Exercices — Structures algébriques usuelles

Pour chacune des lois $\star$ ci-dessous, dire s'il s'agit d'une loi de composition interne sur l'ensemble indiqué, si elle est associative, si elle est commutative, si elle possède un élément neutre, et déterminer alors l'ensemble de ses éléments inversibles.

On note $\mathbb{D}=\{{\displaystyle \frac{a}{{10}^n}}:a\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N}\}$ l'ensemble des nombres décimaux, $1+2\mathbb{Z}=\{1+2k:k\in \mathbb{Z}\}$ l'ensemble des entiers impairs, et $\mathbb{U}=\{z\in \mathbb{C}:\mid z\mid =1\}$.

1. Parmi les parties suivantes, déterminer celles qui sont stables pour l'addition, puis celles qui sont stables pour la multiplication. On travaille dans $\mathbb{R}$, sauf pour $\mathbb{U}$ où l'on travaille dans $\mathbb{C}$.

   a. $\mathbb{N}$

   b. $\mathbb{Z}$

   c. $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$

   d. $\mathbb{D}$

   e. $\{-1,1\}$

   f. $[0,1]$

   g. $1+2\mathbb{Z}$

   h. $\mathbb{U}$

2. Soit $E$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $\star$, et soient $A$ et $B$ deux parties de $E$ stables par $\star$. Montrer que $A\cap B$ est stable par $\star$, puis donner un exemple montrant que $A\cup B$ ne l'est pas toujours.

3. Soit $E$ un ensemble muni d'une loi de composition interne associative $\star$, et soit $a\in E$. Montrer que $C(a)=\{x\in E:x\star a=a\star x\}$ est stable par $\star$.

4. Montrer que l'ensemble des applications croissantes de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est stable pour la composition.

Pour chacun des ensembles munis d'une loi ci-dessous, dire s'il s'agit d'un groupe. Lorsque ce n'est pas le cas, préciser exactement quel axiome est mis en défaut. Ici $E$ désigne un ensemble non vide, ${\mathfrak{S}}_E$ l'ensemble des bijections de $E$ dans $E$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Soit $(G,\cdot )$ un groupe d'élément neutre $e$. On note $x^{-1}$ le symétrique d'un élément $x$, et l'on rappelle les conventions $x^0=e$, $x^{n+1}=x^{n}x$ pour $n\in \mathbb{N}$, et $x^{-n}={\left(x^n\right)}^{-1}$ pour $n\in \mathbb{N}$. Dans tout l'exercice, $x$, $y$, $a$ et $b$ désignent des éléments de $G$.

1. Montrer que $G$ possède un unique élément neutre.

2. Montrer que tout élément de $G$ possède un unique symétrique.

3. En déduire que ${\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x$ et que $(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}$.

4. Établir la régularité : si $ax=ay$ alors $x=y$, et si $xa=ya$ alors $x=y$.

5. Montrer que l'équation $ax=b$, d'inconnue $x\in G$, admet une unique solution.

6. Montrer que $(xy{)}^2=x^2{y}^2$ si et seulement si $xy=yx$.

7. On suppose $G$ abélien. Montrer par récurrence que $(xy{)}^n=x^n{y}^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis étendre le résultat à tout $n\in \mathbb{Z}$.

1. Rappeler la caractérisation des sous-groupes.

2. Les parties suivantes sont-elles des sous-groupes du groupe indiqué ? Justifier complètement chaque réponse.

   a. $2\mathbb{Z}$ dans $(\mathbb{Z},+)$

   b. $\mathbb{N}$ dans $(\mathbb{Z},+)$

   c. $\{-1,1\}$ dans $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$

   d. ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ dans $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$

   e. $\mathbb{U}$ dans $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$

   f. ${\mathbb{U}}_n$ dans $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$, avec $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

   g. $\{z\in {\mathbb{C}}^{\ast }:\mid z\mid \in \mathbb{Q}\}$ dans $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$

   h. $\{a+b\sqrt{2}:(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\}$ dans $(\mathbb{R},+)$

   i. l'ensemble des fonctions paires dans $(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}),+)$

   j. $\mathbb{Z}\setminus \{0\}$ dans $({\mathbb{Q}}^{\ast },\times )$

Pour chacune des applications suivantes, dire s'il s'agit d'un morphisme du premier groupe vers le second, et justifier. On note $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, et $({\mathbb{R}}^2,+)$ désigne le groupe produit, muni de $(x,y)+(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})=(x+x^{\mathrm{\prime }},y+y^{\mathrm{\prime }})$.

On admet que chacune des applications suivantes est un morphisme de groupes. Déterminer son noyau et son image, puis conclure quant à son injectivité et à sa surjectivité. On note $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

1. $\exp :(\mathbb{R},+)\to ({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$

2. $N:z\mapsto \mid z\mid$, de $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$ dans $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$

3. $\phi :t\mapsto e^{it}$, de $(\mathbb{R},+)$ dans $(\mathbb{U},\times )$

4. $p_n:z\mapsto z^n$, de $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$ dans $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$

5. $\theta :x\mapsto 3x$, de $(\mathbb{Z},+)$ dans $(\mathbb{Z},+)$

6. $s:(x,y)\mapsto x-y$, du groupe produit $({\mathbb{R}}^2,+)$ dans $(\mathbb{R},+)$

Tous les anneaux considérés sont unitaires. On munit $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ des lois usuelles définies par $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ et $(fg)(x)=f(x)g(x)$ : c'est un anneau commutatif, dont l'élément unité est la fonction constante égale à $1$. On note enfin $\mathbb{D}=\{{\displaystyle \frac{a}{{10}^n}}:a\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N}\}$ l'ensemble des nombres décimaux.

