Devoir surveillé — Raisonnement et vocabulaire ensembliste

Les cinq questions sont indépendantes.

1. Écrire la négation de chacune des propositions suivantes. On donnera à chaque fois une proposition entièrement quantifiée, sans employer la formule « il est faux que », et en explicitant les inégalités obtenues.

   a. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2⩾1$

   b. $\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},n^2=2$

   c. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }y\in \mathbb{R},y^2=x$

   d. $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},(n\text{ est pair}⟹n+1\text{ est impair})$

   e. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},(x⩽0\text{ ou }x⩾1)$

2. Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de nombres réels et soit $\mathrm{\ell }\in \mathbb{R}$. On donne les deux propositions suivantes, qui seront étudiées plus tard dans l'année : on demande seulement ici de les nier.

$$(\mathcal{C}):\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},(n⩾N⟹\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon )$$ $$(\mathcal{M}):\mathrm{\exists }M\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_n⩽M$$

a. Écrire la négation de $(\mathcal{C})$.

b. Écrire la négation de $(\mathcal{M})$.

3. Déterminer, en justifiant soigneusement, la valeur de vérité de chacune des trois propositions suivantes. Lorsqu'une proposition est fausse, on démontrera que sa négation est vraie.

$$P_1:\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }y\in \mathbb{R},x+y>0P_2:\mathrm{\exists }y\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x+y>0$$ $$P_3:\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }y\in \mathbb{R},xy=0$$

4. Soit $n\in \mathbb{N}$. On considère l'implication

$$(\mathcal{I}):n^2\text{ est pair}⟹n\text{ est pair}\mathrm{.}$$

a. Énoncer la réciproque de $(\mathcal{I})$, puis sa contraposée.

b. Démontrer $(\mathcal{I})$ en raisonnant par contraposition.

c. La réciproque de $(\mathcal{I})$ est-elle vraie ? Justifier, puis conclure par une équivalence.

5. Pour $n\in \mathbb{N}$, on note ${\mathcal{H}}_n$ la proposition : $2^n>n^2$.

   a. Vérifier que ${\mathcal{H}}_n$ est fausse pour $n=2$, pour $n=3$ et pour $n=4$, et qu'elle est vraie pour $n=5$.

   b. Démontrer par récurrence que ${\mathcal{H}}_n$ est vraie pour tout entier $n⩾5$. On pourra établir au passage que $2n^2⩾(n+1{)}^2$ pour tout $n⩾5$.

Dans tout l'exercice, $E$ désigne un ensemble et $A$, $B$, $C$ des parties de $E$. Le complémentaire de $A$ dans $E$ est noté $\bar{A}$, et l'on rappelle les notations

$$A\setminus B=A\cap \bar{B}\text{et}A\mathrm{\Delta }B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\mathrm{.}$$

Rappels sur les fonctions indicatrices. Pour $A\in \mathcal{P}(E)$, la fonction indicatrice de $A$ est l'application ${\mathbf{1}}_A:E\to \mathbb{R}$ définie par ${\mathbf{1}}_A(x)=1$ si $x\in A$ et ${\mathbf{1}}_A(x)=0$ si $x\mathrm{\notin }A$. Les sommes et produits ci-dessous sont des sommes et produits d'applications, calculés en chaque point de $E$, et $0$ et $1$ désignent les applications constantes correspondantes. On admet les trois résultats du cours :

$$A=B⟺{\mathbf{1}}_A={\mathbf{1}}_B,{\mathbf{1}}_{A\cap B}={\mathbf{1}}_A{\mathbf{1}}_B,{\mathbf{1}}_{\bar{A}}=1-{\mathbf{1}}_A\mathrm{.}$$

1. Démontrer, par double inclusion, l'égalité

$$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\mathrm{.}$$

2. a. En utilisant la loi de De Morgan $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$, démontrer que ${\mathbf{1}}_{A\cup B}={\mathbf{1}}_A+{\mathbf{1}}_B-{\mathbf{1}}_A{\mathbf{1}}_B$.

   b. Justifier que $(A\setminus B)\cap (B\setminus A)=\mathrm{\varnothing }$, puis démontrer que

$${\mathbf{1}}_{A\mathrm{\Delta }B}={\mathbf{1}}_A+{\mathbf{1}}_B-2{\mathbf{1}}_A{\mathbf{1}}_B\mathrm{.}$$

c. En déduire l'égalité $(A\mathrm{\Delta }B)\mathrm{\Delta }C=A\mathrm{\Delta }(B\mathrm{\Delta }C)$.

3. a. Démontrer, à l'aide des indicatrices, que $A\mathrm{\Delta }B=B\mathrm{\Delta }A$, que $A\mathrm{\Delta }A=\mathrm{\varnothing }$ et que $A\mathrm{\Delta }\mathrm{\varnothing }=A$.

   b. Soient $A$ et $B$ deux parties fixées de $E$. Résoudre, par analyse et synthèse, l'équation d'inconnue $X\in \mathcal{P}(E)$ :

$$A\mathrm{\Delta }X=B\mathrm{.}$$

4. Soit $A$ une partie fixée de $E$. On considère l'application

$${\phi }_A:\mathcal{P}(E)\to \mathcal{P}(E),X\mapsto A\mathrm{\Delta }X\mathrm{.}$$

Démontrer que ${\phi }_A$ est bijective et déterminer son application réciproque.

