Exercices — Matrices

L'espace ${\mathbb{R}}^3$ est rapporté à sa base canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$, et l'on pose

$$u_1=(1,2,3),u_2=(0,-1,4),u_3=(2,0,-1)\mathrm{.}$$

1. Écrire la colonne des coordonnées de $u_1$, de $u_2$ puis de $u_3$ dans $\mathcal{B}$, et en déduire la matrice ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u_1,u_2,u_3)$.

2. L'espace ${\mathbb{R}}_2[X]$ est muni de sa base canonique $\mathcal{C}=(1,X,X^2)$. Écrire la matrice ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{C}}(P_1,P_2,P_3)$, où l'on a posé $P_1=1+X$, $P_2=X-X^2$ et $P_3=2-X^2$.

3. La famille $(P_1,P_2,P_3)$ est-elle une base de ${\mathbb{R}}_2[X]$ ?

On note $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$ et $\mathcal{C}=(f_1,f_2)$ celle de ${\mathbb{R}}^2$. On considère l'application linéaire

$$u:{\mathbb{R}}^3⟶{\mathbb{R}}^2,u(x,y,z)=(x+3y-z,3x+y+z)\mathrm{.}$$

1. Écrire $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$.

2. Réciproquement, expliciter l'application linéaire $v$ canoniquement associée à la matrice $B$ ci-dessous, en précisant ses espaces de départ et d'arrivée :

$$B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 3\\ 1& 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

3. On pose ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}=((1,1),(1,-1))$. Montrer que ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}$ est une base de ${\mathbb{R}}^2$, puis calculer ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},{\mathcal{C}}^{\mathrm{\prime }}}(u)$ directement, sans utiliser de formule de changement de base.

On note $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^4$ et $\mathcal{C}$ celle de ${\mathbb{R}}^3$. On considère l'application linéaire

$$u:{\mathbb{R}}^4⟶{\mathbb{R}}^3,u(x,y,z,t)=(x+y-z,2x-z+t,-x+3y+t)\mathrm{.}$$

1. Écrire $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$.

2. Soient $a=(1,2,3,-1)$ et $b=(2,0,1,1)$. Calculer les colonnes $A{X}_a$ et $A{X}_b$, où $X_a$ et $X_b$ désignent les colonnes des coordonnées de $a$ et de $b$ dans $\mathcal{B}$. Retrouver ces résultats en appliquant directement la définition de $u$.

3. Que vaut $AX$ lorsque $X$ est la colonne des coordonnées du $j$-ième vecteur de $\mathcal{B}$ ? Quelle interprétation des colonnes de $A$ en tire-t-on ?

On note $E={\mathbb{R}}_3[X]$, muni de sa base canonique $\mathcal{B}=(1,X,X^2,X^3)$, et l'on considère l'application

$$D:E⟶E,P⟼P^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$

On admet que $D$ est linéaire.

1. Justifier que $D$ est bien un endomorphisme de $E$, puis écrire $N={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(D)$.

2. Calculer $N^2$, $N^3$ et $N^4$. Interpréter les résultats en termes de l'endomorphisme $D$.

3. Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(D)$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}(D)$, puis vérifier le théorème du rang.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 2& 4& 1& 3\\ -1& -2& 1& 0\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R}),$$

et l'on note $f$ l'application linéaire de ${\mathbb{R}}^4$ dans ${\mathbb{R}}^3$ qui lui est canoniquement associée.

1. Déterminer une base de $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)$ en résolvant le système $AX=0$ par la méthode du pivot.

2. Déterminer une base de $\mathrm{I}\mathrm{m}(A)$ et en déduire $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$.

3. Vérifier le théorème du rang, puis conclure quant à l'injectivité et à la surjectivité de $f$.

On considère les matrices

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& -1\\ 1& -1& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 3& 5\\ 3& 5& 8\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -1\\ 0& 1& 1& 3\\ 2& 1& 5& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Calculer le rang de chacune de ces trois matrices par la méthode du pivot.

2. En déduire lesquelles sont inversibles, sans calculer aucun inverse.

3. Calculer le rang de ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}B$ par la méthode du pivot, et comparer au résultat du cours.

