Exercices — Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité, convexité

Toutes les limites demandées ci-dessous existent. Pour chacune, on attend la justification de la méthode employée : mise en facteur du terme dominant, quantité conjuguée, taux d'accroissement ou croissance comparée. Un résultat sans justification ne vaut rien.

On rappelle les croissances comparées usuelles : pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$,

1. Déterminer les limites suivantes.

   a. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{3x^2-5x+1}{2x^2+x-4}}$

   b. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2+1}{x^3-x}}$

   c. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{2x^3+x}{x^2+1}}$

2. Déterminer les limites suivantes.

   a. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt{x^2+x}-x)$

   b. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$

3. Reconnaître un taux d'accroissement et en déduire les limites suivantes.

   a. $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x-1}{x}}$

   b. $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{x}}$

   c. $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\cos x-1}{x}}$

4. Déterminer les limites suivantes.

   a. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{\sqrt{x}}}$

   b. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^2{e}^{-x}$

   c. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x$

5. Déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(e^x-x^3)$.

6. Un élève écrit : « la limite de $\sqrt{x^2+x}-x$ en $+\mathrm{\infty }$ est $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ ». Expliquer pourquoi cette phrase ne constitue pas une réponse. On s'appuiera sur les résultats des questions précédentes.

Dans tout l'exercice, $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point, $f$ une fonction définie sur $I$ et à valeurs réelles, $a$ un point de $I$ ou une extrémité de $I$, et $\mathrm{\ell }$ un réel.

1. Écrire à l'aide de quantificateurs chacune des assertions suivantes.

   a. $f$ tend vers $\mathrm{\ell }$ en $a$.

   b. $f$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ en $+\mathrm{\infty }$ (on suppose ici que $I$ contient un intervalle de la forme $]A_0,+\mathrm{\infty }[$).

   c. $f$ tend vers $-\mathrm{\infty }$ en $a$.

2. En revenant à la définition, et sans utiliser aucun théorème d'opérations, démontrer que

   $$\underset{x\to 2}{\lim }(3x-1)=5$$

   On exhibera explicitement un $\delta$ convenable en fonction de $\epsilon$.

3. En revenant à la définition, démontrer que ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x}{x+1}}=1}$.

4. a. Écrire la négation de l'assertion « $f$ tend vers $\mathrm{\ell }$ en $a$ ».

   b. On note $f$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par $f(x)={\displaystyle \frac{\mid x\mid }{x}}$. Démontrer que $f$ n'admet pas de limite finie en $0$, puis qu'elle n'admet pas non plus de limite infinie.

5. On considère les trois assertions suivantes, où $f$, $I$, $a$ et $\mathrm{\ell }$ sont comme ci-dessus.

   $$({\mathcal{A}}_1):\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\forall }x\in I,\mid x-a\mid ⩽\delta ⟹\mid f(x)-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$$ $$({\mathcal{A}}_2):\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in I,\mid x-a\mid ⩽\delta ⟹\mid f(x)-\mathrm{\ell }\mid ⩽2\epsilon$$ $$({\mathcal{A}}_3):\mathrm{\forall }\delta >0,\mathrm{\exists }\epsilon >0,\mathrm{\forall }x\in I,\mid x-a\mid ⩽\delta ⟹\mid f(x)-\mathrm{\ell }\mid ⩽\epsilon$$

   Pour chacune, dire si elle est équivalente à « $f$ tend vers $\mathrm{\ell }$ en $a$ ». Justifier : par une démonstration si la réponse est oui, par un contre-exemple explicite si la réponse est non.

On rappelle la définition. Soit $I$ un intervalle, $a\in I$ et $f$ une fonction définie sur $I\setminus \{a\}$. On dit que $f$ est prolongeable par continuité en $a$ lorsque $f$ admet une limite finie $\mathrm{\ell }$ en $a$. La fonction $\tilde{f}$ définie sur $I$ par $\tilde{f}(x)=f(x)$ pour $x\mathrm{\ne }a$ et $\tilde{f}(a)=\mathrm{\ell }$ s'appelle alors le prolongement par continuité de $f$ en $a$.

1. Pour chacune des fonctions suivantes, préciser son ensemble de définition, puis dire si elle est prolongeable par continuité au point indiqué. Si oui, donner la valeur du prolongement en ce point.

   a. $f_1(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$ en $0$

   b. $f_2(x)=x\ln x$ en $0$

   c. $f_3(x)={\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}}$ en $2$

   d. $f_4(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}}$ en $0$

   e. $f_5(x)=\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ en $0$

   f. $f_6(x)=x\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ en $0$

2. Rédiger en détail la démonstration du cas e. : établir soigneusement qu'aucune valeur ne peut être donnée à $f_5$ en $0$ pour la rendre continue.

3. On note $\widetilde{f_4}$ le prolongement obtenu à la question 1. d. Démontrer que $\widetilde{f_4}$ est continue sur $[-1,+\mathrm{\infty }[$ tout entier, et pas seulement en $0$.

4. On note $\widetilde{f_6}$ le prolongement obtenu à la question 1. f. Démontrer que $\widetilde{f_6}$ est continue sur $\mathbb{R}$.

5. Cas général. Soit $I$ un intervalle, $a\in I$, et $f$ une fonction continue sur $I\setminus \{a\}$ admettant une limite finie $\mathrm{\ell }$ en $a$. Démontrer que le prolongement $\tilde{f}$ est continu sur $I$ tout entier.

