Exercices — Espaces vectoriels et applications linéaires

On considère les cinq parties suivantes de ${\mathbb{R}}^3$.

1. Chacune de ces parties contient-elle le vecteur nul $0_{{\mathbb{R}}^3}$ ? Qu'en déduit-on immédiatement pour l'une d'entre elles ?

2. Montrer que $F_1$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$.

3. Montrer que $F_5$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$.

4. Montrer que $F_3$ n'est pas un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$ : on exhibera deux vecteurs de $F_3$ dont la somme n'appartient pas à $F_3$.

5. Montrer que $F_4$ n'est pas un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$ : on exhibera un vecteur $u$ de $F_4$ et un réel $\lambda$ tels que $\lambda u\mathrm{\notin }{F}_4$.

1. Pour chacun des espaces de référence ci-dessous, préciser le corps de base, ce qu'on appelle un vecteur et quel est le vecteur nul $0_E$. Ni base ni dimension ne sont demandées.

   a. ${\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$

   b. $\mathbb{R}[X]$

   c. $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$

   d. ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$

2. Sur $E={\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, on pose $x\oplus y=xy$ et $\lambda \cdot x=x^{\lambda }$ pour $\lambda \in \mathbb{R}$. Montrer que $(E,\oplus ,\cdot )$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel : loi interne, associativité, commutativité, neutre et opposé (ils ne sont pas ceux qu'on croit), puis les quatre axiomes de la loi externe.

3. Sur ${\mathbb{R}}^2$ muni de l'addition usuelle, on pose $\lambda \star (x,y)=(\lambda x,y)$. Montrer que $({\mathbb{R}}^2,+,\star )$ n'est pas un $\mathbb{R}$-espace vectoriel, en mettant en défaut un axiome précis sur un exemple chiffré. Vérifier au passage que l'axiome $1\star u=u$ est, lui, satisfait.

4. Dans $\mathbb{R}[X]$, on pose $A=\{P\in \mathbb{R}[X]\mid \mathrm{deg}P=2\}$ et $B=\{P\in \mathbb{R}[X]\mid P(0)=P(1)\}$. Lequel est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$, lequel ne l'est pas ? Démonstration dans un cas, contre-exemple explicite dans l'autre.

5. Soient $S_0$ et $S_1$ les ensembles des fonctions $y$ deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$ vérifiant respectivement $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-3y^{\mathrm{\prime }}+2y=0$ et $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-3y^{\mathrm{\prime }}+2y=1$. Montrer que $S_0$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, mais que $S_1$ n'en est pas un.

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on pose

1. Le vecteur $w_1=(4,3,1)$ appartient-il à $F$ ? Si oui, écrire explicitement $w_1$ comme combinaison linéaire de $u_1$ et $u_2$.

2. Même question pour le vecteur $w_2=(3,1,1)$.

3. On pose $u_3=(3,1,2)$. Montrer que $u_3\in F$, puis que $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(u_1,u_2,u_3)=F$.

4. Donner deux écritures différentes de $w_1$ comme combinaison linéaire de $u_1$, $u_2$ et $u_3$. Que peut-on en conclure sur la famille $(u_1,u_2,u_3)$ ?

Dire, pour chacune des familles suivantes, si elle est libre ou liée. Lorsqu'elle est liée, donner explicitement une relation linéaire non triviale entre ses vecteurs.

1. Dans ${\mathbb{R}}^3$, la famille $(v_1,v_2,v_3)$ avec $v_1=(1,0,1)$, $v_2=(2,1,0)$ et $v_3=(0,1,1)$.

2. Dans ${\mathbb{R}}^3$, la famille $(w_1,w_2,w_3)$ avec $w_1=(1,2,3)$, $w_2=(2,-1,1)$ et $w_3=(0,5,5)$.

3. Dans ${\mathbb{R}}_2[X]$, la famille $(P_1,P_2,P_3)$ avec $P_1=1+X$, $P_2=X+X^2$ et $P_3=1+X^2$.

4. Dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, la famille $(A_1,A_2,A_3)$ où

   $$A_1=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right),A_3=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

5. La famille $(v_1,v_2,v_3,0_{{\mathbb{R}}^3})$ obtenue en ajoutant le vecteur nul à la famille de la question 1.

On considère la partie de ${\mathbb{R}}^4$ définie par

1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^4$.

