Devoir surveillé — Endomorphismes des espaces euclidiens

Consignes générales. Elles valent pour les cinq exercices du sujet, et pas seulement pour l'exercice 1. Calculatrice interdite. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. La clarté de la rédaction et la justification des affirmations entrent pour une part importante dans la notation : un résultat juste sans démonstration ne rapporte pas les points de la question.

Le plan ${\mathbb{R}}^2$ est muni de son produit scalaire canonique et orienté par sa base canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2)$, qui est orthonormée directe. Pour $\theta \in \mathbb{R}$, on note

$$R_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

la matrice de la rotation vectorielle d'angle $\theta$. On rappelle que ${\mathrm{S}\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$, c'est-à-dire l'ensemble des matrices orthogonales de déterminant $1$, est exactement l'ensemble des $R_{\theta }$, et que $R_{\theta }{R}_{{\theta }^{\mathrm{\prime }}}=R_{\theta +{\theta }^{\mathrm{\prime }}}$.

Cet exercice ne porte pas sur la reconnaissance d'une isométrie donnée, mais sur la résolution d'équations dont l'inconnue est une matrice orthogonale.

1. (0,5 pt) Soit $M\in {\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$ telle que $\det M=-1$. En écrivant que $M^{-1}=M^{\mathrm{\top }}$ et en utilisant la formule d'inversion des matrices $2\times 2$, montrer que $M$ est de la forme

$$M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& -a\end{array}\right)\text{avec }{a}^2+b^2=1.$$

En déduire que $M^2=I_2$ et que $\mathrm{S}\mathrm{p}(M)=\{-1,1\}$.

2. (1 pt) On pose

$$R=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Déterminer toutes les matrices $M\in {\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$ telles que $M^2=R$. On les donnera explicitement sous forme matricielle, et on justifiera qu'il n'y en a pas d'autres.

3. (0,5 pt) On pose

$$S=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Vérifier que $S$ est la matrice d'une réflexion et en déterminer l'axe. Montrer ensuite que l'équation $M^2=S$ n'a aucune solution dans ${\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$.

4. (1 pt) Soit $n⩾1$ un entier. Déterminer, en discutant selon la parité de $n$, l'ensemble des solutions de l'équation $M^n=I_2$ d'inconnue $M\in {\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$. On précisera le nombre de solutions dans chaque cas, et l'on commentera la différence entre les deux situations.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$, de produit scalaire $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et de norme $\parallel \cdot \parallel$. Pour tout vecteur non nul $a\in E$, on note $s_a$ la réflexion par rapport à l'hyperplan $a^{\perp }$, définie par

$$s_a(x)=x-2\frac{⟨a,x⟩}{\parallel a{\parallel }^2}a\mathrm{.}$$

On admet, ce sont des résultats du cours, que $s_a$ est une isométrie vectorielle de $E$, qu'elle vérifie $s_a\circ s_a={\mathrm{I}\mathrm{d}}_E$, et que $\det (s_a)=-1$.

On convient qu'une composée de zéro réflexion désigne l'identité de $E$.

L'objet de l'exercice est de montrer qu'une réflexion bien choisie transporte n'importe quel vecteur sur n'importe quel autre de même norme, puis d'en déduire que les réflexions engendrent tout le groupe orthogonal.

1. (1 pt) Soient $x$ et $y$ deux vecteurs distincts de $E$ tels que $\parallel x\parallel =\parallel y\parallel$. Montrer que $x-y\mathrm{\ne }0$, puis que

$$s_{x-y}(x)=y\mathrm{.}$$

On pourra commencer par établir la relation $\parallel x-y{\parallel }^2=2⟨x-y,x⟩$.

2. (0,5 pt) Application. On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique. Déterminer la matrice $S$, dans la base canonique, de la réflexion qui envoie le vecteur $(2,3,6)$ sur le vecteur $(7,0,0)$. Vérifier le résultat en calculant l'image de $(2,3,6)$, puis contrôler que $\mathrm{tr}(S)=1$.

