Devoir surveillé — Structures algébriques usuelles

On munit l'ensemble $G={\mathbb{R}}^{\ast }\times \mathbb{R}$ de la loi $\star$ définie par

$$(a,b)\star (a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }})=(a{a}^{\mathrm{\prime }},a{b}^{\mathrm{\prime }}+b)\mathrm{.}$$

Cette loi traduit la composition des applications affines $x\mapsto ax+b$.

1. (0,5 pt) Vérifier que $\star$ est une loi de composition interne sur $G$, et qu'elle est associative.

2. (0,5 pt) Déterminer le neutre de $\star$, puis le symétrique d'un élément $(a,b)\in G$. Conclure que $(G,\star )$ est un groupe.

3. (0,25 pt) Montrer que $(G,\star )$ n'est pas commutatif.

4. (1,25 pt) On pose $H=\{(1,b);b\in \mathbb{R}\}$ et $K=\{(a,0);a\in {\mathbb{R}}^{\ast }\}$. Montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$ isomorphe à $(\mathbb{R},+)$, et que $K$ est un sous-groupe de $G$ isomorphe à $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$.

5. (0,75 pt) Montrer que $p:(a,b)\mapsto a$ est un morphisme surjectif de $(G,\star )$ sur $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$, et déterminer son noyau.

6. (0,75 pt) Déterminer le centre de $G$, c'est-à-dire l'ensemble $Z(G)$ des éléments de $G$ qui commutent avec tous les éléments de $G$.

On note

$$\mathbb{U}=\{z\in \mathbb{C};\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1\}\text{et, pour }n\in {\mathbb{N}}^{\ast },{\mathbb{U}}_n=\{z\in \mathbb{C};z^n=1\}\mathrm{.}$$

On rappelle que tout élément de $\mathbb{U}$ s'écrit $e^{i\theta }$ avec $\theta \in \mathbb{R}$, et que $e^{i\theta }=1$ si et seulement si $\theta \in 2\pi \mathbb{Z}$.

1. (0,75 pt) Montrer que $\phi :t\mapsto e^{it}$ est un morphisme de $(\mathbb{R},+)$ dans $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$, puis déterminer $\mathrm{Im}\phi$ et $\mathrm{Ker}\phi$.

2. (1 pt) Montrer que ${\mathbb{U}}_n$ est un sous-groupe de $(\mathbb{U},\times )$, puis qu'il possède exactement $n$ éléments.

3. (0,75 pt) Montrer que ${\psi }_n:z\mapsto z^n$ est un morphisme de $(\mathbb{U},\times )$ dans lui-même, qu'il est surjectif, et que $\mathrm{Ker}{\psi }_n={\mathbb{U}}_n$.

4. Soient $n$ et $m$ deux entiers naturels non nuls, et $d=n\wedge m$.

a. (0,5 pt) Montrer que ${\mathbb{U}}_n\subset {\mathbb{U}}_m$ si et seulement si $n$ divise $m$.

b. (0,75 pt) Montrer que ${\mathbb{U}}_n\cap {\mathbb{U}}_m={\mathbb{U}}_d$. On pourra utiliser le théorème de Bézout.

5. (0,75 pt) Montrer que $\iota :z\mapsto {\displaystyle \frac{1}{z}}$ est un automorphisme de $(\mathbb{U},\times )$, et que la conjugaison $z\mapsto \bar{z}$ coïncide avec $\iota$ sur $\mathbb{U}$.

6. (0,5 pt) Montrer que $(\mathbb{U},\times )$ n'est pas isomorphe à $(\mathbb{R},+)$. On pourra comparer, dans chacun des deux groupes, les solutions de l'équation $x^2=e$, où $e$ désigne le neutre, cette équation s'écrivant $x+x=0$ dans $(\mathbb{R},+)$.

On pose $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}$ et

$$A=\{a+bj;(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\}\mathrm{.}$$

Les éléments de $A$ sont appelés entiers d'Eisenstein. On munit $A$ de l'addition et de la multiplication de $\mathbb{C}$.