Rappels de notations. Soit $f:E\to F$ une application, $A$ une partie de $E$ et $B$ une partie de $F$. On note

$$f(A)=\{f(x);x\in A\}\text{et}{f}^{-1}(B)=\{x\in E;f(x)\in B\}\mathrm{.}$$

Ainsi $y\in f(A)$ signifie qu'il existe $x\in A$ tel que $y=f(x)$, et $x\in f^{-1}(B)$ signifie que $f(x)\in B$. On prendra garde que la notation $f^{-1}(B)$ a un sens pour toute application $f$, même non bijective.

Partie A — étude d'une application explicite.

On considère l'application $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par $f(x)=x^2-2x$.

1. Vérifier que, pour tout réel $x$, on a $f(x)=(x-1{)}^2-1$.

2. a. Déterminer $f^{-1}(\{0\})$.

   b. Déterminer $f^{-1}([-1,0])$.

   c. Démontrer que $f([0,3])=[-1,3]$.

3. L'application $f$ est-elle injective ? Est-elle surjective ? Justifier chaque réponse.

4. On considère l'application $g:[1,+\mathrm{\infty }[\to [-1,+\mathrm{\infty }[$ définie par $g(x)=x^2-2x$.

   a. Vérifier que $g$ est bien définie, c'est-à-dire que $g(x)$ appartient bien à $[-1,+\mathrm{\infty }[$ pour tout $x\in [1,+\mathrm{\infty }[$.

   b. Démontrer que $g$ est bijective et déterminer son application réciproque $g^{-1}$.

Partie B — résultats généraux.

Dans cette partie, $E$, $F$ et $G$ désignent des ensembles, $f:E\to F$ et $g:F\to G$ des applications, $A$ une partie de $E$ et $B$ une partie de $F$.

5. Démontrer que $A\subset f^{-1}(f(A))$.

6. a. En reprenant l'application $f$ de la partie A et la partie $A=\{0\}$, montrer que cette inclusion peut être stricte.

   b. Démontrer l'équivalence : $f$ est injective si et seulement si $f^{-1}(f(A))=A$ pour toute partie $A$ de $E$.

7. a. Démontrer que $f(f^{-1}(B))\subset B$.

   b. Démontrer l'équivalence : $f$ est surjective si et seulement si $f(f^{-1}(B))=B$ pour toute partie $B$ de $F$.

8. a. Démontrer que si $g\circ f$ est injective, alors $f$ est injective.

   b. Donner un exemple d'applications $f$ et $g$ telles que $g\circ f$ soit injective sans que $g$ le soit.

Partie A — une relation d'équivalence sur le plan.

On munit $E={\mathbb{R}}^2$ de la relation $\mathcal{R}$ définie, pour $(x,y)$ et $(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})$ dans ${\mathbb{R}}^2$, par

$$(x,y)\mathcal{R}(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})⟺x^2+y^2=x^{\mathrm{\prime }2}+y^{\mathrm{\prime }2}\mathrm{.}$$

On rappelle que la classe d'un élément $u$ pour une relation d'équivalence $\mathcal{R}$ est l'ensemble $\mathrm{C}\mathrm{l}(u)=\{v,v\mathcal{R}u\}$.

1. Démontrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence sur ${\mathbb{R}}^2$.

2. a. Déterminer $\mathrm{C}\mathrm{l}((1,0))$ et en donner une description géométrique.

   b. Déterminer $\mathrm{C}\mathrm{l}((0,0))$.

   c. Décrire géométriquement $\mathrm{C}\mathrm{l}((a,b))$ pour un couple $(a,b)$ quelconque de ${\mathbb{R}}^2$, en distinguant les cas.

3. Soit $G$ un ensemble muni d'une relation d'équivalence $\mathcal{S}$, et soient $u$ et $v$ deux éléments de $G$. Démontrer que l'on a $\mathrm{C}\mathrm{l}(u)=\mathrm{C}\mathrm{l}(v)$ ou $\mathrm{C}\mathrm{l}(u)\cap \mathrm{C}\mathrm{l}(v)=\mathrm{\varnothing }$.

Partie B — une relation d'ordre non totale.

On considère l'ensemble $F=\{2,3,4,6,8,9,12\}$, muni de la relation de divisibilité : pour $m$ et $n$ dans $F$, on écrit $m\mid n$ lorsqu'il existe un entier $k$ tel que $n=km$.

On rappelle qu'un élément $m$ d'un ensemble ordonné est dit maximal lorsque le seul élément de cet ensemble qui soit supérieur ou égal à $m$ est $m$ lui-même.

4. Démontrer que la divisibilité est une relation d'ordre sur $F$. On pourra commencer par établir que si $m$ et $n$ sont deux éléments de ${\mathbb{N}}^{\ast }$ tels que $m\mid n$, alors $m⩽n$.

5. Démontrer que cet ordre n'est pas total.

6. On pose $A=\{2,3,6\}$. Déterminer l'ensemble des majorants de $A$ dans $F$, puis l'ensemble de ses minorants dans $F$. L'ensemble $A$ possède-t-il un plus grand élément ? un plus petit élément ?

7. a. Démontrer que $F$ ne possède ni plus grand élément, ni plus petit élément.

   b. Déterminer tous les éléments maximaux de $F$.

   c. Démontrer que si un ensemble ordonné possède un plus grand élément $M$, alors $M$ en est l'unique élément maximal. Commenter le résultat obtenu à la question b.