1. Pour chacune des fonctions suivantes, préciser d'abord son ensemble de dérivabilité en justifiant brièvement, puis calculer sa dérivée.

   a. $f(x)=(2x+1)e^{-3x}$

   b. $g(x)={\displaystyle \frac{x^2+1}{x-3}}$

   c. $h(x)=\sqrt{x^2+1}$

   d. $k(x)=\ln \mid 2x-5\mid$

   e. $m(x)=e^{x^2-x}$

   f. $n(x)=\mathrm{Arctan}(3x)$

   g. $p(x)={(3x^2-x+2)}^5$

   h. $q(x)=\sqrt{x}\ln x$

2. Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=x^3-2x^2+1$, et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$.

3. Déterminer tous les points de $\mathcal{C}$ en lesquels la tangente est parallèle à la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=-x+3$. Donner à chaque fois une équation de cette tangente.

4. Soit $\mathrm{\Gamma }$ la courbe représentative de la fonction $\exp$. Démontrer que l'origine $O$ du repère n'appartient pas à $\mathrm{\Gamma }$, puis déterminer toutes les tangentes à $\mathrm{\Gamma }$ passant par $O$.

5. Étudier la dérivabilité en $0$ des deux fonctions suivantes, en revenant au taux d'accroissement, et préciser à chaque fois ce que l'on peut dire de la tangente à la courbe à l'origine.

   a. $v(x)=x\mid x\mid$ sur $\mathbb{R}$

   b. $w(x)=\sqrt{x}$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$

On rappelle qu'un point critique d'une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ est un point $c\in I$ tel que $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$.

Dans les questions 1. à 3., on demande à chaque fois : l'ensemble de définition, les limites aux bornes de cet ensemble, le calcul de la dérivée et l'étude de son signe, le tableau de variations complet, puis la discussion des extremums (locaux, et globaux le cas échéant).

1. Étudier la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x+1$.

2. Étudier la fonction $g$ définie par $g(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x}}$.

3. Étudier la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=x{e}^{-x}$.

4. Soit $\phi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\phi (x)=x^3$. Vérifier que $0$ est un point critique de $\phi$, puis démontrer que $\phi$ n'admet aucun extremum local en $0$. Qu'en conclut-on sur la réciproque du théorème « un extremum local en un point intérieur est un point critique » ?

5. Déduire de la question 2. que, pour tout réel $x>0$,

   $$\ln x⩽{\displaystyle \frac{x}{e}}$$

   et préciser le cas d'égalité.

Toutes les fonctions de cet exercice sont de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur l'intervalle indiqué, ce que l'on justifiera brièvement à chaque fois. On rappelle la convention $f^{(0)}=f$.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{3x}$. Déterminer $f^{(n)}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, et démontrer le résultat par récurrence.

2. Soit $g$ la fonction définie sur $]-\mathrm{\infty },1[$ par $g(x)={\displaystyle \frac{1}{1-x}}$. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}$, $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ et $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, conjecturer une expression de $g^{(n)}$, puis la démontrer par récurrence.

3. Soit $h$ la fonction définie sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$ par $h(x)=\ln (1+x)$. Déterminer $h^{(n)}$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

4. Soit $k=\cos$. Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ et tout $x\in \mathbb{R}$,

   $$k^{(n)}(x)=\cos (x+{\displaystyle \frac{n\pi }{2}})$$

5. On rappelle la formule de Leibniz : si $u$ et $v$ sont $n$ fois dérivables sur un intervalle $I$, alors $uv$ l'est aussi et

   $$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)u^{(k)}{v}^{(n-k)}$$

   Soit $\mathrm{\Phi }$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\mathrm{\Phi }(x)=x^2{e}^x$. Déterminer ${\mathrm{\Phi }}^{(n)}(x)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, puis en déduire la valeur de ${\mathrm{\Phi }}^{(10)}(0)$.

6. Soit $\mathrm{\Psi }$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\mathrm{\Psi }(x)=(x+1)\cos x$. Déterminer ${\mathrm{\Psi }}^{(n)}(x)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, et vérifier le résultat pour $n=1$ et $n=2$ par un calcul direct.

On utilisera librement les deux résultats du cours suivants, valables pour une fonction $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ :

• $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⩾0$ sur $I$ ; elle est concave sur $I$ si et seulement si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⩽0$ sur $I$ ;
• un point $a$ intérieur à $I$ est un point d'inflexion de la courbe de $f$ si et seulement si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ change de signe en $a$ (la courbe traverse alors sa tangente en ce point).

Dans les questions 1. à 3., on demande le calcul de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, l'étude de son signe, les intervalles de convexité et de concavité, et les coordonnées des éventuels points d'inflexion.

1. Étudier la convexité de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x^2$.

2. Étudier la convexité de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x{e}^x$.

3. Étudier la convexité de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\ln (1+x^2)$.

4. Soit $k$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ par $k(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

   a. Démontrer que $k$ est convexe sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, et qu'elle n'a aucun point d'inflexion.

   b. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $k$ au point d'abscisse $1$, puis en déduire que pour tout $x>0$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}⩾2-x$. Retrouver cette inégalité par un calcul algébrique direct.

5. Soit $\mathrm{\ell }$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\mathrm{\ell }(x)=x^4$.

   a. Calculer ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ et vérifier que ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=0$.

   b. Démontrer que $\mathrm{\ell }$ est convexe sur $\mathbb{R}$, et que $0$ n'est pas un point d'inflexion de sa courbe.

   c. Que faut-il en conclure sur le critère « $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=0$ » pour détecter un point d'inflexion ?

On rappelle le théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur un segment $[a,b]$, alors pour tout réel $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=y$. Le cas particulier utilisé sans arrêt est celui de $y=0$ : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes stricts contraires, alors $f$ s'annule au moins une fois sur $]a,b[$.

Ce théorème donne l'existence d'une solution, jamais son unicité : celle-ci s'obtient séparément, par stricte monotonie.