2. Résoudre le système qui définit $F$ et en déduire une famille génératrice de $F$ formée de deux vecteurs.

3. Montrer que cette famille est libre. Conclure : donner une base de $F$ et la dimension de $F$.

4. On pose $u=(3,-1,2,6)$ et $v=(1,1,2,1)$.

   a. Le vecteur $u$ appartient-il à $F$ ? Si oui, donner ses coordonnées dans la base de la question 3.

   b. Même question pour $v$.

1. Donner la dimension de chacun des espaces vectoriels suivants, en exhibant à chaque fois une base et en justifiant brièvement.

   a. ${\mathbb{R}}^5$

   b. ${\mathbb{R}}_4[X]$

   c. ${\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{R})$

   d. ${\mathbb{R}}^2\times {\mathbb{R}}_3[X]$

   e. $\mathbb{C}$, vu comme $\mathbb{R}$-espace vectoriel

2. Soit $D$ l'ensemble des matrices diagonales de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Montrer que $D$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ et donner sa dimension.

3. Soit $G=\{P\in {\mathbb{R}}_3[X]\mid P(1)=0\}$. Montrer que $G$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}_3[X]$, en donner une base, puis la dimension.

4. Citer un espace vectoriel qui n'est pas de dimension finie, et justifier.

On considère les six applications suivantes.

1. Rappeler ce qu'il faut démontrer pour établir qu'une application $u:E\to F$ est linéaire. Que vaut $u(0_E)$ lorsque $u$ est linéaire ?

2. Les applications $u_1$ et $u_2$ sont-elles linéaires ?

3. Les applications $u_3$, $u_4$ et $u_5$ sont-elles linéaires ? On vérifiera au passage que chacune arrive bien dans l'espace annoncé.

4. L'application $u_6$ est-elle linéaire ? Et l'application $\phi :\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\to \mathbb{R}$, $f\mapsto f(1)$ ? Commenter.

On considère les deux applications

Chaque coordonnée de l'image étant une expression homogène du premier degré en $x$, $y$, $z$, ces deux applications sont linéaires : on l'admettra ici.

1. a. Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ et en donner une base. b. L'application $u$ est-elle injective ?

2. a. Déterminer une base de $\mathrm{I}\mathrm{m}u$ (on pourra utiliser les images des vecteurs de la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$). b. L'application $u$ est-elle surjective ? c. Vérifier le théorème du rang.

3. a. Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}v$ et en donner une base. b. L'application $v$ est-elle injective ?

4. a. Déterminer une base de $\mathrm{I}\mathrm{m}v$. b. L'application $v$ est-elle surjective ? c. Vérifier le théorème du rang.

1. Soit $u\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^4,{\mathbb{R}}^3)$ dont on sait seulement que $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(a)$, où $a=(1,0,1,0)$.

   a. Donner $\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$, puis $\mathrm{r}\mathrm{g}(u)$.

   b. L'application $u$ est-elle injective ? surjective ?

2. On note $\mathrm{\Phi }:{\mathbb{R}}_3[X]\to {\mathbb{R}}_3[X]$, $P\mapsto P-P^{\mathrm{\prime }}$. Vérifier que $\mathrm{\Phi }$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}_3[X]$, puis déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{\Phi }$.

3. a. En déduire que $\mathrm{\Phi }$ est bijective. b. Résoudre l'équation $P-P^{\mathrm{\prime }}=X^3$, d'inconnue $P\in {\mathbb{R}}_3[X]$.

4. Répondre aux deux questions de principe suivantes, en justifiant par le théorème du rang.

   a. Existe-t-il une application linéaire injective de ${\mathbb{R}}^4$ dans ${\mathbb{R}}^3$ ?

   b. Existe-t-il une application linéaire surjective de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^4$ ?

On note ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des suites réelles et $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ celui des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

1. Montrer que les parties suivantes sont des sous-espaces vectoriels de ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$.

   a. $\mathcal{B}$, l'ensemble des suites bornées.

   b. $\mathcal{C}$, l'ensemble des suites convergentes.

   c. $\mathcal{R}=\{u\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}\mid \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n\}$.

2. Montrer, à l'aide d'un contre-exemple explicite, que les parties suivantes n'en sont pas.

   a. $\mathcal{U}$, l'ensemble des suites monotones.

   b. $\mathcal{V}$, l'ensemble des suites de limite $1$.

