Exercices — Algèbre linéaire

On travaille dans $E={\mathbb{R}}^3$. On pose

$$F=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3;x+y+z=0\},G=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(w)\text{avec}w=(1,1,1)$$

1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, en donner une base et préciser sa dimension.

2. Montrer que $F\cap G=\{0\}$, puis que $E=F\oplus G$.

3. Décomposer le vecteur $v=(1,2,3)$ sous la forme $v=f+g$ avec $f\in F$ et $g\in G$.

4. On pose maintenant $H=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3;x-z=0\}$. Déterminer $F\cap H$ et $F+H$. La somme $F+H$ est-elle directe ? Commenter à l'aide de l'inégalité $\dim (F+H)⩽\dim F+\dim H$.

On rappelle que la trace d'une matrice carrée est la somme de ses coefficients diagonaux.

1. Calculer la trace de chacune des matrices suivantes.

2. Soient $U$ et $V$ deux matrices de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ telles que $\mathrm{t}\mathrm{r}(U)=4$ et $\mathrm{t}\mathrm{r}(V)=-1$. Calculer $\mathrm{t}\mathrm{r}(3U-2{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}V)$.

3. On pose $M=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ et $N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$. Calculer $MN$ et $NM$. Que constate-t-on pour les deux produits, et pour leurs traces ?

4. On pose

$$S=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 6& -4\end{array}\right),P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

a. Calculer $P^{-1}$ et vérifier par le calcul que $S=PD{P}^{-1}$.

b. Comparer $\mathrm{t}\mathrm{r}(S)$ et $\mathrm{t}\mathrm{r}(D)$, puis démontrer le résultat général : deux matrices semblables ont la même trace.

On considère les deux matrices de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right)$$

1. Justifier, sans calculer de polynôme caractéristique développé, que $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)=\{1,2,3\}$.

2. Déterminer les sous-espaces propres $E_1(A)$, $E_2(A)$ et $E_3(A)$, en donnant une base et la dimension de chacun.

3. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une matrice $P$ inversible et une matrice $D$ diagonale telles que $A=PD{P}^{-1}$.

4. Déterminer $\mathrm{S}\mathrm{p}(B)$, puis les sous-espaces propres de $B$. La matrice $B$ est-elle diagonalisable ?

5. Que retenir de la comparaison entre $A$ et $B$ ?

Le polynôme caractéristique d'une matrice $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est le polynôme unitaire de degré $n$ défini par ${\chi }_M(X)=\det (X{I}_n-M)$.

1. Calculer le polynôme caractéristique de chacune des matrices suivantes, et le donner sous forme factorisée.

2. Pour chacune des trois matrices, vérifier les deux contrôles du cours : le coefficient de $X^{n-1}$ dans ${\chi }_M$ vaut $-\mathrm{t}\mathrm{r}(M)$, et le coefficient constant vaut $(-1{)}^n\det (M)$.

3. En déduire le spectre de chaque matrice et la multiplicité de chaque valeur propre.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$$

1. Calculer ${\chi }_A$ et en déduire $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)$.

2. Déterminer une base de chaque sous-espace propre de $A$.

3. En déduire une matrice $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{R})$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A=PD{P}^{-1}$. Calculer $P^{-1}$ et vérifier l'égalité par le calcul.

4. Donner, pour tout $n\in \mathbb{N}$, l'expression de $A^n$. Contrôler le résultat pour $n=0$, $n=1$ et $n=2$.

Soit $u$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans la base canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ est

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

On pose $F=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_1,e_2)$, $G=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_3)$ et $H=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(h)$ avec $h=(1,1,0)$.

1. Pour chacun des sous-espaces $F$, $G$ et $H$, dire s'il est stable par $u$, en justifiant dans les deux cas (stabilité prouvée, ou contre-exemple explicite).

2. Pour chaque sous-espace stable trouvé, écrire la matrice de l'endomorphisme induit par $u$ dans la base indiquée : $(e_1,e_2)$ pour $F$, et $(h)$ pour $H$.

3. On considère maintenant l'endomorphisme $d$ de $E={\mathbb{R}}_3[X]$ défini par $d(P)=P^{\mathrm{\prime }}$.

a. Montrer que ${\mathbb{R}}_2[X]$ est stable par $d$ et écrire la matrice de l'endomorphisme induit dans la base $(1,X,X^2)$.

b. Le sous-espace $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(X^3\right)$ est-il stable par $d$ ?