1. (0,5 pt) Démontrer que $j^3=1$ et $j^2+j+1=0$, puis exprimer $\bar{j}$ en fonction de $j$.

2. (1 pt) Démontrer que $A$ est un sous-anneau de $\mathbb{C}$, puis que tout élément de $A$ s'écrit d'une unique façon sous la forme $a+bj$ avec $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$.

3. (0,75 pt) Pour $z\in A$, on pose $N(z)=z\bar{z}$. Démontrer que $N(a+bj)=a^2-ab+b^2$, que $N(z)\in \mathbb{N}$ pour tout $z\in A$, et que $N(z{z}^{\mathrm{\prime }})=N(z)N(z^{\mathrm{\prime }})$ pour tous $z,z^{\mathrm{\prime }}\in A$.

4. (0,75 pt) Vérifier que $4N(a+bj)=(2a-b{)}^2+3b^2$. En déduire que, pour $z\in A$, $N(z)=0$ si et seulement si $z=0$, puis que l'anneau $A$ est intègre.

5. (1 pt) Démontrer qu'un élément $z\in A$ est inversible dans $A$ si et seulement si $N(z)=1$.

6. (1 pt) En déduire que $A^{\times }=\{1,-1,j,-j,j^2,-j^2\}$, puis vérifier que $A^{\times }$ est un sous-groupe à six éléments de $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$, égal à ${\mathbb{U}}_6$.

On numérote $1$, $2$, $3$, $4$ les sommets d'un carré, dans cet ordre le long du carré : les côtés sont donc les paires

$$c_1=\{1,2\},c_2=\{2,3\},c_3=\{3,4\},c_4=\{4,1\},$$

et l'on note $C=\{c_1,c_2,c_3,c_4\}$ l'ensemble des côtés. On note ${\mathfrak{S}}_4$ le groupe des permutations de $\{1,2,3,4\}$, muni de la composition $\circ$, et

$$D=\{\sigma \in {\mathfrak{S}}_4;\mathrm{\forall }\{x,y\}\in C,\{\sigma (x),\sigma (y)\}\in C\}\mathrm{.}$$

Toutes les permutations devront être décrites par leur tableau de valeurs. Deux sommets sont dits voisins lorsqu'ils forment un côté.

1. (1 pt) Démontrer que $D$ est un sous-groupe de ${\mathfrak{S}}_4$.

2. (0,75 pt) Soient $r$ et $s$ les permutations définies par le tableau suivant.

Vérifier que $r\in D$ et $s\in D$, puis donner les tableaux de valeurs de $r^2$, $r^3$, $r^4$ et $s^2$.

3. (0,75 pt) Démontrer que $s\circ r=r^{-1}\circ s$, puis que $s\circ r^k=r^{-k}\circ s$ pour tout $k\in \mathbb{Z}$.

4. On se propose de décrire tous les éléments de $D$.

a. (0,75 pt) Démontrer qu'une permutation $\sigma \in D$ est entièrement déterminée par le couple $(\sigma (1),\sigma (2))$, et que ce couple ne peut prendre que huit valeurs.

b. (1 pt) En déduire que $D=\{\mathrm{id},r,r^2,r^3,s,r\circ s,r^2\circ s,r^3\circ s\}$, et que ces huit permutations sont deux à deux distinctes.

5. (1 pt) Démontrer que $D$ n'est pas commutatif, puis déterminer son centre $Z(D)$, c'est-à-dire l'ensemble des éléments de $D$ qui commutent avec tous les éléments de $D$.

6. (0,75 pt) Démontrer que l'application $\epsilon :D\to (\{-1,1\},\times )$ définie par $\epsilon \left(r^k\right)=1$ et $\epsilon (r^k\circ s)=-1$, pour $k\in \{0,1,2,3\}$, est bien définie, que c'est un morphisme de groupes, et déterminer son noyau.