3. Mêmes questions dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ pour les trois parties suivantes.

   a. $\mathcal{D}=\{f\in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\mid f\text{ est d}\acute{\text{e}}\text{rivable sur }\mathbb{R}\text{ et }{f}^{\mathrm{\prime }}(0)=0\}$.

   b. $\mathcal{S}=\{f\in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\mid f\text{ est deux fois d}\acute{\text{e}}\text{rivable et }{f}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+f=0\}$.

   c. $\mathcal{G}=\{f\in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\mid \mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},f(x)⩾0\}$.

4. Déterminer une base et la dimension de $\mathcal{S}$, puis de $\mathcal{R}$. On admet les résultats du cours sur les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants et sur les suites récurrentes linéaires d'ordre $2$.

Dans ${\mathbb{R}}^3$, on considère les cinq vecteurs

ainsi que les trois sous-espaces vectoriels $F=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(u_1,u_2)$, $G=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(v_1,v_2)$ et $H=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(v_1,v_3)$.

1. Montrer que la famille $(u_1,u_2)$ est libre, puis que la famille $(v_1,v_2)$ l'est aussi.

2. Montrer que $F=G$, en procédant par double inclusion.

3. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur $(x,y,z)$ pour que $(x,y,z)\in F$. En déduire que $H\mathrm{\ne }F$.

4. Donner une base commune à $F$ et $G$, ainsi que leur dimension. La famille $(u_1,u_2,v_1)$ est-elle génératrice de $F$ ? est-elle libre ?

Dans $E={\mathbb{R}}^4$, dont les vecteurs sont notés $(x,y,z,t)$, on considère les vecteurs

ainsi que les deux sous-espaces

1. Montrer que $G$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^4$, puis en déterminer une base et la dimension.

2. Déterminer une base de $F$ et sa dimension.

3. Déterminer une base de $F\cap G$ et sa dimension.

4. Déterminer une base de $F+G$, sa dimension, puis une équation de $F+G$.

5. Vérifier la formule de Grassmann sur cet exemple. La somme $F+G$ est-elle directe ? Les sous-espaces $F$ et $G$ sont-ils supplémentaires dans ${\mathbb{R}}^4$ ?

Dans $E={\mathbb{R}}^3$, on pose $a=(1,1,1)$, puis

1. Montrer que $P$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^3$, en donner une base et la dimension. Vérifier que $a\mathrm{\notin }P$.

2. Soit $v=(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$. Montrer par analyse et synthèse qu'il existe un unique couple $(d,p)\in D\times P$ tel que $v=d+p$, et l'expliciter. Que peut-on en conclure ? Traiter l'exemple $v=(1,2,2)$.

3. Retrouver le résultat de la question 2 par un argument de dimension.

4. On remplace $a$ par $a^{\mathrm{\prime }}=(0,1,1)$ et on pose $D^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(a^{\mathrm{\prime }})$. Déterminer $D^{\mathrm{\prime }}\cap P$ et $D^{\mathrm{\prime }}+P$. Les sous-espaces $D^{\mathrm{\prime }}$ et $P$ sont-ils supplémentaires dans ${\mathbb{R}}^3$ ?

On note $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ et

1. Montrer que $\mathcal{P}$ et $\mathcal{I}$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$, puis que $\mathcal{P}\cap \mathcal{I}=\{0_E\}$.

2. Soit $f\in E$. Montrer par analyse et synthèse qu'il existe un unique couple $(f_p,f_i)\in \mathcal{P}\times \mathcal{I}$ tel que $f=f_p+f_i$. Conclure.

3. Expliciter cette décomposition pour :

   a. $f:x\mapsto {\mathrm{e}}^x$ ;

   b. $f:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x+2}}$, définie sur $\mathrm{\Delta }=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$.

4. Dans ${\mathbb{R}}_n[X]$, on pose ${\mathcal{P}}_n=\{Q\in {\mathbb{R}}_n[X]\mid Q(-X)=Q(X)\}$ et ${\mathcal{I}}_n=\{Q\in {\mathbb{R}}_n[X]\mid Q(-X)=-Q(X)\}$. Donner une base de chacun, leur dimension (on distinguera $n$ pair et $n$ impair) et vérifier la cohérence avec ${\mathbb{R}}_n[X]={\mathcal{P}}_n\oplus {\mathcal{I}}_n$.