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -1& 1& 1\\ -1& -1& 3\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

1. Calculer $A^2$, puis vérifier que $A^2-3A+2I_3=0_3$.

2. En déduire que $A$ est inversible et que $A^{-1}$ s'écrit comme un polynôme en $A$. Expliciter la matrice $A^{-1}$, puis vérifier le résultat en calculant $A{A}^{-1}$.

3. Montrer que $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\subseteq \{1,2\}$.

4. Déterminer $E_1(A)$ et $E_2(A)$. Conclure sur $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)$.

On considère les deux matrices de ${\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$

$$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& 3& 2& 1\\ 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\right),N=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

que l'on découpe en blocs $2\times 2$ sous la forme

$$M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ 0_2& C\end{array}\right),N=\left(\begin{array}{cc}{A}^{\mathrm{\prime }}& B^{\mathrm{\prime }}\\ 0_2& C^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)$$

1. Expliciter les six blocs $A$, $B$, $C$, $A^{\mathrm{\prime }}$, $B^{\mathrm{\prime }}$, $C^{\mathrm{\prime }}$.

2. Calculer $M+2N$ en raisonnant par blocs.

3. Calculer $MN$ par blocs. Vérifier le coefficient situé en position $(2,3)$ par le calcul direct.

4. Écrire ${}^{t}M$ par blocs, puis sous forme développée.

5. Calculer $\det M$ et $\det N$, puis $\det (MN)$.

6. On pose $J=\left(\begin{array}{cc}{0}_2& I_2\\ I_2& 0_2\end{array}\right)$. Calculer $\det J$, et en déduire que la formule $\det \left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)=\det A\times \det D-\det B\times \det C$ est fausse en général.

Soit $u$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans la base canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ est

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& -3& 3\\ 0& 3& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$

On pose

$$F=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3;x-y+z=0\},G=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(g)\text{avec}g=(1,0,0)$$

ainsi que $f_1=(1,1,0)$ et $f_2=(0,1,1)$.

1. Montrer que $F$ est un plan vectoriel dont $(f_1,f_2)$ est une base, puis que ${\mathbb{R}}^3=F\oplus G$.

2. Montrer que $F$ et $G$ sont stables par $u$.

3. Justifier que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(f_1,f_2,g)$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$ adaptée à la décomposition ${\mathbb{R}}^3=F\oplus G$. Écrire la matrice de passage $P$ de $\mathcal{B}$ à ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ et calculer $P^{-1}$.

4. Écrire $T={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}(u)$. Quelle forme reconnaît-on ? Préciser les matrices des endomorphismes induits par $u$ sur $F$ et sur $G$.

5. Soit $H=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(f_1)$. Comparer $\dim (F+H)$ et $\dim F+\dim H$, et commenter au regard du cas d'égalité.

On considère la matrice de ${\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$

$$M=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 1& 0\\ 2& 2& -1& 4\\ 0& 0& 5& 3\\ 0& 0& -2& 0\end{array}\right)$$

1. Écrire $M$ sous la forme $\left(\begin{array}{cc}A& B\\ 0_2& C\end{array}\right)$ où $A$, $B$ et $C$ appartiennent à ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, puis calculer $\det M$ à l'aide du déterminant d'une matrice triangulaire par blocs.

2. Retrouver la valeur de $\det M$ par un développement direct, sans utiliser la découpe en blocs.

3. Justifier que $X{I}_4-M$ est encore triangulaire par blocs, et en déduire ${\chi }_M$ sous forme factorisée.

4. Donner $\mathrm{S}\mathrm{p}(M)$, puis contrôler le résultat sur la trace et sur le déterminant de $M$.

5. La matrice $M$ est-elle diagonalisable dans ${\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ ?

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ -1& 2& 1\\ -3& 1& 4\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

1. Calculer ${\chi }_A$ et le factoriser. En déduire $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)$.

2. Déterminer chacun des sous-espaces propres de $A$ et en donner une base.

3. Justifier que $A$ est diagonalisable et écrire une matrice $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_3(\mathbb{R})$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A=PD{P}^{-1}$.

4. Calculer $P^{-1}$.

5. Vérifier l'égalité $AP=PD$ en calculant les deux membres coefficient par coefficient.

On considère les deux matrices de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 2\\ -3& 1& 3\\ -5& 1& 6\end{array}\right)$$

1. Calculer ${\chi }_A$ sous forme factorisée. Préciser $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)$ et la multiplicité $m_{\lambda }$ de chaque valeur propre.

