Exercices — Calcul matriciel et systèmes linéaires

On considère les matrices

de sorte que $A$ et $B$ appartiennent à ${\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$, et $C$ à ${\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{R})$.

1. Calculer les matrices suivantes :

   a. $A+B$

   b. $2A-3B$

   c. $AC$

   d. $CA$

2. Comparer les tailles de $AC$ et de $CA$. L'égalité $AC=CA$ a-t-elle un sens ici ?

3. Calculer $(AC{)}^2$.

4. Écrire la matrice ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}B$, puis calculer $A{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}B$.

5. Vérifier sur cet exemple l'égalité de distributivité $A(C+{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}B)=AC+A{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}B$.

1. Soient $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, $B\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$, $C\in {\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{R})$ et $D\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Pour chacun des produits suivants, dire s'il est défini et, le cas échéant, préciser la taille du résultat.

   a. $AB$

   b. $BA$

   c. $BC$

   d. $CD$

   e. $DC$

   f. $CAB$

2. On pose

   $$P=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\text{et}Q=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

   Calculer $PQ$ et $QP$, et conclure quant à la commutativité du produit dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

3. Exhiber deux matrices $R$ et $S$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, toutes deux non nulles, telles que $RS=0_2$. Expliquer la démarche qui permet d'en construire.

4. Avec les matrices $P$ et $Q$ de la question 2, calculer $(P+Q{)}^2$ et $P^2+2PQ+Q^2$. Sont-elles égales ? Sous quelle condition sur deux matrices $M$ et $N$ de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ a-t-on $(M+N{)}^2=M^2+2MN+N^2$ ?

1. Écrire les transposées des trois matrices

   $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 5\\ 0& 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -3& 0\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 4\end{array}\right)\mathrm{.}$$

2. Parmi les cinq matrices suivantes, dire lesquelles sont symétriques, lesquelles sont antisymétriques, lesquelles ne sont ni l'une ni l'autre, en justifiant chaque réponse en une ligne.

   $$M_1=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -3\end{array}\right),M_2=\left(\begin{array}{cc}0& 5\\ -5& 0\end{array}\right),M_3=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\right),M_4=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -2\\ -1& 0& 3\\ 2& -3& 0\end{array}\right),M_5=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& -1& 4\\ 1& 4& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

3. On pose $U=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)$ et $V=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 2\end{array}\right)$. Vérifier sur cet exemple que ${}^t(UV)={}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}V{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}U$, et que l'égalité ${}^t(UV)={}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}U{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}V$ est fausse en général.

4. Soit $M\in {\mathcal{A}}_n(\mathbb{K})$ une matrice antisymétrique. Montrer que tous ses coefficients diagonaux sont nuls.

5. Soit $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $M+{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}M$ est symétrique et que $M-{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}M$ est antisymétrique.

On travaille dans ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ et l'on pose

1. Calculer $D{D}^{\mathrm{\prime }}$. Puis, pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, écrire la matrice $D^k$.

2. Calculer $TU$. Vérifier que le résultat est triangulaire supérieur et que ses coefficients diagonaux sont les produits des coefficients diagonaux de $T$ et de $U$.

3. Calculer $N^2$ et $N^3$. Que peut-on en conclure sur $N$ dans l'anneau ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ ?

4. En utilisant la formule du binôme, calculer $(I_3+N{)}^3$.

5. Soient $F$, $G$ et $H$ trois matrices triangulaires inférieures de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Sans aucun calcul, dire si le produit $FGH$ est triangulaire inférieur, et justifier.

On rappelle que, dans ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$, la matrice élémentaire $E_{i,j}$ est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui d'indice $(i,j)$ qui vaut $1$.

1. Écrire explicitement les matrices $E_{1,2}$ et $E_{2,3}$ de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$.

2. Toutes les matrices élémentaires ci-dessous appartiennent à ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Calculer les produits suivants :

   a. $E_{1,2}{E}_{2,3}$

   b. $E_{2,3}{E}_{1,2}$

   c. $E_{1,2}{E}_{1,2}$

   d. $E_{2,3}{E}_{3,1}$

   e. $E_{1,1}{E}_{1,3}$

   f. $E_{3,1}{E}_{1,3}$

   En déduire, ou retrouver, la formule générale donnant $E_{i,j}{E}_{k,l}$ à l'aide du symbole de Kronecker ${\delta }_{j,k}$.

