Devoir surveillé — Matrices

L'espace ${\mathbb{R}}^3$ est rapporté à sa base canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$. On pose

$$v_1=(1,1,0),v_2=(0,1,1),v_3=(1,0,1),{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(v_1,v_2,v_3),$$

et l'on considère l'endomorphisme $u$ de ${\mathbb{R}}^3$ déterminé par les trois égalités

$$u(v_1)=(3,1,2),u(v_2)=(1,2,-1),u(v_3)=(0,1,-1)\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Démontrer que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$ et écrire la matrice de passage $P=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$.

2. (0,5 pt) Justifier que les trois égalités ci-dessus définissent bien un unique endomorphisme $u$ de ${\mathbb{R}}^3$, puis écrire $N={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{{\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }},\mathcal{B}}(u)$.

3. (0,75 pt) On donne

$$P^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& 1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$$

et l'on demande de le vérifier par un seul produit, ce qui suffit ici puisque $P$ est déjà connue inversible d'après la question 1. Démontrer ensuite l'égalité ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)=N{P}^{-1}$, puis en déduire $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(u)$. On contrôlera le résultat en vérifiant que $A$, appliquée à la colonne des coordonnées de $v_1$, redonne bien celle de $u(v_1)$.

4. (0,75 pt) Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ et $\mathrm{r}\mathrm{g}u$, puis une équation cartésienne de $\mathrm{I}\mathrm{m}u$. On rappelle que $\mathrm{I}\mathrm{m}u$ est engendrée par les colonnes de $A$.

5. (0,5 pt) Les sous-espaces $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}u$ sont-ils supplémentaires dans ${\mathbb{R}}^3$ ? Cette situation est-elle générale ? On pourra examiner la dérivation sur ${\mathbb{R}}_2[X]$.

L'espace $E={\mathbb{R}}_3[X]$ est muni de sa base canonique $\mathcal{B}=(1,X,X^2,X^3)$. Pour $k\in \{0,1,2,3\}$, on pose $P_k=(X+k{)}^3$, et l'on note $\mathcal{F}=(P_0,P_1,P_2,P_3)$.

1. (0,5 pt) Écrire la matrice $M={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{B}}(P_0,P_1,P_2,P_3)$ de la famille $\mathcal{F}$ dans la base $\mathcal{B}$. On rappelle que $(X+k{)}^3=X^3+3k{X}^2+3k^{2}X+k^3$.

2. (1 pt) Déterminer $\mathrm{r}\mathrm{g}(M)$ par la méthode du pivot, et en déduire que $\mathcal{F}$ est une base de $E$.

3. (1 pt) Déterminer les coordonnées du polynôme constant $1$ dans la base $\mathcal{F}$. On reprendra le pivot de la question 2. en lui adjoignant le second membre, plutôt que de le recommencer.

4. (0,5 pt) En déduire une identité liant $P_0$, $P_1$, $P_2$ et $P_3$, et la vérifier en développant. Que vaut la combinaison $Q(X+3)-3Q(X+2)+3Q(X+1)-Q(X)$ lorsque $Q$ est un polynôme de degré au plus $2$ ?

On pose

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right),$$

et l'on considère l'application

$$\mathrm{\Phi }:{\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})⟶{\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),M⟼AMB\mathrm{.}$$

On note $\mathcal{E}=(E_{1,1},E_{1,2},E_{2,1},E_{2,2})$ la base canonique de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

1. (0,5 pt) Démontrer que $\mathrm{\Phi }$ est un endomorphisme de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

2. (0,75 pt) Écrire $S={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{\mathcal{E}}(\mathrm{\Phi })$. On rappelle que la $j$-ième colonne de $S$ est formée des coordonnées de l'image du $j$-ième vecteur de $\mathcal{E}$, c'est-à-dire des quatre coefficients de cette matrice image lus ligne par ligne. On pourra calculer d'abord $A{E}_{k,l}$, puis multiplier le résultat par $B$.