2. Déterminer $E_1(A)$ et $E_4(A)$, ainsi que leurs dimensions. En déduire que $A$ est diagonalisable, et donner $P$ inversible et $D$ diagonale telles que $AP=PD$.

3. Montrer que ${\chi }_B={\chi }_A$.

4. Déterminer $\dim E_1(B)$ et conclure quant à la diagonalisabilité de $B$.

5. Que peut-on dire de la question « le polynôme caractéristique suffit-il à décider si une matrice est diagonalisable ? »

On considère les trois matrices réelles

On rappelle qu'une matrice $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est trigonalisable dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ lorsqu'elle est semblable, dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, à une matrice triangulaire supérieure.

1. Calculer ${\chi }_A$ sous forme factorisée, déterminer la dimension de chaque sous-espace propre de $A$, et conclure.

2. Calculer ${\chi }_B$ sous forme factorisée et $\dim E_2(B)$. La matrice $B$ est-elle diagonalisable dans ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ ? Est-elle trigonalisable dans ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ ?

3. Montrer que $C$ n'a aucune valeur propre réelle. En déduire qu'elle n'est ni diagonalisable ni trigonalisable dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

4. Montrer que $C$, vue comme élément de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$, est diagonalisable, et préciser une matrice diagonale qui lui est semblable.

5. Que retenir du rôle joué par le corps de base ?

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n⩾1$, avec $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On appelle projecteur de $E$ tout endomorphisme $p\in \mathcal{L}(E)$ vérifiant $p\circ p=p$, et symétrie de $E$ tout endomorphisme $s\in \mathcal{L}(E)$ vérifiant $s\circ s={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$.

1. Soit $p$ un projecteur de $E$. Montrer que le polynôme $X^2-X$ annule $p$, puis que $\mathrm{S}\mathrm{p}(p)\subset \{0,1\}$ et que $p$ est diagonalisable.

2. Toujours pour un projecteur $p$, montrer que $E_1(p)=\mathrm{I}\mathrm{m}p$ et $E_0(p)=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}p$. En déduire $E=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}p\oplus \mathrm{I}\mathrm{m}p$, la matrice de $p$ dans une base adaptée, puis la relation $\mathrm{t}\mathrm{r}(p)=\mathrm{r}\mathrm{g}(p)$.

3. Soit $s$ une symétrie de $E$. Mener le même travail : polynôme annulateur, diagonalisabilité, sous-espaces propres, matrice réduite, et valeur de $\mathrm{t}\mathrm{r}(s)$ en fonction de $\dim E_1(s)$ et de $n$.

4. Montrer que $s$ est une symétrie de $E$ si et seulement si $p={\displaystyle \frac{1}{2}}(s+{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$ est un projecteur de $E$.

5. Application numérique. On pose

$$M=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ -1& 2& -1\\ -1& -1& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

Vérifier que $M^2=M$, déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}M$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}M$, puis contrôler la relation de la question 2.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 3\\ -3& 4& 3\\ -2& 2& 4\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

1. Calculer ${\chi }_A$ sous forme factorisée et justifier que $A$ est diagonalisable.

2. Déterminer une base de chaque sous-espace propre, en déduire $P$ et $D$ telles que $A=PD{P}^{-1}$, puis calculer $P^{-1}$.

3. Calculer $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

4. Vérifier la formule obtenue pour $n=0$, $n=1$ et $n=2$.

5. La matrice $A$ est-elle inversible ? La formule de la question 3 reste-t-elle valable pour $n$ entier négatif ? Expliciter $A^{-1}$.

On définit deux suites réelles ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ et ${\left(v_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ par $u_0=1$, $v_0=0$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=4u_n+v_n\\ v_{n+1}=2u_n+3v_n\end{array}$$

On pose $X_n=\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$.

1. Déterminer $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ telle que $X_{n+1}=A{X}_n$ pour tout $n$, et en déduire $X_n=A^n{X}_0$.

2. Diagonaliser $A$ : polynôme caractéristique, sous-espaces propres, matrices $P$ et $D$, puis $P^{-1}$.

3. En déduire l'expression de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.

4. Calculer $u_1$, $v_1$, $u_2$, $v_2$, $u_3$ et $v_3$ par la relation de récurrence, et vérifier que les formules de la question 3 redonnent ces valeurs.

5. Déterminer les limites de $u_n$, de $v_n$ et du quotient ${\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}$. Interpréter.