1. Démontrer que l'équation $x^3+x-1=0$ admet une solution et une seule sur $[0,1]$. On notera $\alpha$ cette solution. Est-elle la seule solution réelle de l'équation ?

2. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude ${10}^{-1}$. On présentera les valeurs numériques utilisées et on vérifiera les signes.

3. Démontrer que l'équation $e^x=3-x$ admet une unique solution réelle, et la localiser dans un intervalle d'amplitude $1$.

4. Démontrer que l'équation $\ln x=2-x$ admet une unique solution sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, et la localiser dans un intervalle d'amplitude $1$.

5. On s'interroge sur les hypothèses du théorème. Construire une fonction $\theta$ définie sur $[-1,1]$, non continue, telle que $\theta (-1)<0<\theta (1)$ et que l'équation $\theta (x)=0$ n'ait aucune solution. Que conclure ?

Dans tout l'exercice, $\lfloor x\rfloor$ désigne la partie entière du réel $x$, c'est-à-dire l'unique entier vérifiant $\lfloor x\rfloor ⩽x<\lfloor x\rfloor +1$. On utilisera librement la croissance comparée $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=0$.

1. Théorème d'encadrement en $+\mathrm{\infty }$. Soient $g$, $f$, $h$ trois fonctions définies sur un intervalle $]A_0,+\mathrm{\infty }[$ et $\mathrm{\ell }$ un réel. On suppose que

   $$\mathrm{\forall }x\in ]A_0,+\mathrm{\infty }[,g(x)⩽f(x)⩽h(x)$$

   et que $g$ et $h$ tendent vers $\mathrm{\ell }$ en $+\mathrm{\infty }$. Démontrer, en revenant à la définition quantifiée de la limite en $+\mathrm{\infty }$, que $f$ tend vers $\mathrm{\ell }$ en $+\mathrm{\infty }$.

2. Déterminer les limites suivantes.

   a. $\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$

   b. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x+\cos x}{x}}$

3. Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)={\displaystyle \frac{\lfloor x\rfloor }{x}}$. Établir que $x-1<\lfloor x\rfloor ⩽x$ pour tout réel $x$, puis déterminer la limite de $f$ en $+\mathrm{\infty }$.

4. Soit $g$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par $g(x)=x\lfloor {\displaystyle \frac{1}{x}}\rfloor$.

   a. Déterminer la limite de $g$ en $0^{+}$.

   b. Déterminer la limite de $g$ en $0^{-}$ (attention au sens des inégalités lorsqu'on multiplie par $x$). Conclure sur la limite de $g$ en $0$.

5. Déterminer $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x+\ln x}{x-\ln x}}$. On justifiera d'abord que le quotient est bien défini au voisinage de $+\mathrm{\infty }$.

6. Théorème de minoration. Montrer que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x+\sin x)=+\mathrm{\infty }$. Un élève écrit : « la fonction $x\mapsto \sin x$ n'a pas de limite en $+\mathrm{\infty }$, donc $x\mapsto x+\sin x$ n'en a pas non plus ». Expliquer pourquoi ce raisonnement n'est pas valable.

Dans tout l'exercice, $\lfloor x\rfloor$ désigne la partie entière du réel $x$, c'est-à-dire l'unique entier vérifiant $\lfloor x\rfloor ⩽x<\lfloor x\rfloor +1$.

1. L'outil. Soient $I$ un intervalle, $f:I\to \mathbb{R}$ et $a$ un point de $I$ ou une extrémité de $I$.

   a. Énoncer la caractérisation séquentielle de la limite de $f$ en $a$.

   b. En déduire, en le démontrant, le critère suivant, qui sera utilisé dans tout l'exercice : s'il existe deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ d'éléments de $I$ convergeant vers $a$ telles que $(f(u_n))$ et $(f(v_n))$ admettent des limites différentes, alors $f$ n'admet pas de limite en $a$.

2. Montrer que les fonctions suivantes n'admettent pas de limite au point indiqué.

   a. $x\mapsto \sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ en $0$

   b. $x\mapsto \cos x$ en $+\mathrm{\infty }$

3. Soit $f:x\mapsto \lfloor x\rfloor$.

   a. Déterminer $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)$.

   b. En déduire que $f$ n'admet pas de limite en $1$. Retrouver ce résultat par le critère de la question 1. b.

4. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }x\in \mathbb{Q}\\ 0& \text{si }x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\end{array}$$

   On rappelle que $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ sont denses dans $\mathbb{R}$ : tout intervalle ouvert non vide $]\alpha ,\beta [$ contient au moins un rationnel et au moins un irrationnel. Montrer que $f$ n'est continue en aucun point de $\mathbb{R}$.

5. Question de méthode. On a vu par ailleurs que $x\mapsto x\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ admet la limite $0$ en $0$. Pourtant, la fonction $x\mapsto \sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ oscille de la même façon dans les deux cas. Expliquer précisément ce qui, dans le critère de la question 1. b., cesse de fonctionner pour $x\mapsto x\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$.

Dans tout l'exercice, $a\in \mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty }\}$ et $b\in \mathbb{R}\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ vérifient $a<b$. La notation $\lfloor x\rfloor$ désigne la partie entière du réel $x$, c'est-à-dire l'unique entier vérifiant $\lfloor x\rfloor ⩽x<\lfloor x\rfloor +1$.

1. Soit $f$ une fonction croissante et bornée sur $]a,b[$. Montrer que $f$ admet une limite finie en $b^{-}$, et identifier cette limite. Que dire de la limite en $a^{+}$ ?