1. Rappeler la caractérisation d'un sous-anneau d'un anneau $(A,+,\times )$.

2. Montrer que $\mathbb{Z}[i]=\{a+ib:(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\}$ est un sous-anneau de $\mathbb{C}$.

3. Montrer que $\mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right]=\{a+b\sqrt{2}:(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\}$ est un sous-anneau de $\mathbb{R}$, puis que l'écriture $a+b\sqrt{2}$ d'un élément de cet ensemble est unique. On utilisera l'irrationalité de $\sqrt{2}$.

4. Montrer que $\mathbb{D}$ est un sous-anneau de $\mathbb{Q}$.

5. Montrer que $2\mathbb{Z}$ n'est pas un sous-anneau de $\mathbb{Z}$, et que $B=\{f\in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}):f(0)=0\}$ n'est pas un sous-anneau de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.

6. Montrer que l'ensemble des fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est un sous-anneau de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.

Dans tout l'exercice, $(A,+,\times )$ désigne un anneau, dont on note $1_A$ le neutre multiplicatif. Un élément $x\in A$ est dit inversible lorsqu'il existe $y\in A$ tel que $xy=yx=1_A$ ; un tel $y$ est alors unique et se note $x^{-1}$. On note $A^{\times }$ l'ensemble des éléments inversibles de $A$.

1. Démontrer que $A^{\times }$, muni de la multiplication de $A$, est un groupe.

2. Déterminer ${\mathbb{Z}}^{\times }$, ${\mathbb{Q}}^{\times }$ et ${\mathbb{R}}^{\times }$.

3. On munit $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ des lois définies composante par composante, à savoir $(a,b)+(a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }})=(a+a^{\mathrm{\prime }},b+b^{\mathrm{\prime }})$ et $(a,b)\times (a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }})=(a{a}^{\mathrm{\prime }},b{b}^{\mathrm{\prime }})$ : c'est un anneau, de neutre multiplicatif $(1,1)$. Montrer que $(a,b)$ est inversible si et seulement si $a$ et $b$ le sont, puis déterminer $(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}{)}^{\times }$.

4. On munit $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ des lois usuelles, définies par $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ et $(fg)(x)=f(x)g(x)$ : c'est un anneau, dont le neutre multiplicatif est la fonction constante égale à $1$, notée $\mathbf{1}$. Déterminer $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}{)}^{\times }$, puis les inversibles de l'anneau $\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ des fonctions continues sur $\mathbb{R}$.

5. Montrer que si $x$ et $y$ sont inversibles, alors $xy$ l'est. La somme de deux éléments inversibles est-elle toujours inversible ?

On pose $E=\{1,2,3\}$ et on note ${\mathfrak{S}}_3$ l'ensemble des bijections de $E$ dans $E$, muni de la composition $\circ$. Une telle bijection est appelée permutation de $E$ ; elle est entièrement décrite par son tableau de valeurs, c'est-à-dire par la donnée de $f(1)$, $f(2)$ et $f(3)$.

On reprend les notations du cours, dont la question 1. justifiera qu'elles épuisent ${\mathfrak{S}}_3$ : $\mathrm{id}$ désigne l'application identité de $E$ ; pour $i\in \{1,2,3\}$, ${\tau }_i$ désigne la permutation qui laisse $i$ fixe et échange les deux autres éléments ; enfin $\sigma$ et ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}$ sont définies par $\sigma (1)=2$, $\sigma (2)=3$, $\sigma (3)=1$ et ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}(1)=3$, ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}(2)=1$, ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}(3)=2$.

1. Justifier que $({\mathfrak{S}}_3,\circ )$ est un groupe et qu'il possède exactement six éléments, en dressant leur tableau de valeurs.

2. Calculer ${\tau }_1\circ {\tau }_3$ et ${\tau }_3\circ {\tau }_1$. Qu'en conclure sur le groupe ${\mathfrak{S}}_3$ ?

3. Déterminer l'inverse de chacun des six éléments de ${\mathfrak{S}}_3$.

4. Montrer que $H=\{f\in {\mathfrak{S}}_3:f(3)=3\}$ est un sous-groupe de ${\mathfrak{S}}_3$ à deux éléments, puis que l'ensemble $K$ formé de l'identité et des deux permutations sans point fixe est un sous-groupe à trois éléments.

5. Montrer que $H\cup K$ n'est pas un sous-groupe de ${\mathfrak{S}}_3$.

Soient $(G,\cdot )$ et $(H,\cdot )$ deux groupes, notés multiplicativement, de neutres respectifs $e_G$ et $e_H$. On munit le produit cartésien $G\times H$ de la loi produit, définie composante par composante :

1. Vérifier que $(G\times H,\cdot )$ est un groupe. Montrer qu'il est abélien si et seulement si $G$ et $H$ le sont tous les deux.

2. On note $p_G:G\times H\to G,(x,y)\mapsto x$ et $p_H:G\times H\to H,(x,y)\mapsto y$ les deux projections. Montrer que ce sont des morphismes de groupes surjectifs, et déterminer leurs noyaux.

3. Montrer que $G\times \{e_H\}$ est un sous-groupe de $G\times H$, puis que la diagonale $\mathrm{\Delta }=\{(x,x):x\in G\}$ est un sous-groupe de $G\times G$.