On pose $x_0=-1$, $x_1=0$ et $x_2=2$, trois réels deux à deux distincts. On leur associe les polynômes interpolateurs de Lagrange

$$L_i(X)=\prod _{\begin{array}{c}0⩽j⩽2\\ j\mathrm{\ne }i\end{array}}\frac{X-x_j}{x_i-x_j},i\in \{0,1,2\}$$

1. Expliciter $L_0$, $L_1$ et $L_2$ sous forme développée, puis vérifier que $L_i\left(x_j\right)={\delta }_{i,j}$ pour tous $i$ et $j$, où ${\delta }_{i,j}$ vaut $1$ si $i=j$ et $0$ sinon.

2. Montrer que la famille $(L_0,L_1,L_2)$ est libre, puis que c'est une base de ${\mathbb{R}}_2[X]$.

3. Exprimer $Q=X^2+1$ dans cette base, et contrôler le résultat par développement.

4. Cas général : soient $x_0,\dots ,x_n$ des éléments de $\mathbb{K}$ deux à deux distincts et $L_0,\dots ,L_n$ les polynômes de Lagrange associés. Démontrer que ${\displaystyle \sum _{i=0}^n{L}_i=1}$.

5. Toujours dans le cas général, montrer que pour toute famille $(y_0,\dots ,y_n)$ d'éléments de $\mathbb{K}$, il existe un unique polynôme $P\in {\mathbb{K}}_n[X]$ tel que $P\left(x_i\right)=y_i$ pour tout $i$.

Soit $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Pour $n⩾2$ et $(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{K}}^n$, on appelle déterminant de Vandermonde associé à ces scalaires le déterminant

$$V(x_1,\dots ,x_n)=\det \left(\begin{array}{ccccc}1& x_1& x_1^2& \cdots & x_1^{n-1}\\ 1& x_2& x_2^2& \cdots & x_2^{n-1}\\ \mathrm{⋮}& \mathrm{⋮}& \mathrm{⋮}& & \mathrm{⋮}\\ 1& x_n& x_n^2& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right)$$

1. Calculer $V(-1,1,3)$ par des opérations élémentaires sur les lignes, puis comparer à la valeur de ${\displaystyle \prod _{1⩽i<j⩽3}(x_j-x_i)}$.

2. Démontrer par récurrence sur $n$ que

$$V(x_1,\dots ,x_n)=\prod _{1⩽i<j⩽n}(x_j-x_i)$$

Indication. Après avoir traité le cas où deux des scalaires sont égaux, supposer $x_1,\dots ,x_n$ deux à deux distincts, figer $x_1,\dots ,x_{n-1}$ et étudier la fonction $t⟼V(x_1,\dots ,x_{n-1},t)$ en la développant suivant sa dernière ligne.

3. En déduire une condition nécessaire et suffisante sur $x_1,\dots ,x_n$ pour que la matrice de Vandermonde soit inversible.

4. Soient $x_1,\dots ,x_n$ deux à deux distincts et $y_1,\dots ,y_n$ des scalaires quelconques. Traduire la recherche d'un polynôme $P\in {\mathbb{K}}_{n-1}[X]$ vérifiant $P\left(x_i\right)=y_i$ pour tout $i$ en un système linéaire, et conclure. Quel lien avec les polynômes interpolateurs de Lagrange ?

Soit $n⩾2$. On note $J_n\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$, et $U\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ la colonne dont toutes les coordonnées valent $1$.

1. Calculer $J_n^2$, en déduire un polynôme annulateur de $J_n$, puis les seules valeurs propres possibles de $J_n$.

2. Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{J}_n$ et sa dimension. Calculer $J_{n}U$.

3. En déduire $\mathrm{S}\mathrm{p}(J_n)$ et la dimension de chaque sous-espace propre. Montrer que $J_n$ est diagonalisable et donner ${\chi }_{J_n}$.

4. Soient $a$ et $b$ deux réels. Montrer que $M=a{I}_n+b{J}_n$ est diagonalisable, préciser ses valeurs propres avec leur multiplicité, et calculer $\det M$.

5. Calculer le déterminant de la matrice de ${\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ dont les coefficients diagonaux valent $5$ et tous les autres $2$.

Soit $n⩾2$ et soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ de rang $1$. On admet qu'une telle matrice s'écrit

$$A=CL,C\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})\setminus \{0\},L\in {\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{K})\setminus \{0\}$$

(les colonnes de $A$ sont toutes proportionnelles à une même colonne non nulle $C$, et $L$ regroupe les coefficients de proportionnalité). On pose $t=\mathrm{t}\mathrm{r}(A)$.

