Exercices — Polynômes et fractions rationnelles

On travaille dans $\mathbb{R}[X]$ et l'on pose

1. Développer les polynômes suivants, puis préciser pour chacun son degré et son coefficient dominant.

   a. $A+B$

   b. $A+C$

   c. $AB$

   d. $B^2$

   e. $(A+C)B$

2. Comparer $\mathrm{deg}(A+C)$ et $\max (\mathrm{deg}A,\mathrm{deg}C)$. Énoncer la règle générale donnant le degré d'une somme, et préciser à quelle condition elle s'écrit avec une égalité.

3. On pose $U=X^2-3X+1$ et $V=X+2$. Calculer $U\circ V$ et $V\circ U$. Ces deux polynômes sont-ils égaux ? Vérifier sur cet exemple que $\mathrm{deg}(U\circ V)=\mathrm{deg}U\times \mathrm{deg}V$.

4. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls de $\mathbb{K}[X]$. Montrer que $\mathrm{deg}(PQ)=\mathrm{deg}P+\mathrm{deg}Q$, puis que $PQ\mathrm{\ne }0$. Qu'en déduit-on pour l'anneau $\mathbb{K}[X]$ ?

Dans tout l'exercice, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On rappelle la convention $\mathrm{deg}0=-\mathrm{\infty }$, avec les règles de calcul $-\mathrm{\infty }<n$ et $-\mathrm{\infty }+n=-\mathrm{\infty }$ pour tout entier $n$.

1. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls de $\mathbb{K}[X]$, de degrés respectifs $p$ et $q$, et de coefficients dominants $a_p$ et $b_q$. Déterminer, en justifiant, le degré des polynômes suivants ; lorsqu'on ne peut pas conclure, donner la meilleure majoration possible.

   a. $PQ$

   b. $P+Q$

   c. $P^k$, $k\in \mathbb{N}$

   d. $P^{\mathrm{\prime }}$

   e. $P\circ Q$, avec $q⩾1$

2. Soit $P$ un polynôme de degré $n⩾1$, de coefficient dominant $a_n$. Déterminer le degré et le coefficient dominant de $P(X+1)-P(X)$.

3. Pour $a\in \mathbb{R}$, on pose $Q_a=(a^2-1)X^2+(a-1)X+a+1$. Discuter, selon la valeur de $a$, le degré et le coefficient dominant de $Q_a$. Existe-t-il un réel $a$ pour lequel $Q_a=0$ ?

Effectuer les divisions euclidiennes de $A$ par $B$ dans les quatre cas suivants, c'est-à-dire déterminer l'unique couple $(Q,R)$ tel que $A=BQ+R$ avec $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}B$. Vérifier à chaque fois le résultat en recomposant $BQ+R$.

1. $A=X^4-3X^3+2X^2-X+5$ et $B=X^2+1$, dans $\mathbb{R}[X]$.

2. $A=2X^4+X^3-5X^2+3X-1$ et $B=X^2-3X+2$, dans $\mathbb{R}[X]$.

3. $A=X^4-5X^2+4X-6$ et $B=X-2$, dans $\mathbb{R}[X]$.

4. $A=X^3+2X^2-X+3$ et $B=X-i$, dans $\mathbb{C}[X]$.

5. Dans les questions 3 et 4, comparer le reste obtenu à $A(2)$ et à $A(i)$. Énoncer et démontrer la règle générale concernant le reste de la division euclidienne par $X-a$.

Dans tout l'exercice, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On rappelle que, pour $A,B\in \mathbb{K}[X]$, l'écriture $A\mid B$ signifie qu'il existe $U\in \mathbb{K}[X]$ tel que $B=AU$.

1. Établir les divisibilités suivantes, ou montrer qu'elles sont fausses.

   a. $X-1\mid X^n-1$, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

   b. $X^2-X-2\mid X^3-3X-2$.

   c. $X^2+1\mid X^3+X^2+X$.

2. Montrer que la divisibilité est transitive : si $A\mid B$ et $B\mid C$, alors $A\mid C$.

3. Soient $A$ et $B$ deux polynômes non nuls tels que $A\mid B$ et $B\mid A$. Montrer qu'il existe $\lambda \in {\mathbb{K}}^{\ast }$ tel que $B=\lambda A$. On dit alors que $A$ et $B$ sont associés.

4. En déduire que deux polynômes $A$ et $B$, non tous deux nuls, admettent au plus un PGCD unitaire. On utilisera la définition du cours : $D$ est un PGCD de $A$ et $B$ lorsque $D$ est un diviseur commun de $A$ et $B$, et que tout diviseur commun de $A$ et $B$ divise $D$.

5. Montrer que si $A\mid B$ avec $B\mathrm{\ne }0$, alors $\mathrm{deg}A⩽\mathrm{deg}B$. Donner un exemple de deux polynômes $A$ et $B$ tels que $A\mid B$ et $\mathrm{deg}A=\mathrm{deg}B$ : la divisibilité n'impose donc pas l'inégalité stricte.

On considère les trois polynômes de $\mathbb{R}[X]$ suivants :

1. Trouver une racine évidente de $P$, puis factoriser complètement $P$ dans $\mathbb{R}[X]$.

2. Même travail avec $Q$.

3. Même travail avec $R$ (on aura besoin de deux racines évidentes).

4. Parmi $P$, $Q$ et $R$, lesquels sont scindés sur $\mathbb{R}$ ?

5. Soit $S=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$ un polynôme unitaire de degré $n⩾1$ dont tous les coefficients sont entiers. Montrer que toute racine entière de $S$ divise $a_0$. Vérifier ce résultat sur $P$, $Q$ et $R$.

On rappelle la caractérisation vue en cours : pour $P\in \mathbb{K}[X]$ non nul, $a\in \mathbb{K}$ et $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, le scalaire $a$ est racine de multiplicité $m$ de $P$ si et seulement si

1. Soit $P=X^4-3X^3+3X^2-X$. Déterminer la multiplicité de $1$ comme racine de $P$ en factorisant $P$, puis retrouver le résultat à l'aide des dérivées successives.

2. Soit $Q=X^4+4X^3+5X^2+4X+4$. Déterminer la multiplicité de $-2$ comme racine de $Q$ par les deux mêmes méthodes.

3. Écrire la formule de Taylor de $P$ en $1$, et retrouver ainsi la factorisation de la question 1.

4. Déterminer les réels $a$ pour lesquels $1$ est racine double de $P_a=X^4-(a+1)X^2+a$.

1. Factoriser chacun des polynômes suivants en produit de polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$, puis en produit de polynômes irréductibles de $\mathbb{R}[X]$.

   a. $A=X^4-1$

   b. $B=X^3-1$

   c. $C=X^4+1$

   d. $D=X^6-1$

2. Le polynôme $C=X^4+1$ ne prend que des valeurs strictement positives sur $\mathbb{R}$, donc n'a aucune racine réelle. Est-il pour autant irréductible dans $\mathbb{R}[X]$ ? Commenter.

Dans tout l'exercice, le PGCD de deux polynômes non tous deux nuls est choisi unitaire, et noté $A\wedge B$.

1. Calculer $A\wedge B$ par l'algorithme d'Euclide, pour

2. Mêmes questions pour $C=X^5+1$ et $D=X^3-X^2+X-1$. Ces deux polynômes sont-ils premiers entre eux ?

3. Déduire de la question 1 le PPCM unitaire de $A$ et $B$.

1. Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ les fractions rationnelles suivantes, puis vérifier chaque résultat en remettant au même dénominateur.

   a. $F={\displaystyle \frac{1}{X(X+1)}}$

   b. $G={\displaystyle \frac{X}{(X-1)(X-2)}}$

   c. $H={\displaystyle \frac{2X+3}{X^2-4}}$

2. En déduire, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, la valeur de ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}}$.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel. On rappelle que, $B$ étant un polynôme non nul, il existe un unique couple $(Q,R)$ de polynômes tel que $A=BQ+R$ et $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}B$.

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $B=X^2-3X+2$.

2. En déduire le reste de la division euclidienne de $A=X^{12}-3X^6+2$ par $B$.

3. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2+1$ (on discutera selon le reste de $n$ dans la division par $4$).

4. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-1{)}^2$.

5. Pour quelles valeurs de $n$ le polynôme $X^2+1$ divise-t-il $X^n-1$ ?

Pour $P\in \mathbb{K}[X]$, on pose $\mathrm{\Delta }P=P(X+1)-P(X)$.

1. Calculer $\mathrm{\Delta }P$ dans les quatre cas suivants.

   a. $P=1$

   b. $P=X$

   c. $P=X^2$

   d. $P=X^3$

2. Soit $P$ de degré $n⩾1$, de coefficient dominant $a_n$. Montrer que $\mathrm{\Delta }P$ est de degré $n-1$ et de coefficient dominant $n{a}_n$.

3. Déterminer tous les polynômes $P\in \mathbb{K}[X]$ tels que $\mathrm{\Delta }P=0$.

4. Soit $Q\in \mathbb{K}[X]$. Montrer qu'il existe $P\in \mathbb{K}[X]$ tel que $\mathrm{\Delta }P=Q$, et que deux tels polynômes diffèrent d'une constante. On raisonnera par récurrence sur le degré de $Q$.

5. Déterminer le polynôme $P$ tel que $\mathrm{\Delta }P=X^2$ et $P(0)=0$, puis en déduire, pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, la valeur de ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{k}^2}$.

Soit $P=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$ un polynôme de degré $n⩾1$ dont tous les coefficients $a_0,\dots ,a_n$ sont des entiers relatifs (avec donc $a_n\mathrm{\ne }0$). On suppose que $P$ admet une racine rationnelle $r$, que l'on écrit sous forme irréductible $r={\displaystyle \frac{p}{q}}$, avec $p\in \mathbb{Z}$, $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $p\wedge q=1$.

1. Montrer que ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{a}_k{p}^k{q}^{n-k}=0}$.

2. En déduire que $p$ divise $a_0{q}^n$, puis que $p$ divise $a_0$.

3. Montrer de même que $q$ divise $a_n$.

4. Que devient ce résultat lorsque $P$ est unitaire ?

5. Déterminer toutes les racines rationnelles de $P_1=2X^3-X^2-8X+4$, puis de $P_2=X^3-3X-1$.

6. En appliquant le résultat au polynôme $X^2-2$, démontrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

1. Soit $P=a{X}^2+bX+c$ avec $a\mathrm{\ne }0$, supposé scindé sur $\mathbb{K}$, de racines $x_1$ et $x_2$ comptées avec leur multiplicité. Démontrer que

2. Soit $P=X^3+\alpha X^2+\beta X+\gamma$ scindé sur $\mathbb{K}$, de racines $x_1,x_2,x_3$ comptées avec leur multiplicité. En développant $(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$, exprimer $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ à l'aide de

3. On note $x_1,x_2,x_3$ les racines complexes de $P=X^3-2X^2+3X-5$. Sans les calculer, déterminer $x_1^2+x_2^2+x_3^2$, puis ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}+{\displaystyle \frac{1}{x_3}}$ après avoir justifié que cette écriture a un sens. Qu'en déduit-on sur la nature des racines ?

4. Déterminer tous les triplets $(x,y,z)$ de nombres réels tels que

On pose $P=X^4-3X^3+2X^2-X+5$.

1. Énoncer la formule de Taylor pour les polynômes en un point $a$. L'appliquer à $P$ avec $a=1$ : calculer les dérivées successives de $P$, les évaluer en $1$, et écrire $P$ selon les puissances de $X-1$.

2. Retrouver ce développement par une autre méthode : poser $X=1+H$ et développer chaque puissance à l'aide de la formule du binôme de Newton. Comparer les deux méthodes.

3. Soit $Q=X^4-5X^3+9X^2-7X+2$. Écrire le développement de Taylor de $Q$ en $1$, en déduire que $1$ est racine de $Q$ de multiplicité exactement $3$, puis factoriser $Q$ dans $\mathbb{R}[X]$.

Soit $n⩾2$ un entier. On pose $\omega =e^{2i\pi \mathrm{/}n}$, de sorte que ${\mathbb{U}}_n=\{{\omega }^k:0⩽k⩽n-1\}$.

1. Démontrer que, dans $\mathbb{C}[X]$,

2. En déduire la factorisation de $1+X+\cdots +X^{n-1}$ dans $\mathbb{C}[X]$, puis la valeur du produit ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}(1-{\omega }^k)}$.

3. Factoriser $X^n-1$ en produit d'irréductibles de $\mathbb{R}[X]$, en distinguant le cas $n$ pair et le cas $n$ impair. On justifiera que les facteurs de degré $2$ obtenus sont bien irréductibles.

4. Écrire explicitement cette factorisation réelle pour $n=6$, puis pour $n=5$. Dans le cas $n=5$, on déterminera la valeur exacte des cosinus qui apparaissent.

Soit $n\in \mathbb{N}$. On se donne $x_0,x_1,\dots ,x_n$ des éléments de $\mathbb{K}$ deux à deux distincts, ainsi que $y_0,y_1,\dots ,y_n$ des éléments quelconques de $\mathbb{K}$. Pour $i\in \{0,\dots ,n\}$, on pose

1. Justifier que $L_i$ est bien défini, préciser son degré, et calculer $L_i(x_j)$ pour tout $j\in \{0,\dots ,n\}$.

2. En déduire qu'il existe un polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $n$ tel que $P(x_i)=y_i$ pour tout $i\in \{0,\dots ,n\}$.

3. Démontrer qu'un tel polynôme de degré inférieur ou égal à $n$ est unique, en raisonnant sur le nombre de racines.

4. Déterminer le polynôme de degré inférieur ou égal à $2$ qui prend les valeurs $1$, $3$ et $7$ en $0$, $1$ et $2$. Vérifier le résultat.

5. Déterminer le polynôme de degré inférieur ou égal à $3$ qui prend les valeurs $7$, $1$, $3$ et $7$ en $-1$, $0$, $1$ et $2$. Vérifier le résultat.

On travaille dans $\mathbb{R}[X]$ et l'on pose

1. Déterminer $A\wedge B$ à l'aide de l'algorithme d'Euclide (le PGCD est choisi unitaire).

2. Remonter l'algorithme pour trouver un couple $(U,V)$ de polynômes tel que $AU+BV=A\wedge B$. Vérifier le résultat obtenu.

3. Déterminer tous les couples $(U,V)$ de $\mathbb{R}[X{]}^2$ tels que $AU+BV=A\wedge B$, puis montrer qu'il en existe un et un seul pour lequel $\mathrm{deg}U⩽1$.

On considère les deux fractions rationnelles de $\mathbb{R}(X)$

1. Pour chacune d'elles : vérifier qu'elle est écrite sous forme irréductible, donner ses pôles et leur ordre, justifier que sa partie entière est nulle, et écrire la forme de sa décomposition en éléments simples.

2. Décomposer $F$ en éléments simples. On déterminera le coefficient du terme de plus haut rang du pôle double par multiplication puis évaluation, et le coefficient restant de deux façons : par évaluation en un point bien choisi, puis par passage à la limite en l'infini après multiplication par $X$. Vérifier le résultat en remettant au même dénominateur.

3. Même travail pour $G$.

On considère les trois fractions rationnelles de $\mathbb{C}(X)$ suivantes.

Pour chacune d'elles, on demande de la mettre sous forme irréductible, de donner son degré, de déterminer sa partie entière au moyen d'une division euclidienne, puis de dresser la liste de ses pôles avec leur multiplicité.

1. Traiter $F_1$.

2. Traiter $F_2$.

3. Traiter $F_3$.

4. Sur ces exemples, expliquer pourquoi on ne peut pas lire les pôles d'une fraction rationnelle sur un représentant quelconque.

On admet le théorème du cours : un polynôme non nul de $\mathbb{K}[X]$ de degré $n$ admet au plus $n$ racines dans $\mathbb{K}$, comptées avec multiplicité.

Pour $P\in \mathbb{K}[X]$, on note $\tilde{P}$ la fonction polynomiale associée, définie sur $\mathbb{K}$ par $\tilde{P}(x)=P(x)$.

1. Soit $P\in \mathbb{K}[X]$ possédant une infinité de racines dans $\mathbb{K}$. Montrer que $P=0$.

2. En déduire que si deux polynômes $P$ et $Q$ de $\mathbb{K}[X]$ vérifient $P(x)=Q(x)$ pour une infinité de scalaires $x$, alors $P=Q$. Qu'en conclut-on sur l'application $P⟼\tilde{P}$ ? Montrer sur un exemple que l'hypothèse « une infinité » ne peut pas être remplacée par « au moins deux ».

3. Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ tel que $P(n)=0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Montrer que $P=0$.

4. Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ tel que $P(\sin x)=0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. Montrer que $P=0$.

5. Déterminer tous les polynômes $P\in \mathbb{C}[X]$ tels que $P(X^2)=P(X{)}^2$.

Soit $n⩾2$ un entier et $(a,b)\in {\mathbb{C}}^2$. On pose $P=X^n+aX+b$.

1. Rappeler, en s'appuyant sur la formule de Taylor, la caractérisation d'une racine multiple d'un polynôme à l'aide de son polynôme dérivé.

2. Traiter le cas $n=3$ : montrer que $X^3+aX+b$ admet une racine au moins double si et seulement si $4a^3+27b^2=0$. Vérifier le résultat sur $X^3-3X+2$.

3. Traiter le cas général : donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $(a,b)$ pour que $P=X^n+aX+b$ admette une racine au moins double. Retrouver la condition de la question 2, et l'écrire pour $n=4$.

4. Déterminer les $a\in \mathbb{C}$ pour lesquels $Q=X^4+a{X}^2+1$ admet une racine au moins double, et factoriser $Q$ dans chacun des cas obtenus.

Soit $n⩾1$ un entier. On note $\omega =e^{2i\pi \mathrm{/}n}$ et ${\mathbb{U}}_n=\{z\in \mathbb{C}:z^n=1\}$.

Ces sommes et ces produits ont déjà été calculés au chapitre sur les nombres complexes, par sommes géométriques. L'objet de l'exercice est de les retrouver comme conséquences des relations entre coefficients et racines du polynôme scindé $X^n-1$ : c'est la méthode, et non le résultat, qui est évaluée ici.

1. Montrer que les ${\omega }^k$, pour $0⩽k⩽n-1$, sont deux à deux distincts, puis que

Que peut-on dire de $X^n-1$ sur $\mathbb{C}$ ?

2. On suppose $n⩾2$. À l'aide des relations entre coefficients et racines, calculer ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{\omega }^k}$. Retrouver le résultat par une somme géométrique.

3. Calculer ${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\omega }^k}$ par les relations entre coefficients et racines. Vérifier le résultat pour $n=2$, $n=3$ et $n=4$, puis le retrouver par un calcul direct.

4. On suppose $n⩾3$. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{\omega }^{2k}}$ à l'aide des relations entre coefficients et racines.

5. Soit $j\in \mathbb{Z}$. Calculer $S_j={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{\omega }^{jk}}$ en discutant selon que $n$ divise $j$ ou non, et vérifier la cohérence avec les questions 2 et 4.

1. Montrer que, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et tout $\theta \in \mathbb{R}$,

2. En déduire que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, il existe un polynôme $T_n\in \mathbb{R}[X]$ tel que $T_n(\cos \theta )=\cos (n\theta )$ pour tout $\theta \in \mathbb{R}$. Montrer qu'un tel polynôme est unique. On l'appelle le $n$-ième polynôme de Tchebychev.

3. Établir la relation de récurrence vérifiée par la suite $(T_n)$ et calculer $T_0$, $T_1$, $T_2$, $T_3$ et $T_4$.

4. Déterminer, pour $n⩾1$, le degré et le coefficient dominant de $T_n$.

5. Soit $n⩾1$. Montrer que les $n$ réels $x_k=\cos \left({\displaystyle \frac{(2k+1)\pi }{2n}}\right)$, pour $0⩽k⩽n-1$, sont des racines de $T_n$ deux à deux distinctes. En déduire que $T_n$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ et donner sa factorisation.

Dans tout l'exercice, les polynômes considérés sont à coefficients complexes.

1. Soit $P\in \mathbb{C}[X]$ non constant. Montrer, en comparant les degrés, que $P$ ne divise pas $P^{\mathrm{\prime }}$. Que se passe-t-il si $P$ est constant ?

2. Déterminer tous les polynômes $P\in \mathbb{C}[X]$ non constants tels que $P^{\mathrm{\prime }}\mid P$. On pourra commencer par montrer, en comparant degrés et coefficients dominants, qu'un tel polynôme vérifie $P={\displaystyle \frac{1}{n}}(X-a)P^{\mathrm{\prime }}$ pour un certain $a\in \mathbb{C}$, où $n=\mathrm{deg}P$.

3. Vérifier la réciproque.

4. Soit $P\in \mathbb{C}[X]$ non constant. Montrer que $P$ est scindé à racines simples si et seulement si $P\wedge P^{\mathrm{\prime }}=1$. Que vaut $P\wedge P^{\mathrm{\prime }}$ pour les polynômes trouvés à la question 2 ?

Soient $n$ et $m$ deux entiers naturels non nuls. On travaille dans $\mathbb{K}[X]$ et l'on note $A\wedge B$ le PGCD unitaire de deux polynômes non tous deux nuls. L'objectif est d'établir l'identité

1. Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls tels que $a\mid b$. Montrer que $X^a-1$ divise $X^b-1$.

2. Soit $n=mq+r$ la division euclidienne de $n$ par $m$ dans $\mathbb{Z}$ (donc $0⩽r<m$). Vérifier l'identité $X^n-1=X^r(X^{mq}-1)+(X^r-1)$, puis reconnaître dans cette écriture la division euclidienne de $X^n-1$ par $X^m-1$.

3. En déduire, par récurrence forte, l'identité annoncée.

4. Dérouler l'algorithme d'Euclide sur $X^{12}-1$ et $X^8-1$, et vérifier le résultat.

5. Les polynômes $X^n-1$ et $X^m-1$ peuvent-ils être premiers entre eux ? À quelle condition leur PGCD vaut-il $X-1$ ?

Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ de degré $n⩾2$, scindé sur $\mathbb{R}$. On se propose de montrer que $P^{\mathrm{\prime }}$ est encore scindé sur $\mathbb{R}$.

