Exercices — Nombres réels et suites numériques

1. Pour chacune des quatre parties de $\mathbb{R}$ suivantes, dire si elle est majorée, si elle est minorée, si elle est bornée, en donnant à chaque fois un majorant et un minorant explicites lorsqu'il en existe.

   a. $A=[-1,3[$

   b. $B=\{{\displaystyle \frac{1}{n}}\mid n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$

   c. $C=\{{\displaystyle \frac{n}{n+1}}\mid n\in \mathbb{N}\}$

   d. $D=\{(-1{)}^n\mid n\in \mathbb{N}\}$

2. Reprendre ces quatre parties et dire, pour chacune, si elle admet un maximum et si elle admet un minimum. Préciser leur valeur le cas échéant.

3. Démontrer que $A$ n'admet pas de maximum. On pourra raisonner par l'absurde, en supposant que $A$ admet un maximum $M$ et en considérant le réel ${\displaystyle \frac{M+3}{2}}$.

On rappelle la caractérisation séquentielle : si $m$ est un minorant d'une partie non vide $X$ de $\mathbb{R}$ et s'il existe une suite d'éléments de $X$ qui converge vers $m$, alors $m=\inf X$ (énoncé analogue pour la borne supérieure).

1. Déterminer, lorsqu'elles existent, la borne supérieure et la borne inférieure des parties suivantes de $\mathbb{R}$, en précisant à chaque fois si elles sont atteintes.

   a. $A=]-2,5]$

   b. $B=\{1-{\displaystyle \frac{1}{n}}\mid n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$

   c. $C=\{(-1{)}^n+{\displaystyle \frac{1}{n}}\mid n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$

   d. $D=\{x+{\displaystyle \frac{1}{x}}\mid x>0\}$

   Pour la partie $D$, on pourra utiliser l'identité $x+{\displaystyle \frac{1}{x}}-2={\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{x}}$, valable pour tout $x>0$.

On rappelle que pour tout réel $x$ et tout réel $M⩾0$, on a $\mid x\mid ⩽M⟺-M⩽x⩽M$, et que l'inégalité triangulaire s'écrit $\mid u+v\mid ⩽\mid u\mid +\mid v\mid$ pour tous réels $u$ et $v$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes, en donnant l'ensemble des solutions.

   a. $\mid x-3\mid ⩽2$

   b. $\mid 2x+1\mid >5$

   c. $\mid x-1\mid =\mid x+3\mid$

2. Soient $a$ et $b$ deux réels. En écrivant $a=(a-b)+b$, démontrer que $\mid a\mid -\mid b\mid ⩽\mid a-b\mid$, puis en déduire la seconde inégalité triangulaire $\mid \mid a\mid -\mid b\mid \mid ⩽\mid a-b\mid$.

3. Soit $x$ un réel vérifiant $\mid x-2\mid ⩽1$. Majorer $\mid x+2\mid$, puis en déduire une majoration de $\mid x^2-4\mid$ par un multiple de $\mid x-2\mid$, et enfin une majoration numérique de $\mid x^2-4\mid$.

On rappelle que la partie entière d'un réel $x$ est l'unique entier relatif $\lfloor x\rfloor$ vérifiant $\lfloor x\rfloor ⩽x<\lfloor x\rfloor +1$.

1. Calculer les parties entières suivantes.

   a. $\lfloor \mathrm{3,7}\rfloor$

   b. $\lfloor -\mathrm{3,7}\rfloor$

   c. $\lfloor \pi \rfloor$

   d. $\lfloor -\sqrt{2}\rfloor$

   e. $\lfloor {\displaystyle \frac{7}{2}}\rfloor$

   f. $\lfloor -{\displaystyle \frac{7}{2}}\rfloor$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\lfloor x\rfloor =3$, puis l'équation $\lfloor 2x\rfloor =5$.

3. Démontrer que pour tout réel $x$ et tout entier relatif $n$, $\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n$.