3. Décomposer la matrice $M=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 3& 5& 0\end{array}\right)$ de ${\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$ en combinaison linéaire de matrices élémentaires.

4. On pose $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$. Calculer $E_{1,2}A$ et $A{E}_{1,2}$, puis décrire en français l'effet de chacune de ces deux multiplications.

On considère les quatre matrices de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$

1. Pour chacune d'elles, calculer le nombre $ad-bc$, dire si la matrice appartient à ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{R})$ et, lorsque c'est le cas, écrire son inverse.

2. Vérifier par le calcul, dans les deux sens, que la matrice trouvée à la question précédente est bien l'inverse de $A_1$.

3. Résoudre l'équation matricielle $A_{1}X=B$, d'inconnue $X\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$, où $B=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$.

4. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $A\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$. Montrer que ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$ est inversible et que $({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A{)}^{-1}={}^t(A^{-1})$. Illustrer sur $A_1$.

On considère les trois systèmes d'inconnue $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$ suivants :

1. Résoudre $(S_1)$ par la méthode du pivot, en indiquant à chaque étape l'opération élémentaire effectuée.

2. Résoudre de même $(S_2)$.

3. Résoudre de même $(S_3)$, et décrire l'ensemble de ses solutions à l'aide d'un paramètre.

4. Interpréter géométriquement les trois résultats obtenus, chaque équation étant celle d'un plan de ${\mathbb{R}}^3$.

On considère le système d'inconnue $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$

1. Écrire $(S)$ sous la forme matricielle $AX=B$, en précisant les matrices $A$, $X$ et $B$ ainsi que l'ensemble auquel chacune appartient.

2. Écrire le système homogène $(S_0)$ associé à $(S)$, puis le résoudre par la méthode du pivot.

3. Vérifier que le triplet $(2,1,1)$ est solution de $(S)$. En déduire, à l'aide de la question 2, l'ensemble de toutes les solutions de $(S)$.

4. La matrice colonne $B$ est-elle combinaison linéaire des colonnes de $A$ ? Pourquoi cette réponse était-elle prévisible ?

On considère les matrices

1. Calculer l'inverse de $A$ par la méthode du pivot, en détaillant chaque opération élémentaire employée.

2. Vérifier le résultat obtenu en calculant les deux produits $A{A}^{-1}$ et $A^{-1}A$.

3. En déduire l'unique solution du système $AX=B$.

4. Appliquer la même méthode à la matrice $C$. Constater que le calcul échoue, dire précisément ce que l'on obtient, et démontrer que $C$ n'est pas inversible.

On considère la matrice

1. Écrire $A=I_3+N$, où l'on précisera $N$, puis calculer $N^2$ et $N^3$.

2. Justifier que la formule du binôme s'applique au couple $(I_3,N)$, puis calculer $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

3. Contrôler la formule obtenue pour $n=2$ et $n=3$ en calculant directement $A^2$ et $A^3$.

4. La matrice $A$ est-elle inversible ? Son inverse s'obtient-il en remplaçant $n$ par $-1$ dans la formule de la question 2 ?

5. Mêmes questions de puissances pour $B=2I_3+N$ : calculer $B^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

On considère la matrice

1. Calculer $A^2$ et vérifier l'égalité $A^2-4A+3I_3=0_3$.

2. En déduire que $A$ est inversible, exprimer $A^{-1}$ en fonction de $A$ et de $I_3$, puis donner explicitement les coefficients de $A^{-1}$.

3. Exprimer $A^3$, puis $A^4$, en fonction de $A$ et de $I_3$.

4. Montrer par récurrence qu'il existe deux suites réelles $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que $A^n=a_{n}A+b_n{I}_3$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Préciser les relations de récurrence qui les définissent, puis calculer $a_n$ et $b_n$ explicitement.

5. Contrôler la cohérence de la formule obtenue pour $n=2$.

Dans tout l'exercice, $n⩾1$ et $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On rappelle qu'une matrice $N\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est dite nilpotente lorsqu'il existe $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $N^p=0_n$.

1. Exhiber deux matrices $A$ et $B$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, toutes deux non nulles, telles que $AB=0_2$ et $BA\mathrm{\ne }{0}_2$.

2. En déduire que, dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, l'égalité $AB=AC$ avec $A\mathrm{\ne }{0}_2$ n'entraîne pas $B=C$ : on donnera un contre-exemple explicite.