2. Soit $f$ une fonction croissante sur $]a,b[$ admettant une limite finie $\mathrm{\ell }$ en $b^{-}$.

   a. Montrer que $f$ est majorée par $\mathrm{\ell }$ sur $]a,b[$, c'est-à-dire que $f(x)⩽\mathrm{\ell }$ pour tout $x\in ]a,b[$.

   b. En déduire que $\mathrm{\ell }=\underset{x\in ]a,b[}{\sup }f(x)$.

3. Pour chacune des fonctions suivantes, justifier la monotonie, montrer qu'elle est bornée, et déterminer ses limites aux bornes de son intervalle de définition.

   a. $h:x\mapsto {\displaystyle \frac{x}{1+x}}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$

   b. $\mathrm{Arctan}$ sur $\mathbb{R}$

4. Soit $\phi$ la fonction définie sur $]0,1[$ par $\phi (x)=x+\lfloor 2x\rfloor$.

   a. Expliciter $\phi (x)$ selon la position de $x$ par rapport à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, puis montrer que $\phi$ est strictement croissante sur $]0,1[$.

   b. Déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\phi (x)$ et $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\phi (x)$. Retrouver a posteriori, à l'aide de la question 1., que ces deux limites devaient exister.

5. Une discontinuité de saut.

   a. Montrer que $\phi$ admet en ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ une limite à gauche et une limite à droite, toutes deux finies, et les calculer. Vérifier l'encadrement $\phi \left({{\displaystyle \frac{1}{2}}}^{-}\right)⩽\phi \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)⩽\phi \left({{\displaystyle \frac{1}{2}}}^{+}\right)$.

   b. En déduire que $\phi$ n'est pas continue en ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, et expliquer pourquoi une fonction croissante ne peut jamais présenter en un point une oscillation du type de celle de $x\mapsto \sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ en $0$.

On rappelle la définition. Soient $I$ un intervalle, $f:I\to \mathbb{R}$ et $k$ un réel positif. On dit que $f$ est $k$-lipschitzienne sur $I$ lorsque

et que $f$ est lipschitzienne sur $I$ lorsqu'il existe un réel $k⩾0$ tel que $f$ soit $k$-lipschitzienne sur $I$. Aucune question ne fait appel à la dérivation : on revient systématiquement à cette définition.

1. Montrer que $x\mapsto \mid x\mid$ est $1$-lipschitzienne sur $\mathbb{R}$, puis que la constante $1$ est la meilleure possible.

2. Soit $f:x\mapsto x^2$.

   a. Soit $A>0$. Montrer que $f$ est lipschitzienne sur $[-A,A]$ en explicitant une constante qui convient.

   b. Écrire la négation de « $f$ est lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ », puis démontrer que $f$ n'est pas lipschitzienne sur $\mathbb{R}$.

3. Montrer que $x\mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0,1]$ mais n'y est pas lipschitzienne. On pourra examiner le couple de points $({\displaystyle \frac{1}{(k+1{)}^2}},0)$.

4. Soit $f$ une fonction $k$-lipschitzienne sur un intervalle $I$. Montrer, en revenant à la définition avec $\epsilon$ et $\delta$, que $f$ est continue en tout point de $I$.

5. Soient $I$ et $J$ deux intervalles, $f:I\to \mathbb{R}$ une fonction $k_1$-lipschitzienne telle que $f(I)\subset J$, et $g:J\to \mathbb{R}$ une fonction $k_2$-lipschitzienne. Montrer que $g\circ f$ est lipschitzienne sur $I$ et préciser une constante. Application : montrer que $x\mapsto \mid x^2-3x\mid$ est lipschitzienne sur $[0,2]$.

6. Soient $f$ et $g$ deux fonctions lipschitziennes sur un même intervalle $I$.

   a. Montrer que $f+g$ est lipschitzienne sur $I$.

   b. Le produit $fg$ est-il toujours lipschitzien sur $I$ ?

On appelle point fixe d'une fonction $f$ tout point $c$ de son ensemble de définition vérifiant $f(c)=c$. On note $\mathrm{i}\mathrm{d}$ la fonction identité, définie par $\mathrm{i}\mathrm{d}(x)=x$.

1. Soit $f:[0,1]\to [0,1]$ une fonction continue. En introduisant la fonction $g=f-\mathrm{i}\mathrm{d}$, montrer que $f$ admet au moins un point fixe. On énoncera avec soin les hypothèses du théorème utilisé.

2. Soient $a<b$ deux réels et $f:[a,b]\to [a,b]$ une fonction continue. Montrer que $f$ admet au moins un point fixe. Préciser à quels endroits exactement l'hypothèse $f([a,b])\subset [a,b]$ est utilisée.

3. Les deux hypothèses sont indispensables.

   a. Vérifier que $f:]0,1[\to ]0,1[$, $x\mapsto {\displaystyle \frac{x}{2}}$, est continue, à valeurs dans $]0,1[$, et n'a aucun point fixe.

   b. Soit $f:[0,1]\to [0,1]$ définie par $f(x)=1$ si $x\in [0,1[$ et $f(1)=0$. Vérifier qu'elle n'a aucun point fixe et dire où elle n'est pas continue.

4. Soit $f:[a,b]\to [a,b]$ une fonction continue et décroissante. Montrer que $f$ admet un unique point fixe.

5. Soit $f:[0,1]\to [0,1]$ une fonction continue vérifiant $f\circ f=\mathrm{i}\mathrm{d}$.

   a. Montrer que $f$ admet un point fixe, puis que $f$ est bijective de $[0,1]$ sur $[0,1]$, de réciproque $f^{-1}=f$.

   b. Montrer que si, de plus, $f$ est croissante, alors $f=\mathrm{i}\mathrm{d}$. L'hypothèse de continuité sert-elle dans cette question ?