L'espace ${\mathbb{R}}^3$ est rapporté à sa base canonique $\mathcal{B}$. On pose

$$e_1^{\mathrm{\prime }}=(1,2,1),e_2^{\mathrm{\prime }}=(0,1,1),e_3^{\mathrm{\prime }}=(1,1,1),$$

et l'on note ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(e_1^{\mathrm{\prime }},e_2^{\mathrm{\prime }},e_3^{\mathrm{\prime }})$.

1. Écrire la matrice $P=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$, puis montrer, en calculant son rang, que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$.

2. Calculer $P^{-1}$ par la méthode du pivot.

3. Le vecteur $x$ a pour coordonnées $1$, $2$ et $3$ dans $\mathcal{B}$. Déterminer ses coordonnées dans ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$, et vérifier le résultat directement.

On considère les matrices

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -4\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ -1& 3& 4\\ 5& 2& -1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Calculer les traces de $A$, de $B$, de $C$ et de $I_4$.

2. Calculer $\mathrm{t}\mathrm{r}(2A-3C)$ de deux façons, et conclure sur la linéarité de la trace.

3. Écrire ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}B$ et comparer $\mathrm{t}\mathrm{r}({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}B)$ à $\mathrm{t}\mathrm{r}(B)$. Pourquoi le résultat vaut-il pour toute matrice carrée ?

4. Calculer $AC$ et $CA$. Ces deux matrices sont-elles égales ? Et leurs traces ? La trace d'un produit est-elle le produit des traces ?

On note $\mathcal{B}$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$ et $\mathcal{C}$ celle de ${\mathbb{R}}^2$. On considère les applications linéaires

$$u:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2,u(x,y,z)=(x+2y-z,-x+y+3z),v:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3,v(s,t)=(s-t,2s+t,s)\mathrm{.}$$

1. Écrire $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ et $B={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{C},\mathcal{B}}(v)$.

2. Calculer les produits $BA$ et $AB$.

3. Expliciter $v\circ u$ et $u\circ v$ par le calcul direct, et vérifier l'accord avec la question précédente.

4. Commenter les tailles obtenues. La matrice $BA$ est-elle inversible ?

Soit $\mathcal{B}=(1,X,X^2,X^3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}_3[X]$ et soit $T$ l'application qui, à un polynôme $P\in {\mathbb{R}}_3[X]$, associe le polynôme $P(X+1)$.

1. Vérifier que $T$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}_3[X]$, puis écrire $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(T)$.

2. Montrer, sans aucun calcul matriciel, que $T$ est un automorphisme et expliciter $T^{-1}$.

3. En déduire $A^{-1}$, puis vérifier par le calcul que $A{A}^{-1}=I_4$.

4. Montrer que $N=A-I_4$ est nilpotente et préciser son indice de nilpotence.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 3\\ 1& 1& 2\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{4,3}(\mathbb{R})$$

et on note $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^4$ l'application linéaire canoniquement associée à $A$, ainsi que $C_1,C_2,C_3$ les colonnes de $A$.

1. Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)$ et en donner une base.

2. Montrer que $(C_1,C_2)$ est une base de $\mathrm{I}\mathrm{m}(f)$.

3. Donner $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$, vérifier le théorème du rang, puis dire si $f$ est injective et si elle est surjective.

4. Déterminer un système d'équations cartésiennes de $\mathrm{I}\mathrm{m}(f)$ dans ${\mathbb{R}}^4$.

Pour $m\in \mathbb{R}$, on pose

$$A_m=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

1. Échelonner $A_m$ par des opérations élémentaires sur les lignes, en veillant à ne jamais diviser par une quantité dépendant de $m$.

2. En déduire le rang de $A_m$ suivant les valeurs de $m$, puis les valeurs de $m$ pour lesquelles $A_m$ est inversible.

3. Pour chaque valeur de $m$ où $A_m$ n'est pas inversible, donner une base du noyau de l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ canoniquement associé à $A_m$.