1. Pour chacune des suites suivantes, étudier la monotonie, puis dire si elle est majorée, si elle est minorée, si elle est bornée. On raisonnera par différence de deux termes consécutifs, ou par quotient lorsque la suite est strictement positive.

   a. $u_n={\displaystyle \frac{n}{n+1}}$ pour $n\in \mathbb{N}$

   b. $v_n={\displaystyle \frac{2^n}{n!}}$ pour $n\in \mathbb{N}$

   c. $w_n=n-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ pour $n⩾1$

   d. $t_n={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n}}$ pour $n⩾1$

2. Parmi ces quatre suites, laquelle n'est monotone qu'à partir d'un certain rang ? Préciser ce rang.

1. Déterminer la limite de chacune des suites suivantes lorsque $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. Lorsque la suite est un quotient, on factorisera par le terme dominant du numérateur et du dénominateur. Dans tous les cas, on citera le théorème utilisé.

   a. $a_n={\displaystyle \frac{3n^2-n+1}{2n^2+5}}$

   b. $b_n={\displaystyle \frac{n+\sqrt{n}}{n^2}}$, pour $n⩾1$

   c. $c_n={\displaystyle \frac{2^n+3^n}{3^n}}$

   d. $d_n={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n^2+1}}$

   e. $e_n={\displaystyle \frac{n^3+1}{n^2+1}}$

   f. $f_n={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{1}{n}}$, pour $n⩾1$

1. Pour chacune des suites suivantes, définies pour tout $n\in \mathbb{N}$, reconnaître la nature (arithmétique ou géométrique), préciser le premier terme et la raison, donner le terme général, puis calculer la somme des $n+1$ premiers termes.

   a. $u_0=5$ et $u_{n+1}=u_n+3$

   b. $v_0=2$ et $v_{n+1}=3v_n$

   c. $w_0=1$ et $w_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{w}_n$

2. Calculer ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{2}^k}$ et ${\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^k}$, puis déterminer la limite de chacune de ces deux suites lorsque $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

3. Soit $q$ un réel. Discuter le comportement de la suite $(q^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ selon la valeur de $q$, en distinguant les cas $q>1$, $q=1$, $\mid q\mid <1$ et $q⩽-1$, et en justifiant chaque cas.

Dans tout l'exercice, on justifiera chaque limite en écrivant d'abord un encadrement complet de la suite étudiée, puis en citant le théorème d'encadrement.

1. Déterminer la limite des suites suivantes.

   a. $a_n={\displaystyle \frac{\sin n}{n}}$, pour $n⩾1$

   b. $b_n={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}}$, pour $n⩾1$

   c. $c_n={\displaystyle \frac{n+\cos n}{n+1}}$, pour $n\in \mathbb{N}$

2. Soit $x$ un réel fixé. Déterminer la limite de la suite ${\left({\displaystyle \frac{\lfloor nx\rfloor }{n}}\right)}_{n⩾1}$. On rappelle que $\lfloor y\rfloor ⩽y<\lfloor y\rfloor +1$ pour tout réel $y$.

On rappelle que $\mathbb{R}$ est archimédien : pour tout réel $x>0$ et tout réel $y$, il existe $n\in \mathbb{N}$ tel que $nx>y$.

1. Soient $A$ une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$, et $M\in \mathbb{R}$. Démontrer l'équivalence : $M=\sup A$ si et seulement si $M$ majore $A$ et, pour tout $\epsilon >0$, il existe $a\in A$ tel que $a>M-\epsilon$.

2. En utilisant cette caractérisation, déterminer $\sup A$ et $\inf B$, où

   $$A=\{1-{\displaystyle \frac{1}{n}}\mid n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}\text{et}B=\{{\displaystyle \frac{1}{n}}\mid n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$$

   Ces bornes sont-elles atteintes ?

3. Démontrer que toute partie non vide et majorée de $\mathbb{Z}$ admet un plus grand élément.

Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et bornées de $\mathbb{R}$. On pose

On pourra utiliser librement la caractérisation par $\epsilon$ de la borne supérieure.

1. Démontrer que $\sup (A\cup B)=\max (\sup A,\sup B)$.

2. Démontrer que $\sup (A+B)=\sup A+\sup B$.

3. Démontrer que $\inf (-A)=-\sup A$.

4. Soit $\lambda \in {\mathbb{R}}^{\ast }$. Démontrer que $\sup (\lambda A)=\lambda \sup A$ si $\lambda >0$, et que $\sup (\lambda A)=\lambda \inf A$ si $\lambda <0$.