4. Application. Montrer que

est un isomorphisme de groupes, les trois ensembles étant munis de la multiplication.

On pose $G=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ et, pour tous $x,y\in G$,

1. Vérifier que $\star$ est une loi de composition interne sur $G$, c'est-à-dire que $x\star y\mathrm{\ne }-1$ dès que $x\mathrm{\ne }-1$ et $y\mathrm{\ne }-1$. On pourra commencer par remarquer que $1+x\star y=(1+x)(1+y)$.

2. Montrer que $(G,\star )$ est un groupe abélien, en précisant son élément neutre et le symétrique d'un élément $x$.

3. Montrer que $\phi :x\mapsto 1+x$ est un isomorphisme de $(G,\star )$ sur $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$.

4. Pour $n\in \mathbb{Z}$, on note $x^{\star n}$ la puissance $n$-ième de $x$ dans le groupe $(G,\star )$, définie comme d'habitude par $x^{\star 0}=e$ (le neutre), $x^{\star (n+1)}=x^{\star n}\star x$ pour $n\in \mathbb{N}$, et $x^{\star (-n)}$ égal au symétrique de $x^{\star n}$. Donner une expression de $x^{\star n}$ en fonction de $x$ et de $n$.

5. Résoudre dans $G$ l'équation $x\star x\star x=7$.

Pour $n\in \mathbb{Z}$, on note $n\mathbb{Z}=\{nk:k\in \mathbb{Z}\}$ l'ensemble des multiples de $n$. Le groupe considéré dans tout l'exercice est $(\mathbb{Z},+)$.

1. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, l'ensemble $n\mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$.

2. Réciproquement, soit $H$ un sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$. Montrer que $H=\{0\}$, ou bien qu'il existe un unique $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $H=n\mathbb{Z}$. On pourra considérer le plus petit élément strictement positif de $H$, puis effectuer une division euclidienne.

3. Soient $a,b\in \mathbb{Z}$. Montrer que $a\mathbb{Z}\subset b\mathbb{Z}$ si et seulement si $b\mid a$.

4. Soient $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Montrer que $a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z}$ et $a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=\{au+bv:u,v\in \mathbb{Z}\}$ sont des sous-groupes de $(\mathbb{Z},+)$, puis les identifier à l'aide du PPCM et du PGCD de $a$ et $b$.

Dans tout l'exercice, $(G,\cdot )$ désigne un groupe noté multiplicativement, de neutre $e$.

1. Soit $(H_i{)}_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de $G$, indexée par un ensemble $I$ non vide. Montrer que ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}{H}_i}$ est un sous-groupe de $G$.

2. Donner un exemple montrant que la réunion de deux sous-groupes n'est pas toujours un sous-groupe. On pourra considérer $2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$ dans le groupe $(\mathbb{Z},+)$.

3. Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes de $G$. Démontrer que $H\cup K$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si $H\subset K$ ou $K\subset H$. On pourra raisonner par l'absurde en se donnant $h\in H\setminus K$ et $k\in K\setminus H$, puis en examinant $hk$.

4. On suppose de plus $G$ abélien. Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes de $G$. Montrer que

est un sous-groupe de $G$.

Dans tout l'exercice, $(G,\cdot )$ désigne un groupe noté multiplicativement, de neutre $e$. Pour $x\in G$, on note $x^2=x\cdot x$.

1. On suppose que $x^2=e$ pour tout $x\in G$. Démontrer que $G$ est abélien.

2. Donner deux exemples de groupes vérifiant cette hypothèse : le groupe $(\{-1,1\},\times )$, puis un groupe produit.

3. Dans le groupe $(\mathbb{Z},+)$, quels sont les éléments $x$ tels que $x+x=0$ ? Le résultat de la question 1. admet-il une réciproque ?

4. On suppose maintenant que $G$ est fini, de cardinal pair. Montrer qu'il existe $x\in G$, avec $x\mathrm{\ne }e$, tel que $x^2=e$. On pourra regrouper les éléments de $G\setminus \{e\}$ par paires $\{x,x^{-1}\}$, puis compter.

Soit $(G,\cdot )$ un groupe, de neutre $e$. On appelle centre de $G$ l'ensemble

et, pour $a\in G$ fixé, centralisateur de $a$ l'ensemble

1. Montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe de $G$.

2. Soit $a\in G$. Montrer que $C_G(a)$ est un sous-groupe de $G$ contenant $a$.

3. Montrer que $Z(G)={\bigcap }_{a\in G}{C}_G(a)$, puis que $Z(G)=G$ si et seulement si $G$ est abélien.

4. Déterminer le centre de ${\mathfrak{S}}_3$, groupe des permutations de $\{1,2,3\}$. On décrira les permutations par leur tableau de valeurs.

5. Montrer que si $x\in Z(G)$ et $y\in G$, alors $(xy{)}^n=x^n{y}^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Soit $(G,\cdot )$ un groupe de neutre $e$ et soit $a\in G$. Montrer que l'application

   $$f:\mathbb{Z}⟶G,n⟼a^n$$

   est un morphisme de groupes de $(\mathbb{Z},+)$ dans $(G,\cdot )$, et que réciproquement tout morphisme de $(\mathbb{Z},+)$ dans $(G,\cdot )$ est de cette forme : il est entièrement déterminé par l'élément $a=f(1)$.

2. En déduire la description de tous les morphismes de $(\mathbb{Z},+)$ dans $(\mathbb{Z},+)$, puis de ceux qui sont bijectifs.