3. Soit $N\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ nilpotente. Montrer que $N$ n'est pas inversible.

4. a. Donner deux matrices nilpotentes de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ dont la somme n'est pas nilpotente.

   b. Montrer que si $N$ et $P$ sont deux matrices nilpotentes qui commutent, alors $N+P$ est nilpotente.

5. Soit $N\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ nilpotente et $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ telle que $AN=NA$. Montrer que $AN$ est nilpotente.

On rappelle qu'une matrice $S\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est dite symétrique lorsque ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}S=S$, antisymétrique lorsque ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}S=-S$ ; on note ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ et ${\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$ les ensembles correspondants.

1. Écrire la matrice

   $$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 1& 2& 4\\ 3& 2& 7\end{array}\right)$$

   comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.

2. Démontrer que toute matrice $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ s'écrit d'une manière et d'une seule sous la forme $M=S+A$ avec $S\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ et $A\in {\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$.

3. Soient $B$ et $C$ deux matrices symétriques de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $BC$ est symétrique si et seulement si $BC=CB$.

4. Montrer que pour toute matrice $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, les matrices ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}MM$ et $M{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}M$ sont symétriques.

5. Soit $A\in {\mathcal{A}}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $A^2$ est symétrique, puis, plus généralement, que $A^{2k}$ est symétrique et $A^{2k+1}$ antisymétrique pour tout $k\in \mathbb{N}$.

Soit $n⩾2$. On note $J\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$, et, pour $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$, on pose $M(a,b)=a{I}_n+bJ$.

1. Calculer $J^2$ en raisonnant sur les coefficients, puis en déduire $J^k$ pour tout $k⩾1$.

2. Calculer $M(a,b{)}^2$, puis le produit $M(a,b)M(a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }})$. Qu'en conclure pour l'ensemble $\mathcal{E}=\{M(a,b);(a,b)\in {\mathbb{R}}^2\}$ ?

3. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur $a$ et $b$ pour que $M(a,b)$ soit inversible, et donner alors son inverse sous la forme $\alpha I_n+\beta J$.

4. Application numérique : inverser la matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ dont les coefficients diagonaux valent $3$ et dont tous les autres coefficients valent $1$.

Soit $n⩾1$. On note ${\mathcal{T}}_n^{+}(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices triangulaires supérieures de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, c'est-à-dire des matrices $A=(a_{i,j})$ telles que $a_{i,j}=0$ dès que $i>j$.

1. Soient $A$ et $B$ dans ${\mathcal{T}}_n^{+}(\mathbb{R})$. Montrer que $A+B$ et $AB$ appartiennent encore à ${\mathcal{T}}_n^{+}(\mathbb{R})$, et que les coefficients diagonaux de $AB$ sont les produits $a_{i,i}{b}_{i,i}$.

2. En déduire que ${\mathcal{T}}_n^{+}(\mathbb{R})$ est un sous-anneau de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

Dans les questions 3 et 4, on prend $n=3$ et l'on considère

3. On suppose que l'un au moins des trois coefficients $a$, $d$, $f$ est nul. En résolvant le système $TX=0$, montrer que $T$ n'est pas inversible.

4. On suppose maintenant $a$, $d$ et $f$ tous non nuls. Résoudre le système $TX=Y$ d'inconnue $X$, puis en déduire que $T$ est inversible et que $T^{-1}$ est triangulaire supérieure.

5. Que peut-on dire de l'ensemble des matrices triangulaires supérieures inversibles vis-à-vis du produit ?

On travaille dans ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, dont on note $(E_{i,j}{)}_{1⩽i,j⩽3}$ les matrices élémentaires. Pour $\lambda \in \mathbb{R}$ et $\mu \in {\mathbb{R}}^{\ast }$, on pose

et on note $P_{1,3}$ la matrice obtenue en échangeant les lignes $1$ et $3$ de $I_3$. On considère enfin

1. Écrire explicitement les trois matrices $T_{2,1}(\lambda )$, $D_2(\mu )$ et $P_{1,3}$.

2. Calculer $T_{2,1}(\lambda )A$, $D_2(\mu )A$ et $P_{1,3}A$, puis décrire en français l'effet de chacun de ces produits sur les lignes de $A$.