Pour $x\in \mathbb{R}$, on note $\lfloor x\rfloor$ l'unique entier relatif vérifiant $\lfloor x\rfloor ⩽x<\lfloor x\rfloor +1$.

1. Démontrer que pour tous réels $x$ et $y$ :

   $$\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor ⩽\lfloor x+y\rfloor ⩽\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1$$

   Donner un exemple où l'inégalité de gauche est une égalité, puis un exemple où c'est celle de droite.

2. Démontrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ et tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ :

   $$\lfloor {\displaystyle \frac{\lfloor nx\rfloor }{n}}\rfloor =\lfloor x\rfloor$$

3. Démontrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$, $\lfloor x\rfloor +\lfloor x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rfloor =\lfloor 2x\rfloor$.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. On rappelle que $\mathbb{R}$ est archimédien (pour tout réel $x>0$ et tout réel $y$, il existe $n\in \mathbb{N}$ tel que $nx>y$) et que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

1. a. Démontrer qu'il existe $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que ${\displaystyle \frac{1}{n}}<b-a$.

   b. Pour un tel entier $n$, on pose $p=\lfloor na\rfloor +1$. Démontrer que $a<{\displaystyle \frac{p}{n}}<b$. En déduire que tout intervalle ouvert non vide contient un nombre rationnel.

2. a. Démontrer que la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est irrationnelle.

   b. En appliquant la question 1. aux réels $a-\sqrt{2}$ et $b-\sqrt{2}$, démontrer que $]a,b[$ contient un nombre irrationnel.

3. Démontrer que $]a,b[$ contient une infinité de nombres rationnels.

Les suites suivantes sont définies pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Déterminer leur limite en nommant à chaque fois la technique employée pour lever la forme indéterminée.

Pour e., on utilisera la limite usuelle ${\displaystyle \frac{\ln (1+h)}{h}}⟶1$ lorsque $h\to 0$ ; pour f., on admet la croissance comparée usuelle.

On rappelle que la suite $(u_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }\in \mathbb{R}$ lorsque

1. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $u_n={\displaystyle \frac{2n+1}{n+3}}$. Calculer $\mid u_n-2\mid$, puis démontrer que $(u_n)$ converge vers $2$ en exhibant, pour chaque $\epsilon >0$, un entier $N$ explicite.

2. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $v_n={\displaystyle \frac{n^2}{n+1}}$. Écrire la définition quantifiée de « $v_n\to +\mathrm{\infty }$ », puis la démontrer en exhibant un entier $N$ explicite.

3. Écrire la négation de la proposition « $(u_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$ », puis celle de « $(u_n)$ converge ».

4. Démontrer l'unicité de la limite d'une suite convergente.

1. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $u_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k^2}}}$.

   a. Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.

   b. Démontrer que pour tout entier $k⩾2$, ${\displaystyle \frac{1}{k^2}}⩽{\displaystyle \frac{1}{k-1}}-{\displaystyle \frac{1}{k}}$, puis en déduire par télescopage que $u_n⩽2$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

   c. Que peut-on en conclure sur la suite $(u_n)$ ?

2. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}}$.

   a. Démontrer que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $H_{2n}-H_n⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   b. En déduire que la suite $(H_n)$ n'est pas majorée, puis qu'elle tend vers $+\mathrm{\infty }$.

3. Démontrer le résultat utilisé à la question 2. b. : toute suite croissante et non majorée tend vers $+\mathrm{\infty }$.

1. Pour chacune des deux suites suivantes, définies pour tout $n\in \mathbb{N}$ : déterminer le réel $r$ tel que la suite constante égale à $r$ vérifie la même relation de récurrence, poser $v_n=u_n-r$ et démontrer que $(v_n)$ est géométrique, en déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis la limite de $(u_n)$.

   a. $u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n-4$

   b. $u_0=5$ et $u_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_n+3$

2. Un capital de $10000$ euros est placé sur un compte rémunéré à $4\mathrm{\%}$ par an, et l'on verse en plus $1200$ euros sur ce compte à la fin de chaque année, juste après le versement des intérêts. On note $C_n$ le capital, en euros, au bout de $n$ années, de sorte que $C_0=10000$. Justifier que $C_{n+1}=\mathrm{1,04}{C}_n+1200$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, exprimer $C_n$ en fonction de $n$, puis décrire le comportement du capital à long terme.