1. Montrer que $A^2=tA$. On remarquera que $LC$ est une matrice de taille $1\times 1$.

2. Déterminer $\dim E_0(A)$, puis montrer que $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\subseteq \{0,t\}$.

3. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $t\mathrm{\ne }0$.

4. Montrer que ${\chi }_A(X)=X^{n-1}(X-t)$, que $A$ soit diagonalisable ou non.

5. Appliquer ce qui précède aux deux matrices suivantes : nature, spectre, sous-espaces propres, diagonalisabilité.

Pour $a\in \mathbb{R}$, on considère la matrice

$$A_a=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 1& 0\\ 1& 1& a\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

1. Calculer ${\chi }_{A_a}$ et vérifier qu'il est scindé sur $\mathbb{R}$ pour toute valeur de $a$.

2. On suppose $a\mathrm{\notin }\{-1,3\}$. Montrer que $A_a$ est diagonalisable et déterminer ses sous-espaces propres.

3. Étudier le cas $a=-1$ : multiplicités, dimensions des sous-espaces propres, diagonalisabilité.

4. Étudier le cas $a=3$.

5. Récapituler la discussion en une phrase par cas.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n⩾1$. On appelle projecteur de $E$ tout endomorphisme $p\in \mathcal{L}(E)$ vérifiant $p\circ p=p$, relation que l'on note $p^2=p$.

Soit $p$ un projecteur de $E$, de rang $r$.

1. Montrer que $E=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}p\oplus \mathrm{I}\mathrm{m}p$, puis que $p(x)=x$ pour tout $x\in \mathrm{I}\mathrm{m}p$.

2. Exhiber un polynôme annulateur de $p$ et en déduire que $p$ est diagonalisable, sans utiliser la question 1.

3. Construire une base $\mathcal{B}$ de $E$ adaptée à la décomposition de la question 1, écrire ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(p)$, et en déduire que $\mathrm{t}\mathrm{r}(p)=\mathrm{r}\mathrm{g}(p)$.

4. Vérifier ce résultat sur la matrice suivante de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ : montrer que $P^2=P$, déterminer son rang, son noyau et son image.

$$P=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ -1& 0& 1\\ -1& -1& 2\end{array}\right)$$

5. Soient $p_1,\dots ,p_k$ des projecteurs de $E$ tels que $p_1+\cdots +p_k={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$. Que vaut $\mathrm{r}\mathrm{g}(p_1)+\cdots +\mathrm{r}\mathrm{g}(p_k)$ ?

Soit $n⩾1$. On note $E={\mathbb{R}}_n[X]$, muni de sa base canonique $\mathcal{B}=(1,X,\dots ,X^n)$, et l'on pose

$$\phi (P)=X{P}^{\mathrm{\prime }}\text{pour }P\in E$$

1. Montrer que $\phi$ est un endomorphisme de $E$ et écrire ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(\phi )$.

2. En déduire $\mathrm{S}\mathrm{p}(\phi )$, les sous-espaces propres de $\phi$, et justifier que $\phi$ est diagonalisable.

On considère maintenant $F={\mathbb{R}}_2[X]$, de base canonique $\mathcal{C}=(1,X,X^2)$, et l'application

$$\psi (P)=(X^2-1)P^{\mathrm{\prime }}-2XP$$

3. Montrer que $\psi$ est un endomorphisme de $F$ et écrire $M={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{C}}(\psi )$.

4. Calculer ${\chi }_{\psi }$ et en déduire que $\psi$ est diagonalisable.

5. Déterminer les sous-espaces propres de $\psi$ et donner une base de $F$ formée de vecteurs propres.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ 2& 0& 1\\ 1& -1& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

1. Calculer ${\chi }_A$ et le factoriser. Que peut-on déjà en déduire quant à la trigonalisabilité de $A$ ?

2. Déterminer les sous-espaces propres de $A$ et montrer que $A$ n'est pas diagonalisable.

3. (Méthode.) On note $f_1$ un vecteur propre associé à la valeur propre double et $f_2$ un vecteur propre associé à la valeur propre simple. Justifier que la famille $(f_1,f_2,e_1)$, où $e_1={}^t(1,0,0)$, est une base de ${\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$. Calculer $A{e}_1$ et décomposer ce vecteur dans cette base.

4. En déduire une matrice $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T$ triangulaire supérieure telles que $A=PT{P}^{-1}$.

5. Vérifier le résultat en calculant $AP$ et $PT$, puis retrouver $\mathrm{t}\mathrm{r}(A)$ et $\det A$ sur $T$.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

1. Calculer ${\chi }_A$ et le factoriser. En déduire $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)$.

2. Écrire la relation fournie par le théorème de Cayley-Hamilton, et calculer $A^2$.