3. (1,5 pt) Montrer, par récurrence sur $n=\dim E$, que toute isométrie vectorielle de $E$ est la composée d'au plus $n$ réflexions.

Indications, à justifier : si $u\mathrm{\ne }{\mathrm{I}\mathrm{d}}_E$, choisir $x$ tel que $u(x)\mathrm{\ne }x$ et poser $v=s_{u(x)-x}\circ u$ ; montrer que $v$ fixe $x$, puis que $x^{\perp }$ est stable par $v$ ; enfin, vérifier qu'une réflexion de l'hyperplan $x^{\perp }$ se prolonge en une réflexion de $E$ qui fixe $x$.

4. (0,5 pt) En déduire que toute isométrie vectorielle de ${\mathbb{R}}^3$ est composée d'au plus trois réflexions. Montrer de plus que si une isométrie $u$ s'écrit comme composée de $k$ réflexions, alors $\det (u)=(-1{)}^k$. Que peut-on en conclure pour un élément de ${\mathrm{S}\mathrm{O}}_3(\mathbb{R})$ ?

5. (0,5 pt) Application. Dans ${\mathbb{R}}^3$ rapporté à sa base canonique orthonormée, on considère l'endomorphisme $r$ de matrice

$$R=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}& 0\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

On admet que $R\in {\mathrm{S}\mathrm{O}}_3(\mathbb{R})$. (Ceux qui la reconnaissent auront vu la rotation d'axe $\mathrm{Vect}(e_3)$ et d'angle ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ ; cette lecture n'est pas nécessaire, seule la matrice sert ici.) Écrire $r$ comme composée de deux réflexions, en explicitant deux vecteurs $a$ et $b$ tels que $r=s_a\circ s_b$, et vérifier le résultat par le produit matriciel.

On note $E={\mathbb{R}}_2[X]$ l'espace vectoriel des polynômes réels de degré au plus $2$. Pour $P,Q\in E$, on pose

$$⟨P,Q⟩=P(-1)Q(-1)+P(0)Q(0)+P(1)Q(1)\mathrm{.}$$

Autrement dit, on ne mesure les polynômes que sur les trois points $-1$, $0$ et $1$.

1. (0,5 pt) Montrer que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ est un produit scalaire sur $E$. On soignera particulièrement le caractère défini, qui est le point non immédiat.

2. (0,5 pt) Montrer que la formule ci-dessus ne définit pas un produit scalaire sur ${\mathbb{R}}_3[X]$, en exhibant un polynôme non nul de norme nulle. Où l'argument de la question 1. cesse-t-il de fonctionner ?

3. (0,5 pt) On pose

$$L_{-1}=\frac{X(X-1)}{2},L_0=1-X^2,L_1=\frac{X(X+1)}{2}\mathrm{.}$$

Calculer $L_i(c)$ pour $i\in \{-1,0,1\}$ et $c\in \{-1,0,1\}$, puis en déduire, sans aucun autre calcul, que $(L_{-1},L_0,L_1)$ est une base orthonormée de $E$.

4. (0,75 pt) Calculer le projeté orthogonal de $X^2$ sur le sous-espace $F={\mathbb{R}}_1[X]$, puis la distance de $X^2$ à $F$. On vérifiera d'abord que $1$ et $X$ sont orthogonaux pour ce produit scalaire.

5. (0,75 pt) On considère l'application $u$ définie sur $E$ par $u(P)=P(-X)$, c'est-à-dire $u(P)$ est le polynôme dont la valeur en $t$ est $P(-t)$.

a. Montrer que $u$ est un endomorphisme autoadjoint de $E$.

b. Déterminer $\mathrm{S}\mathrm{p}(u)$ et les sous-espaces propres, et reconnaître géométriquement $u$.

c. Écrire la matrice $N$ de $u$ dans la base orthonormée $(L_{-1},L_0,L_1)$, et vérifier sur $N$ trois propriétés cohérentes avec les questions précédentes.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n⩾1$ et soit $u$ un endomorphisme autoadjoint de $E$. On note ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$ ses valeurs propres deux à deux distinctes, $E_i=\mathrm{Ker}(u-{\lambda }_i{\mathrm{I}\mathrm{d}}_E)$ le sous-espace propre associé à ${\lambda }_i$, et $p_i$ la projection orthogonale sur $E_i$.

