propres associées, rangées dans l'ordre croissant et répétées selon leur multiplicité, de sorte que $u\left(e_i\right)={\lambda }_i{e}_i$ pour tout $i$.

On rappelle enfin que

$${\mathcal{S}}^{+}(E)=\{u\in \mathcal{S}(E);\mathrm{\forall }x\in E,⟨u(x),x⟩⩾0\}$$ $${\mathcal{S}}^{++}(E)=\{u\in \mathcal{S}(E);\mathrm{\forall }x\in E,x\mathrm{\ne }0⟹⟨u(x),x⟩>0\}$$

1. Soit $x\in E$, de coordonnées $(x_1,\dots ,x_n)$ dans la base $(e_1,\dots ,e_n)$. Exprimer $\parallel x{\parallel }^2$ et $⟨u(x),x⟩$ en fonction des $x_i$ et des ${\lambda }_i$, puis établir l'encadrement

$${\lambda }_1\parallel x{\parallel }^2⩽⟨u(x),x⟩⩽{\lambda }_n\parallel x{\parallel }^2$$

2. Montrer que ces deux bornes sont atteintes, et caractériser les vecteurs $x$ pour lesquels il y a égalité, à gauche puis à droite.

3. En déduire que

$${\lambda }_n=\underset{\parallel x\parallel =1}{\max }⟨u(x),x⟩\text{et}{\lambda }_1=\underset{\parallel x\parallel =1}{\min }⟨u(x),x⟩$$

4. En déduire une caractérisation de ${\mathcal{S}}^{+}(E)$ et de ${\mathcal{S}}^{++}(E)$ à l'aide du spectre.

5. Application. On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique et on pose

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ 1& 3& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$

Déterminer le maximum et le minimum de $X^{\mathrm{\top }}AX$ lorsque $X$ décrit la sphère unité de ${\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$, ainsi que les vecteurs qui les réalisent. La matrice $A$ est-elle définie positive ?

6. Question courte : encadrer $\mathrm{tr}(u)$ à l'aide de ${\lambda }_1$ et ${\lambda }_n$, et le vérifier sur l'exemple de la question 5.

Sur l'espace vectoriel ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, de dimension $n^2$, on pose

$$⟨A,B⟩=\mathrm{tr}\left(A^{\mathrm{\top }}B\right)$$

On note ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices symétriques et ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices antisymétriques, c'est-à-dire vérifiant $M^{\mathrm{\top }}=-M$. On rappelle que $\mathrm{tr}\left(M^{\mathrm{\top }}\right)=\mathrm{tr}(M)$ pour toute matrice carrée $M$.

1. Montrer que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ est un produit scalaire sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. On établira au passage la formule

$$⟨A,B⟩=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}{b}_{i,j}$$

où $A=\left(a_{i,j}\right)$ et $B=\left(b_{i,j}\right)$. On note $\parallel A\parallel =\sqrt{⟨A,A⟩}$ la norme associée.

2. Donner une base orthonormée de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ pour ce produit scalaire.

3. Montrer que ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ et ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$ sont orthogonaux et supplémentaires dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, autrement dit que ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})={\mathcal{S}}_n(\mathbb{R}{)}^{\perp }$. Préciser leurs dimensions.

4. Écrire la décomposition de

$$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

en une partie symétrique et une partie antisymétrique, puis vérifier le théorème de Pythagore sur cet exemple.

5. Montrer que pour toute $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$,

$$\mid \mathrm{tr}(A)\mid ⩽\sqrt{n}\parallel A\parallel$$

et préciser le cas d'égalité. Vérifier l'inégalité sur la matrice $M$ de la question 4.

On munit ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ du produit scalaire canonique $⟨X,Y⟩=X^{\mathrm{\top }}Y$. On rappelle la caractérisation spectrale : une matrice $S\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ appartient à ${\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives.

1. Soit $S\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$. À l'aide du théorème spectral, construire une matrice $R\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ telle que $R^2=S$. On dit que $R$ est une racine carrée positive de $S$.