3. Déterminer tous les morphismes de $(\mathbb{Z},+)$ dans $(\mathbb{U},\times )$.

4. Soit $f$ un morphisme de $(\mathbb{Z},+)$ dans un groupe $G$. Montrer que $\mathrm{Ker}f$ est de la forme $n\mathbb{Z}$ avec $n\in \mathbb{N}$, en redémontrant que tout sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$ est de cette forme. Interpréter le cas $n=0$.

5. Application : décrire le noyau et l'image du morphisme $n\mapsto i^n$ de $(\mathbb{Z},+)$ dans $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$.

Soit $A$ un anneau, d'éléments neutres $0$ et $1$. Sauf mention contraire, $a$ et $b$ désignent deux éléments de $A$ qui commutent, c'est-à-dire tels que $ab=ba$. Pour $m\in \mathbb{N}$ et $x\in A$, on note $mx$ la somme $x+\cdots +x$ à $m$ termes.

1. Démontrer par récurrence la formule du binôme

   $$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)a^k{b}^{n-k}(n\in \mathbb{N})\mathrm{.}$$

   On utilisera la formule de Pascal et on précisera soigneusement où sert l'hypothèse $ab=ba$.

2. Développer $(a+b{)}^2$ et $(a+b{)}^3$ dans un anneau quelconque, sans hypothèse de commutation, et expliquer pourquoi la formule du binôme tombe alors en défaut.

3. Démontrer la factorisation

   $$a^n-b^n=(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}{a}^k{b}^{n-1-k}(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })\mathrm{.}$$

4. En déduire que $1-a^n=(1-a)(1+a+\cdots +a^{n-1})$ pour tout $a\in A$ et tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

5. Application : on suppose $a^2=0$. Calculer $(1+a{)}^n$ pour $n\in \mathbb{N}$, puis montrer que $1+a$ est inversible et donner son inverse.

Soit $A$ un anneau. Un élément $x\in A$ est dit nilpotent lorsqu'il existe $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $x^n=0$.

1. Montrer que si $x$ est nilpotent, alors $1-x$ est inversible, et donner explicitement son inverse.

2. Montrer que si $x$ est nilpotent et si $u$ est inversible avec $ux=xu$, alors $u+x$ est inversible.

3. Montrer que si $x$ et $y$ sont nilpotents et commutent, alors $x+y$ et $xy$ sont nilpotents. Pour la somme, on utilisera la formule du binôme et on majorera les exposants.

4. Montrer qu'un élément nilpotent d'un anneau intègre est nul, et qu'un élément à la fois nilpotent et inversible n'existe que dans l'anneau nul.

5. Montrer que l'anneau produit $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ ne possède pas d'élément nilpotent non nul. Puis, sur l'ensemble ${\mathbb{Z}}^2$, on considère l'addition usuelle et la loi

   $$(a,b)\star (a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }})=(a{a}^{\mathrm{\prime }},a{b}^{\mathrm{\prime }}+a^{\mathrm{\prime }}b)\mathrm{.}$$

   Vérifier que l'on obtient ainsi un anneau commutatif, et que $(0,1)$ y est nilpotent non nul.

1. Rappeler ce qu'est un diviseur de zéro d'un anneau, puis un anneau intègre. Montrer que dans un anneau intègre, les relations $ab=ac$ et $a\mathrm{\ne }0$ entraînent $b=c$.

2. Montrer que l'anneau $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, muni des opérations usuelles, n'est pas intègre : on exhibera deux fonctions non nulles dont le produit est la fonction nulle.

3. Montrer que si $A$ et $B$ sont deux anneaux non nuls, l'anneau produit $A\times B$ n'est jamais intègre.

4. Montrer que dans un anneau intègre, l'équation $x^2=1$ n'a pour solutions que $1$ et $-1$. Donner un anneau où elle en a davantage.

5. Montrer qu'un diviseur de zéro n'est jamais inversible.

6. Montrer que tout sous-anneau d'un anneau intègre est intègre. En déduire que $\mathbb{Z}[i]=\{a+ib:(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\}$ et $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}:(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\}$ sont intègres.

On pose

C'est l'ensemble noté $\mathbb{Q}\left[\sqrt{2}\right]$ dans le cours. On rappelle que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

1. Montrer que tout élément de $K$ s'écrit de manière unique sous la forme $a+b\sqrt{2}$ avec $(a,b)\in {\mathbb{Q}}^2$.

2. Montrer que $K$ est un sous-anneau de $\mathbb{R}$.

3. Soit $x=a+b\sqrt{2}$ un élément non nul de $K$. Montrer que $a^2-2b^2\mathrm{\ne }0$, puis expliciter $x^{-1}$ sous la forme $a^{\mathrm{\prime }}+b^{\mathrm{\prime }}\sqrt{2}$ avec $(a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }})\in {\mathbb{Q}}^2$. Conclure que $K$ est un sous-corps de $\mathbb{R}$.

4. Pour $x=a+b\sqrt{2}\in K$, on pose $N(x)=a^2-2b^2$. Montrer que $N(xy)=N(x)N(y)$ pour tous $x,y\in K$.

5. Montrer que $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}:(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\}$ est un sous-anneau de $K$ qui n'en est pas un sous-corps.

Dans tout l'exercice, $A$ et $B$ désignent des anneaux. On note $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}:(a,b)\in {\mathbb{Q}}^2\}$, sous-anneau de $\mathbb{R}$ dans lequel l'écriture $a+b\sqrt{2}$ à coefficients rationnels est unique.