Les trois suites ci-dessous sont réelles, et les relations de récurrence sont valables pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Pour chacune de ces trois suites, écrire l'équation caractéristique associée et la résoudre.

2. En déduire à chaque fois la forme du terme général, puis déterminer les deux constantes à l'aide des deux premiers termes.

3. Vérifier chacune des trois formules obtenues sur les termes de rang $2$ et de rang $3$.

4. Déterminer, pour chacune des trois suites, si elle converge.

1. Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle convergeant vers un réel $\mathrm{\ell }$, et soit $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ une extractrice. Démontrer que la suite extraite $(u_{\phi (n)})$ converge vers $\mathrm{\ell }$. On commencera par établir par récurrence que $\phi (n)⩾n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

2. En déduire le critère suivant : si deux suites extraites de $(u_n)$ convergent vers des limites différentes, alors $(u_n)$ diverge.

3. Démontrer à l'aide de ce critère que chacune des quatre suites suivantes diverge. On précisera à chaque fois les deux extractrices choisies et les limites obtenues.

   a. $u_n=(-1{)}^n$

   b. $v_n=(-1{)}^n{\displaystyle \frac{n}{n+1}}$

   c. $w_n=\cos \left({\displaystyle \frac{n\pi }{3}}\right)$

   d. $t_n=\sin \left({\displaystyle \frac{n\pi }{2}}\right)$

1. Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle et $\mathrm{\ell }$ un réel. Démontrer, en revenant à la définition de la limite, que si les deux suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite $\mathrm{\ell }$, alors $(u_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$.

2. Donner un contre-exemple montrant que l'hypothèse « la même limite » ne peut pas être supprimée.

3. Déterminer la limite des deux suites suivantes.

   a. $u_n={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n}}$ pour $n⩾1$

   b. $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_{2n}={\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ et $u_{2n+1}={\displaystyle \frac{2}{n+1}}$

4. Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle telle que les trois suites extraites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{3n})$ convergent. Démontrer que $(u_n)$ converge.

La méthode est imposée dans tout l'exercice : pour $n$ fixé, encadrer chaque terme de la somme en le majorant et en le minorant, sommer les $n$ inégalités obtenues, puis appliquer le théorème d'encadrement aux deux suites ainsi construites.

1. Déterminer la limite des quatre suites suivantes, définies pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

   a. $S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{n}{n^2+k}}}$

   b. $T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}}}$

   c. $U_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{k}{n^2+k}}}$

   d. $V_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{n^2+k^2}}}$

2. Dans les quatre sommes, chaque terme tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, l'entier $k$ étant fixé. Que faut-il en conclure sur la méthode qui consisterait à passer à la limite terme à terme dans une telle somme ?

1. Étudier la convergence de la suite complexe $(z_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $z_n={\left({\displaystyle \frac{1+i}{2}}\right)}^n$.

2. Étudier la convergence de la suite complexe $(z_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $z_n={\displaystyle \frac{n+i}{n+1}}$, en séparant partie réelle et partie imaginaire.

3. Soit $z\in \mathbb{C}$. Démontrer que la suite $(z^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge si et seulement si $\mid z\mid <1$ ou $z=1$. On distinguera les cas $\mid z\mid <1$, $z=1$, $\mid z\mid >1$, puis $\mid z\mid =1$ avec $z\mathrm{\ne }1$ ; dans ce dernier cas, on raisonnera par l'absurde en supposant que $(z^n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$ et en utilisant l'égalité $z^{n+1}=z\times z^n$.

4. Expliquer pourquoi le théorème de la limite monotone et le théorème d'encadrement n'ont aucun sens pour une suite complexe. Quel est l'outil qui les remplace ?