3. Soit $n⩾1$. On effectue la division euclidienne de $X^n$ par ${\chi }_A$ :

$$X^n=Q(X){\chi }_A(X)+R(X),\mathrm{deg}R⩽2$$

Justifier que $A^n=R(A)$, puis déterminer $R$ en évaluant l'identité ci-dessus aux valeurs propres de $A$.

4. En déduire l'expression de $A^n$ pour tout $n⩾1$.

5. Vérifier la formule obtenue pour $n=2$ et pour $n=3$.

Soient $n⩾1$ et $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

1. Soit $\lambda \in \mathbb{K}$ une valeur propre non nulle de $AB$, et soit $X\mathrm{\ne }0$ tel que $ABX=\lambda X$. On pose $Y=BX$.

a. Montrer que $Y\mathrm{\ne }0$.

b. Montrer que $Y$ est vecteur propre de $BA$ pour la valeur propre $\lambda$.

2. Montrer que $0$ est valeur propre de $AB$ si et seulement si $0$ est valeur propre de $BA$.

3. En déduire que $\mathrm{S}\mathrm{p}(AB)=\mathrm{S}\mathrm{p}(BA)$.

4. On prend $n=2$ et

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

Calculer $AB$ et $BA$. Ces deux matrices sont-elles semblables ? Ont-elles les mêmes sous-espaces propres ?

5. Démontrer que $\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)=\mathrm{t}\mathrm{r}(BA)$ et discuter la cohérence de ce résultat avec la question 3.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

et son commutant

$$\mathcal{C}(A)=\{M\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R});AM=MA\}$$

1. Montrer que $\mathcal{C}(A)$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ contenant $I_3$, $A$ et $A^2$.

2. Calculer ${\chi }_A$, déterminer $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)$ et une base $(v_1,v_2,v_3)$ de ${\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$ formée de vecteurs propres de $A$.

3. Montrer que tout sous-espace propre de $A$ est stable par tout $M\in \mathcal{C}(A)$.

4. En déduire que toute $M\in \mathcal{C}(A)$ est diagonalisable dans la base $(v_1,v_2,v_3)$, et montrer la réciproque.

5. En déduire $\dim \mathcal{C}(A)$, puis montrer que $\mathcal{C}(A)=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(I_3,A,A^2)$.

6. Vérifier que $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 1& 0\\ 0& 0& 8\end{array}\right)$ appartient à $\mathcal{C}(A)$ et l'écrire dans la base précédente.

Un classique d'oral : lorsqu'un endomorphisme est diagonalisable à valeurs propres deux à deux distinctes, on peut dresser la liste complète de ses sous-espaces stables, et il n'y en a qu'un nombre fini.

On travaille dans $E={\mathbb{R}}^3$ et on note $u$ l'endomorphisme de $E$ dont la matrice dans la base canonique est

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 1& 1& 3\end{array}\right)$$

Rappel de vocabulaire : un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est stable par $u$ lorsque $u(F)\subset F$. On note alors $u_F$ l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$, défini par $u_F(x)=u(x)$ pour tout $x\in F$.

1. Calculer ${\chi }_A$, montrer que $u$ est diagonalisable et déterminer une base $(v_1,v_2,v_3)$ de $E$ formée de vecteurs propres de $u$.

2. Soit $F$ un sous-espace de $E$ stable par $u$, non réduit à $\{0\}$. Justifier que $u_F$ est diagonalisable, puis que tout vecteur propre de $u_F$ est un vecteur propre de $u$. En déduire que $F$ possède une base formée de vecteurs propres de $u$.

3. Montrer que tout vecteur propre de $u$ est colinéaire à $v_1$, à $v_2$ ou à $v_3$, puis conclure que $F$ est engendré par une sous-famille de $(v_1,v_2,v_3)$.

4. Réciproquement, montrer que le sous-espace engendré par une sous-famille de $(v_1,v_2,v_3)$ est stable par $u$. En déduire la liste complète des sous-espaces stables par $u$, et leur nombre exact.

5. On remplace $u$ par l'endomorphisme $w$ de $E$ de matrice $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,1,3)$ dans la base canonique. Combien $w$ possède-t-il de droites stables ? Que reste-t-il de la conclusion de la question 4 ?

On appelle racine carrée d'une matrice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ toute matrice $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $M^2=A$. Contrairement au cas des réels positifs, une telle matrice peut ne pas exister, ou exister en plusieurs exemplaires : la réduction permet de trancher.

1. On pose $D=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,4,9)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Déterminer toutes les matrices diagonales $M\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ telles que $M^2=D$, et les compter.

2. On pose désormais $A=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$. Calculer ${\chi }_A$, montrer que $A$ est diagonalisable et déterminer $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{R})$ telle que $P^{-1}AP=\mathrm{\Delta }$, où $\mathrm{\Delta }=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(9,1)$.

3. Soit $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ une racine carrée de $A$. Montrer que $MA=AM$, puis que chaque sous-espace propre de $A$ est stable par $M$. En déduire que $N=P^{-1}MP$ est une matrice diagonale, autrement dit que $M=PN{P}^{-1}$ avec $N$ diagonale.

4. Déterminer toutes les racines carrées de $A$ dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

5. Contraste. Montrer que $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ n'admet aucune racine carrée dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. On pourra appliquer le théorème de Cayley-Hamilton à une hypothétique racine carrée $M$.

On fixe $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ et on considère l'application

$$\mathrm{\Phi }:{\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})⟶{\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),M⟼AM$$

On note $\mathcal{B}=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})$ la base canonique de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, où $E_{ij}$ est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d'indice $(i,j)$, qui vaut $1$. On rappelle que $\dim {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})=4$.

1. Montrer que $\mathrm{\Phi }$ est un endomorphisme de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, puis calculer ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(\mathrm{\Phi })$.

2. Déterminer ${\chi }_A$, le spectre de $A$ et les sous-espaces propres de $A$.

3. Montrer que la matrice de $\mathrm{\Phi }$ dans la base réordonnée ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(E_{11},E_{21},E_{12},E_{22})$ s'écrit par blocs $\left(\begin{array}{cc}A& 0_2\\ 0_2& A\end{array}\right)$. En déduire ${\chi }_{\mathrm{\Phi }}$, puis comparer $\mathrm{S}\mathrm{p}(\mathrm{\Phi })$ et $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)$ ainsi que les multiplicités.

4. Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, traduire l'égalité $AM=\lambda M$ sur les colonnes de $M$. En déduire $E_3(\mathrm{\Phi })$ et $E_{-1}(\mathrm{\Phi })$, leurs dimensions, et conclure que $\mathrm{\Phi }$ est diagonalisable.

5. Cas général. Soit maintenant $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ quelconque et $\mathrm{\Phi }:M\mapsto AM$. Montrer que $Q(\mathrm{\Phi })(M)=Q(A)M$ pour tout polynôme $Q\in \mathbb{R}[X]$ et toute matrice $M$, puis que $\mathrm{\Phi }$ est diagonalisable si et seulement si $A$ l'est.

Voici l'exemple type d'endomorphisme que l'on diagonalise sans écrire la moindre matrice : tout se lit sur un polynôme annulateur.

Soit $n⩾2$. On considère l'application

$$\mathrm{\Phi }:{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})⟶{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}),M⟼{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}M$$

On note ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})=\{M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R});{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}M=M\}$ l'ensemble des matrices symétriques et ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})=\{M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R});{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}M=-M\}$ celui des matrices antisymétriques. On note $E_{ij}$ les matrices de la base canonique de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

1. Montrer que $\mathrm{\Phi }$ est un endomorphisme de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ et que $\mathrm{\Phi }\circ \mathrm{\Phi }=\mathrm{i}\mathrm{d}$.

2. En déduire un polynôme annulateur de $\mathrm{\Phi }$ scindé à racines simples, puis que $\mathrm{\Phi }$ est diagonalisable et que $\mathrm{S}\mathrm{p}(\mathrm{\Phi })\subset \{-1,1\}$.

3. Identifier $E_1(\mathrm{\Phi })$ et $E_{-1}(\mathrm{\Phi })$. Exhiber une base de chacun d'eux et en déduire que

$$\dim {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})=\frac{n(n+1)}{2},\dim {\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})=\frac{n(n-1)}{2}$$

4. Vérifier que la somme de ces deux dimensions vaut $n^2$. En déduire $\mathrm{S}\mathrm{p}(\mathrm{\Phi })$, puis ${\chi }_{\mathrm{\Phi }}$ et $\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathrm{\Phi })$.

5. Expliciter le cas $n=2$ : écrire la matrice $4\times 4$ de $\mathrm{\Phi }$ dans la base canonique $(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ et retrouver sur elle les résultats des questions 3 et 4.

