Devoir surveillé — Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité, convexité

Les trois questions sont indépendantes. Dans chacune, $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point.

1. (1 point) Soit $f:I\to \mathbb{R}$ une fonction continue ne prenant que des valeurs entières, c'est-à-dire telle que $f(x)\in \mathbb{Z}$ pour tout $x\in I$.

   a. Démontrer que $f$ est constante.

   b. En déduire toutes les fonctions $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continues vérifiant $g(x{)}^2=1$ pour tout réel $x$.

2. (1 point) Soit $T>0$ et soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée est $T$-périodique, c'est-à-dire que $f^{\mathrm{\prime }}(x+T)=f^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout réel $x$.

   a. Démontrer que la fonction $x\mapsto f(x+T)-f(x)$ est constante sur $\mathbb{R}$. On note $c$ cette constante.

   b. Donner un exemple où $c\mathrm{\ne }0$.

   c. Démontrer que si $f$ est bornée sur $\mathbb{R}$, alors $f$ est elle-même $T$-périodique.

3. (1 point) Le théorème de la bijection affirme qu'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle y réalise une bijection sur son image, et que sa réciproque est continue ; le cours admet ce dernier point. On se propose de le démontrer.

   a. Soit $f:I\to \mathbb{R}$ une fonction monotone telle que $f(I)$ soit un intervalle. Démontrer que $f$ est continue sur $I$.

   b. Soit $g:I\to \mathbb{R}$ continue et strictement monotone, et soit $J=g(I)$. En appliquant la question a à la bijection réciproque $g^{-1}:J\to I$, démontrer que $g^{-1}$ est continue sur $J$. On n'utilisera à aucun moment le résultat admis que l'on cherche à établir.

Dans tout l'exercice, $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point. On se propose de démontrer le résultat suivant, dont la réciproque est immédiate :

si $f:I\to \mathbb{R}$ est continue et injective, alors $f$ est strictement monotone sur $I$.

1. (0,5 point) La continuité est indispensable. Construire une fonction $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ injective et non monotone, et préciser en quel point elle n'est pas continue.

Dans les questions 2 à 4, $f:I\to \mathbb{R}$ désigne une fonction continue et injective.

2. (1 point) Le lemme des trois points. Soient $a$, $b$, $c$ trois points de $I$ tels que $a<b<c$. Démontrer que $f(b)$ est strictement compris entre $f(a)$ et $f(c)$.

   Indication : raisonner par l'absurde, supposer par exemple $f(b)>\max (f(a),f(c))$, choisir un réel $y$ tel que $\max (f(a),f(c))<y<f(b)$, et appliquer deux fois le théorème des valeurs intermédiaires.

3. (1,25 point) On fixe deux points $a<b$ de $I$ et l'on suppose $f(a)<f(b)$.

   a. Démontrer que $f(t)>f(a)$ pour tout $t\in I$ tel que $t>a$, et que $f(t)<f(a)$ pour tout $t\in I$ tel que $t<a$.

   b. En déduire que $f$ est strictement croissante sur $I$, puis conclure la démonstration du résultat annoncé.

4. (0,75 point) Application. Démontrer qu'il n'existe aucune bijection continue de $\mathbb{R}$ sur $[0,1]$.

5. (0,5 point) L'hypothèse « $I$ est un intervalle » est également indispensable. Construire une fonction continue et injective sur $D=[0,1]\cup [2,3]$ qui n'est pas monotone sur $D$.

Dans tout l'exercice, $a$ et $b$ désignent deux réels tels que $a<b$, et $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$ vérifiant

$$f(a)=f(b)=0.$$

Le théorème de Rolle affirme qu'il existe alors $c\in ]a,b[$ tel que $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$. On se propose de montrer que ce même théorème, appliqué à une fonction auxiliaire bien choisie, produit une famille entière de résultats.

1. (0,75 point) Soit $\lambda$ un réel. En appliquant le théorème de Rolle à la fonction $g:x\mapsto e^{\lambda x}f(x)$, démontrer qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que

   $$f^{\mathrm{\prime }}(c)+\lambda f(c)=0.$$

   Que retrouve-t-on pour $\lambda =0$ ?

2. (1,25 point) Soit $\phi$ une fonction à valeurs réelles, continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$. En s'inspirant de la question précédente, démontrer qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que

   $$f^{\mathrm{\prime }}(c)={\phi }^{\mathrm{\prime }}(c)f(c)\mathrm{.}$$

   On précisera soigneusement la fonction auxiliaire utilisée et l'on vérifiera toutes les hypothèses du théorème de Rolle.

3. (0,75 point) Déduire de la question 2, en explicitant à chaque fois la fonction $\phi$ choisie, les deux énoncés suivants.

   a. Il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f^{\mathrm{\prime }}(c)=2cf(c)$.

   b. Si de plus $0<a$, alors pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ il existe $c\in ]a,b[$ tel que $c{f}^{\mathrm{\prime }}(c)=nf(c)$.

4. (1,25 point) On suppose dans cette question que $f$ est définie et deux fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant $[a,b]$, et qu'elle s'annule en un troisième point $b_0$ tel que $a<b_0<b$. Soit $\lambda$ un réel. Démontrer qu'il existe $d\in ]a,b[$ tel que

   $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(d)+2\lambda f^{\mathrm{\prime }}(d)+{\lambda }^{2}f(d)=0.$$

Dans tout l'exercice, $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point. Pour une fonction $f:I\to \mathbb{C}$, on note $\bar{f}$ la fonction $t\mapsto \overline{f(t)}$ et $\mid f\mid$ la fonction $t\mapsto \mid f(t)\mid$.

