Devoir surveillé — Polynômes et fractions rationnelles

Dans tout l'exercice, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Pour $P,Q\in \mathbb{K}[X]$, on note $P\circ Q$ le polynôme composé, obtenu en substituant $Q$ à $X$ dans $P$.

On admet l'identité de télescopage, valable pour tous $A,B\in \mathbb{K}[X]$ et tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ :

$$A^k-B^k=(A-B)\sum _{i=0}^{k-1}{A}^i{B}^{k-1-i},$$

et en particulier le fait que $A-B$ divise $A^k-B^k$.

1. (0,5 pt) Démontrer que $A+B$ divise $A^k-B^k$ lorsque $k$ est pair, et que $A+B$ divise $A^k+B^k$ lorsque $k$ est impair.

2. (0,5 pt) Déduire de l'identité admise en préambule que, pour tous $A,B,P\in \mathbb{K}[X]$, le polynôme $A-B$ divise $P\circ A-P\circ B$.

3. (0,75 pt) Soit $P\in \mathbb{K}[X]$. Démontrer que $P-X$ divise $P\circ P-X$.

4. (0,75 pt) On prend $P=X^2-1$ dans $\mathbb{R}[X]$. Calculer $P\circ P-X$ et le factoriser en produit d'irréductibles de $\mathbb{R}[X]$. Déterminer les racines de $P-X$, puis calculer l'image par $P$ de chacune des deux racines de $P\circ P-X$ qui ne sont pas racines de $P-X$. Commenter.

5. (0,5 pt) Soit $P\in \mathbb{C}[X]$ de degré $n⩾2$. Déterminer le degré de $P\circ P-X$, puis celui du quotient de $P\circ P-X$ par $P-X$. Combien ce quotient possède-t-il de racines dans $\mathbb{C}$, comptées avec leur multiplicité ?

On dit qu'un polynôme $P\in \mathbb{C}[X]$ est symétrique lorsque

$$P\circ (1-X)=P,$$

autrement dit lorsque $P(1-X)$ et $P(X)$ sont le même polynôme.

1. (0,5 pt) Démontrer que si $P$ et $Q$ sont symétriques, alors $P+Q$ et $PQ$ le sont aussi. Vérifier ensuite que $X^2-X$ et $X^4-2X^3+X^2+7$ sont symétriques.

2. (0,75 pt) Soit $P$ un polynôme symétrique non nul et soit $a\in \mathbb{C}$ une racine de $P$ de multiplicité $m$. Démontrer que $1-a$ est racine de $P$ de multiplicité exactement $m$. Démontrer par ailleurs, en comparant les coefficients dominants, que $\mathrm{deg}P$ est pair. En déduire que si ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ est racine de $P$, sa multiplicité est paire.

3. (1 pt) Pour $P\in \mathbb{C}[X]$, on pose $Q=P\circ (X+\frac{1}{2})$. Démontrer que $P$ est symétrique si et seulement si $Q$ est pair, c'est-à-dire vérifie $Q\circ (-X)=Q$. Démontrer ensuite qu'un polynôme $Q={\sum }_k{q}_k{X}^k$ est pair si et seulement si $q_k=0$ pour tout indice $k$ impair.

4. (0,75 pt) En déduire que $P$ est symétrique si et seulement s'il existe $R\in \mathbb{C}[X]$ tel que $P=R\circ (X^2-X)$.

5. (0,5 pt) Déterminer tous les polynômes symétriques de degré $4$ dont $0$ est racine de multiplicité $2$.

Dans tout l'exercice, $P=X^3+a{X}^2+bX+c$ désigne un polynôme de $\mathbb{C}[X]$, de racines $x_1,x_2,x_3$ comptées avec leur multiplicité — il est scindé sur $\mathbb{C}$ d'après le théorème de d'Alembert-Gauss. On dit que :

• ses racines sont en progression arithmétique lorsqu'on peut les numéroter sous la forme $u-r$, $u$, $u+r$, avec $(u,r)\in {\mathbb{C}}^2$ ;
• ses racines sont en progression géométrique lorsqu'elles sont non nulles et qu'on peut les numéroter sous la forme ${\displaystyle \frac{v}{q}}$, $v$, $vq$, avec $v\in {\mathbb{C}}^{\ast }$ et $q\in {\mathbb{C}}^{\ast }$.