L'espace ${\mathbb{R}}^3$ est rapporté à sa base canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$. On pose

$$e_1^{\mathrm{\prime }}=(1,1,1),e_2^{\mathrm{\prime }}=(1,1,0),e_3^{\mathrm{\prime }}=(1,0,-1),{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(e_1^{\mathrm{\prime }},e_2^{\mathrm{\prime }},e_3^{\mathrm{\prime }})\mathrm{.}$$

1. Montrer que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$, écrire $P=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$ et calculer $P^{-1}$.

2. Donner les coordonnées dans ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ des vecteurs $v=(1,2,3)$ et $w=(1,0,0)$.

3. Donner les coordonnées dans $\mathcal{B}$ du vecteur $t$ dont les coordonnées dans ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ sont $(1,2,-1)$.

4. On pose $e_1^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=e_1^{\mathrm{\prime }}+e_2^{\mathrm{\prime }}$, $e_2^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=e_2^{\mathrm{\prime }}+e_3^{\mathrm{\prime }}$, $e_3^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=e_3^{\mathrm{\prime }}$ et ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=(e_1^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }},e_2^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }},e_3^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})$. Montrer que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$, puis vérifier sur cet exemple la relation $P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}{P}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}$.

Soit $u$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans la base canonique $\mathcal{B}$ est

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -2\\ 0& 3& -2\\ 3& 1& -3\end{array}\right)\mathrm{.}$$

On pose $e_1^{\mathrm{\prime }}=(1,1,1)$, $e_2^{\mathrm{\prime }}=(1,2,1)$, $e_3^{\mathrm{\prime }}=(1,1,2)$ et ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(e_1^{\mathrm{\prime }},e_2^{\mathrm{\prime }},e_3^{\mathrm{\prime }})$.

1. Montrer que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$ et calculer $P^{-1}$, où $P=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$.

2. Calculer $u(e_1^{\mathrm{\prime }})$, $u(e_2^{\mathrm{\prime }})$ et $u(e_3^{\mathrm{\prime }})$, puis en déduire $D={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}(u)$.

3. Vérifier par le calcul que $D=P^{-1}AP$ et conclure.

4. En déduire $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

L'espace ${\mathbb{R}}^3$ est rapporté à sa base canonique $\mathcal{B}$. On pose

$$F=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3;x+y+z=0\},w=(1,1,1),G=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(w)\mathrm{.}$$

1. Montrer que $F\oplus G={\mathbb{R}}^3$. On note désormais $p$ la projection sur $F$ parallèlement à $G$.

2. Vérifier que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(f_1,f_2,w)$, où $f_1=(1,-1,0)$ et $f_2=(1,0,-1)$, est une base adaptée à cette décomposition, puis écrire $D={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}(p)$.

3. Écrire $P=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$, calculer $P^{-1}$, puis en déduire $M={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(p)$.

4. Vérifier que $M^2=M$, puis calculer $\mathrm{t}\mathrm{r}(M)$ et $\mathrm{r}\mathrm{g}(M)$.

L'espace ${\mathbb{R}}^3$ est rapporté à sa base canonique $\mathcal{B}$. On note $F$ le plan d'équation $x+y+z=0$, $w=(1,1,1)$ et $G=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(w)$ ; on admet que $F\oplus G={\mathbb{R}}^3$. Soit $s$ la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$, et soit $p$ la projection sur $F$ parallèlement à $G$.

1. Vérifier que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(f_1,f_2,w)$, où $f_1=(1,-1,0)$ et $f_2=(1,0,-1)$, est une base adaptée à la décomposition, puis écrire $\mathrm{\Delta }={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}(s)$.

2. Écrire $P=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$, vérifier que $P^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 1& 1& -2\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$, puis calculer $S={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(s)$.

3. Vérifier que $S^2=I_3$.

4. Montrer que $s=2p-\mathrm{i}\mathrm{d}$, et en déduire ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(p)$.

5. Calculer $\mathrm{t}\mathrm{r}(S)$ et interpréter le résultat.

On considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 2& 4& 1& 3\\ 1& 2& 1& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

1. Échelonner $A$ par des opérations élémentaires sur les lignes seulement, en déduire $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$, et écrire la matrice $Q\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_3(\mathbb{R})$ telle que $QA$ soit la matrice échelonnée obtenue.