1. Rappeler la définition d'un morphisme d'anneaux $f:A\to B$, condition $f(1_A)=1_B$ comprise. Démontrer que $f(0_A)=0_B$, que $f(-x)=-f(x)$, que $f(x^n)=f(x{)}^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, et que l'image d'un élément inversible est inversible, avec $f(x^{-1})=f(x{)}^{-1}$.

2. Parmi les applications suivantes, dire lesquelles sont des morphismes d'anneaux, en justifiant.

   a. $z\mapsto \bar{z}$, de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$.

   b. $z\mapsto 2z$, de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$.

   c. $f\mapsto f(0)$, de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$.

   d. $x\mapsto (x,x)$, de $A$ dans $A\times A$.

   e. $x\mapsto (x,0)$, de $A$ dans $A\times A$.

   f. $a+b\sqrt{2}\mapsto a-b\sqrt{2}$, de $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ dans lui-même.

   g. $x\mapsto x^2$, de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

3. Montrer que l'application f. de la question précédente est un automorphisme d'anneau involutif, c'est-à-dire égal à sa réciproque.

4. Soit $f:A\to B$ un morphisme d'anneaux. Montrer que $\mathrm{Ker}f=\{x\in A:f(x)=0_B\}$ est un sous-groupe de $(A,+)$ stable par multiplication par tout élément de $A$, mais que ce n'est pas un sous-anneau de $A$, sauf dans un cas dégénéré que l'on précisera.

5. Montrer que l'image d'un sous-anneau par un morphisme d'anneaux est un sous-anneau.

On appelle entiers de Gauss les éléments de

et l'on pose, pour $z\in \mathbb{Z}[i]$, $N(z)=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2$ (la norme de $z$).

1. Montrer que $\mathbb{Z}[i]$ est un sous-anneau de $\mathbb{C}$, puis que $N(z)=a^2+b^2\in \mathbb{N}$ pour tout $z=a+ib\in \mathbb{Z}[i]$.

2. Montrer que $N(z{z}^{\mathrm{\prime }})=N(z)N(z^{\mathrm{\prime }})$ pour tous $z,z^{\mathrm{\prime }}\in \mathbb{Z}[i]$.

3. Montrer qu'un élément $z$ de $\mathbb{Z}[i]$ est inversible dans $\mathbb{Z}[i]$ si et seulement si $N(z)=1$. En déduire que $\mathbb{Z}[i{]}^{\times }=\{1,-1,i,-i\}$.

4. Vérifier que le groupe $(\mathbb{Z}[i{]}^{\times },\times )$ est isomorphe à $({\mathbb{U}}_4,\times )$.

5. (Application.) Montrer qu'il n'existe aucun $z\in \mathbb{Z}[i]$ tel que $N(z)=3$, et en déduire que $3$ n'est pas la somme de deux carrés d'entiers.

6. Montrer que $2=-i(1+i{)}^2$, et que $1+i$ n'est pas inversible dans $\mathbb{Z}[i]$.

On pose $A=\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}:(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\}\subset \mathbb{R}$ et, pour $x=a+b\sqrt{2}\in A$,

On note $\bar{x}=a-b\sqrt{2}$, de sorte que $N(x)=x\bar{x}$. C'est la même application $N$ qu'à l'exercice 21, restreinte ici aux coefficients entiers.

1. Montrer que $A$ est un sous-anneau de $\mathbb{R}$, que l'écriture $x=a+b\sqrt{2}$ avec $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$ est unique, et que $N(xy)=N(x)N(y)$ pour tous $x,y\in A$.

2. Montrer qu'un élément $x$ de $A$ est inversible dans $A$ si et seulement si $N(x)=\pm 1$.

3. Vérifier que $u=1+\sqrt{2}$ est inversible et donner son inverse. En déduire que $A^{\times }$ est infini.

4. Soit $x\in A^{\times }$ tel que $x>1$. En écrivant $x=a+b\sqrt{2}$ et en observant que $\mid \bar{x}\mid <1$, montrer que $a⩾1$ et $b⩾1$, puis que $x⩾1+\sqrt{2}$.

5. En déduire que les éléments de $A^{\times }$ strictement supérieurs à $1$ sont exactement les $u^n=(1+\sqrt{2}{)}^n$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

6. Interpréter le résultat en termes de solutions entières de l'équation $a^2-2b^2=\pm 1$.

Soit $A$ un anneau intègre et fini (en particulier $A$ est commutatif et $1_A\mathrm{\ne }{0}_A$).

1. Soit $a\in A$ non nul. Montrer que l'application ${\lambda }_a:x\mapsto ax$ est injective de $A$ dans $A$, puis qu'elle est bijective.

2. En déduire que $a$ est inversible, et conclure que $A$ est un corps.

3. Où l'hypothèse de finitude est-elle intervenue ? Montrer que $\mathbb{Z}$ fournit un contre-exemple dans le cas infini.

4. Montrer que le résultat tombe en défaut si l'on supprime l'intégrité. On construira d'abord l'ensemble $\mathbb{F}=\{0,1\}$ muni des lois données par les deux tables

   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0+0}& {\displaystyle =0,0+1=1+0=1,1+1=0,}\\ {\displaystyle 0\times 0}& {\displaystyle =0\times 1=1\times 0=0,1\times 1=1,}\end{array}$$

   on vérifiera que $\mathbb{F}$ est un corps à deux éléments, puis on considérera l'anneau produit $\mathbb{F}\times \mathbb{F}$.