1. (0,75 pt) Démontrer que les racines de $P$ sont en progression arithmétique si et seulement si $-{\displaystyle \frac{a}{3}}$ est racine de $P$, puis que cette condition équivaut à

$$2a^3-9ab+27c=0.$$

2. (1 pt) Déterminer le réel $\lambda$ pour lequel les racines de $X^3-12X^2+\lambda X-28$ sont en progression arithmétique. Pour cette valeur, déterminer les trois racines et factoriser le polynôme en produit d'irréductibles de $\mathbb{R}[X]$.

3. (1 pt) Démontrer que les racines de $P$ sont en progression géométrique si et seulement si $c\mathrm{\ne }0$ et $b^3=a^{3}c$. (Pour la réciproque, on pourra traiter séparément les cas $a=0$ et $a\mathrm{\ne }0$, et poser $v=-\frac{b}{a}$ dans le second.) Appliquer ce critère à $X^3-7X^2+14X-8$ et factoriser ce polynôme.

4. (0,75 pt) Démontrer que les racines de $X^3-3X^2+4X-2$ sont en progression arithmétique, les déterminer, puis factoriser ce polynôme en produit d'irréductibles de $\mathbb{C}[X]$, puis de $\mathbb{R}[X]$.

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. On considère la fraction rationnelle

$$F_n=\frac{1}{X(X+1)(X+2)\cdots (X+n)}=\frac{1}{{\displaystyle \prod _{k=0}^n(X+k)}}\in \mathbb{R}(X)\mathrm{.}$$

1. (0,75 pt) Justifier que l'écriture ci-dessus est irréductible, déterminer les pôles de $F_n$ et leur ordre, justifier que la partie entière de $F_n$ est nulle, et écrire la forme de sa décomposition en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ :

$$F_n=\sum _{k=0}^n\frac{{\lambda }_k}{X+k},({\lambda }_0,\dots ,{\lambda }_n)\in {\mathbb{R}}^{n+1}\mathrm{.}$$

2. (1 pt) Démontrer que, pour tout $k\in \{0,\dots ,n\}$,

$${\lambda }_k=\frac{(-1{)}^k}{k!(n-k)!}=\frac{(-1{)}^k}{n!}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)\mathrm{.}$$

(On pourra séparer, dans le produit qui apparaît, les indices $j<k$ et $j>k$.)

3. (0,75 pt) Écrire la décomposition obtenue pour $n=3$ et la vérifier en réduisant au même dénominateur. Que vaut ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{\lambda }_k}$ ?

4. (0,5 pt) Soit $x\in \mathbb{R}\setminus \{0,-1,\dots ,-n\}$. Déduire de ce qui précède l'identité

$$\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{x+k}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{x(x+1)\cdots (x+n)}\mathrm{.}$$

5. (0,5 pt) En déduire les valeurs des deux sommes

$$\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k+1}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)\text{et}\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k+2}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)\mathrm{.}$$

Le théorème d'interpolation de Lagrange affirme qu'en $p+1$ points deux à deux distincts, on peut imposer $p+1$ valeurs à un polynôme de degré au plus $p$, et d'une seule façon. Ce problème répond à la question suivante : que se passe-t-il si l'on impose, en chacun de ces points, à la fois la valeur du polynôme et celle de sa dérivée ? Dans tout le problème, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et $p\in \mathbb{N}$.

Partie A — Un lemme de dérivation

A.1. (0,5 pt) Soient $A,T\in \mathbb{K}[X]$ avec $A\mathrm{\ne }0$. Démontrer que si $A^2$ divise $T$, alors $A$ divise $T^{\mathrm{\prime }}$. La réciproque est-elle vraie ? On justifiera la réponse.