2. Poursuivre par des opérations élémentaires sur les colonnes jusqu'à atteindre $J_2$, et écrire la matrice $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_4(\mathbb{R})$ correspondante.

3. Vérifier par le calcul que $QAP=J_2$.

4. Quelles sont les matrices de ${\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$ équivalentes à $A$ ?

On travaille dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ et on pose

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

1. Montrer que $A$ et $I_2$ sont équivalentes, mais qu'elles ne sont pas semblables.

2. Montrer que $B$ et $C$ ont même rang et même trace, mais qu'elles ne sont pas semblables. On pourra comparer $B^2$ et $C^2$.

3. Citer trois invariants de similitude et dire lesquels sont aussi des invariants d'équivalence.

1. Soient $A=(a_{i,j})\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $B=(b_{i,j})\in {\mathcal{M}}_{p,n}(\mathbb{K})$. Démontrer que $\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)=\mathrm{t}\mathrm{r}(BA)$, en écrivant chacun des deux membres comme une double somme.

2. En déduire que deux matrices semblables de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ ont la même trace, puis expliquer pourquoi la trace d'un endomorphisme d'un espace de dimension finie est bien définie.

3. On pose

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Calculer $\mathrm{t}\mathrm{r}(ABC)$, $\mathrm{t}\mathrm{r}(BCA)$ et $\mathrm{t}\mathrm{r}(ACB)$. Quelles permutations des facteurs la trace autorise-t-elle donc, et lesquelles sont interdites ?

4. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ telle que $\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)=0$ pour toute matrice $B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. Que vaut $A$ ? On pourra tester $B=E_{j,i}$.

Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimensions respectives $p⩾1$ et $n⩾1$, $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_p)$ une base de $E$ et $\mathcal{C}=(f_1,\dots ,f_n)$ une base de $F$. On considère

$$\mathrm{\Phi }:\mathcal{L}(E,F)⟶{\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K}),u⟼{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\mathrm{.}$$

1. Montrer que $\mathrm{\Phi }$ est linéaire, puis qu'elle est bijective.

2. En déduire $\dim \mathcal{L}(E,F)=np$, et décrire l'application linéaire $u_{i,j}={\mathrm{\Phi }}^{-1}(E_{i,j})$ ainsi que le rôle de la famille $(u_{i,j})$.

3. Donner la dimension de $\mathcal{L}({\mathbb{R}}_2[X],{\mathbb{R}}^3)$, puis celle du sous-espace $T$ des $u\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^3)$ dont la matrice dans la base canonique est triangulaire supérieure.

4. Donner la dimension du sous-espace $H=\{u\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^3);u(e_1)=0\}$, où $(e_1,e_2,e_3)$ est la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$.

Soit $u$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ dont la matrice dans la base canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ est

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 2\\ 2& 0& 1\end{array}\right),$$

et soit $F=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3;x+y+z=0\}$.

1. Montrer que $F$ est un plan vectoriel, puis qu'il est stable par $u$.

2. Vérifier que $f_1=(1,-1,0)$ et $f_2=(0,1,-1)$ forment une base de $F$ et que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(f_1,f_2,f_3)$, où $f_3=(0,0,1)$, est une base de ${\mathbb{R}}^3$. Calculer $T={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}(u)$ et constater que $T$ est de la forme $\left(\begin{array}{cc}B& C\\ 0& d\end{array}\right)$, avec $B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, $C\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$ et $d\in \mathbb{R}$.

3. Interpréter le bloc $B$ à l'aide de l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$.

4. Cas général. Soient $E$ de dimension $n$, ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(f_1,\dots ,f_n)$ une base de $E$, $k\in \{1,\dots ,n-1\}$ et $F=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(f_1,\dots ,f_k)$. Montrer que $F$ est stable par $u\in \mathcal{L}(E)$ si et seulement si, dans ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}(u)$, tous les coefficients des $k$ premières colonnes situés sous la ligne $k$ sont nuls.