On considère la fonction $f$ définie sur $I=]0,+\mathrm{\infty }[$ par

1. Justifier que $f$ est continue et strictement croissante sur $I$, déterminer ses limites aux bornes de $I$, et dresser son tableau de variations.

2. Énoncer les trois hypothèses du théorème de la bijection, vérifier qu'elles sont satisfaites par $f$, et en déduire l'intervalle $J$ tel que $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$.

3. a. Résoudre l'équation $f(x)=1$ d'inconnue $x\in I$. En déduire $f^{-1}(1)$.

   b. Montrer que ${\displaystyle \frac{1}{2}}<f^{-1}(0)<1$. On pourra utiliser $e<4$.

4. Étudier la fonction $f^{-1}$ : ensemble de définition, continuité, sens de variation, limites aux bornes, allure du graphe.

5. Soit $g$ la fonction définie sur le segment $[-1,1]$ par $g(x)=x^3-3x$. Reprendre l'étude complète : monotonie stricte, image du segment $[-1,1]$, bijection obtenue (hypothèses rédigées), résolution de $g(x)=0$, sens de variation de $g^{-1}$.

6. Les hypothèses ne sont pas décoratives.

   a. Pourquoi la continuité seule ne suffit-elle pas ? Traiter $x\mapsto x^2$ sur $\mathbb{R}$.

   b. Pourquoi la monotonie stricte est-elle exigée ? Construire une fonction continue croissante sur $[0,2]$ qui n'est pas injective.

On rappelle le théorème utilisé dans tout l'exercice. Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, et soit $J=f(I)$. Soient $b\in J$ et $a=f^{-1}(b)$. Si $f$ est dérivable en $a$ et si $f^{\mathrm{\prime }}(a)\mathrm{\ne }0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $b$ et

1. Soit $f:x\mapsto x^3+x$, définie sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, déterminer $f^{-1}(2)$, puis calculer ${\left(f^{-1}\right)}^{\mathrm{\prime }}(2)$.

2. Soit $f:x\mapsto x+e^x$, définie sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, puis calculer les nombres dérivés suivants.

   a. ${\left(f^{-1}\right)}^{\mathrm{\prime }}(1)$

   b. ${\left(f^{-1}\right)}^{\mathrm{\prime }}(1+e)$

   Établir enfin que ${\left(f^{-1}\right)}^{\mathrm{\prime }}(y)={\displaystyle \frac{1}{1+e^{f^{-1}(y)}}}$ pour tout $y\in \mathbb{R}$, et en déduire un encadrement de ${\left(f^{-1}\right)}^{\mathrm{\prime }}$.

3. En partant de la fonction $\sin$ restreinte à $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$, retrouver que $\mathrm{Arcsin}$ est dérivable sur $]-1,1[$ et que ${\mathrm{Arcsin}}^{\mathrm{\prime }}(y)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}}$. On justifiera avec soin le signe du cosinus. Que se passe-t-il en $y=1$ ?

4. En partant de la fonction $\tan$ restreinte à $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$, retrouver que $\mathrm{Arctan}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que ${\mathrm{Arctan}}^{\mathrm{\prime }}(y)={\displaystyle \frac{1}{1+y^2}}$.

5. Soit $f:x\mapsto x^3$, définie sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, puis, en étudiant le taux d'accroissement de $f^{-1}$ en $0$, montrer que $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $0$. Interpréter géométriquement.

6. Erreur classique. Un élève écrit ${\left(f^{-1}\right)}^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(2)}}$ pour la fonction de la question 1. Calculer ce que donne cette formule, la comparer au résultat exact, et énoncer la règle correcte.

On rappelle le théorème des bornes atteintes : si $f$ est continue sur un segment $[a,b]$, alors $f$ est bornée sur $[a,b]$ et elle atteint ses bornes, c'est-à-dire qu'il existe $c_1,c_2\in [a,b]$ tels que $f(c_1)=\underset{[a,b]}{\inf }f$ et $f(c_2)=\underset{[a,b]}{\sup }f$. Ces bornes sont donc un minimum et un maximum.

1. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer $\max f$ et $\min f$ sur le segment indiqué, ainsi que les points où ces valeurs sont atteintes.

2. En déduire $f([-2,2])$ et $g([0,3])$, en justifiant soigneusement que ces images sont des segments.

Dans les questions 3 à 5, la lettre $f$ désigne une fonction quelconque, sans lien avec celle de la question 1.

3. Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ admettant une limite finie ${\mathrm{\ell }}_{-}$ en $-\mathrm{\infty }$ et une limite finie ${\mathrm{\ell }}_{+}$ en $+\mathrm{\infty }$. Montrer que $f$ est bornée sur $\mathbb{R}$.

Indication : appliquer la définition de la limite avec $\epsilon =1$ pour contrôler $f$ en dehors d'un segment $[-A,A]$, puis utiliser le théorème des bornes atteintes sur ce segment.

4. Une telle fonction atteint-elle nécessairement ses bornes ? On étudiera la fonction

en déterminant $\underset{\mathbb{R}}{\sup }\phi$ et $\underset{\mathbb{R}}{\inf }\phi$, puis en disant s'ils sont atteints.

5. On suppose maintenant que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, que $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\ell }\in \mathbb{R}$, et qu'il existe $x_0\in \mathbb{R}$ tel que $f(x_0)>\mathrm{\ell }$. Montrer qu'alors $f$ atteint sa borne supérieure sur $\mathbb{R}$.

Dans tout l'exercice, « fonction polynomiale » signifie fonction de la forme $x\mapsto {\displaystyle \sum _{k=0}^d{c}_k{x}^k}$ avec $c_0,\dots ,c_d$ réels ; on n'utilisera aucun résultat de la théorie des polynômes, seulement les définitions rappelées ci-dessous. Une racine de $P$ est un réel $a$ tel que $P(a)=0$.