1. Soient $Q\in \mathbb{K}[X]$ non nul et $a$ une racine de $Q$ de multiplicité $m⩾1$. Montrer que $a$ est racine de $Q^{\mathrm{\prime }}$ de multiplicité exactement $m-1$ (pour $m=1$, cela signifie que $a$ n'est pas racine de $Q^{\mathrm{\prime }}$).

2. On suppose dans cette question que $P$ est scindé à racines simples, de racines $a_1<a_2<\cdots <a_n$. Montrer que $P^{\mathrm{\prime }}$ est scindé sur $\mathbb{R}$ à racines simples, et préciser où se trouvent ses racines.

3. Cas général : on écrit $P=c{\prod }_{k=1}^r(X-a_k{)}^{m_k}$ avec $c\mathrm{\ne }0$, $a_1<\cdots <a_r$ et $m_1+\cdots +m_r=n$. Montrer que $P^{\mathrm{\prime }}$ est scindé sur $\mathbb{R}$ et en donner la factorisation.

4. Montrer sur un exemple que l'hypothèse « $P$ scindé sur $\mathbb{R}$ » ne peut pas être supprimée. La réciproque est-elle vraie, c'est-à-dire « $P^{\mathrm{\prime }}$ scindé sur $\mathbb{R}$ » entraîne-t-il « $P$ scindé sur $\mathbb{R}$ » ?

Soit $P\in \mathbb{K}[X]$ non constant et scindé sur $\mathbb{K}$, de coefficient dominant $c$, de degré $n$, dont les racines deux à deux distinctes sont $a_1,\dots ,a_r$, de multiplicités respectives $m_1,\dots ,m_r$ :

La fraction rationnelle ${\displaystyle \frac{P^{\mathrm{\prime }}}{P}}$ est appelée dérivée logarithmique de $P$.

1. Soient $A$ et $B$ deux polynômes non nuls. Montrer que ${\displaystyle \frac{(AB{)}^{\mathrm{\prime }}}{AB}}={\displaystyle \frac{A^{\mathrm{\prime }}}{A}}+{\displaystyle \frac{B^{\mathrm{\prime }}}{B}}$, puis généraliser à un produit de $s$ polynômes non nuls.

2. En déduire que ${\displaystyle \frac{P^{\mathrm{\prime }}}{P}}={\displaystyle \sum _{k=1}^r{\displaystyle \frac{m_k}{X-a_k}}}$, et justifier qu'il s'agit de la décomposition en éléments simples de ${\displaystyle \frac{P^{\mathrm{\prime }}}{P}}$.

3. Illustrer avec $P=(X-1{)}^2(X+2{)}^3$ : calculer $P^{\mathrm{\prime }}$, vérifier la formule, puis en déduire ${\displaystyle \frac{P^{\mathrm{\prime }}(0)}{P(0)}}$.

4. On applique ce qui précède au polynôme $X^n-1$, où $n⩾1$ est un entier ; on pose $\omega =e^{2i\pi \mathrm{/}n}$. Pour $a\in \mathbb{C}$ tel que $a^n\mathrm{\ne }1$, calculer ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{a-{\omega }^k}}}$. Que vaut cette somme pour $a=2$ et $n=3$ ?

5. On suppose ici $P\in \mathbb{R}[X]$ scindé sur $\mathbb{R}$ à racines simples $x_1<\cdots <x_n$. Montrer que la fonction $f:x⟼{\displaystyle \frac{P^{\mathrm{\prime }}(x)}{P(x)}}$ est strictement décroissante sur chaque intervalle sur lequel elle est définie. En déduire que $P^{\mathrm{\prime }}$ possède exactement une racine dans chaque intervalle $]x_k,x_{k+1}[$.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose

de sorte que $E_0=1$. Dans tout l'exercice, sauf mention contraire, $n⩾1$.

1. Calculer $E_n^{\mathrm{\prime }}$ et en déduire que $E_n-E_n^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{X^n}{n!}}$.

2. Montrer que toutes les racines de $E_n$ dans $\mathbb{C}$ sont simples.

3. En déduire que $E_n$ et $E_n^{\mathrm{\prime }}$ sont premiers entre eux.

4. Montrer par récurrence que si $n$ est pair, $E_n(x)>0$ pour tout réel $x$, et que si $n$ est impair, $E_n$ admet exactement une racine réelle.

