Devoir surveillé — Espaces vectoriels et applications linéaires

Consignes valables pour tout le sujet. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix ; à l'intérieur d'un exercice, en revanche, les questions s'enchaînent. La calculatrice n'est pas autorisée. La rédaction, la justification des étapes et la présence d'une conclusion explicite sont notées au même titre que les résultats. Dans tout le sujet, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et « espace vectoriel » signifie « $\mathbb{K}$-espace vectoriel ».

Chacune des cinq affirmations suivantes est soit vraie, soit fausse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point : on attend une démonstration lorsque l'affirmation est vraie, un contre-exemple entièrement explicité lorsqu'elle est fausse.

1. (0,6 pt) Si quatre vecteurs $v_1$, $v_2$, $v_3$, $v_4$ de ${\mathbb{R}}^4$ vérifient $v_1+v_2+v_3+v_4=0_{{\mathbb{R}}^4}$, alors la famille $(v_1,v_2,v_3,v_4)$ n'est pas génératrice de ${\mathbb{R}}^4$.

2. (0,6 pt) Si $(x,y,z)$ est une famille libre d'un espace vectoriel $E$, alors la famille $(x+y,y+z,z+x)$ est libre.

3. (0,6 pt) Il existe un endomorphisme $u$ de ${\mathbb{R}}^3$ tel que $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u=\mathrm{I}\mathrm{m}u$.

4. (0,6 pt) Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension finie, $u\in \mathcal{L}(E,F)$ et $(e_1,\dots ,e_n)$ une base de $E$. Alors $(u\left(e_1\right),\dots ,u\left(e_n\right))$ est une base de $\mathrm{I}\mathrm{m}u$.

5. (0,6 pt) Dans ${\mathbb{R}}^3$, un plan vectoriel admet un unique supplémentaire.

On note $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonique de ${\mathbb{R}}^4$ et on pose

$$a_1=(1,0,1,0),a_2=(0,1,0,1),b_1=(1,1,0,0),b_2=(0,0,1,1),$$

puis $F=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(a_1,a_2)$ et $G=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(b_1,b_2)$.

1. (0,5 pt) Démontrer que $(a_1,a_2)$ et $(b_1,b_2)$ sont libres. En déduire $\dim F$ et $\dim G$.

2. (0,75 pt) Déterminer $F\cap G$ : on en donnera une base et la dimension. En déduire $\dim (F+G)$ par la formule de Grassmann. Les sous-espaces $F$ et $G$ sont-ils supplémentaires dans ${\mathbb{R}}^4$ ?

3. (1 pt) Pour $a\in \mathbb{R}$, on pose $H_a=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_1,e_2+a{e}_3)$. Démontrer que $H_a$ est un plan de ${\mathbb{R}}^4$, puis déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles $H_a$ est un supplémentaire de $F$ dans ${\mathbb{R}}^4$, et celles pour lesquelles $H_a$ est un supplémentaire de $G$. Commenter le résultat obtenu, sachant que $F$ et $G$, eux, ne sont pas supplémentaires l'un de l'autre.

4. (0,75 pt) On note désormais $H=H_1=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(e_1,e_2+e_3)$, et $p$ le projecteur sur $F$ parallèlement à $H$. Calculer $p(x,y,z,t)$ pour tout $(x,y,z,t)\in {\mathbb{R}}^4$.

5. (0,5 pt) Décrire l'ensemble $\mathcal{A}=\{v\in {\mathbb{R}}^4;p(v)=a_1\}$ en précisant sa nature et sa dimension.

6. (0,5 pt) Démontrer que la restriction de $p$ à $G$ est un isomorphisme de $G$ sur $F$. (On pourra utiliser la question 3.)

Soit $n$ un entier tel que $n⩾3$. Pour $x=(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$, on pose

$$u(x)=(x_1+x_2,x_2+x_3,\dots ,x_{n-1}+x_n,x_n+x_1),$$

autrement dit $u(x{)}_k=x_k+x_{k+1}$ pour $1⩽k⩽n-1$, et $u(x{)}_n=x_n+x_1$ : chaque coordonnée est la somme de deux coordonnées consécutives, la dernière « bouclant » sur la première.

1. (0,5 pt) Démontrer que $u$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}^n$. Calculer $u(x)$ pour $n=4$ et $x=(1,2,3,4)$.

2. (1 pt) Soit $x\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$. Démontrer que $x_k=(-1{)}^{k-1}{x}_1$ pour tout $k\in \{1,\dots ,n\}$, puis que $((-1{)}^{n-1}+1)x_1=0$. En déduire $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ en discutant selon la parité de $n$.

3. (0,5 pt) En déduire, selon la parité de $n$, le rang de $u$ et si $u$ est bijective.

4. (0,75 pt) On suppose dans cette question $n$ pair. On pose

$$\phi :{\mathbb{R}}^n⟶\mathbb{R},y⟼\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}{y}_k=y_1-y_2+y_3-\cdots -y_n\mathrm{.}$$

Démontrer que $\phi$ est une forme linéaire non nulle, puis que $\mathrm{I}\mathrm{m}u=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi$.