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et

1. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0<u_n<1$.

2. Déterminer le signe de $u_{n+1}-u_n$ et en déduire que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

3. Justifier que $(u_n)$ converge, puis déterminer sa limite en passant à la limite dans la relation de récurrence.

4. Vérifier que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $1-u_{n+1}={(1-u_n)}^2$. En déduire par récurrence que $1-u_n={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2^n}$, retrouver la limite de la suite, et commenter la rapidité de la convergence.

Soit $a>0$ et $u_0>0$. On définit la suite $(u_n)$ par la relation de récurrence

Cette suite est l'algorithme d'extraction de racine carrée attribué à Héron d'Alexandrie.

1. Montrer que la suite $(u_n)$ est bien définie et que $u_n>0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

2. Vérifier que $u_{n+1}-\sqrt{a}={\displaystyle \frac{(u_n-\sqrt{a}{)}^2}{2u_n}}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, et en déduire que $u_n⩾\sqrt{a}$ pour tout $n⩾1$.

3. Montrer que la suite $(u_n{)}_{n⩾1}$ est décroissante.

4. En déduire que $(u_n)$ converge, puis déterminer sa limite en passant à la limite dans la relation de récurrence.

5. Montrer que pour tout $n⩾1$, $0⩽u_{n+1}-\sqrt{a}⩽{\displaystyle \frac{(u_n-\sqrt{a}{)}^2}{2\sqrt{a}}}$. Illustrer ce résultat pour $a=2$ et $u_0=2$ : calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sous forme de fractions et donner pour chacun le nombre de décimales exactes de $\sqrt{2}$.

La suite de Fibonacci $(F_n)$ est définie par $F_0=0$, $F_1=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$. On pose

1. Résoudre l'équation caractéristique associée à la récurrence et en déduire la formule de Binet : pour tout $n\in \mathbb{N}$, $F_n={\displaystyle \frac{{\phi }^n-{\psi }^n}{\sqrt{5}}}$.

2. Démontrer par récurrence l'identité de Cassini : pour tout $n⩾1$, $F_{n+1}{F}_{n-1}-F_n^2=(-1{)}^n$.

3. Montrer que $F_n⩾1$ pour tout $n⩾1$, puis établir l'identité ${\displaystyle \frac{F_{n+1}}{F_n}}-\phi ={\displaystyle \frac{{\psi }^n}{F_n}}$. En déduire que ${\displaystyle \frac{F_{n+1}}{F_n}}\to \phi$.

4. Déduire des questions 2 et 3 que, pour tout $n⩾2$, $\mid {\displaystyle \frac{F_{n+1}}{F_n}}-\phi \mid ⩽{\displaystyle \frac{1}{F_n{F}_{n-1}}}$. Application numérique pour $n=10$.

Pour tout entier $n⩾1$, on pose

1. Étudier les variations sur ${\mathbb{R}}_{+}$ des fonctions $g:x\mapsto \ln (1+x)-{\displaystyle \frac{x}{1+x}}$ et $h:x\mapsto x-\ln (1+x)$, et en déduire que pour tout entier $n⩾1$ on a ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}⩽\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})⩽{\displaystyle \frac{1}{n}}$.

2. En déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante et que la suite $(v_n)$ est croissante.

3. Montrer que $u_n-v_n\to 0$. Conclure que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes et convergent vers une même limite, notée $\gamma$ et appelée constante d'Euler.

4. Donner un encadrement de $\gamma$ à partir de $v_4$ et $u_4$, en précisant le sens des arrondis utilisés.

Pour tout entier $n⩾1$, on pose

On rappelle la convention $0!=1$.

1. Montrer que la suite $(u_n{)}_{n⩾1}$ est strictement croissante.

2. Calculer $v_{n+1}-v_n$ et le factoriser par ${\displaystyle \frac{1}{(n+1)!}}$. En déduire que la suite $(v_n{)}_{n⩾1}$ est strictement décroissante.

3. Montrer que $v_n-u_n\to 0$ et conclure que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. On note $e$ leur limite commune.