Soit $n⩾2$. Dans le $\mathbb{R}$-espace vectoriel ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, on pose

On note $(E_{i,j}{)}_{1⩽i,j⩽n}$ la base canonique de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, où $E_{i,j}$ est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la ligne $i$ et de la colonne $j$, égal à $1$.

1. Montrer que ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ et ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$ sont des sous-espaces vectoriels de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, puis que les coefficients diagonaux d'une matrice antisymétrique sont nuls.

2. Montrer par analyse et synthèse que ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})={\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})\oplus {\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$.

3. Pour $n=3$, donner une base de ${\mathcal{S}}_3(\mathbb{R})$ et une base de ${\mathcal{A}}_3(\mathbb{R})$, ainsi que leurs dimensions.

4. Pour $n$ quelconque, exhiber une base de chacun des deux sous-espaces et en déduire

   $$\dim {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})=\frac{n(n+1)}{2},\dim {\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})=\frac{n(n-1)}{2}\mathrm{.}$$

   Vérifier que la somme de ces deux dimensions vaut $n^2$, et contrôler le résultat pour $n=2$ et $n=3$.

1. Soit $(P_0,P_1,\dots ,P_p)$ une famille de polynômes non nuls de $\mathbb{K}[X]$, de degrés deux à deux distincts. Montrer que cette famille est libre.

2. En déduire que la famille $\mathcal{B}=(1,X-1,(X-1{)}^2,(X-1{)}^3)$ est une base de ${\mathbb{R}}_3[X]$.

3. Déterminer les coordonnées dans la base $\mathcal{B}$ des polynômes suivants.

   a. $X^3$

   b. $Q=X^3-3X^2+1$

4. Le résultat de la question 1 subsiste-t-il si l'on supprime l'hypothèse « degrés deux à deux distincts » ? On donnera un contre-exemple formé de trois polynômes non nuls. Cette hypothèse est-elle nécessaire pour qu'une famille de polynômes soit libre ?

On note $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$.

1. Justifier qu'il existe une unique application $u\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^3)$ telle que

puis calculer $u(x,y,z)$ pour tout $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$.

2. Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}u$ (une base et la dimension de chacun), vérifier le théorème du rang, et dire si $u$ est un automorphisme de ${\mathbb{R}}^3$.

3. On pose $a_1=(1,1,0)$, $a_2=(0,1,1)$ et $a_3=(1,2,1)$. Existe-t-il une application $v\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^3)$ telle que $v(a_1)=(1,0,0)$, $v(a_2)=(0,1,0)$ et $v(a_3)=(0,0,1)$ ?

4. Soient $b_1,b_2,b_3$ trois vecteurs de ${\mathbb{R}}^3$. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $b_1,b_2,b_3$ pour qu'il existe $v\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^3)$ vérifiant $v(a_i)=b_i$ pour $i\in \{1,2,3\}$. Une telle application est-elle alors unique ?

5. La famille $((1,2,3),(2,4,6),(0,1,1))$ n'est pas libre. Existe-t-il malgré tout un endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ envoyant la base canonique sur cette famille ? Si oui, préciser son rang et son noyau.

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. On considère l'application

Pour $k\in \mathbb{N}$, on note $D^k=D\circ \cdots \circ D$ ($k$ facteurs), avec la convention $D^0=\mathrm{i}\mathrm{d}$, de sorte que $D^k(P)=P^{(k)}$.

1. Vérifier que $D$ est bien un endomorphisme de ${\mathbb{R}}_n[X]$. Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}D$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}D$, en déduire $\mathrm{r}\mathrm{g}(D)$ et vérifier le théorème du rang. L'application $D$ est-elle injective ? surjective ?

2. Montrer que $D^{n+1}=0$ et que $D^n\mathrm{\ne }0$. Quel est l'indice de nilpotence de $D$ ?

3. On travaille maintenant sur $\mathbb{R}[X]$ tout entier et on pose

Montrer que $\delta$ est surjective mais pas injective, et que $\mu$ est injective mais pas surjective. Commenter.

4. On revient à ${\mathbb{R}}_n[X]$ et on pose $\mathrm{\Phi }:P\mapsto P-P^{\mathrm{\prime }}$. Montrer que $\mathrm{\Phi }$ est un automorphisme de ${\mathbb{R}}_n[X]$.