2. Unicité. Soit $R^{\mathrm{\prime }}$ une autre matrice de ${\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ telle que $R^{\mathrm{\prime }2}=S$.

a. Montrer que $R^{\mathrm{\prime }}S=S{R}^{\mathrm{\prime }}$.

b. En déduire que chaque sous-espace propre de $S$ est stable par l'endomorphisme canoniquement associé à $R^{\mathrm{\prime }}$.

c. Soit $\lambda \in \mathrm{S}\mathrm{p}(S)$. Montrer que la restriction de cet endomorphisme à $E_{\lambda }(S)$ est l'homothétie de rapport $\sqrt{\lambda }$.

d. Conclure que $R^{\mathrm{\prime }}=R$ : la racine carrée positive est unique.

3. Application. Calculer la racine carrée positive de

$$S=\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 4\\ 0& 9& 0\\ 4& 0& 5\end{array}\right)$$

en détaillant la réduction, et vérifier le résultat en recalculant $R^2$.

4. Question courte : que devient l'énoncé si l'on suppose seulement $S\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ ? Donner un contre-exemple explicite.

On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique et de l'orientation pour laquelle la base canonique $(e_1,e_2,e_3)$ est directe. On note $\wedge$ le produit vectoriel. On rappelle que si $(a,v,w)$ est une base orthonormée directe, la matrice dans cette base de la rotation d'axe $\mathrm{Vect}(a)$ orienté par $a$ et d'angle $\theta$ est

$$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

Soit $r$ la rotation d'axe dirigé et orienté par le vecteur unitaire

$$a=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$$

et d'angle $\theta$.

1. Vérifier que $a$ est unitaire, puis construire une base orthonormée directe $(a,v,w)$ de ${\mathbb{R}}^3$ en explicitant les calculs.

2. Écrire la matrice de $r$ dans la base $(a,v,w)$.

3. On prend désormais $\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$. Déterminer la matrice $A$ de $r$ dans la base canonique, en détaillant entièrement le changement de base $A=PM{P}^{\mathrm{\top }}$.

4. Vérifier le résultat de quatre façons : $A$ est orthogonale, $\det A=1$, $\mathrm{tr}(A)=1+2\cos \theta$, et $A$ fixe le vecteur $a$.

5. Question courte : que vaut $r^3$ ? Le vérifier sur la matrice $A$.

On munit ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ du produit scalaire canonique $⟨X,Y⟩=X^{\mathrm{\top }}Y$ et de la norme associée $\parallel X\parallel =\sqrt{X^{\mathrm{\top }}X}$.

Soient $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$ de rang $p$ (avec $p⩽n$) et $B\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$. Le système $AX=B$ n'a en général pas de solution : on cherche donc $X\in {\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{R})$ rendant $\parallel AX-B\parallel$ minimal. C'est le problème des moindres carrés.

1. Montrer que l'ensemble $\{AX;X\in {\mathcal{M}}_{p,1}(\mathbb{R})\}$ est le sous-espace $\mathrm{Im}(A)$ engendré par les colonnes de $A$. En déduire, géométriquement, que le minimum cherché existe et vaut la distance de $B$ à $\mathrm{Im}(A)$, atteinte lorsque $AX$ est la projection orthogonale de $B$ sur $\mathrm{Im}(A)$.

2. Montrer qu'une colonne $Y$ est orthogonale à $\mathrm{Im}(A)$ si et seulement si $A^{\mathrm{\top }}Y=0$. En déduire que

$$X\text{ r}\acute{\text{e}}\text{alise le minimum}⟺A^{\mathrm{\top }}AX=A^{\mathrm{\top }}B$$

Ce système est appelé système des équations normales.

3. Montrer que $A^{\mathrm{\top }}A\in {\mathcal{S}}_p^{++}(\mathbb{R})$, et en déduire que la solution du problème est unique.

4. Application. On cherche la droite d'équation $y=ax+b$ qui ajuste au mieux, au sens des moindres carrés, les quatre points

$$(0,1),(1,2),(2,2),(3,4)$$

Écrire $A$ et $B$, calculer $A^{\mathrm{\top }}A$ et $A^{\mathrm{\top }}B$, résoudre le système $2\times 2$, donner l'équation de la droite et calculer le résidu $\parallel AX-B\parallel$.

