Devoir surveillé — Nombres réels et suites numériques

Les quatre questions sont indépendantes.

1. Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure des parties suivantes de $\mathbb{R}$, en précisant si elles sont atteintes. Toute borne non atteinte sera justifiée par la caractérisation par $\epsilon$.

   a. $A=\{{\displaystyle \frac{n-1}{n+1}}\mid n\in \mathbb{N}\}$

   b. $B=\{(-1{)}^n+{\displaystyle \frac{1}{n}}\mid n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\lfloor x\rfloor ={\displaystyle \frac{2x-1}{3}}$.

3. Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $\lfloor x\rfloor +\lfloor x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rfloor =\lfloor 2x\rfloor$.

4. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. Montrer que l'intervalle $]a,b[$ contient au moins un nombre rationnel.

Soit $u_0\in ]0,1[$. On définit la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ par la relation de récurrence

Partie A — Convergence de la suite.

1. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0<u_n<1$.
2. Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
3. En déduire que la suite $(u_n)$ converge. On note $\mathrm{\ell }$ sa limite.
4. En passant à la limite dans la relation de récurrence à l'aide des seules opérations sur les limites, montrer que $\mathrm{\ell }=0$.

Partie B — Vitesse de convergence.

D'après la question A.1, on peut poser $v_n={\displaystyle \frac{1}{u_n}}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_{n+1}-v_n={\displaystyle \frac{1}{1-u_n}}$.
2. En déduire que $v_{n+1}-v_n\to 1$.
3. On admet le théorème de Cesàro sous la forme suivante : si $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite réelle et $\mathrm{\ell }\in \mathbb{R}$ vérifient $a_{n+1}-a_n\to \mathrm{\ell }$, alors ${\displaystyle \frac{a_n}{n}}\to \mathrm{\ell }$. En déduire que $n{u}_n\to 1$.
4. On prend ici $u_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Donner une valeur approchée de $u_{100}$ et commenter la précision de cette approximation. On pourra établir au préalable que $u_n<{\displaystyle \frac{1}{n+2}}$ pour tout $n⩾1$.

Pour tout entier $n⩾1$, on pose

1. Montrer que la suite $(u_n{)}_{n⩾1}$ est croissante.
2. Calculer $v_{n+1}-v_n$ et l'écrire sous la forme d'une fraction unique ; en déduire que la suite $(v_n{)}_{n⩾1}$ est décroissante.
3. Montrer que $v_n-u_n\to 0$, puis que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers une même limite, que l'on notera $S$.
4. Justifier que $u_4⩽S⩽v_4$. Calculer les valeurs exactes de $u_4$ et $v_4$ sous forme de fractions irréductibles, puis en déduire un encadrement décimal de $S$ au centième.
5. Montrer que pour tout entier $k⩾2$, ${\displaystyle \frac{1}{k^2}}⩽{\displaystyle \frac{1}{k(k-1)}}$. En déduire, par télescopage, que $u_n⩽2-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ pour tout $n⩾1$, puis que $S⩽2$.

1. Rappeler la définition d'une valeur d'adhérence d'une suite réelle $(u_n)$.

2. Déterminer l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite définie pour $n⩾1$ par $u_n=(-1{)}^n(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})$. On justifiera qu'il n'y en a pas d'autres.

3. Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle. On suppose que les suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers une même limite $\mathrm{\ell }$. Démontrer, en revenant à la définition de la limite, que $(u_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$.

4. Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle bornée telle que $u_{n+1}-u_n\to 0$.

   a. Montrer, à l'aide du théorème de Bolzano-Weierstrass, que $(u_n)$ admet au moins une valeur d'adhérence.

   b. Donner un exemple d'une telle suite qui ne converge pas. On décrira la suite précisément et on justifiera qu'elle est bornée, qu'elle vérifie $u_{n+1}-u_n\to 0$ et qu'elle diverge.