4. En déduire que $u_n<e<v_n$ pour tout $n⩾1$, puis un encadrement numérique de $e$ obtenu pour $n=5$. Combien de décimales exactes cet encadrement garantit-il ?

Soit $(u_n{)}_{n⩾1}$ une suite réelle. On lui associe la suite de ses moyennes

1. Démontrer le théorème de Cesàro : si $(u_n)$ converge vers un réel $\mathrm{\ell }$, alors $(C_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$. On pourra, pour $\epsilon >0$ fixé, choisir un rang $N$ à partir duquel $\mid u_k-\mathrm{\ell }\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$, puis découper la somme en deux au rang $N$.

2. Montrer que la réciproque est fausse en considérant $u_n=(-1{)}^n$.

3. Soit $(u_n{)}_{n⩾0}$ une suite réelle telle que $u_{n+1}-u_n\to \mathrm{\ell }$. Montrer que ${\displaystyle \frac{u_n}{n}}\to \mathrm{\ell }$.

4. Application. Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n+{\displaystyle \frac{1}{u_n}}$. Montrer que $u_n^2⩾1+2n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis que ${\displaystyle \frac{u_n^2}{n}}\to 2$.

Les quatre questions sont indépendantes. Chacune met en garde contre une erreur de raisonnement fréquente.

1. Soit $(u_n)$ une suite convergente à valeurs dans $\mathbb{Z}$. Montrer qu'elle est stationnaire, c'est-à-dire constante à partir d'un certain rang. On pourra appliquer la définition de la limite avec $\epsilon ={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

2. Montrer que la condition $u_{n+1}-u_n\to 0$ n'entraîne pas la convergence de $(u_n)$, en étudiant successivement $u_n=\sqrt{n}$ puis $u_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$.

3. Donner un exemple de suite bornée qui ne converge pas, et un exemple de suite non bornée qui ne tend pas vers $+\mathrm{\infty }$. Justifier dans les deux cas.

4. Vrai ou faux : si $(u_n)$ converge et si $(u_n{v}_n)$ converge, alors $(v_n)$ converge. Démontrer l'énoncé ou donner un contre-exemple.

1. Rappeler la définition d'une valeur d'adhérence d'une suite réelle, puis déterminer l'ensemble des valeurs d'adhérence des deux suites suivantes.

   a. $u_n=(-1{)}^n+{\displaystyle \frac{1}{n}}$, pour $n⩾1$

   b. $v_n=\cos \left({\displaystyle \frac{2n\pi }{3}}\right)$, pour $n\in \mathbb{N}$

2. Démontrer qu'une suite convergente admet exactement une valeur d'adhérence.

3. Soit $(u_n)$ une suite réelle bornée admettant une unique valeur d'adhérence $\mathrm{\ell }$. Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$. On raisonnera par l'absurde : on extraira une suite dont tous les termes restent à distance au moins ${\epsilon }_0$ de $\mathrm{\ell }$, puis on lui appliquera le théorème de Bolzano-Weierstrass.

4. Démontrer que l'hypothèse « bornée » ne peut pas être supprimée de la question 3, en étudiant la suite définie par $u_{2n}=0$ et $u_{2n+1}=n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Soient $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites réelles telles que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $a_n⩽b_n$ et $[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n]$, et telles que $b_n-a_n\to 0$. Démontrer que l'intersection ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb{N}}[a_n,b_n]}$ est un singleton (théorème des segments emboîtés).

2. On pose $a_0=1$ et $b_0=2$. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on note $m_n={\displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}}$ le milieu de $[a_n,b_n]$ et l'on pose

   $$(a_{n+1},b_{n+1})=(a_n,m_n)\text{ si }{m}_n^2>2,(a_{n+1},b_{n+1})=(m_n,b_n)\text{ sinon.}$$

   a. Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $1⩽a_n⩽b_n⩽2$ et $a_n^2⩽2⩽b_n^2$.

   b. Démontrer que $b_n-a_n=2^{-n}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

   c. En déduire que les deux suites convergent vers un même réel $c$, puis que $c^2=2$. On passera à la limite dans les inégalités larges de la question a à l'aide des opérations sur les limites.