5. Pour $k\in \{1,\dots ,n+1\}$, déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{D}^k$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}{D}^k$, ainsi que leurs dimensions. Vérifier le théorème du rang pour chaque $k$, et retrouver l'indice de nilpotence de $D$ comme le plus petit $k$ tel que $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{D}^k={\mathbb{R}}_n[X]$.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et soit $p\in \mathcal{L}(E)$ vérifiant $p\circ p=p$. On rappelle que, si $E=F\oplus G$, le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ est l'application qui, à un vecteur $x$ écrit $x=a+b$ avec $a\in F$ et $b\in G$, associe le vecteur $a$.

1. Montrer que $\mathrm{I}\mathrm{m}p=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(p-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=\{x\in E;p(x)=x\}$.

2. Montrer que $E=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}p\oplus \mathrm{I}\mathrm{m}p$.

3. En déduire que $p$ est le projecteur sur $\mathrm{I}\mathrm{m}p$ parallèlement à $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}p$.

4. Montrer que $q={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E-p$ est aussi un projecteur, et identifier $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}q$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}q$.

5. Application. On considère maintenant l'application $p$ de ${\mathbb{R}}^3$ dans ${\mathbb{R}}^3$ définie par

Montrer que $p$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}^3$ vérifiant $p\circ p=p$, déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}p$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}p$, et donner la décomposition d'un vecteur quelconque de ${\mathbb{R}}^3$ dans la somme directe obtenue. Traiter le cas du vecteur $(1,2,6)$.

Soit $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et soit $s\in \mathcal{L}(E)$ vérifiant $s\circ s={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$. On pose

On rappelle que, si $E=F\oplus G$, la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ est l'application qui, à un vecteur $x$ écrit $x=a+b$ avec $a\in F$ et $b\in G$, associe le vecteur $a-b$.

1. Vérifier que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$, puis montrer que $F\cap G=\{0_E\}$.

2. Montrer que $E=F\oplus G$. On précisera à quel endroit l'hypothèse $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ intervient.

3. En déduire que $s$ est la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$.

4. Montrer que $p=\frac{1}{2}(s+{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$ est un projecteur, préciser son image et son noyau, et vérifier que $s=2p-{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$.

5. Application. Sur $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, on note $\check{f}$ la fonction définie par $\check{f}(x)=f(-x)$ et on pose $\sigma (f)=\check{f}$. Montrer que $\sigma$ vérifie les hypothèses de l'exercice, identifier $F$ et $G$, et en déduire la décomposition de toute fonction. L'appliquer à la fonction exponentielle.

1. Parmi les cinq applications suivantes, déterminer lesquelles sont des formes linéaires sur l'espace indiqué.

2. Pour chacune des formes linéaires trouvées, décrire le noyau, en donner une base et la dimension, et constater que c'est un hyperplan de l'espace de départ.

3. Soient $\phi$ et $\psi$ deux formes linéaires non nulles sur un même $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$. Montrer que $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi =\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\psi$ si et seulement s'il existe $\lambda \in \mathbb{K}$ non nul tel que $\psi =\lambda \phi$.

4. Donner une équation de l'hyperplan $H=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}((1,1,0),(0,1,1))$ de ${\mathbb{R}}^3$. Cette équation est-elle unique ?

On travaille dans ${\mathbb{R}}^4$. On rappelle que les opérations élémentaires sur une famille de vecteurs (échanger deux vecteurs, multiplier un vecteur par un scalaire non nul, ajouter à un vecteur un multiple d'un autre vecteur de la famille) ne changent ni le sous-espace engendré, ni le rang.

1. On pose $u_1=(1,2,1,0)$, $u_2=(2,3,0,1)$ et $u_3=(1,1,2,1)$. Déterminer le rang de ${\mathcal{F}}_1=(u_1,u_2,u_3)$ et une base de $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}({\mathcal{F}}_1)$. La famille ${\mathcal{F}}_1$ est-elle libre ? Engendre-t-elle ${\mathbb{R}}^4$ ?

2. On pose

Déterminer le rang de ${\mathcal{F}}_2=(v_1,v_2,v_3,v_4)$, une base de $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}({\mathcal{F}}_2)$, et écrire explicitement deux relations de liaison entre ces quatre vecteurs.

3. Soit $m\in \mathbb{R}$. On pose

Discuter, selon la valeur de $m$, le rang de ${\mathcal{F}}_3=(w_1,w_2,w_3,w_4)$. Dans chaque cas, donner une base de $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}({\mathcal{F}}_3)$ et, lorsque la famille est liée, une relation de liaison explicite. Indication : remplacer $w_1$ par $w_1-w_2$, puis $w_2$ par $w_2-w_3$, puis $w_3$ par $w_3-w_4$.