1. Soit $I$ un intervalle et $f$ une fonction dérivable sur $I$. On suppose que $f$ s'annule en $n⩾2$ points distincts $x_1<x_2<\cdots <x_n$ de $I$. Montrer que $f^{\mathrm{\prime }}$ s'annule en au moins $n-1$ points distincts de $I$.

2. Soit $P:x\mapsto (x^2-1)(x^2-4)$. Donner les racines de $P$, en déduire par la question 1 un minorant du nombre de racines de $P^{\mathrm{\prime }}$, puis calculer effectivement ces racines et vérifier qu'elles sont bien situées là où la question 1 les annonce.

3. Soit $Q:x\mapsto x^3-3x+1$. Montrer que $Q$ admet exactement trois racines réelles, et préciser un encadrement de chacune par deux entiers consécutifs. Combien $Q^{\mathrm{\prime }}$ a-t-elle de racines ? Le résultat de la question 1 est-il ici optimal ?

4. Dans cette question, $S$ désigne une fonction polynomiale quelconque. On admet le résultat suivant, qui s'obtient en écrivant $S(x)=S(x)-S(a)$ et en factorisant chaque $x^k-a^k$ par $x-a$ : si $S(a)=0$, alors il existe une fonction polynomiale $R$ telle que $S(x)=(x-a)R(x)$ pour tout $x$ réel. On dit alors que $a$ est une racine simple de $S$ lorsque $R(a)\mathrm{\ne }0$.

a. Montrer que $a$ est une racine simple de $S$ si et seulement si $S(a)=0$ et $S^{\mathrm{\prime }}(a)\mathrm{\ne }0$.

b. En déduire que si toutes les racines de $S$ sont simples, alors $S$ et $S^{\mathrm{\prime }}$ n'ont aucune racine commune. Appliquer à la fonction $Q$ de la question 3 pour montrer que ses trois racines sont simples.

5. Soit $a$ un réel. On s'intéresse au nombre de solutions réelles de l'équation $e^x=ax$.

a. À l'aide de la question 1, montrer que cette équation admet au plus deux solutions.

b. Discuter, selon la valeur de $a$, le nombre exact de solutions.

On rappelle l'inégalité des accroissements finis (IAF) : si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et s'il existe $k⩾0$ tel que $\mid f^{\mathrm{\prime }}(t)\mid ⩽k$ pour tout $t\in I$, alors

c'est-à-dire que $f$ est $k$-lipschitzienne sur $I$. On rappelle aussi que cette inégalité reste vraie pour une fonction dérivable à valeurs complexes, alors même que le théorème de Rolle et l'égalité des accroissements finis y sont faux.

1. Démontrer les inégalités suivantes en précisant à chaque fois l'intervalle et la constante de Lipschitz utilisés.

2. Soit $\phi :x\mapsto \sqrt{1+x^2}$.

a. Montrer que $\phi$ est $1$-lipschitzienne sur $\mathbb{R}$.

b. Montrer que $1$ est la meilleure constante possible : si $\phi$ est $k$-lipschitzienne sur $\mathbb{R}$, alors $k⩾1$.

3. En appliquant l'égalité des accroissements finis à la fonction racine carrée sur le segment $[100,101]$, établir l'encadrement

4. On considère $f:t\mapsto e^{it}$, définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{C}$.

a. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}$ et $\mid f^{\mathrm{\prime }}\mid$, puis en déduire par l'IAF complexe que $\mid e^{ia}-e^{ib}\mid ⩽\mid a-b\mid$ pour tous réels $a$ et $b$.

b. Retrouver cette inégalité par un calcul direct de module, en factorisant $e^{ia}-e^{ib}$ par $e^{i\frac{a+b}{2}}$.

5. Montrer que la fonction racine carrée n'est pas lipschitzienne sur $[0,1]$, bien qu'elle y soit continue. Pourquoi l'IAF ne s'applique-t-elle pas ?

On rappelle l'égalité des accroissements finis (EAF) : si $f$ est continue sur un segment $[a,b]$ (avec $a<b$) et dérivable sur $]a,b[$, alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que

Pour tout entier $n⩾1$, on pose $H_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}}$.

1. Soit $n⩾1$. En appliquant l'EAF à la fonction $\ln$ sur le segment $[n,n+1]$, démontrer que

2. En déduire, pour tout entier $n⩾1$, l'encadrement

Indication : sommer l'inégalité de la question 1 et reconnaître des sommes télescopiques.

3. En déduire $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{H}_n$, puis $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{H_n}{\ln n}}$.

4. Pour $n⩾1$, on pose $v_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$. À l'aide de l'EAF, encadrer $v_n$, puis déterminer $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{v}_n$ et $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{n}{v}_n$.

5. Pour $n⩾1$, on pose $u_n={(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$. En utilisant la question 1, déterminer $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n$.

On rappelle le théorème de la limite de la dérivée : soit $f$ continue sur un intervalle $I$, soit $a\in I$, et soit $f$ dérivable sur $I\setminus \{a\}$.

• Si $f^{\mathrm{\prime }}(x)\underset{x\to a}{\overset{}{\to }}\mathrm{\ell }$ avec $\mathrm{\ell }\in \mathbb{R}$, alors $f$ est dérivable en $a$, $f^{\mathrm{\prime }}(a)=\mathrm{\ell }$, et $f^{\mathrm{\prime }}$ est continue en $a$.
• Si $f^{\mathrm{\prime }}(x)\underset{x\to a}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }$ (resp. $-\mathrm{\infty }$), alors le taux d'accroissement ${\tau }_a(x)={\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ (resp. $-\mathrm{\infty }$) : $f$ n'est pas dérivable en $a$ et sa courbe admet en $a$ une tangente verticale.