Le théorème spectral fournit une base orthonormée de vecteurs propres. Cet exercice en tire une écriture de $u$ qui ne fait plus intervenir aucune base, et qui rend le calcul des puissances immédiat.

1. (0,75 pt) Justifier que $E=E_1\oplus \cdots \oplus E_r$, que cette somme est orthogonale, puis montrer que

$$p_1+\cdots +p_r={\mathrm{I}\mathrm{d}}_E\text{et}{p}_i\circ p_j=0\text{pour }i\mathrm{\ne }j\mathrm{.}$$

2. (0,75 pt) Montrer que

$$u={\lambda }_1{p}_1+\cdots +{\lambda }_r{p}_r,$$

puis que, pour tout entier $k⩾1$,

$$u^k={\lambda }_1^k{p}_1+\cdots +{\lambda }_r^k{p}_r\mathrm{.}$$

3. (0,5 pt) Montrer que chaque $p_i$ est un polynôme en $u$, plus précisément que

$$p_i=\prod _{j\mathrm{\ne }i}\frac{u-{\lambda }_j{\mathrm{I}\mathrm{d}}_E}{{\lambda }_i-{\lambda }_j},$$

le produit portant sur les indices $j\in \{1,\dots ,r\}$ distincts de $i$.

4. (1,5 pt) Application. On munit ${\mathbb{R}}^3$ de son produit scalaire canonique et l'on pose

$$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 2\\ 0& 3& 0\\ 2& 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

a. Déterminer $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)$ et les sous-espaces propres de $A$.

b. Écrire explicitement les matrices des projecteurs orthogonaux associés, et vérifier sur ces matrices les deux identités de la question 1. ainsi que celle de la question 2.

c. En déduire une expression de $A^k$ pour tout entier $k⩾1$, et la vérifier pour $k=2$ par le calcul direct de $A^2$.

5. (0,5 pt) Toujours pour la matrice $A$ de la question 4., montrer que $\mathrm{Ker}A$ et $\mathrm{Im}A$ sont supplémentaires orthogonaux dans ${\mathbb{R}}^3$, et donner la matrice de la projection orthogonale sur $\mathrm{Im}A$.

Pour tout entier $n⩾1$, on note $A_n\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ la matrice tridiagonale dont les coefficients diagonaux valent $2$, dont les coefficients immédiatement au-dessus et au-dessous de la diagonale valent $-1$, et dont tous les autres coefficients sont nuls :

$$A_n=\left(\begin{array}{ccccc}2& -1& 0& \cdots & 0\\ -1& 2& -1& \ddots & \mathrm{⋮}\\ 0& -1& \ddots & \ddots & 0\\ \mathrm{⋮}& \ddots & \ddots & 2& -1\\ 0& \cdots & 0& -1& 2\end{array}\right),\text{c’est-}\grave{\text{a}}\text{-dire}{\left(A_n\right)}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}2& \text{si }i=j,\\ -1& \text{si }\mathrm{\mid }i-j\mathrm{\mid }=1,\\ 0& \text{sinon.}\end{array}$$

On munit ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ du produit scalaire canonique $⟨X,Y⟩=X^{\mathrm{\top }}Y$ et de la norme associée.

Cette matrice est celle qui apparaît lorsqu'on discrétise une dérivée seconde : c'est l'une des plus fréquentes des mathématiques appliquées. Le problème détermine entièrement son spectre, pour tout $n$, sans jamais calculer de polynôme caractéristique au-delà du cas $n=3$.

Les trois parties peuvent être abordées dans l'ordre de leur choix, à condition d'admettre les résultats des précédentes.