1. Résoudre dans ${\mathbb{R}}^4$ le système

On écrira l'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions sous la forme $x_0+\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$, où $u$ est l'application linéaire associée au système, et l'on précisera la direction de ce sous-espace affine ainsi que sa dimension.

2. Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels, $u\in \mathcal{L}(E,F)$ et $b\in F$. Montrer que l'ensemble $\mathcal{S}=\{x\in E;u(x)=b\}$ est soit vide, soit égal à $x_0+\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ pour n'importe quelle solution particulière $x_0$. À quelle condition sur $b$ est-il non vide ?

3. Application à l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}+y=e^x$ sur $\mathbb{R}$. Identifier $E$, $F$, l'application linéaire $u$, son noyau et une solution particulière, puis retrouver la structure de l'ensemble des solutions.

4. Dans ${\mathbb{R}}^3$, on considère les deux sous-espaces affines

Vérifier que leurs directions sont différentes, puis décrire ${\mathcal{P}}_1\cap {\mathcal{P}}_2$.

On travaille dans l'espace vectoriel réel $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, muni de l'addition et de la multiplication par un réel usuelles. Son vecteur nul $0_E$ est la fonction nulle : dire qu'une combinaison linéaire de fonctions est nulle signifie qu'elle s'annule en tout point de $\mathbb{R}$.

1. Montrer que la famille $(\cos ,\sin )$ est libre dans $E$, en évaluant une relation de liaison en deux points bien choisis.

2. Soient $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $a_1<a_2<\cdots <a_n$ des réels. Pour $k$ compris entre $1$ et $n$, on pose $f_k:x⟼e^{a_{k}x}$. Montrer par récurrence sur $n$ que la famille $(f_1,\dots ,f_n)$ est libre. On pourra, partant d'une relation de liaison, diviser par $e^{a_{n}x}$ puis faire tendre $x$ vers $+\mathrm{\infty }$.

3. Soient $a_1$, $a_2$, $a_3$ trois réels deux à deux distincts, et pour $k$ compris entre $1$ et $3$ on pose $g_k:x⟼\mathrm{\mid }x-a_k\mathrm{\mid }$.

   a. Montrer que $g_k$ est dérivable en tout réel différent de $a_k$, mais qu'elle n'est pas dérivable en $a_k$.

   b. En déduire que la famille $(g_1,g_2,g_3)$ est libre.

4. En déduire que $E$ n'est pas de dimension finie.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et soient $F_1,\dots ,F_p$ des sous-espaces vectoriels de $E$. On rappelle que la somme $F_1+\cdots +F_p$ est dite directe, et notée ${⨁}_{i=1}^p{F}_i$, lorsque tout vecteur de $F_1+\cdots +F_p$ s'écrit d'une unique façon sous la forme $x_1+\cdots +x_p$ avec $x_i\in F_i$ pour tout $i$.

1. Dans $E={\mathbb{R}}^2$, on pose $D_1=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}((1,0))$, $D_2=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}((0,1))$ et $D_3=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}((1,1))$.

   a. Montrer que $D_i\cap D_j=\{0_E\}$ pour tous $i\mathrm{\ne }j$.

   b. Déterminer $D_1+D_2+D_3$, puis donner deux écritures différentes du vecteur $(1,1)$ sous la forme $x_1+x_2+x_3$ avec $x_i\in D_i$. La somme $D_1+D_2+D_3$ est-elle directe ?

2. Montrer que la somme $F_1+\cdots +F_p$ est directe si et seulement si la seule façon d'écrire $0_E=x_1+\cdots +x_p$ avec $x_i\in F_i$ pour tout $i$ est $x_1=\cdots =x_p=0_E$.

3. On note $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^3$. À l'aide de la question 2, montrer que ${\mathbb{R}}^3=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_1)\oplus \mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_2)\oplus \mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_3)$.

4. Soient $F_1$, $F_2$, $F_3$ trois sous-espaces de dimension finie de $E$ dont la somme est directe, et soit ${\mathcal{B}}_i$ une base de $F_i$. Montrer que la famille $\mathcal{B}$ obtenue en concaténant ${\mathcal{B}}_1$, ${\mathcal{B}}_2$ et ${\mathcal{B}}_3$ est une base de $F_1\oplus F_2\oplus F_3$, puis en déduire que $\dim (F_1\oplus F_2\oplus F_3)=\dim F_1+\dim F_2+\dim F_3$.