5. Vérifier sur cet exemple que le résidu $AX-B$ est bien orthogonal aux deux colonnes de $A$.

On munit ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ du produit scalaire canonique $⟨X,Y⟩=X^{\mathrm{\top }}Y$ et de la norme associée. Une matrice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est dite antisymétrique lorsque $A^{\mathrm{\top }}=-A$.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ antisymétrique.

1. Montrer que $X^{\mathrm{\top }}AX=0$ pour toute colonne $X\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$. On pourra remarquer que $X^{\mathrm{\top }}AX$ est une matrice de taille $1\times 1$, donc égale à sa transposée.

2. En déduire que $I_n+A$ est inversible. On calculera $X^{\mathrm{\top }}(I_n+A)X$ pour $X$ dans le noyau. Montrer de même que $I_n-A$ est inversible.

3. On pose $Q=(I_n-A){(I_n+A)}^{-1}$, appelée transformée de Cayley de $A$.

a. Montrer que $I_n-A$ et ${(I_n+A)}^{-1}$ commutent.

b. Calculer $Q^{\mathrm{\top }}$, puis $Q^{\mathrm{\top }}Q$. Conclure que $Q\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$.

c. Montrer que $\det Q=1$, autrement dit $Q\in {\mathrm{S}\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$.

4. Montrer que $-1$ n'est pas valeur propre de $Q$.

5. Application. On prend $n=3$ et

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -1& 0& 1\\ 0& -1& 0\end{array}\right)$$

Calculer ${(I_3+A)}^{-1}$ puis $Q$ entièrement, et vérifier directement que $Q^{\mathrm{\top }}Q=I_3$ et $\det Q=1$.

6. Question courte : quelles sont les matrices à la fois symétriques et antisymétriques ?

Sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, on pose

$$⟨A,B⟩=\mathrm{tr}\left(A^{\mathrm{\top }}B\right)$$

On admettra que c'est un produit scalaire ; on notera $\parallel \cdot \parallel$ la norme associée. On note ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices symétriques et ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices antisymétriques, c'est-à-dire des matrices $A$ vérifiant $A^{\mathrm{\top }}=-A$.

On note enfin $p$ l'application définie sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ par

$$p(M)={\displaystyle \frac{1}{2}}(M+M^{\mathrm{\top }})$$

1. a. Montrer que $p$ est un endomorphisme de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, que $p\circ p=p$ et que $\mathrm{Im}(p)={\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$.

b. Montrer que $p$ est le projecteur orthogonal sur ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$. On pourra au choix vérifier que le résidu $M-p(M)$ est orthogonal à ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$, ou bien que $p$ est autoadjoint pour ce produit scalaire, c'est-à-dire que $⟨p(M),N⟩=⟨M,p(N)⟩$ pour toutes matrices $M$ et $N$.

c. En déduire que ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})={\mathcal{S}}_n(\mathbb{R}{)}^{\perp }$.

2. En déduire, pour $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, la valeur de la distance

$$d(M,{\mathcal{S}}_n(\mathbb{R}))=\underset{S\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})}{\min }\parallel M-S\parallel$$

d'abord sous la forme $\frac{1}{2}\parallel M-M^{\mathrm{\top }}\parallel$, puis sous une forme ne faisant intervenir que $\mathrm{tr}\left(M^{\mathrm{\top }}M\right)$ et $\mathrm{tr}\left(M^2\right)$.

3. Application numérique. On pose

$$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 1& -1& 4\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$$

a. Calculer la partie symétrique $S=p(M)$ et la partie antisymétrique $A=M-p(M)$ de $M$, et vérifier que $S+A=M$.

b. Calculer $d(M,{\mathcal{S}}_3(\mathbb{R}))$ et $d(M,{\mathcal{A}}_3(\mathbb{R}))$, puis vérifier le théorème de Pythagore $\parallel M{\parallel }^2=\parallel S{\parallel }^2+\parallel A{\parallel }^2$.

c. Retrouver $d(M,{\mathcal{S}}_3(\mathbb{R}))$ par la formule de la question 2 faisant intervenir $\mathrm{tr}\left(M^2\right)$.

4. Quelles sont les matrices situées à distance nulle de ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ ?