Devoir surveillé — Algèbre linéaire

Une installation chimique comporte trois cuves $C_1$, $C_2$ et $C_3$, de même volume, remplies du même solvant et reliées entre elles par un jeu de pompes. Le circuit est fermé : le soluté étudié ne peut ni entrer dans l'installation, ni en sortir. Toutes les heures, les pompes effectuent un cycle de transvasement, et l'on constate qu'à chaque cycle :

• du contenu de $C_1$ : 40 % reste dans $C_1$, 30 % part vers $C_2$ et 30 % part vers $C_3$ ;
• du contenu de $C_2$ : 10 % part vers $C_1$, 80 % reste dans $C_2$ et 10 % part vers $C_3$ ;
• du contenu de $C_3$ : 30 % part vers $C_1$, 30 % part vers $C_2$ et 40 % reste dans $C_3$.

On note $x_n$, $y_n$ et $z_n$ les quantités de soluté, exprimées en millimoles, contenues dans $C_1$, $C_2$ et $C_3$ après $n$ cycles, et l'on pose $X_n={}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\begin{array}{ccc}{x}_n& y_n& z_n\end{array}\right)$. À l'instant initial, tout le soluté se trouve dans la première cuve : $x_0=100$, $y_0=0$ et $z_0=0$.

1. (0,5 pt) Traduire l'énoncé par un système, en déduire une matrice $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ telle que $X_{n+1}=A{X}_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis justifier que $X_n=A^n{X}_0$. Démontrer que la quantité totale de soluté ne dépend pas de $n$.

2. (0,5 pt) Calculer ${\chi }_A$ et en déduire $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)$.

3. (0,75 pt) Déterminer les sous-espaces propres de $A$, justifier que $A$ est diagonalisable, et écrire une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A=PD{P}^{-1}$.

4. (0,75 pt) Calculer $P^{-1}$, puis $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

5. (0,75 pt) Exprimer $x_n$, $y_n$ et $z_n$ en fonction de $n$, et contrôler les formules obtenues pour $n=1$ et $n=2$.

6. (0,75 pt) Déterminer les limites des trois suites et interpréter le résultat du point de vue du chimiste. L'état limite dépend-il de la répartition initiale du soluté ?

On note $E={\mathbb{R}}_3[X]$, muni de sa base canonique $\mathcal{B}=(1,X,X^2,X^3)$, et l'on considère l'application

$$\phi :P⟼(X-1)P^{\mathrm{\prime }}-P\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Démontrer que $\phi$ est un endomorphisme de $E$.

2. (0,75 pt) Déterminer $\mathcal{A}={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(\phi )$.

3. (0,5 pt) En déduire ${\chi }_{\phi }$ et $\mathrm{S}\mathrm{p}(\phi )$.

4. (0,75 pt) Pour $k\in \{0,1,2,3\}$, calculer $\phi ((X-1{)}^k)$. En déduire une base de $E$ formée de vecteurs propres de $\phi$, et conclure quant à la diagonalisabilité de $\phi$.

5. (0,75 pt) Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}\phi$ (dimension et base de chacun), et démontrer que $E=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi \oplus \mathrm{I}\mathrm{m}\phi$.

6. (0,75 pt) Résoudre dans $E$ l'équation $\phi (P)=X^3-3X+2$.

Partie A. On pose

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 2& 3\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),M=\left(\begin{array}{cc}A& C\\ 0_2& B\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R}),$$

c'est-à-dire

$$M=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 1\\ 1& 2& 0& 1\\ 0& 0& 0& 2\\ 0& 0& 2& 3\end{array}\right)\mathrm{.}$$

On note $u$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^4$ canoniquement associé à $M$ et ${\mathcal{B}}_0=(e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^4$.

1. (0,5 pt) Calculer ${\chi }_A$ et ${\chi }_B$ sous forme factorisée.

2. (0,75 pt) Démontrer que ${\chi }_M={\chi }_A{\chi }_B$, puis en déduire $\mathrm{S}\mathrm{p}(M)$. Contrôler le résultat en comparant $\mathrm{t}\mathrm{r}(M)$ et $\det (M)$ aux valeurs propres obtenues.

3. (0,5 pt) Démontrer que $F=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_1,e_2)$ est stable par $u$ et donner la matrice de l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$. Le sous-espace $G=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_3,e_4)$ est-il stable par $u$ ?

4. (0,75 pt) La matrice $M$ est-elle diagonalisable ? Déterminer $E_3(M)$ et $E_1(M)$, et démontrer que ces deux sous-espaces propres sont contenus dans $F$.

Partie B. Dans cette partie, $n⩾1$ est un entier et $S$, $T$ désignent des matrices quelconques de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

5. (0,5 pt) On suppose que $\mathrm{t}\mathrm{r}(SN)=0$ pour toute matrice $N\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Démontrer que $S=0_n$.

6. (0,5 pt) Démontrer qu'il n'existe aucun couple $(S,T)$ de matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ tel que $ST-TS=I_n$.

7. (0,5 pt) On note $\mathcal{H}=\{N\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R});\mathrm{t}\mathrm{r}(N)=0\}$. Démontrer que $\mathcal{H}$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, puis que ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(I_n\right)\oplus \mathcal{H}$. Quelle est la dimension de $\mathcal{H}$ ?

On considère

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ -1& 2& 1\\ -1& 0& 3\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R}),$$

et l'on note $u$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ canoniquement associé à $A$, ainsi que ${\mathcal{B}}_0=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$.

1. (0,5 pt) Calculer ${\chi }_A$ et en déduire $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)$ ainsi que la multiplicité de chaque valeur propre.

2. (0,5 pt) Déterminer $E_2(A)$ et sa dimension. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?

3. (0,75 pt) On pose $v_1=e_1+e_2+e_3$, $v_2=e_2+e_3$ et $v_3=e_3$. Démontrer que $\mathcal{V}=(v_1,v_2,v_3)$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$, calculer $T={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{V}}(u)$, puis écrire $A=PT{P}^{-1}$ en explicitant $P$ et $P^{-1}$.

4. (0,5 pt) On écrit $T=2I_3+N$. Calculer $N$, $N^2$ et $N^3$, et justifier que $2I_3$ et $N$ commutent.

5. (0,75 pt) En déduire $T^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, en justifiant soigneusement la formule utilisée.

6. (0,75 pt) En déduire $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, et contrôler le résultat pour $n=1$ et $n=2$.

7. (0,25 pt) Vérifier que ${(A-2I_3)}^3=0_3$ et retrouver ce résultat sans calcul. Comment aurait-on pu obtenir $A^n$ sans trigonaliser $A$ ?

On pose

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 1\end{array}\right)\text{et}\mathrm{\Phi }(M)=\mathrm{t}\mathrm{r}(M)A-M\text{pour }M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

On note $\mathcal{E}=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})$ la base canonique de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

1. (0,5 pt) Démontrer que $\mathrm{\Phi }$ est un endomorphisme de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

2. (0,75 pt) Déterminer $\mathcal{F}={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{E}}(\mathrm{\Phi })$.

3. (0,5 pt) Calculer ${\chi }_{\mathrm{\Phi }}$ sous forme factorisée et donner $\mathrm{S}\mathrm{p}(\mathrm{\Phi })$.

4. (0,75 pt) Déterminer $E_{-1}(\mathrm{\Phi })$ et $E_2(\mathrm{\Phi })$ : pour chacun, une base et la dimension. On pourra travailler directement sur la définition de $\mathrm{\Phi }$, sans utiliser $\mathcal{F}$.

5. (0,5 pt) Démontrer, sans aucun calcul matriciel, que ${\mathrm{\Phi }}^2-\mathrm{\Phi }-2\mathrm{i}\mathrm{d}=0$. En déduire de deux façons différentes que $\mathrm{\Phi }$ est diagonalisable.

6. (0,5 pt) Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{\Phi }$ et $\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{\Phi }$, puis exprimer ${\mathrm{\Phi }}^{-1}$ à l'aide de $\mathrm{\Phi }$ et de $\mathrm{i}\mathrm{d}$.

7. (0,5 pt) Résoudre l'équation $\mathrm{\Phi }(M)=I_2$ d'inconnue $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.