1. Soient $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$, $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ et $Q\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_p(\mathbb{K})$. En raisonnant sur les applications linéaires canoniquement associées, montrer que $\mathrm{r}\mathrm{g}(PA)=\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$ et $\mathrm{r}\mathrm{g}(AQ)=\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$.

2. En déduire que les opérations élémentaires sur les lignes et sur les colonnes conservent le rang. En quoi cela justifie-t-il la méthode du pivot ?

3. Calculer par le pivot le rang de

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 2& 4& 1& 3\\ -1& -2& 2& 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R}),$$

puis, par le même procédé, celui de ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$.

4. Le rang est-il additif ? Donner un contre-exemple montrant que $\mathrm{r}\mathrm{g}(A+N)$ peut être strictement plus petit, ou strictement plus grand, que $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$.

On considère

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 2\\ -4& 3& 2\\ -5& 1& 5\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$$

et $u$ l'endomorphisme de ${\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$ canoniquement associé, dont la matrice dans la base canonique $\mathcal{B}$ est $A$.

1. Déterminer tous les réels $\lambda$ pour lesquels le système $AX=\lambda X$ admet une solution $X$ non nulle, et donner pour chacun une telle solution.

2. Montrer que les trois colonnes obtenues forment une base ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$. Écrire la matrice de passage $P=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$ et calculer $P^{-1}$ par le pivot.

3. Montrer que $P^{-1}AP=D$ avec $D$ diagonale, puis en déduire $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

4. Vérifier la formule obtenue pour $n=1$ et pour $n=2$.

On définit deux suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$ par $u_0=1$, $v_0=0$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$u_{n+1}=7u_n-6v_n,v_{n+1}=3u_n-2v_n\mathrm{.}$$

1. En posant $X_n=\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)$, écrire une matrice $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ telle que $X_{n+1}=A{X}_n$, puis montrer que $X_n=A^n{X}_0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

2. Déterminer les réels $\lambda$ pour lesquels le système $AX=\lambda X$ admet une solution non nulle, et construire une base ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(f_1,f_2)$ de ${\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$ formée de telles solutions. Écrire $P$, calculer $P^{-1}$ et donner la matrice diagonale $D=P^{-1}AP$.

3. En déduire les expressions de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$, et les vérifier pour $n=1$.

4. Étudier les limites de $u_n$ et du quotient $u_n\mathrm{/}{v}_n$ lorsque $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, et interpréter géométriquement.

Soit $n⩾2$ et soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ une matrice non nulle.

1. Montrer que $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)=1$ si et seulement s'il existe une colonne $C\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$ non nulle et une ligne $L\in {\mathcal{M}}_{1,n}(\mathbb{K})$ non nulle telles que $A=CL$.

2. Soit $A=CL$ une telle matrice. Montrer que le produit $LC$ est une matrice à un seul coefficient, égal à $\mathrm{t}\mathrm{r}(A)$, puis en déduire que $A^2=\mathrm{t}\mathrm{r}(A)A$.

3. En déduire qu'une matrice de rang $1$ est nilpotente si et seulement si sa trace est nulle, et que dans le cas contraire $\frac{1}{\mathrm{t}\mathrm{r}(A)}A$ est la matrice d'un projecteur.

4. Application. Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 6& 2& 4\\ -3& -1& -2\end{array}\right)$. Vérifier que $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)=1$, écrire $A$ sous la forme $CL$, puis contrôler l'égalité $A^2=\mathrm{t}\mathrm{r}(A)A$.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n⩾1$ et soit $p\in \mathcal{L}(E)$ un projecteur, c'est-à-dire un endomorphisme vérifiant $p\circ p=p$.

1. Redémontrer brièvement que $E=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(p)\oplus \mathrm{I}\mathrm{m}(p)$ et que $p$ coïncide avec ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ sur $\mathrm{I}\mathrm{m}(p)$.

2. Construire une base ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ de $E$ adaptée à cette décomposition et écrire ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}(p)$.