5. a. Montrer que ${\mathbb{R}}_3[X]=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(1)\oplus \mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(X)\oplus \mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(X^2)\oplus \mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(X^3)$.

   b. Écrire ${\mathbb{R}}_3[X]$ comme somme directe de deux plans, de deux façons différentes.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. On pose $f=\dim F$, $g=\dim G$ et $d=\dim (F\cap G)$.

1. On se donne une base $(e_1,\dots ,e_d)$ de $F\cap G$ (famille vide si $d=0$).

   a. Justifier qu'on peut la compléter en une base $(e_1,\dots ,e_d,u_{d+1},\dots ,u_f)$ de $F$ et en une base $(e_1,\dots ,e_d,v_{d+1},\dots ,v_g)$ de $G$.

   b. Montrer que la famille $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_d,u_{d+1},\dots ,u_f,v_{d+1},\dots ,v_g)$ est une base de $F+G$.

   c. En déduire la formule de Grassmann : $\dim (F+G)=\dim F+\dim G-\dim (F\cap G)$.

2. On suppose ici $\dim E=7$, $\dim F=4$ et $\dim G=5$.

   a. Montrer que $2⩽\dim (F\cap G)⩽4$ ; en particulier, $F\cap G\mathrm{\ne }\{0_E\}$.

   b. Montrer que ces trois valeurs sont effectivement possibles, en donnant un exemple dans ${\mathbb{R}}^7$ pour chacune.

3. Montrer que deux plans distincts de ${\mathbb{R}}^3$ se coupent selon une droite.

4. Montrer que $\dim (F+G)=\dim F+\dim G$ si et seulement si la somme $F+G$ est directe. En déduire que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ si et seulement si $F\cap G=\{0_E\}$ et $\dim F+\dim G=\dim E$.

Soient $n\in \mathbb{N}$ et $x_0<x_1<\cdots <x_n$ des réels (donc deux à deux distincts). On considère l'application

1. Montrer que $\mathrm{\Phi }$ est linéaire.

2. a. Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{\Phi }$.

   b. En déduire, à l'aide du théorème du rang, que $\mathrm{\Phi }$ est un isomorphisme.

3. Pour $k$ compris entre $0$ et $n$, on pose

a. Justifier que $L_k$ est bien défini, que $L_k\in {\mathbb{R}}_n[X]$, et montrer que $L_k(x_j)={\delta }_{j,k}$ pour tout $j$.

b. Montrer que $(L_0,\dots ,L_n)$ est une base de ${\mathbb{R}}_n[X]$, image réciproque par $\mathrm{\Phi }$ de la base canonique de ${\mathbb{R}}^{n+1}$.

4. Soit $(y_0,\dots ,y_n)\in {\mathbb{R}}^{n+1}$. Montrer qu'il existe un unique polynôme $P\in {\mathbb{R}}_n[X]$ tel que $P(x_i)=y_i$ pour tout $i$, et l'exprimer à l'aide des $L_k$. En déduire que tout $P\in {\mathbb{R}}_n[X]$ vérifie $P={\sum }_{k=0}^{n}P(x_k)L_k$.

5. Application. On prend $n=2$, $x_0=-1$, $x_1=0$, $x_2=2$, et on cherche $P\in {\mathbb{R}}_2[X]$ tel que $P(-1)=1$, $P(0)=1$ et $P(2)=7$. Calculer $L_0$, $L_1$, $L_2$, en déduire $P$, puis vérifier les trois valeurs.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n⩾1$ et soit $u\in \mathcal{L}(E)$. On note $u^2=u\circ u$ et, plus généralement, $u^k$ l'endomorphisme obtenu en composant $k$ fois $u$ avec lui-même, avec la convention $u^0={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$.

1. Montrer que $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u\subset \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{u}^2$ et que $\mathrm{I}\mathrm{m}{u}^2\subset \mathrm{I}\mathrm{m}u$.

2. À l'aide du théorème du rang appliqué à $u$ et à $u^2$, montrer que

3. Montrer que ces deux conditions équivalent encore à $E=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u\oplus \mathrm{I}\mathrm{m}u$.