3. Combien d'étapes de dichotomie faut-il pour obtenir $\sqrt{2}$ à ${10}^{-3}$ près ? Donner l'encadrement de $\sqrt{2}$ fourni par le rang $10$.

1. Soient $A$ une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$, et $M$ un réel. Démontrer l'équivalence suivante : $M=\sup A$ si et seulement si $M$ majore $A$ et il existe une suite $(x_n{)}_{n⩾1}$ d'éléments de $A$ qui converge vers $M$. Pour le sens direct, on construira $x_n$ en prenant $\epsilon ={\displaystyle \frac{1}{n}}$ dans la caractérisation de la borne supérieure.

2. Soit $x$ un réel. En reprenant la même idée d'approximation à ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ près :

   a. démontrer que $x$ est la limite d'une suite de rationnels, en considérant $r_n={\displaystyle \frac{\lfloor nx\rfloor }{n}}$ pour $n⩾1$ ;

   b. démontrer que $x$ est aussi la limite d'une suite d'irrationnels.

3. Soit $A$ une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$. Démontrer que $\sup A\in A$ si et seulement si $A$ admet un plus grand élément, et qu'alors $\max A=\sup A$. Donner un exemple de partie non vide et majorée dont la borne supérieure ne lui appartient pas.

Soit $x$ un réel fixé. Pour tout entier $n⩾1$, on pose

1. Justifier que, pour tout réel $t$, $t-1<\lfloor t\rfloor ⩽t$, et en déduire que $kx-1<\lfloor kx\rfloor ⩽kx$ pour tout entier $k⩾1$.

2. En déduire un encadrement de $S_n$, puis démontrer que ${\displaystyle \frac{S_n}{n^2}}\to {\displaystyle \frac{x}{2}}$.

3. Établir de même que ${\displaystyle \frac{T_n}{n^3}}\to {\displaystyle \frac{x}{3}}$. On rappelle que ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}}$.

4. Déterminer la limite de ${\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n\lfloor {\displaystyle \frac{k}{n}}\rfloor }$.

Soient $a_0$ et $b_0$ deux réels tels que $0<b_0<a_0$. On définit deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ par

1. Démontrer l'inégalité arithmético-géométrique : pour tous réels $a⩾0$ et $b⩾0$, $\sqrt{ab}⩽{\displaystyle \frac{a+b}{2}}$, avec égalité si et seulement si $a=b$. On partira de ${(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^2⩾0$. En déduire par récurrence que $0<b_n<a_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

2. Démontrer que la suite $(a_n)$ est décroissante et que la suite $(b_n)$ est croissante.

3. Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0<a_{n+1}-b_{n+1}⩽{\displaystyle \frac{a_n-b_n}{2}}$, en déduire que $a_n-b_n⩽{\displaystyle \frac{a_0-b_0}{2^n}}$, puis que les deux suites sont adjacentes.

4. Conclure, et donner les quatre premières valeurs de chaque suite pour $a_0=1$ et $b_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$, arrondies à ${10}^{-6}$.

5. Démontrer que la limite commune $M$ des deux suites vérifie $b_0<M<a_0$.

Pour tout entier $n⩾1$, on pose $u_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{1}{k!}}}$ et $v_n=u_n+{\displaystyle \frac{1}{n\cdot n!}}$. On admet, comme cela a été établi dans un exercice précédent, que $(u_n{)}_{n⩾1}$ est strictement croissante, que $(v_n{)}_{n⩾1}$ est strictement décroissante, que ces deux suites sont adjacentes, et que leur limite commune est le nombre $e$.

1. En déduire que pour tout entier $n⩾1$, $u_n<e<v_n$. On prendra garde au fait que le passage à la limite ne conserve que les inégalités larges.

2. On raisonne par l'absurde en supposant $e$ rationnel : il existe alors $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tels que $e={\displaystyle \frac{p}{q}}$. Montrer que $q!u_q$ est un entier naturel, et qu'il en va de même de $q!e$.

3. Multiplier par $q!$ l'encadrement de la question 1 écrit au rang $n=q$. En déduire l'existence d'un entier strictement compris entre deux entiers consécutifs, et conclure que $e$ est irrationnel.