1. Préliminaires. Démontrer, uniquement à l'aide de l'inégalité des accroissements finis et de la formule $1-\cos t=2{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{t}{2}}\right)$, que pour tout réel $x$ :

a. $\mid \sin x\mid ⩽\mid x\mid$ ;

b. $0⩽1-\cos x⩽{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$ ;

c. $\mid x-\sin x\mid ⩽{\displaystyle \frac{\mid x{\mid }^3}{2}}$.

2. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2\ln \mid x\mid$ si $x\mathrm{\ne }0$ et $f(0)=0$. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, puis qu'elle est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$. Retrouver la valeur de $f^{\mathrm{\prime }}(0)$ par le taux d'accroissement.

3. Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$ si $x\mathrm{\ne }0$ et $g(0)=1$. Montrer que $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ et donner $g^{\mathrm{\prime }}(0)$. On pourra utiliser la décomposition $x\cos x-\sin x=-x(1-\cos x)+(x-\sin x)$.

4. Soit $h:x\mapsto \sqrt{\mid x\mid }$. Étudier la dérivabilité de $h$ en $0$ et interpréter graphiquement le résultat.

5. Soient $a$ et $b$ deux réels et $\psi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour lesquelles $\psi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$.

6. Soit $k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x)=x^2\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ si $x\mathrm{\ne }0$ et $k(0)=0$.

a. Montrer que $k$ est dérivable en $0$ et calculer $k^{\mathrm{\prime }}(0)$.

b. Calculer $k^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour $x\mathrm{\ne }0$ et montrer que $k^{\mathrm{\prime }}$ n'a pas de limite en $0$.

c. Que peut-on en conclure sur la portée du théorème de la limite de la dérivée ? La fonction $k$ est-elle de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ ?

On rappelle les règles du cours pour une fonction $f:I\to \mathbb{C}$, où $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, que l'on écrit $f=u+iv$ avec $u=\mathrm{Re}f$ et $v=\mathrm{Im}f$ à valeurs réelles :

• $f$ est continue (resp. dérivable) en $a$ si et seulement si $u$ et $v$ le sont, et alors $f^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}+i{v}^{\mathrm{\prime }}$ ; en particulier $\mathrm{Re}(f^{\mathrm{\prime }})=(\mathrm{Re}f{)}^{\mathrm{\prime }}$ et $\mathrm{Im}(f^{\mathrm{\prime }})=(\mathrm{Im}f{)}^{\mathrm{\prime }}$ ;
• les opérations (somme, produit, quotient à dénominateur ne s'annulant pas) se dérivent comme dans le cas réel ;
• pour $\lambda \in \mathbb{C}$, la fonction $t\mapsto e^{\lambda t}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et ${\left(e^{\lambda t}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\lambda e^{\lambda t}$.

1. Justifier que les deux fonctions suivantes sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$, puis calculer leur dérivée.

2. Déterminer $\mathrm{Re}f$, $\mathrm{Im}f$, $\mid f\mid$, puis $\mathrm{Re}g$, $\mathrm{Im}g$, $\mid g\mid$. Vérifier sur $f$ l'égalité ${(\mathrm{Re}f)}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{Re}\left(f^{\mathrm{\prime }}\right)$.

3. Soit $\phi :t\mapsto e^{it}$, considérée sur le segment $[0,2\pi ]$. Montrer que $\phi$ est continue sur $[0,2\pi ]$, dérivable sur $]0,2\pi [$ et vérifie $\phi (0)=\phi (2\pi )$, mais que ${\phi }^{\mathrm{\prime }}$ ne s'annule en aucun point. Qu'en conclure sur le théorème de Rolle et sur l'égalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs complexes ?

4. Reprendre l'exemple précédent en séparant partie réelle et partie imaginaire : où exactement la démonstration réelle du théorème de Rolle cesse-t-elle de fonctionner ?

5. Déterminer une primitive de $t\mapsto e^t\cos t$ sur $\mathbb{R}$ en utilisant la fonction $f$ de l'énoncé, puis vérifier le résultat par dérivation. Donner de même une primitive de $t\mapsto e^t\sin t$.

On rappelle la définition : une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est convexe sur $I$ lorsque

Dans tout cet exercice, aucune caractérisation par les dérivées n'est autorisée : on revient systématiquement à la définition. On rappelle aussi qu'un intervalle de $\mathbb{R}$ contient tout réel compris entre deux de ses éléments : comme $\lambda x+(1-\lambda )y$ est compris entre $x$ et $y$, on a $\lambda x+(1-\lambda )y\in I$ dès que $x,y\in I$ et $\lambda \in [0,1]$.

1. Démontrer, directement à partir de la définition, que les fonctions suivantes sont convexes sur $\mathbb{R}$.

2. Soient $f$ et $g$ deux fonctions convexes sur un intervalle $I$.

a. Montrer que $f+g$ est convexe sur $I$.

b. Montrer que $\max (f,g):x\mapsto \max (f(x),g(x))$ est convexe sur $I$.

3. On rappelle l'inégalité des pentes : si $f$ est convexe sur $I$ et si $x<y<z$ sont trois points de $I$, alors

Vérifier cette inégalité par le calcul pour $f:x\mapsto x^2$ avec $x=-1$, $y=1$ et $z=3$, et expliquer en une phrase ce qu'elle signifie sur les cordes de la courbe.

4. Soit $f$ convexe sur $I$ et $a\in I$ fixé. On appelle fonction pente en $a$ la fonction

Démontrer que ${\tau }_a$ est croissante, dans le cas $a<x<y$.