5. Montrer que dans un anneau intègre fini, tout élément non nul $a$ vérifie $a^k=1$ pour un certain entier $k⩾1$. (On considérera les éléments $a,a^2,a^3,\dots$)

Soit $A$ un anneau, de neutres $0$ et $1$ ; on ne le suppose pas commutatif. Un élément $e$ de $A$ est dit idempotent lorsque $e^2=e$.

1. Montrer que $0$ et $1$ sont idempotents. Montrer que si $e$ est idempotent, alors $1-e$ l'est aussi, et que $e(1-e)=0$.

2. Montrer que si $A$ est intègre, ses seuls idempotents sont $0$ et $1$.

3. Montrer qu'un idempotent inversible est nécessairement égal à $1$.

4. Déterminer tous les idempotents de l'anneau produit $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$.

5. Soit $X$ un ensemble non vide. Déterminer tous les idempotents de l'anneau $\mathcal{F}(X,\mathbb{R})$ des fonctions de $X$ dans $\mathbb{R}$, muni des lois usuelles : montrer que ce sont exactement les fonctions indicatrices de parties de $X$.

6. Soient $e$ et $f$ deux idempotents de $A$ qui commutent. Montrer que $ef$ et $e+f-ef$ sont idempotents.

Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ un morphisme du groupe $(\mathbb{R},+)$ dans lui-même, c'est-à-dire une application vérifiant

1. Montrer que $f(0)=0$, que $f(-x)=-f(x)$ pour tout réel $x$, puis que $f(nx)=nf(x)$ pour tous $x\in \mathbb{R}$ et $n\in \mathbb{Z}$.

2. En déduire que $f(r)=rf(1)$ pour tout $r\in \mathbb{Q}$.

3. On suppose de plus $f$ continue en un point $x_0$. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, puis, à l'aide de la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$, que $f(x)=ax$ pour tout réel $x$, où $a=f(1)$.

4. Déterminer de même tous les morphismes continus de $(\mathbb{R},+)$ dans $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$, puis tous les morphismes continus de $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$ dans $(\mathbb{R},+)$.

5. En déduire tous les isomorphismes continus entre $(\mathbb{R},+)$ et $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$.

6. Montrer que $(\mathbb{R},+)$ et $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$ ne sont pas isomorphes, même sans hypothèse de continuité. (On regardera les solutions de l'équation $x\star x=e$ dans chacun des deux groupes.)

Pour montrer que deux groupes sont isomorphes, on exhibe un isomorphisme. Pour montrer qu'ils ne le sont pas, on cherche une propriété conservée par isomorphisme que l'un possède et l'autre non. C'est l'objet de cet exercice.

1. Soit $\phi :G\to H$ un isomorphisme de groupes, de neutres respectifs $e_G$ et $e_H$. Montrer que si $G$ est commutatif, alors $H$ l'est aussi. Montrer ensuite que, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $\phi$ induit une bijection de

   $$S_n(G)=\{x\in G:x^n=e_G\}\text{sur}{S}_n(H)=\{y\in H:y^n=e_H\}\mathrm{.}$$

2. Montrer que $(\mathbb{Q},+)$ et $(\mathbb{Z},+)$ ne sont pas isomorphes.

3. Montrer que $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$ et $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$ ne sont pas isomorphes.

4. Montrer que $(\mathbb{Q},+)$ et $({\mathbb{Q}}_{+}^{\ast },\times )$ ne sont pas isomorphes.

5. Montrer que $(\mathbb{R},+)$ et $(\mathbb{Q},+)$ ne sont pas isomorphes. (On admettra que $\mathbb{Q}$ est dénombrable et que $\mathbb{R}$ ne l'est pas.)

6. Montrer en revanche que $(\mathbb{R},+)$ et $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$ sont isomorphes.

On note $\mathbb{U}=\{z\in \mathbb{C}:\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1\}$ et, pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ${\mathbb{U}}_n=\{z\in \mathbb{C}:z^n=1\}$. Pour deux entiers $n,m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $n\wedge m$ désigne leur PGCD et $n\vee m$ leur PPCM.

1. Montrer que $\phi :t\mapsto e^{it}$ est un morphisme de $(\mathbb{R},+)$ dans $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$. Déterminer $\mathrm{Im}\phi$ et $\mathrm{Ker}\phi$, et retrouver ainsi que $\mathbb{U}$ est un sous-groupe de $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$.

2. Montrer que $\exp :(\mathbb{C},+)\to ({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$ est un morphisme surjectif, de noyau $2i\pi \mathbb{Z}$.

3. Montrer que ${\mathbb{U}}_n$ est un sous-groupe de $(\mathbb{U},\times )$ possédant exactement $n$ éléments, et que $z\mapsto z^n$ est un morphisme surjectif de $\mathbb{U}$ sur $\mathbb{U}$, de noyau ${\mathbb{U}}_n$.

4. Montrer que ${\mathbb{U}}_n\subset {\mathbb{U}}_m$ si et seulement si $n\mid m$.

5. Montrer que ${\mathbb{U}}_n\cap {\mathbb{U}}_m={\mathbb{U}}_{n\wedge m}$, puis que $\{z{z}^{\mathrm{\prime }}:z\in {\mathbb{U}}_n,z^{\mathrm{\prime }}\in {\mathbb{U}}_m\}={\mathbb{U}}_{n\vee m}$.

6. En déduire que ${\displaystyle \bigcup _{n⩾1}{\mathbb{U}}_n}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{U},\times )$.