4. On prend $E={\mathbb{R}}^2$ et $u(x,y)=(y,0)$. Déterminer $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$, $\mathrm{I}\mathrm{m}u$, $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{u}^2$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}{u}^2$, et vérifier sur cet exemple que $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}u$ ne sont pas supplémentaires dans $E$.

5. Pour $k\in \mathbb{N}$, on pose $N_k=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{u}^k$.

   a. Montrer que $N_k\subset N_{k+1}$ pour tout $k$.

   b. Montrer que s'il existe $r$ tel que $N_r=N_{r+1}$, alors $N_k=N_r$ pour tout $k⩾r$.

   c. Montrer qu'un tel entier $r$ existe, avec $r⩽n$.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n⩾1$. On appelle forme linéaire sur $E$ une application linéaire de $E$ dans $\mathbb{K}$, et hyperplan de $E$ un sous-espace vectoriel de dimension $n-1$.

1. Soit $\phi$ une forme linéaire non nulle sur $E$. Montrer que $\phi$ est surjective, puis que $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi$ est un hyperplan de $E$.

2. On suppose $n⩾2$. Soient $H_1$ et $H_2$ deux hyperplans distincts de $E$. Montrer que $H_1+H_2=E$, puis que $\dim (H_1\cap H_2)=n-2$.

3. Soient $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $H_1,\dots ,H_p$ des hyperplans de $E$. Montrer par récurrence sur $p$ que

4. Application dans $E={\mathbb{R}}^4$. On note $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ et on pose

Justifier que $H_1$ et $H_2$ sont deux hyperplans distincts, déterminer une base de $H_1\cap H_2$ et vérifier la dimension prévue par la question 2.

5. Réciproquement, soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $n-1$. Montrer qu'il existe une forme linéaire non nulle $\phi$ sur $E$ telle que $F=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi$.

Soient $E$, $F$ et $G$ trois $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie, $u\in \mathcal{L}(E,F)$ et $v\in \mathcal{L}(F,G)$.

1. Montrer l'équivalence

   $$v\circ u=0⟺\mathrm{I}\mathrm{m}u\subset \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}v\mathrm{.}$$

2. En déduire que si $v\circ u=0$, alors $\mathrm{r}\mathrm{g}(u)+\mathrm{r}\mathrm{g}(v)⩽\dim F$.

3. Soit $u\in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme vérifiant $u^2=0$. Montrer que $\mathrm{r}\mathrm{g}(u)⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}\dim E$.

4. Donner, pour $\dim E=2$ puis pour $\dim E=4$, un exemple explicite d'endomorphisme $u$ tel que $u^2=0$ et $\mathrm{r}\mathrm{g}(u)={\displaystyle \frac{1}{2}}\dim E$ : la majoration de la question 3 est donc optimale.

5. On revient à $u\in \mathcal{L}(E,F)$ et $v\in \mathcal{L}(F,G)$. Montrer que si $\mathrm{I}\mathrm{m}u\subset \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}v$ et $\dim F=\mathrm{r}\mathrm{g}(u)+\mathrm{r}\mathrm{g}(v)$, alors $\mathrm{I}\mathrm{m}u=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}v$.

Soient $a$ et $b$ deux réels avec $b\mathrm{\ne }0$. On note $\mathcal{E}$ l'ensemble des suites réelles $u=(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ vérifiant

Le but de l'exercice est de retrouver, par l'algèbre linéaire seule, le résultat connu sur ces suites.

1. Montrer que $\mathcal{E}$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$.

2. Montrer que l'application $\mathrm{\Phi }:\mathcal{E}\to {\mathbb{R}}^2$, $u\mapsto (u_0,u_1)$, est un isomorphisme. En déduire $\dim \mathcal{E}=2$.

3. Dans cette question et la suivante, $a=5$ et $b=-6$, c'est-à-dire $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$. Vérifier que les suites géométriques $(2^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $(3^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ appartiennent à $\mathcal{E}$, puis montrer qu'elles en forment une base.

4. Donner le terme général de la suite $u\in \mathcal{E}$ définie par $u_0=1$ et $u_1=0$, puis contrôler le résultat en calculant $u_2$ et $u_3$ de deux façons.

5. On prend maintenant $a=4$ et $b=-4$, c'est-à-dire $u_{n+2}=4u_{n+1}-4u_n$. Montrer que la famille $\left(\right(2^n{)}_{n\in \mathbb{N}},\left(n{2}^n{)}_{n\in \mathbb{N}}\right)$ est une base de $\mathcal{E}$.