5. Le produit de deux fonctions convexes est-il toujours convexe ? On étudiera le produit des fonctions $x\mapsto x$ et $x\mapsto x^2$ sur $\mathbb{R}$.

On utilisera librement les résultats du cours suivants. Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⩾0$ sur $I$, alors $f$ est convexe sur $I$ ; si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⩽0$ sur $I$, alors $f$ est concave sur $I$.
• Position par rapport aux tangentes. Si $f$ est convexe et dérivable sur $I$, alors pour tous $x,a\in I$, $f(x)⩾f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$. L'inégalité est renversée si $f$ est concave.
• Position par rapport aux cordes. Si $f$ est convexe sur $I$, alors pour tous $x,y\in I$ et tout $\lambda \in [0,1]$, $f(\lambda x+(1-\lambda )y)⩽\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$. L'inégalité est renversée si $f$ est concave.

1. a. Justifier que $\exp$ est convexe sur $\mathbb{R}$ et donner l'équation de sa tangente au point d'abscisse $0$.

   b. En déduire que pour tout $x\in \mathbb{R}$, $e^x⩾1+x$, puis démontrer que l'égalité a lieu si et seulement si $x=0$.

2. a. Justifier que $\ln$ est concave sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et en déduire, par position par rapport à la tangente au point d'abscisse $1$, que $\ln (1+x)⩽x$ pour tout $x\in ]-1,+\mathrm{\infty }[$.

   b. Retrouver cette inégalité directement à partir de la question 1. b.

3. (Inégalité de Jordan.) On veut démontrer que pour tout $x\in [0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$, ${\displaystyle \frac{2x}{\pi }}⩽\sin x⩽x$.

   a. Justifier que $\sin$ est concave sur $[0,\pi ]$.

   b. Par position par rapport à la tangente au point d'abscisse $0$, démontrer que $\sin x⩽x$ sur $[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$.

   c. Par position par rapport à la corde joignant les points d'abscisses $0$ et ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, démontrer que $\sin x⩾{\displaystyle \frac{2x}{\pi }}$ sur $[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$.

4. Soit $\alpha \in ]0,1[$. Démontrer que pour tout $x>0$, $x^{\alpha }⩽1+\alpha (x-1)$, avec égalité si et seulement si $x=1$.

5. a. À l'aide de la question 2., démontrer que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$,

   $${(1+\frac{1}{n})}^n⩽e⩽{(1+\frac{1}{n})}^{n+1}$$

   b. En déduire un encadrement numérique de $e$ pour $n=1$ puis pour $n=2$.

6. À l'aide de la question 3., démontrer que pour tout entier $n⩾2$, $2⩽n\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}}⩽\pi$.

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. On rappelle qu'une fonction $f:I\to \mathbb{R}$ est convexe lorsque, pour tous $x,y\in I$ et tout $\lambda \in [0,1]$,

Un réel de la forme ${\lambda }_1{x}_1+\cdots +{\lambda }_n{x}_n$, où $x_1,\dots ,x_n\in I$ et où les coefficients ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ sont positifs de somme $1$, est appelé combinaison convexe des $x_i$.

1. Soient $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $x_1,\dots ,x_n\in I$ et ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ des réels positifs tels que ${\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n=1$.

   a. Démontrer que ${\lambda }_1{x}_1+\cdots +{\lambda }_n{x}_n\in I$.

   b. Soit $f$ convexe sur $I$. Démontrer par récurrence sur $n$ que

   $$f\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i\right)⩽\sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}f(x_i)$$

   c. Énoncer, sans démonstration, le résultat correspondant pour une fonction concave.

2. Soient $x_1,\dots ,x_n$ des réels strictement positifs. En appliquant la question 1. à la fonction $\ln$ avec des coefficients bien choisis, démontrer l'inégalité arithmético-géométrique

   $$\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}⩽\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$$

3. On précise maintenant le cas d'égalité.

   a. Démontrer que pour tout $t>0$, $\ln t⩽t-1$, avec égalité si et seulement si $t=1$. On expliquera en quoi c'est la stricte concavité de $\ln$ qui est en jeu.

   b. On note $m={\displaystyle \frac{x_1+\cdots +x_n}{n}}$ et, pour tout $i$, $t_i={\displaystyle \frac{x_i}{m}}$. Calculer $t_1+\cdots +t_n$, puis retrouver l'inégalité de la question 2. en sommant les inégalités $\ln t_i⩽t_i-1$.

   c. En déduire que l'égalité $\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}={\displaystyle \frac{x_1+\cdots +x_n}{n}}$ a lieu si et seulement si $x_1=x_2=\cdots =x_n$.

4. On pose $H={\displaystyle \frac{n}{{\displaystyle \frac{1}{x_1}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{x_n}}}}$ (moyenne harmonique), $G=\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}$ (moyenne géométrique) et $A={\displaystyle \frac{x_1+\cdots +x_n}{n}}$ (moyenne arithmétique).

   a. Démontrer que $H⩽G⩽A$, et préciser les cas d'égalité.

   b. Vérifier ces inégalités sur l'exemple $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=4$.

5. a. Soit $S>0$ fixé. Déterminer le maximum du produit $x_1{x}_2\cdots x_n$ lorsque les $x_i$ décrivent les réels strictement positifs de somme $S$, et dire pour quels $x_i$ il est atteint. Application numérique : $n=3$ et $S=12$.

   b. Démontrer que pour tout entier $n⩾1$, $n!⩽{\left({\displaystyle \frac{n+1}{2}}\right)}^n$, l'inégalité étant stricte dès que $n⩾2$.