Soit $(G,\cdot )$ un groupe de neutre $e$. Pour $a\in G$, on définit l'application

On note ${\mathfrak{S}}_G$ le groupe des bijections de l'ensemble $G$ dans lui-même, muni de la composition.

1. Montrer que ${\gamma }_a$ est un automorphisme de $G$, c'est-à-dire un isomorphisme de $G$ sur lui-même, et que ${\gamma }_a^{-1}={\gamma }_{a^{-1}}$. On dit que ${\gamma }_a$ est l'automorphisme intérieur associé à $a$.

2. Montrer que ${\gamma }_{ab}={\gamma }_a\circ {\gamma }_b$ pour tous $a,b\in G$, et en déduire que

   $$\mathrm{\Gamma }:G⟶{\mathfrak{S}}_G,a⟼{\gamma }_a$$

   est un morphisme de groupes de $(G,\cdot )$ dans $({\mathfrak{S}}_G,\circ )$.

3. Déterminer $\mathrm{Ker}\mathrm{\Gamma }$ : c'est par définition le centre de $G$, noté $Z(G)$. Caractériser les groupes pour lesquels tous les ${\gamma }_a$ sont égaux à ${\mathrm{id}}_G$.

4. Soit $H$ un sous-groupe de $G$. Montrer que ${\gamma }_a(H)$ est un sous-groupe de $G$.

5. Montrer que $\mathrm{Int}(G)=\{{\gamma }_a:a\in G\}$ est un sous-groupe de ${\mathfrak{S}}_G$.

6. On se place dans ${\mathfrak{S}}_3$, groupe des permutations de $\{1,2,3\}$, avec les notations du cours : pour $i\in \{1,2,3\}$, ${\tau }_i$ désigne la permutation qui laisse $i$ fixe et échange les deux autres éléments, soit

   $${\tau }_3(1)=2,{\tau }_3(2)=1,{\tau }_3(3)=3\text{et}{\tau }_1(1)=1,{\tau }_1(2)=3,{\tau }_1(3)=2.$$

   Calculer ${\gamma }_{{\tau }_3}({\tau }_1)$ et en déduire que ${\gamma }_{{\tau }_3}\mathrm{\ne }{\mathrm{id}}_{{\mathfrak{S}}_3}$.

On pose $I=]-1,1[$ et, pour $x,y\in I$,

1. Vérifier que $1+xy\mathrm{\ne }0$ pour tous $x,y\in I$, puis que $x\star y\in I$. On montrera pour cela que $1-x\star y>0$ et $1+x\star y>0$ en factorisant les numérateurs. Conclure que $\star$ est une loi de composition interne sur $I$.

2. Montrer que $(I,\star )$ est un groupe abélien : on précisera le neutre et le symétrique d'un élément, et on mènera le calcul complet de l'associativité.

3. Montrer que $\mathrm{th}$ réalise un isomorphisme de $(\mathbb{R},+)$ sur $(I,\star )$, puis vérifier que l'unique réel $t$ tel que $\mathrm{th}(t)=x$ est donné par $t={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln {\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}$.

4. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $x\in I$, on note $x^{\star n}=x\star x\star \cdots \star x$, où $x$ figure $n$ fois (le parenthésage est indifférent d'après la question 2). Montrer que $x^{\star n}=\mathrm{th}(nt)$, où $t$ est le réel de la question 3, puis en déduire l'expression close

et vérifier sur cette formule que $x^{\star 2}={\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}$.

5. Résoudre dans $I$ l'équation $x\star x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Soit $(G,\cdot )$ un groupe de neutre $e$. On note ${\mathfrak{S}}_G$ le groupe des permutations de l'ensemble $G$, c'est-à-dire le groupe des bijections de $G$ dans lui-même muni de la composition. Pour $a\in G$, on définit la translation à gauche

1. Montrer que ${\tau }_a$ est une bijection de $G$ et préciser sa réciproque. Montrer par ailleurs que ${\tau }_a$ n'est un morphisme de groupes que dans un cas très particulier, que l'on précisera.

2. Montrer que $\mathrm{\Phi }:a⟼{\tau }_a$ est un morphisme de groupes de $(G,\cdot )$ dans $({\mathfrak{S}}_G,\circ )$.

3. Montrer que $\mathrm{\Phi }$ est injectif.

4. En déduire le théorème de Cayley : tout groupe est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe de permutations. On justifiera soigneusement que $\mathrm{Im}\mathrm{\Phi }$ est un sous-groupe de ${\mathfrak{S}}_G$ et que $G$ est isomorphe à $\mathrm{Im}\mathrm{\Phi }$.

5. Illustrer le résultat sur $G=(\{1,-1,i,-i\},\times )$ en décrivant les quatre permutations ${\tau }_a$ par leur tableau de valeurs.

6. Que donnerait la même construction avec les translations à droite ${\rho }_a:x⟼xa$ ? Vérifier que $a⟼{\rho }_a$ n'est pas toujours un morphisme de groupes, puis montrer que $\mathrm{\Psi }:a⟼{\rho }_{a^{-1}}$, c'est-à-dire $a⟼(x\mapsto x{a}^{-1})$, en est toujours un.

Pour $a\in \mathbb{R}$, on note $a\mathbb{Z}=\{ka:k\in \mathbb{Z}\}$. On dira qu'une partie $D$ de $\mathbb{R}$ est dense dans $\mathbb{R}$ lorsque tout intervalle ouvert non vide rencontre $D$, c'est-à-dire : pour tous réels $x<y$, $D\cap ]x,y[\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$.

Soit $H$ un sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ non réduit à $\{0\}$. On pose

1. Montrer que $H^{+\ast }$ est non vide, que $a$ est bien défini et que $a⩾0$.

2. On suppose $a>0$. Montrer que $a\in H$, puis que $H=a\mathbb{Z}$.

3. On suppose $a=0$. Montrer que $H$ est dense dans $\mathbb{R}$.

4. Conclure : tout sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ est soit de la forme $a\mathbb{Z}$ avec $a⩾0$, soit dense dans $\mathbb{R}$.

5. Soit $\alpha$ un nombre irrationnel. Montrer que $\mathbb{Z}+\alpha \mathbb{Z}=\{p+q\alpha :(p,q)\in {\mathbb{Z}}^2\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$, qu'il n'est de la forme $a\mathbb{Z}$ pour aucun $a>0$, et qu'il est donc dense dans $\mathbb{R}$.

6. En déduire que $\{\cos n:n\in \mathbb{N}\}$ est dense dans $[-1,1]$, au sens où tout élément de $[-1,1]$ est limite d'une suite d'éléments de cet ensemble. On admettra l'irrationalité de $\pi$.

On note ${\mathbb{U}}_n=\{z\in \mathbb{C}:z^n=1\}$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité. Soit $H$ un sous-groupe fini de $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$, de cardinal $n⩾1$. Le but de l'exercice est de démontrer que $H={\mathbb{U}}_n$, sans utiliser aucun résultat sur les groupes finis.

1. Montrer que tout $z\in H$ vérifie $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$. On pourra considérer les puissances successives de $z$.

2. Montrer que pour tout $z\in H$ il existe $k⩾1$ tel que $z^k=1$, et en déduire que tout élément de $H$ s'écrit $e^{2i\pi r}$ avec $r\in \mathbb{Q}$.

3. On suppose désormais $H\mathrm{\ne }\{1\}$. Pour $z$ de module $1$ et $z\mathrm{\ne }1$, on note ${\arg }^{\mathrm{\prime }}z$ l'unique argument de $z$ appartenant à $]0,2\pi [$. Justifier l'existence de

et poser $\omega =e^{i\theta }$.

4. Montrer que tout élément de $H$ est une puissance de $\omega$. On effectuera la division euclidienne de ${\arg }^{\mathrm{\prime }}z$ par $\theta$.

5. Soit $m$ le plus petit entier $⩾1$ tel que ${\omega }^m=1$. Montrer que $H=\{1,\omega ,\dots ,{\omega }^{m-1}\}$, que ces éléments sont deux à deux distincts, puis que $m=n$.

6. Vérifier que ${\mathbb{U}}_n$ est un sous-groupe fini de $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$ de cardinal $n$, puis conclure que $H={\mathbb{U}}_n$ et que $\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$.

Un anneau $A$, de neutres $0$ et $1$ et non supposé commutatif, est dit de Boole lorsque

1. Montrer que dans un anneau de Boole, $x+x=0$ pour tout $x$, autrement dit $-x=x$. On développera $(x+x{)}^2$.

2. Montrer qu'un anneau de Boole est commutatif. On développera $(x+y{)}^2$.

3. Montrer qu'un anneau de Boole intègre possède exactement deux éléments, $0$ et $1$.

4. Soit $X$ un ensemble. On munit $\mathcal{P}(X)$ de la différence symétrique $A\mathrm{△}B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$ et de l'intersection. Montrer que $(\mathcal{P}(X),\mathrm{△},\cap )$ est un anneau de Boole. On utilisera les fonctions indicatrices : pour $A\subset X$, ${\mathbf{1}}_A:X\to \{0,1\}$ vaut $1$ sur $A$ et $0$ ailleurs, et l'on a $A=B$ si et seulement si ${\mathbf{1}}_A={\mathbf{1}}_B$.

5. Déterminer le groupe des inversibles de cet anneau, et montrer qu'il n'est pas intègre dès que $X$ possède au moins deux éléments.

6. Montrer que dans tout anneau de Boole, la relation définie par $x\preccurlyeq y$ si et seulement si $xy=x$ est une relation d'ordre. L'interpréter dans $\mathcal{P}(X)$.

Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ un morphisme d'anneaux, c'est-à-dire une application vérifiant

1. Montrer que $f(n)=n$ pour tout $n\in \mathbb{Z}$, puis que $f(r)=r$ pour tout $r\in \mathbb{Q}$.

2. Montrer que $f(x)⩾0$ dès que $x⩾0$, en écrivant $x={\left(\sqrt{x}\right)}^2$, puis que $f$ est croissante.

3. En déduire, à l'aide de la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$, que $f={\mathrm{id}}_{\mathbb{R}}$.

4. Montrer qu'un morphisme d'anneaux entre deux corps est toujours injectif.

5. Montrer que l'identité et la conjugaison sont deux morphismes d'anneaux distincts de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$. Pourquoi le raisonnement de la question 2 ne s'applique-t-il pas à $\mathbb{C}$ ?

6. On pose $\mathbb{Q}\left[\sqrt{2}\right]=\{a+b\sqrt{2}:(a,b)\in {\mathbb{Q}}^2\}$, dont on admettra que c'est un sous-corps de $\mathbb{R}$. Déterminer tous les morphismes d'anneaux de $\mathbb{Q}\left[\sqrt{2}\right]$ dans $\mathbb{R}$.