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Partie A — Le cas $n=3$

A.1 (0,5 pt) Écrire $A_3$, justifier qu'elle est diagonalisable dans une base orthonormée, puis calculer son polynôme caractéristique et en déduire $\mathrm{S}\mathrm{p}(A_3)$. On pourra poser $t=X-2$.

A.2 (0,5 pt) Déterminer une base orthonormée de ${\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$ formée de vecteurs propres de $A_3$, puis une matrice $P\in {\mathrm{O}}_3(\mathbb{R})$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A_3=PD{P}^{\mathrm{\top }}$. On vérifiera $P^{\mathrm{\top }}P=I_3$.

A.3 (0,5 pt) En déduire que $A_3\in {\mathcal{S}}_3^{++}(\mathbb{R})$, ainsi que l'encadrement

$$(2-\sqrt{2})\parallel X{\parallel }^2⩽X^{\mathrm{\top }}{A}_{3}X⩽(2+\sqrt{2})\parallel X{\parallel }^2$$

valable pour toute colonne $X$. Préciser les cas d'égalité.

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Partie B — Positivité, pour tout $n$

B.1 (0,75 pt) Soit $X=(x_1,\dots ,x_n{)}^{\mathrm{\top }}\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$. Montrer que

$$X^{\mathrm{\top }}{A}_{n}X=x_1^2+\sum _{k=1}^{n-1}{(x_{k+1}-x_k)}^2+x_n^2\mathrm{.}$$

B.2 (0,5 pt) En déduire que $A_n\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$, puis que $A_n$ est inversible.

B.3 (0,75 pt) Montrer que $X^{\mathrm{\top }}{A}_{n}X<4\parallel X{\parallel }^2$ pour toute colonne $X$ non nulle. En déduire que toute valeur propre $\lambda$ de $A_n$ vérifie $0<\lambda <4$, et contrôler cette conclusion sur le cas $n=3$.

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Partie C — Le spectre exact, pour tout $n$

Soit $\lambda$ une valeur propre de $A_n$ et soit $X=(x_1,\dots ,x_n{)}^{\mathrm{\top }}$ un vecteur propre associé. On convient de poser $x_0=0$ et $x_{n+1}=0$.

C.1 (0,5 pt) Montrer que l'égalité $A_{n}X=\lambda X$ équivaut au système des $n$ relations

$$x_{k+1}=(2-\lambda )x_k-x_{k-1},k\in \{1,\dots ,n\}\mathrm{.}$$

Montrer de plus que $x_1\mathrm{\ne }0$.

C.2 (0,5 pt) D'après la partie B, $0<\lambda <4$. Justifier qu'il existe un unique réel $\phi \in ]0,\pi [$ tel que $2-\lambda =2\cos \phi$, puis montrer que

$$x_k=x_1\frac{\sin (k\phi )}{\sin \phi }\text{pour tout }k\in \{0,1,\dots ,n+1\}\mathrm{.}$$

C.3 (0,75 pt) En déduire que $\sin ((n+1)\phi )=0$, puis que $\lambda$ appartient nécessairement à l'ensemble

$$\{{\lambda }_j=2-2\cos \frac{j\pi }{n+1};j\in \{1,\dots ,n\}\},$$

et vérifier que l'on peut aussi écrire ${\lambda }_j=4{\sin }^2{\displaystyle \frac{j\pi }{2(n+1)}}$.

C.4 (0,5 pt) Montrer que les $n$ réels ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ sont deux à deux distincts, puis en déduire $\mathrm{S}\mathrm{p}(A_n)$ exactement, ainsi que la dimension de chaque sous-espace propre. En notant

$$X^{(j)}={(\sin \frac{jk\pi }{n+1})}_{1⩽k⩽n},$$

que peut-on alors affirmer sur la famille $(X^{(1)},\dots ,X^{(n)})$ sans effectuer le moindre calcul trigonométrique ?

C.5 (0,25 pt) Vérifier que le cas $n=3$ redonne bien les résultats de la partie A, valeurs propres et vecteurs propres.