On rappelle qu'une fonction $f=u+iv$, où $u$ et $v$ sont à valeurs réelles, est dérivable en $t$ si et seulement si $u$ et $v$ le sont, et qu'alors $f^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}+i{v}^{\mathrm{\prime }}$.

1. (0,75 point) Soit $f:I\to \mathbb{C}$ une fonction dérivable. Démontrer que la fonction $\mid f{\mid }^2$ est dérivable sur $I$ et que

   $$(\mid f{\mid }^2{)}^{\mathrm{\prime }}=2\mathrm{R}\mathrm{e}(\bar{f}{f}^{\mathrm{\prime }})\mathrm{.}$$

2. (0,5 point) En déduire que si $\mid f\mid$ est constante sur $I$, alors $\mathrm{R}\mathrm{e}(\overline{f(t)}{f}^{\mathrm{\prime }}(t))=0$ pour tout $t\in I$. Montrer qu'en tout point $t$ où $f(t)\mathrm{\ne }0$, le nombre complexe $f^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{/}f(t)$ est alors imaginaire pur.

3. (1 point) Soit $\alpha$ un réel et soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ une fonction dérivable vérifiant

   $$\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R},f^{\mathrm{\prime }}(t)=i\alpha f(t)\mathrm{.}$$

   a. Démontrer, à l'aide de la question 1, que $\mid f\mid$ est constante sur $\mathbb{R}$.

   b. En étudiant la fonction $t\mapsto f(t)e^{-i\alpha t}$, démontrer que $f(t)=f(0)e^{i\alpha t}$ pour tout réel $t$.

4. (0,75 point) Soit $u:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ une fonction dérivable telle que

   $$\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R},\mid u(t)\mid ⩽1\text{et}\mid u(0)\mid =1.$$

   Démontrer que $\mathrm{R}\mathrm{e}(\overline{u(0)}{u}^{\mathrm{\prime }}(0))=0$. On ne suppose plus ici que $\mid u\mid$ est constante.

Une fonction peut être petite et sa dérivée seconde petite, sans que cela dise à première vue quoi que ce soit de sa dérivée première. Le but de ce problème est de démontrer qu'il n'en est rien : la dérivée d'une fonction bornée à dérivée seconde bornée est nécessairement bornée, et de mesurer précisément par quoi.

Dans tout le problème, on dit qu'une fonction $f$ est admissible lorsqu'elle est définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, à valeurs réelles, et que les deux quantités

$$M_0=\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }\mid f(x)\mid \text{et}{M}_2=\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }\mid f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\mid$$

sont finies. On note alors

$$M_1=\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }\mid f^{\mathrm{\prime }}(x)\mid \in {\mathbb{R}}_{+}\cup \{+\mathrm{\infty }\}\mathrm{.}$$

Partie A — Deux outils.

1. (0,5 point) Soient $\alpha >0$ et $\beta >0$. On pose $\psi (x)={\displaystyle \frac{\alpha }{x}}+\beta x$ pour $x>0$. Étudier les variations de $\psi$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, déterminer son minimum et le point où il est atteint.

2. (0,5 point) Soit $f$ une fonction admissible. Démontrer que

   $$\mathrm{\forall }(s,t)\in {\mathbb{R}}^2,\mid f^{\mathrm{\prime }}(s)-f^{\mathrm{\prime }}(t)\mid ⩽M_2\mid s-t\mid \mathrm{.}$$

Partie B — L'inégalité.

Dans toute cette partie, $f$ désigne une fonction admissible.

3. (0,75 point) Soient $x\in \mathbb{R}$ et $h>0$. Démontrer qu'il existe $c\in ]x,x+h[$ tel que

   $$f^{\mathrm{\prime }}(c)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$

   puis que $\mid f^{\mathrm{\prime }}(c)\mid ⩽{\displaystyle \frac{2M_0}{h}}$.

4. (0,75 point) En déduire que

   $$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }h>0,\mid f^{\mathrm{\prime }}(x)\mid ⩽\frac{2M_0}{h}+M_{2}h\mathrm{.}$$

5. (0,5 point) On suppose ici $M_0>0$ et $M_2>0$. Démontrer que $M_1$ est fini et que

   $$M_1⩽2\sqrt{2M_0{M}_2},$$

   en précisant la valeur de $h$ qui donne la meilleure majoration.

6. (0,5 point) Traiter les cas restants : $M_2=0$, puis $M_0=0$. Vérifier que l'inégalité de la question 5 reste vraie dans ces deux cas.

Partie C — Optimalité et conséquence.

7. (0,5 point) Appliquer le résultat à la fonction sinus : calculer $M_0$, $M_1$ et $M_2$, puis comparer $M_1$ à la majoration fournie par la question 5. Par quel facteur cette majoration dépasse-t-elle la valeur exacte ?

8. (0,75 point) On appelle constante admissible tout réel $C>0$ tel que l'inégalité $M_1⩽C\sqrt{M_0{M}_2}$ soit vraie pour toute fonction admissible. La question 5 montre que $2\sqrt{2}$ en est une. En considérant, pour $\omega >0$, la fonction $f_{\omega }:x\mapsto \sin (\omega x)$, démontrer que toute constante admissible vérifie $C⩾1$.

9. (1,25 point) Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, telle que $\mid f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\mid$ soit majorée par un réel $M_2$ sur $\mathbb{R}$ et telle que

   $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0.$$

   Démontrer que $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

   Indication : reprendre le raisonnement des questions 3 et 4 en se restreignant à une demi-droite $[A,+\mathrm{\infty }[$ sur laquelle $\mid f\mid$ est petite. On traitera à part le cas $M_2=0$.