3. En déduire que $\mathrm{t}\mathrm{r}(p)=\mathrm{r}\mathrm{g}(p)$. Que peut-on dire de la trace d'un projecteur ?

4. Soient $p$ et $q$ deux projecteurs de $E$ tels que $p+q$ soit encore un projecteur. Montrer, à l'aide de la trace, que $\mathrm{r}\mathrm{g}(p+q)=\mathrm{r}\mathrm{g}(p)+\mathrm{r}\mathrm{g}(q)$.

5. Application. Soit $M=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 2\\ -1& 0& 1\\ -2& -2& 3\end{array}\right)$. Vérifier que $M^2=M$, puis calculer $\mathrm{t}\mathrm{r}(M)$ et $\mathrm{r}\mathrm{g}(M)$.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n⩾2$ et soit $u\in \mathcal{L}(E)$ tel que $u^n=0$ et $u^{n-1}\mathrm{\ne }0$. On fixe $x\in E$ tel que $u^{n-1}(x)\mathrm{\ne }{0}_E$.

1. Montrer que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(x,u(x),\dots ,u^{n-1}(x))$ est une base de $E$.

2. Écrire $\mathrm{\Delta }={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}(u)$ et préciser la position des coefficients non nuls.

3. En déduire que $\mathrm{r}\mathrm{g}(u)=n-1$, puis que deux endomorphismes de $E$ vérifiant les hypothèses de l'énoncé ont, dans une même base, des matrices semblables.

4. Application. Soit $N=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Vérifier que $N^3=0$ et $N^2\mathrm{\ne }0$, construire la base associée et vérifier que $N$ est semblable à $\mathrm{\Delta }$.

5. Quelle est la trace d'un endomorphisme nilpotent ? Justifier.

Dans tout l'exercice, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, l'entier $n$ vérifie $n⩾2$, et on pose $H=\{A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K});\mathrm{t}\mathrm{r}(A)=0\}$.

1. Montrer que $\mathrm{t}\mathrm{r}$ est une forme linéaire non nulle sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, puis en déduire que $H$ est un hyperplan de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ et que $\dim H=n^2-1$.

2. Donner une base de $H$ lorsque $n=2$, puis décrire une base de $H$ pour $n$ quelconque et vérifier que son cardinal vaut $n^2-1$.

3. Montrer que ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})=H\oplus \mathbb{K}{I}_n$, et expliciter la décomposition d'une matrice $A$ quelconque dans cette somme directe.

4. Décomposer ainsi $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 5\end{array}\right)$, puis donner les coordonnées de sa composante de trace nulle dans la base de la question 2.

Deux matrices $A$ et $B$ de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ sont semblables lorsqu'il existe $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})$ telle que $B=P^{-1}AP$. Pour chacun des quatre couples suivants, dire si les deux matrices sont semblables : si oui, exhiber une matrice $P$ explicite ; si non, produire un invariant de similitude qui les sépare.

1. $A_1=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ et $B_1=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$.

2. $A_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ et $B_2=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$.

3. $A_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ et $B_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$.

4. $A_4=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$ et $B_4=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$.

5. Question de méthode : dresser la liste des invariants de similitude dont on dispose à ce stade du cours, en justifiant chacun en une ligne.

Pour $0⩽r⩽\min (n,p)$, on note $J_r={\sum }_{i=1}^r{E}_{i,i}\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ : son coefficient d'indice $(i,j)$ vaut $1$ si $i=j⩽r$, et $0$ sinon. Deux matrices $A$ et $B$ de ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ sont dites équivalentes lorsqu'il existe $Q\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ et $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_p(\mathbb{K})$ telles que $B=QAP$.

1. Soit $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ de rang $r$ et $u:{\mathbb{K}}^p\to {\mathbb{K}}^n$ l'application linéaire canoniquement associée. En partant d'une base de ${\mathbb{K}}^p$ adaptée à un supplémentaire de $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$, construire une base $\mathcal{B}$ de ${\mathbb{K}}^p$ et une base $\mathcal{C}$ de ${\mathbb{K}}^n$ telles que ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)=J_r$. En déduire que $A$ est équivalente à $J_r$.

2. En déduire que deux matrices de ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang.

3. En transposant l'écriture obtenue à la question 1, montrer que $\mathrm{r}\mathrm{g}({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A)=\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$.