3. (0,5 pt) Calculer $\mathrm{t}\mathrm{r}(S)$, puis comparer avec $\mathrm{t}\mathrm{r}(A)\mathrm{t}\mathrm{r}(B)$.

4. (0,75 pt) Soient maintenant $n⩾1$, $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et $U$, $V$ deux matrices quelconques de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ (les matrices numériques $A$ et $B$ ne servent plus dans cette question). On pose $\mathrm{\Theta }:M\mapsto UMV$. Démontrer que $\mathrm{\Theta }$ est un endomorphisme de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ et que

$$\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathrm{\Theta })=\mathrm{t}\mathrm{r}(U)\mathrm{t}\mathrm{r}(V),$$

où $\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathrm{\Theta })$ désigne la trace de la matrice de $\mathrm{\Theta }$ dans une base de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, quantité indépendante de la base choisie. On pourra calculer le coefficient de position $(i,j)$ de $U{E}_{k,l}V$.

5. (0,5 pt) Revenant aux matrices $A$ et $B$ du début de l'exercice, démontrer que $\mathrm{\Phi }$ est bijective et expliciter ${\mathrm{\Phi }}^{-1}$. Les inverses de $A$ et de $B$ seront obtenus par la méthode du pivot, sans aucun déterminant, et chacun sera vérifié sur les deux produits.

Dans tout l'exercice, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et $n$, $p$ sont deux entiers supérieurs ou égaux à $1$.

1. (0,5 pt) Soient $M$ et $N$ deux matrices de ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$. Démontrer que $\mathrm{r}\mathrm{g}(M+N)⩽\mathrm{r}\mathrm{g}(M)+\mathrm{r}\mathrm{g}(N)$. On pourra commencer par établir l'inclusion $\mathrm{I}\mathrm{m}(f+g)\subset \mathrm{I}\mathrm{m}f+\mathrm{I}\mathrm{m}g$ pour deux applications linéaires $f$ et $g$.

2. (1 pt) Soit $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ de rang $r⩾1$. En utilisant le théorème du cours qui écrit $A=Q{J}_{r}P$ avec $Q\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ et $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_p(\mathbb{K})$, démontrer que $A$ est la somme de $r$ matrices de rang $1$. On précisera ces $r$ matrices à l'aide des colonnes de $Q$, qui comptent $n$ coefficients, et des lignes de $P$, qui en comptent $p$.

3. (0,75 pt) Soit toujours $A$ de rang $r⩾1$. En déduire que le plus petit entier $k⩾1$ tel que $A$ soit somme de $k$ matrices de rang $1$ est exactement $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$.

4. (1,25 pt) Application. On pose

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 0& 1& 2\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Déterminer $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$, puis écrire explicitement $A$ comme somme de $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$ matrices de rang $1$, chacune donnée sous la forme d'un produit $CL$ d'une colonne par une ligne. On ne demande pas de déterminer les matrices $Q$ et $P$ de la question 2. : on pourra regrouper directement les lignes proportionnelles de $A$.

5. (0,5 pt) On suppose $n⩾2$ et l'on note $\mathcal{R}$ l'ensemble des matrices de rang $1$ de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. Démontrer que $\mathcal{R}$ n'est pas un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, mais que $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\mathcal{R})={\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

Dans tout le problème, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n⩾1$. Pour $u\in \mathcal{L}(E)$, on note $u^2=u\circ u$ et $u^3=u\circ u\circ u$. Le but du problème est de décrire complètement les endomorphismes vérifiant $u^3=u$, puis de démontrer que deux tels endomorphismes sont semblables dès qu'ils ont même rang et même trace. La partie A est indépendante des deux autres.

Partie A. Un exemple dans ${\mathbb{R}}^3$

On note $\mathcal{B}$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$ et $u$ l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ de matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ -2& 1& 2\\ 2& -1& -2\end{array}\right)$$

dans cette base.

1. (0,5 pt) On donne

$$A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& -1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Le vérifier sur la deuxième ligne, puis calculer $A^3$ et constater que $A^3=A$. L'endomorphisme $u$ est-il un projecteur ? une symétrie ?