4. Ce raisonnement prouve-t-il que $e$ est transcendant, c'est-à-dire qu'il n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers ? Répondre en une phrase justifiée.

On définit la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ par $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}={\displaystyle \frac{u_n+2}{u_n+1}}$.

1. Montrer que la suite est bien définie et que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n⩾1$.

2. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sous forme de fractions, et comparer chacun des réels $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ à $\sqrt{2}$. La suite $(u_n)$ est-elle monotone ? Quel théorème du cours cela interdit-il d'employer ?

3. Vérifier par le calcul, pour tout $n\in \mathbb{N}$, l'identité $u_{n+1}-\sqrt{2}={\displaystyle \frac{(1-\sqrt{2})(u_n-\sqrt{2})}{u_n+1}}$, puis en déduire que $\mid u_{n+1}-\sqrt{2}\mid ⩽k\mid u_n-\sqrt{2}\mid$, où $k={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{2}}$.

4. En déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $\mid u_n-\sqrt{2}\mid ⩽k^n(\sqrt{2}-1)$, puis que la suite $(u_n)$ converge vers $\sqrt{2}$.

5. Déterminer, à l'aide du logarithme népérien, un rang à partir duquel $\mid u_n-\sqrt{2}\mid ⩽{10}^{-6}$.

Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle. On dit qu'un entier $n\in \mathbb{N}$ est un pic de la suite lorsque $u_m⩽u_n$ pour tout entier $m>n$. On note $P$ l'ensemble des pics de $(u_n)$.

1. On suppose dans cette question que $P$ est infini. Construire une application $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ strictement croissante telle que la suite extraite $(u_{\phi (n)})$ soit décroissante.

2. On suppose dans cette question que $P$ est fini. Montrer qu'il existe $N\in \mathbb{N}$ tel qu'aucun entier $n⩾N$ ne soit un pic, puis construire par récurrence une application $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ strictement croissante telle que la suite extraite $(u_{\phi (n)})$ soit strictement croissante.

3. Conclure : toute suite réelle admet une suite extraite monotone.

4. En déduire une démonstration du théorème de Bolzano-Weierstrass n'utilisant pas la dichotomie.

5. Donner un exemple de suite dont l'ensemble des pics est vide, et un exemple de suite dont l'ensemble des pics est infini.

On admet le théorème de Cesàro, établi dans un exercice précédent : si une suite $(w_n{)}_{n⩾1}$ converge vers $\mathrm{\ell }$, alors ${\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{w}_k}$ converge vers $\mathrm{\ell }$. On admet également les deux résultats suivants sur les fonctions usuelles : si $a_n\to a$, alors $\exp (a_n)\to \exp (a)$ ; si $a_n\to a$ avec $a_n>0$ pour tout $n$ et $a>0$, alors $\ln (a_n)\to \ln (a)$.

Soit $(u_n{)}_{n⩾1}$ une suite de réels strictement positifs telle que ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}\to \mathrm{\ell }$, avec $\mathrm{\ell }>0$.

1. En posant $w_k=\ln \left({\displaystyle \frac{u_{k+1}}{u_k}}\right)$ pour $k⩾1$, montrer par télescopage que ${\displaystyle \frac{1}{n}}\ln \left({\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_1}}\right)$ converge vers $\ln \mathrm{\ell }$.

2. En déduire que ${\displaystyle \frac{\ln u_n}{n}}$ converge vers $\ln \mathrm{\ell }$, puis que $\sqrt[n]{u_n}$ converge vers $\mathrm{\ell }$.

3. Première application : en posant $u_n={\displaystyle \frac{n!}{n^n}}$ et en utilisant ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n\to e$, montrer que ${\displaystyle \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}}\to {\displaystyle \frac{1}{e}}$.

4. Deuxième application : montrer que $\sqrt[n]{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)}\to 4$.

5. Que se passe-t-il lorsque $\mathrm{\ell }=0$ ? On suppose donc ici que ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}\to 0$, les termes de la suite restant strictement positifs. Montrer que la conclusion de la question 2 reste valable, en majorant directement $u_n$ à partir d'un rang bien choisi.