4. Les matrices $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 2\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 2\\ 2& 1& 0& 1\\ 0& 1& -2& -3\end{array}\right)$ sont-elles équivalentes ?

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$ et $u\in \mathcal{L}(E)$. On suppose que $E=F\oplus G$, où $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels non nuls stables par $u$, c'est-à-dire vérifiant $u(F)\subset F$ et $u(G)\subset G$. On pose $q=\dim F$ et on note $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_n)$ la base de $E$ obtenue en concaténant une base $(e_1,\dots ,e_q)$ de $F$ et une base $(e_{q+1},\dots ,e_n)$ de $G$.

1. En raisonnant sur les colonnes, montrer que ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)=\left(\begin{array}{cc}{A}_1& 0_{q,n-q}\\ 0_{n-q,q}& A_2\end{array}\right)$, où $A_1\in {\mathcal{M}}_q(\mathbb{K})$ et $A_2\in {\mathcal{M}}_{n-q}(\mathbb{K})$ sont les matrices des endomorphismes induits par $u$ sur $F$ et sur $G$.

2. Réciproquement, si la matrice de $u$ dans une base $(e_1,\dots ,e_n)$ a cette forme, montrer que $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_1,\dots ,e_q)$ et $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_{q+1},\dots ,e_n)$ sont stables par $u$.

3. En déduire, pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, l'expression de ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u^k)$.

4. On prend $E={\mathbb{R}}^3$ et $u$ l'endomorphisme de matrice $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$ dans la base canonique. Vérifier que $D=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}((1,1,1))$ et $\mathrm{\Pi }=\{(x,y,0);(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\}$ sont stables par $u$ et supplémentaires, écrire la matrice de $u$ dans une base adaptée, puis calculer $M^k$ pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Dans tout l'exercice, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $n⩾1$. On rappelle l'identité $\mathrm{t}\mathrm{r}(MN)=\mathrm{t}\mathrm{r}(NM)$, valable pour toutes matrices $M,N\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

1. Montrer qu'il n'existe pas de matrices $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ telles que $AB-BA=I_n$.

2. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ et ${\phi }_A:{\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})\to {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, $M\mapsto AM-MA$. Montrer que ${\phi }_A$ est un endomorphisme de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, qu'il n'est jamais surjectif, donc jamais bijectif, et donner un élément non nul de son noyau qui convienne pour toute matrice $A$.

3. On suppose maintenant que $A$ et $B$ vérifient $AB-BA=A$. Montrer par récurrence que $A^{k}B-B{A}^k=k{A}^k$ pour tout $k⩾1$, puis en déduire que $\mathrm{t}\mathrm{r}(A^k)=0$ pour tout $k⩾1$.

4. Question courte : où l'argument de la question 1 tombe-t-il en défaut si l'on remplace ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ par un espace de matrices de taille infinie ?

Soient $n$ et $p$ deux entiers supérieurs ou égaux à $1$ et soit $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$. Pour toutes parties non vides $I\subset \{1,\dots ,n\}$ et $J\subset \{1,\dots ,p\}$, on note $A_{I,J}$ la matrice extraite de $A$ obtenue en ne conservant que les lignes dont l'indice appartient à $I$ et les colonnes dont l'indice appartient à $J$, les indices étant rangés dans l'ordre croissant. C'est un élément de ${\mathcal{M}}_{q,s}(\mathbb{K})$, où $q$ et $s$ désignent les cardinaux de $I$ et de $J$.

Dans les questions 1 et 5, on considère la matrice

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 0\\ 2& 1& 1& 3\\ 3& 0& 3& 3\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

1. Écrire les matrices extraites $A_{\{1,3\},\{2,4\}}$ et $A_{\{1,2\},\{1,2\}}$.

2. Revenons au cas général. Montrer que $\mathrm{r}\mathrm{g}\left(A_{I,J}\right)⩽\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$. On traitera séparément la suppression des colonnes et celle des lignes.

3. On suppose $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)=r⩾1$. Montrer qu'il existe des parties $I$ et $J$ de cardinal $r$ telles que $A_{I,J}$ soit inversible.