5. Pour $n$ impair, combien $E_n$ a-t-il de racines non réelles ? Justifier.

Soient $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $x_0,x_1,\dots ,x_n$ des éléments de $\mathbb{K}$ deux à deux distincts. On note

les polynômes de Lagrange associés, et $N={\prod }_{j=0}^n(X-x_j)$. On rappelle que $\mathrm{deg}{L}_i=n$, que $L_i(x_i)=1$ et que $L_i(x_j)=0$ pour $j\mathrm{\ne }i$.

1. Soit $T\in \mathbb{K}[X]$ tel que $\mathrm{deg}T⩽n$ et $T(x_j)=0$ pour tout $j\in \{0,\dots ,n\}$. Montrer que $T=0$.

2. En déduire que ${\displaystyle \sum _{i=0}^n{L}_i=1}$.

3. Montrer que, pour tout entier $p$ tel que $0⩽p⩽n$, ${\displaystyle \sum _{i=0}^n{x}_i^p{L}_i=X^p}$.

4. Montrer que $N^{\mathrm{\prime }}(x_i)={\displaystyle \prod _{j\mathrm{\ne }i}(x_i-x_j)}$, puis que $L_i={\displaystyle \frac{N}{(X-x_i)N^{\mathrm{\prime }}(x_i)}}$.

5. En déduire, pour $0⩽p⩽n$, la valeur de ${\displaystyle \sum _{i=0}^n\frac{x_i^p}{N^{\mathrm{\prime }}(x_i)}}$. Vérifier le résultat sur l'exemple $x_0=0$, $x_1=1$, $x_2=2$.

Soient $n⩾2$ un entier, $\omega =e^{2i\pi \mathrm{/}n}$ et $Q=X^n-1$.

1. Montrer que $Q$ est scindé à racines simples dans $\mathbb{C}[X]$, puis que la décomposition en éléments simples de ${\displaystyle \frac{1}{Q}}$ dans $\mathbb{C}(X)$ s'écrit ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\frac{{\lambda }_k}{X-{\omega }^k}}$. Établir la formule ${\lambda }_k={\displaystyle \frac{1}{Q^{\mathrm{\prime }}({\omega }^k)}}$ et en déduire la valeur de ${\lambda }_k$.

2. Vérifier le résultat pour $n=2$, puis pour $n=3$, en réduisant au même dénominateur.

3. En regroupant les pôles conjugués, en déduire la décomposition en éléments simples de ${\displaystyle \frac{1}{X^4-1}}$ dans $\mathbb{R}(X)$.

4. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{1-{\omega }^k}}$, en évaluant en $1$ la fraction rationnelle $G={\displaystyle \frac{1}{X^n-1}}-{\displaystyle \frac{1}{n(X-1)}}$.

On pose $B=X^2+X+1$ et $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}$.

1. Montrer que $B=(X-j)(X-\bar{j})$, puis que, pour tout $P\in \mathbb{R}[X]$,

2. Montrer que $B\mid X^{3k}-1$ pour tout $k\in \mathbb{N}$.

3. Déterminer tous les entiers $n\in \mathbb{N}$ tels que $B\mid X^{2n}+X^n+1$.

4. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $Q_n=X^n-nX+n-1$. Déterminer les entiers $n$ pour lesquels $(X-1{)}^2\mid Q_n$, puis ceux pour lesquels $(X-1{)}^3\mid Q_n$.

On cherche tous les polynômes $P\in \mathbb{C}[X]$ vérifiant la relation $(\star )$ suivante :

Dans les questions 1 à 4, on suppose $P$ non nul et on note $n=\mathrm{deg}P$.

1. Montrer que $P$ est unitaire.

2. Soit $a$ une racine de $P$. Montrer que $a^2$ et $(a-1{)}^2$ sont encore des racines de $P$.

3. En déduire que toute racine $a$ de $P$ vérifie $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\in \{0,1\}$, puis $\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }\in \{0,1\}$.

4. Montrer que le cas $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }=1$ est impossible. En déduire l'ensemble des racines possibles de $P$.

5. Conclure : déterminer toutes les solutions de $(\star )$, en vérifiant la réciproque par le calcul.

Pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose

On fixe $n\in \mathbb{N}$ et on considère un polynôme $P\in \mathbb{R}[X]$ tel que $\mathrm{deg}P⩽n$.

1. Expliciter $H_1$, $H_2$ et $H_3$, donner $\mathrm{deg}{H}_k$ et le coefficient dominant de $H_k$, puis montrer que

2. Montrer que $H_k(m)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{m}{k}\right)$ pour tout $m\in \mathbb{N}$ (avec la convention $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{m}{k}\right)=0$ si $m<k$), puis que $H_k(m)\in \mathbb{Z}$ pour tout $m\in \mathbb{Z}$.