5. (0,75 pt) On prend $n=4$. Résoudre l'équation $u(x)=(1,3,5,3)$ d'inconnue $x\in {\mathbb{R}}^4$, et décrire l'ensemble des solutions en précisant sa nature, un point et sa direction.

6. (0,5 pt) On prend $n=3$. Démontrer que $u$ est bijective et calculer $u^{-1}(y)$ pour tout $y\in {\mathbb{R}}^3$.

Soient $F$, $G$ et $H$ trois sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel $E$.

1. (0,5 pt) Démontrer l'inclusion

$$(F\cap G)+(F\cap H)\subset F\cap (G+H)\mathrm{.}$$

2. (0,75 pt) Dans $E={\mathbb{R}}^2$, on pose $F=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}((1,1))$, $G=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}((1,0))$ et $H=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}((0,1))$. Déterminer les deux membres de l'inclusion précédente. Que peut-on en conclure ?

3. (1 pt) On suppose maintenant $H\subset F$. Démontrer l'égalité

$$F\cap (G+H)=(F\cap G)+H\mathrm{.}$$

4. (0,75 pt) On suppose que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$, et l'on se donne un sous-espace vectoriel $H$ de $E$ contenant $F$. Démontrer que

$$H=F\oplus (G\cap H)\mathrm{.}$$

Illustrer ce résultat avec $E={\mathbb{R}}_3[X]$, $F={\mathbb{R}}_1[X]$, $G=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(X^2,X^3)$ et $H={\mathbb{R}}_2[X]$.

Dans tout le problème, $E$ désigne un espace vectoriel de dimension finie $n⩾2$. Pour $\lambda \in \mathbb{K}$, on note $h_{\lambda }=\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ l'homothétie de rapport $\lambda$, c'est-à-dire l'endomorphisme $x\mapsto \lambda x$. On rappelle qu'un sous-espace vectoriel $V$ de $E$ est dit stable par $u\in \mathcal{L}(E)$ lorsque $u(V)\subset V$, et qu'un hyperplan de $E$ est un sous-espace vectoriel de dimension $n-1$.

Le problème établit qu'une homothétie se reconnaît à des propriétés qui, à première vue, ne disent rien de la forme de l'endomorphisme. La partie A est utilisée par les parties B et C, qui sont indépendantes l'une de l'autre.

Partie A — Un endomorphisme qui fixe toutes les directions

Dans cette partie, $u$ désigne un endomorphisme de $E$ tel que, pour tout $x\in E$, la famille $(x,u(x))$ soit liée.

1. (0,25 pt) Soit $x\in E$ non nul. Démontrer qu'il existe un unique scalaire, noté ${\lambda }_x$, tel que $u(x)={\lambda }_{x}x$.

2. (0,75 pt) Soient $x$ et $y$ deux vecteurs non nuls tels que la famille $(x,y)$ soit libre. En appliquant la question 1. au vecteur $x+y$, démontrer que ${\lambda }_x={\lambda }_y$.

3. (0,5 pt) Soient $x$ et $y$ deux vecteurs non nuls tels que la famille $(x,y)$ soit liée. Démontrer que là encore ${\lambda }_x={\lambda }_y$.

4. (0,5 pt) Conclure que $u$ est une homothétie. Après avoir vérifié la réciproque, énoncer l'équivalence obtenue.

Partie B — Les endomorphismes qui commutent avec tous les autres

On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des endomorphismes de $E$ qui commutent avec tous les autres :

$$\mathcal{C}=\{u\in \mathcal{L}(E);\mathrm{\forall }v\in \mathcal{L}(E),u\circ v=v\circ u\}\mathrm{.}$$

5. (0,5 pt) Démontrer que $\mathcal{C}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$ et qu'il contient toutes les homothéties.

6. (0,75 pt) Soit $x$ un vecteur non nul de $E$. Démontrer qu'il existe un hyperplan $W$ de $E$ tel que $E=\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(x)\oplus W$. On note alors $p$ le projecteur sur $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(x)$ parallèlement à $W$ ; préciser $p(x)$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}p$.

7. (0,75 pt) Soient $u\in \mathcal{C}$ et $x$ un vecteur non nul de $E$. En utilisant le projecteur $p$ de la question 6., démontrer que $u(x)\in \mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(x)$.

8. (0,5 pt) En déduire $\mathcal{C}$, puis $\dim \mathcal{C}$.

Partie C — Deux variantes

Les deux questions de cette partie sont indépendantes entre elles. La première mesure la solidité de l'hypothèse de la partie A, la seconde en donne une autre version.

9. (0,5 pt) On prend $E={\mathbb{R}}^2$, muni de sa base canonique $(e_1,e_2)$, et $u(x,y)=(x,2y)$. Vérifier que les familles $(e_1,u\left(e_1\right))$ et $(e_2,u\left(e_2\right))$ sont liées, et que pourtant $u$ n'est pas une homothétie. Quelle hypothèse de la partie A est en défaut ? On l'illustrera par un vecteur explicite.

10. (1 pt) Soit $u\in \mathcal{L}(E)$ tel que tout hyperplan de $E$ soit stable par $u$. Démontrer que $u$ est une homothétie.