4. On suppose $A$ non nulle. En déduire que $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$ est le plus grand entier $r$ pour lequel $A$ possède une matrice extraite carrée d'ordre $r$ inversible.

5. Application. Déterminer $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$ par la méthode du pivot, exhiber une matrice extraite carrée inversible de taille maximale, et dire ce que le critère de la question 4 permet d'affirmer sur les matrices extraites d'ordre $3$ de $A$.

6. Retrouver, à l'aide du critère de la question 4, l'égalité $\mathrm{r}\mathrm{g}\left({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A\right)=\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$.

On rappelle que $(E_{i,j}{)}_{1⩽i,j⩽n}$ est une base de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ et que $E_{i,j}{E}_{k,l}={\delta }_{j,k}{E}_{i,l}$. Le but de l'exercice est de décrire toutes les formes linéaires sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

1. Soit $A=(a_{i,j})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. Montrer que ${\phi }_A:M\mapsto \mathrm{t}\mathrm{r}(AM)$ est une forme linéaire sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, et calculer ${\phi }_A(E_{i,j})$.

2. Montrer que $\mathrm{\Phi }:A\mapsto {\phi }_A$ est une application linéaire injective de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ dans $\mathcal{L}({\mathcal{M}}_n(\mathbb{K}),\mathbb{K})$. En déduire, par un argument de dimension, que toute forme linéaire $\phi$ sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ s'écrit de manière unique $\phi ={\phi }_A$, puis retrouver la matrice $A$ explicitement à partir des scalaires $\phi (E_{i,j})$.

3. Soit $\phi$ une forme linéaire sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ telle que $\phi (MN)=\phi (NM)$ pour toutes matrices $M,N$. En écrivant $E_{i,j}=E_{i,k}{E}_{k,j}$, montrer qu'il existe $\lambda \in \mathbb{K}$ tel que $\phi =\lambda \mathrm{t}\mathrm{r}$.

4. Question courte : que vaut $\lambda$ si l'on suppose de plus $\phi (I_n)=1$ ?

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ de rang $r$ et soit $f_A:{\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})\to {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, $M\mapsto AM$. On note $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A=\{X\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K});AX=0\}$ le noyau de $A$, vu dans l'espace des colonnes.

1. Montrer que $f_A$ est un endomorphisme de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, puis que $M\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{f}_A$ si et seulement si chacune des colonnes de $M$ appartient à $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}A$.

2. En construisant une base explicite de $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{f}_A$, montrer que $\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{f}_A=n(n-r)$, puis en déduire $\mathrm{r}\mathrm{g}(f_A)=nr$.

3. En déduire que $f_A$ est bijective si et seulement si $A$ est inversible.

4. Application : donner le rang de $f_A$ lorsque $n=3$ et $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)=1$, puis expliciter $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{f}_A$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}{f}_A$ dans le cas $A=E_{1,1}$.

5. Question courte : que devient le résultat pour $g_A:M\mapsto MA$ ?

Soit $n⩾2$ et soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ de rang $1$. On note $u$ l'endomorphisme de ${\mathbb{K}}^n$ canoniquement associé à $A$ et on pose $t=\mathrm{t}\mathrm{r}(A)$.

1. Justifier que $\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u=n-1$ et que $\mathrm{I}\mathrm{m}u=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(a)$ pour un vecteur $a$ non nul. En écrivant $A=CL$, où $C$ est une colonne non nulle et $L$ une ligne non nulle, montrer que $A^2=tA$, puis en déduire $u(a)=ta$.

2. On suppose $t\mathrm{\ne }0$. Montrer que $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ et $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(a)$ sont supplémentaires dans ${\mathbb{K}}^n$, et en déduire que $A$ est semblable à $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(t,0,\dots ,0)$.

3. On suppose $t=0$. Montrer que $a\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$, puis construire une base $(a,f_2,\dots ,f_{n-1},x)$ de ${\mathbb{K}}^n$ dans laquelle la matrice de $u$ vaut $E_{1,n}$.

4. Décrire toutes les classes de similitude de matrices de rang $1$, puis vérifier le résultat sur $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$ en donnant une matrice de passage explicite.