2. (0,75 pt) Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$, $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(u-\mathrm{i}\mathrm{d})$ et $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(u+\mathrm{i}\mathrm{d})$, en donnant une base de chacun.

3. (0,5 pt) On note $w_1$, $w_2$, $w_3$ les trois vecteurs obtenus, dans cet ordre : $w_1$ engendre $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(u-\mathrm{i}\mathrm{d})$, $w_2$ engendre $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(u+\mathrm{i}\mathrm{d})$ et $w_3$ engendre $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$. Démontrer que ${\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}=(w_1,w_2,w_3)$ est une base de ${\mathbb{R}}^3$, écrire $P=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\mathrm{\prime }}}$, et démontrer, sans calculer $P^{-1}$, que $P^{-1}AP=D$ où $D=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,-1,0)$. On pourra calculer $AP$ colonne par colonne et le comparer à $PD$.

4. (0,25 pt) En déduire $A^k$ pour tout entier $k⩾1$.

Partie B. Le cas général

Soit $u\in \mathcal{L}(E)$ tel que $u^3=u$. On pose

$$F=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(u-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E),G=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(u+{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)\mathrm{.}$$

5. (0,75 pt) Démontrer que $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u\cap \mathrm{I}\mathrm{m}u=\left\{0_E\right\}$, puis que $E=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u\oplus \mathrm{I}\mathrm{m}u$.

6. (0,5 pt) Démontrer que $\mathrm{I}\mathrm{m}u$ est stable par $u$ et que l'endomorphisme $v$ de $\mathrm{I}\mathrm{m}u$ induit par $u$ vérifie $v\circ v={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\mathrm{I}\mathrm{m}u}$.

7. (0,75 pt) Démontrer que $F$ et $G$ sont contenus dans $\mathrm{I}\mathrm{m}u$, puis que $\mathrm{I}\mathrm{m}u=F\oplus G$. On rappelle le résultat du cours : si $s$ est une symétrie d'un espace $W$, alors $W=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(s-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_W)\oplus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(s+{\mathrm{i}\mathrm{d}}_W)$.

8. (1 pt) On pose $a=\dim F$, $b=\dim G$ et $c=\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$. Démontrer que $a+b+c=n$ et qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est la matrice diagonale

$$D_{a,b,c}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\underset{a}{\underbrace{1,\dots ,1}},\underset{b}{\underbrace{-1,\dots ,-1}},\underset{c}{\underbrace{0,\dots ,0}})\mathrm{.}$$

On concaténera une base de $F$, une base de $G$ et une base de $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$. En déduire que toute matrice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ vérifiant $A^3=A$ est semblable à une matrice $D_{a,b,c}$.

Partie C. Le rang et la trace suffisent

9. (0,5 pt) Avec les notations de la partie B, exprimer $\mathrm{r}\mathrm{g}u$ et $\mathrm{t}\mathrm{r}u$ en fonction de $a$, $b$, $c$. En déduire l'expression de $a$, $b$ et $c$ en fonction de $n$, de $\mathrm{r}\mathrm{g}u$ et de $\mathrm{t}\mathrm{r}u$.

10. (0,75 pt) Soient $A$ et $B$ deux matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ vérifiant $A^3=A$ et $B^3=B$. Démontrer que $A$ et $B$ sont semblables si et seulement si elles ont même rang et même trace.

11. (0,5 pt) On admet que les quatre matrices suivantes de ${\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ vérifient $M^3=M$ :

$$M_1=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),M_2=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,1,-1,0),M_3=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,-1,-1,0),M_4=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Répartir ces quatre matrices en classes de matrices semblables, sans calculer aucune matrice de passage. Qu'illustrent les couples $(M_1,M_3)$ et $(M_1,M_4)$ ?

12. (0,25 pt) Combien y a-t-il de classes de similitude de matrices $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ vérifiant $A^3=A$ ? On admettra que le nombre de triplets $(a,b,c)\in {\mathbb{N}}^3$ tels que $a+b+c=n$ vaut $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$, et l'on vérifiera la réponse pour $n=1$.