3. Montrer qu'il existe des réels $c_0,\dots ,c_n$ uniques tels que $P={\sum }_{k=0}^n{c}_k{H}_k$.

4. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :

   (i) les $c_k$ sont tous entiers.

   (ii) $P(m)\in \mathbb{Z}$ pour tout $m\in \mathbb{Z}$.

   (iii) $P(0),P(1),\dots ,P(n)$ sont entiers.

5. En déduire un polynôme à valeurs entières sur $\mathbb{Z}$ dont les coefficients ne sont pas tous entiers, et vérifier que ${\displaystyle \frac{X^3-X}{6}}$ est à valeurs entières sans calculer sa décomposition.

Soit $n⩾2$ un entier. On note $\omega =e^{2i\pi \mathrm{/}n}$, de sorte que ${\mathbb{U}}_n=\{1,\omega ,\dots ,{\omega }^{n-1}\}$.

1. Justifier que $X^n-1={\prod }_{k=0}^{n-1}(X-{\omega }^k)$, puis en déduire que

2. En déduire la valeur du produit ${\prod }_{k=1}^{n-1}(1-{\omega }^k)$.

3. Établir, pour tout réel $\theta$, l'identité $1-e^{i\theta }=-2i\sin \left({\displaystyle \frac{\theta }{2}}\right)e^{i\theta \mathrm{/}2}$, puis donner le module et un argument de $1-{\omega }^k$ pour $1⩽k⩽n-1$.

4. En déduire que ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\displaystyle \frac{k\pi }{n}}\right)={\displaystyle \frac{n}{2^{n-1}}}}$.

5. Vérifier ce résultat par le calcul direct pour $n=2$, $n=3$ et $n=4$.

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $P={\sum }_{k=0}^n{a}_k{X}^k\in \mathbb{C}[X]$ de degré $n$ (donc $a_n\mathrm{\ne }0$). On lui associe le polynôme

obtenu en renversant la suite des coefficients. On dit que $P$ est réciproque lorsque $P^{\star }=P$, c'est-à-dire lorsque $a_{n-k}=a_k$ pour tout $k\in \{0,\dots ,n\}$.

1. Montrer que $P^{\star }(x)=x^{n}P\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ pour tout $x\in {\mathbb{C}}^{\ast }$.

2. On suppose $P$ réciproque. Montrer que $0$ n'est pas racine de $P$, puis que si $a$ est racine de $P$, alors ${\displaystyle \frac{1}{a}}$ l'est aussi.

3. Montrer que $(AB{)}^{\star }=A^{\star }{B}^{\star }$ pour tous polynômes non nuls $A$ et $B$, puis que, $P$ étant réciproque, les racines $a$ et ${\displaystyle \frac{1}{a}}$ ont la même multiplicité.

4. Montrer qu'un polynôme réciproque de degré impair admet $-1$ pour racine.

5. Soit $E$ l'équation $x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0$, d'inconnue $x\in \mathbb{C}$. Montrer que le changement d'inconnue $u=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$ ramène $E$ à une équation du second degré, puis résoudre complètement $E$ et vérifier les solutions obtenues.

Soit $n⩾2$ et $P=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0\in \mathbb{C}[X]$, unitaire et scindé, de racines $x_1,\dots ,x_n$ comptées avec multiplicité. On note

avec la convention $x^0=1$.

1. Donner $S_0$, puis $S_1$ en fonction des coefficients de $P$.

2. Exprimer $S_2$ en fonction de ${\sigma }_1$ et ${\sigma }_2$, puis en fonction des coefficients de $P$.

Dans les questions 3 et 4, on prend $P=X^3-X-1$.

3. Calculer $S_0$, $S_1$ et $S_2$, puis montrer que $S_{p+3}=S_{p+1}+S_p$ pour tout $p\in \mathbb{N}$. En déduire $S_3$, $S_4$ et $S_5$.

4. Justifier que les racines de $X^3-X-1$ sont simples. Établir, pour un polynôme unitaire scindé à racines simples, l'égalité de fractions rationnelles ${\displaystyle \frac{P^{\mathrm{\prime }}}{P}}={\sum }_{i=1}^n{\displaystyle \frac{1}{X-x_i}}$ et reconnaître sa nature. En déduire ${\sum }_{i=1}^3{\displaystyle \frac{1}{x_i}}$, puis ${\sum }_{i=1}^3{\displaystyle \frac{1}{x_i^2}}$.