A.2. (0,75 pt) Soient $a_0,\dots ,a_p$ des éléments de $\mathbb{K}$ deux à deux distincts. On pose

$$N=\prod _{i=0}^p(X-a_i{)}^2\mathrm{.}$$

Donner le degré de $N$, puis démontrer que $N(a_i)=N^{\mathrm{\prime }}(a_i)=0$ pour tout $i\in \{0,\dots ,p\}$.

Réciproquement, soit $T\in \mathbb{K}[X]$ tel que $T(a_i)=T^{\mathrm{\prime }}(a_i)=0$ pour tout $i$. En citant le théorème de comptage des racines avec multiplicité, démontrer que $N$ divise $T$, puis que $T=0$ dès que $\mathrm{deg}T⩽2p+1$.

Partie B — Le théorème d'interpolation

On se donne $a_0,\dots ,a_p$ dans $\mathbb{K}$ deux à deux distincts, ainsi que deux familles $b_0,\dots ,b_p$ et $c_0,\dots ,c_p$ d'éléments de $\mathbb{K}$. On cherche les polynômes $P\in \mathbb{K}[X]$ tels que

$$\mathrm{deg}P⩽2p+1,\text{et}\mathrm{\forall }i\in \{0,\dots ,p\},P(a_i)=b_i\text{ et }{P}^{\mathrm{\prime }}(a_i)=c_i\mathrm{.}(\star )$$

On note $L_0,\dots ,L_p$ les polynômes de Lagrange associés aux points $a_0,\dots ,a_p$ :

$$L_i=\prod _{j\mathrm{\ne }i}\frac{X-a_j}{a_i-a_j}\mathrm{.}$$

On rappelle du cours que $\mathrm{deg}{L}_i=p$, que $L_i(a_i)=1$ et que $L_i(a_j)=0$ pour $j\mathrm{\ne }i$.

B.1. (0,5 pt) Démontrer qu'il existe au plus un polynôme vérifiant $(\star )$.

B.2. (1,25 pt) Pour $i\in \{0,\dots ,p\}$, on pose

$$H_i=(1-2L_i^{\mathrm{\prime }}(a_i)(X-a_i))L_i^2\text{et}{K}_i=(X-a_i)L_i^2\mathrm{.}$$

Majorer les degrés de $H_i$ et de $K_i$, puis calculer $H_i(a_j)$, $H_i^{\mathrm{\prime }}(a_j)$, $K_i(a_j)$ et $K_i^{\mathrm{\prime }}(a_j)$ pour tous $i,j\in \{0,\dots ,p\}$.

B.3. (0,5 pt) Conclure : énoncer précisément le théorème d'interpolation obtenu, et le démontrer.

Partie C — Exploitation

C.1. (0,75 pt) On prend $p=1$, $a_0=0$ et $a_1=1$. Expliciter $H_0$, $H_1$, $K_0$ et $K_1$, et vérifier sur ces quatre polynômes les seize valeurs calculées en B.2.

C.2. (0,5 pt) Déterminer l'unique polynôme $P$ de degré au plus $3$ tel que

$$P(0)=1,P^{\mathrm{\prime }}(0)=0,P(1)=2,P^{\mathrm{\prime }}(1)=3.$$

Vérifier le résultat.

C.3. (1 pt) Soit $N$ le polynôme de la question A.2. et soit $Q\in \mathbb{K}[X]$ quelconque. Démontrer que le reste de la division euclidienne de $Q$ par $N$ est exactement le polynôme d'interpolation fourni par la partie B pour les données $b_i=Q(a_i)$ et $c_i=Q^{\mathrm{\prime }}(a_i)$.

C.4. (0,75 pt) Soit $n⩾2$ un entier. Déterminer, à l'aide de la question C.3. et en fonction de $n$, le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2(X-1{)}^2$. Contrôler la formule obtenue pour $n=2$, $n=3$, $n=4$ et $n=5$.