Le cours de PCSI donne la forme des suites récurrentes linéaires d'ordre $2$. Pour l'ordre $3$, il n'y a pas de formule à connaître : on matricialise et on diagonalise. C'est la méthode générale, et elle explique au passage d'où sort l'équation caractéristique.

Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ la suite réelle définie par $u_0=1$, $u_1=0$, $u_2=4$ et

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_{n+3}=2u_{n+2}+u_{n+1}-2u_n$$

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $X_n={}^t\left(u_n{u}_{n+1}{u}_{n+2}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$.

1. Déterminer $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ telle que $X_{n+1}=A{X}_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis justifier que $X_n=A^n{X}_0$.

2. Calculer ${\chi }_A$ et le factoriser. Que reconnaît-on ? En déduire que $A$ est diagonalisable.

3. Pour $\lambda \in \mathrm{S}\mathrm{p}(A)$, vérifier que $V_{\lambda }={}^t\left(1\lambda {\lambda }^2\right)$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\lambda$. En déduire une base de ${\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$ formée de vecteurs propres de $A$.

4. Décomposer $X_0$ dans cette base, puis en déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

5. Vérifier la formule obtenue pour $n\in \{0,1,2,3\}$.

Deux endomorphismes diagonalisables qui commutent sont diagonalisables dans une même base : c'est le théorème de codiagonalisation, un incontournable des oraux. Toute la démonstration tient dans la stabilité des sous-espaces propres.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n⩾1$, et soient $u,v\in \mathcal{L}(E)$ tous deux diagonalisables tels que $u\circ v=v\circ u$. On note ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$ les valeurs propres deux à deux distinctes de $u$, et $F_i=E_{{\lambda }_i}(u)$.

1. Montrer que chaque $F_i$ est stable par $v$.

2. Justifier que l'endomorphisme $v_i$ induit par $v$ sur $F_i$ est diagonalisable.

3. En déduire qu'il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres communs à $u$ et à $v$.

4. Traduire matriciellement : décrire la forme par blocs des matrices de $u$ et de $v$ dans une base adaptée à la décomposition $E=F_1\oplus \cdots \oplus F_r$, et expliquer comment on en déduit une matrice $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ qui diagonalise les deux à la fois.

5. Application. On pose

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -2\\ 0& 1& 0\\ -1& -1& 3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$$

a. Vérifier que $AB=BA$, puis diagonaliser $A$ (valeurs propres et sous-espaces propres).

b. Écrire la matrice de l'endomorphisme induit par $B$ sur $E_1(A)$ dans la base de $E_1(A)$ trouvée en a, et la diagonaliser.

c. En déduire une matrice $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_3(\mathbb{R})$ telle que $P^{-1}AP$ et $P^{-1}BP$ soient toutes deux diagonales.

Une matrice circulante est une matrice dont chaque ligne se déduit de la précédente par un décalage circulaire. Elles se diagonalisent toutes dans une seule et même base, indépendante des coefficients : c'est un exemple spectaculaire de ce que permet un bon polynôme annulateur.

On travaille dans ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{C})$ et on pose $\omega ={\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi \mathrm{/}3}$, ainsi que

$$J=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$

Pour $(a,b,c)\in {\mathbb{C}}^3$, on appelle matrice circulante associée à $(a,b,c)$ la matrice $C=a{I}_3+bJ+c{J}^2$.

1. Calculer $J^2$ et $J^3$, puis écrire $C$ explicitement coefficient par coefficient.

2. En déduire un polynôme annulateur de $J$ scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$. Conclure que $J$ est diagonalisable dans ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{C})$ et que $\mathrm{S}\mathrm{p}(J)\subset \{1,\omega ,{\omega }^2\}$.

3. Pour $k\in \{0,1,2\}$, vérifier que $V_k={}^t\left(1{\omega }^k{\omega }^{2k}\right)$ est un vecteur propre de $J$ associé à ${\omega }^k$. En déduire $\mathrm{S}\mathrm{p}(J)$ et une matrice $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_3(\mathbb{C})$ telle que $P^{-1}JP=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,\omega ,{\omega }^2)$.

4. Montrer que toute matrice circulante est diagonalisable dans cette même base $P$, donner ses trois valeurs propres, et en déduire

$$\det C=\prod _{k=0}^2(a+b{\omega }^k+c{\omega }^{2k})=a^3+b^3+c^3-3abc$$

5. Application. Donner les valeurs propres et le déterminant de $C_0=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$, puis contrôler le déterminant par un calcul direct.