3. Calculer $A{T}_{2,1}(\lambda )$. Constater que l'effet porte cette fois sur les colonnes, et préciser laquelle.

4. Montrer que $T_{2,1}(\lambda )$, $D_2(\mu )$ et $P_{1,3}$ sont inversibles, en exhibant leur inverse et en vérifiant les deux produits.

5. En déduire que si $M\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ est inversible et si $M^{\mathrm{\prime }}$ se déduit de $M$ par une opération élémentaire sur les lignes, alors $M^{\mathrm{\prime }}$ est inversible.

Soit $m\in \mathbb{R}$. On considère le système d'inconnue $(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3$

1. Résoudre $(S_m)$ par la méthode du pivot, en discutant selon la valeur de $m$. On signalera soigneusement chaque division par une quantité susceptible d'être nulle.

2. Donner explicitement l'ensemble ${\mathcal{S}}_m$ des solutions dans chacun des cas rencontrés.

3. Dans le cas où $(S_m)$ admet une unique solution, écrire celle-ci en fonction de $m$ et vérifier le résultat obtenu en le reportant dans les trois équations.

4. Interpréter géométriquement les trois cas, chaque équation de $(S_m)$ étant celle d'un plan de ${\mathbb{R}}^3$.

Dans tout l'exercice, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On pose

1. Soit $M=(m_{i,j})\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{K})$. Calculer les coefficients de $DM$ et ceux de $MD$.

2. En déduire que $DM=MD$ si et seulement si $M$ est diagonale.

3. Généraliser : soit $D=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(d_1,\dots ,d_n)\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ dont les coefficients diagonaux sont deux à deux distincts. Montrer que les matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ qui commutent avec $D$ sont exactement les matrices diagonales.

4. Montrer que la conclusion tombe en défaut si deux coefficients diagonaux sont égaux : pour $D^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,1,2)$, décrire l'ensemble des matrices de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{K})$ qui commutent avec $D^{\mathrm{\prime }}$ et en exhiber une qui ne soit pas diagonale.

5. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ quelconque. On note $\mathcal{C}(A)=\{M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K});AM=MA\}$. Vérifier que $\mathcal{C}(A)$ contient $I_n$ et qu'il est stable par somme et par produit.

Soient $u_0$ et $v_0$ deux réels. On définit deux suites réelles $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ par la donnée de $u_0$, $v_0$ et les relations, valables pour tout $n\in \mathbb{N}$,

1. Écrire cette récurrence sous la forme $X_{n+1}=A{X}_n$, où $X_n=\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)$ et où $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ est à préciser.

2. Montrer par récurrence que $X_n=A^n{X}_0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

3. Écrire $A$ sous la forme $A=3I_2+N$ avec $N$ nilpotente, puis calculer $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ à l'aide de la formule du binôme. On justifiera soigneusement que celle-ci s'applique.

4. En déduire les expressions explicites de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$, $u_0$ et $v_0$.

5. Vérifier ces expressions pour $n=1$ et $n=2$ directement sur la récurrence, puis déterminer, lorsque $v_0\mathrm{\ne }0$, la limite éventuelle de ${\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}$.

On considère la matrice $A\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$ et les deux colonnes $B_1,B_2\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$ définies par

L'inconnue est la colonne

il y a donc quatre inconnues pour trois équations.

1. Résoudre le système homogène $AX=0$ et décrire son ensemble de solutions à l'aide de deux paramètres.

2. Le système $AX=B_1$ est-il compatible ? Répondre en écrivant explicitement $B_1$ comme combinaison linéaire des colonnes de $A$.

3. Résoudre $AX=B_1$ et vérifier sur le résultat la structure « une solution particulière plus les solutions du système homogène associé ».

4. Montrer que le système $AX=B_2$ est incompatible, en menant le pivot jusqu'à une équation absurde.

5. Question de synthèse : pour une colonne $B$ de coefficients $b_1$, $b_2$, $b_3$, à quelle condition portant sur ces coefficients le système $AX=B$ est-il compatible ?

Pour $\theta \in \mathbb{R}$, on pose

1. Soient $\theta ,{\theta }^{\mathrm{\prime }}\in \mathbb{R}$. Calculer le produit $R(\theta )R({\theta }^{\mathrm{\prime }})$ et reconnaître $R(\theta +{\theta }^{\mathrm{\prime }})$.

2. En déduire que $R(\theta )$ est inversible et donner son inverse. Comparer ce dernier à ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}R(\theta )$.

3. Calculer $R(\theta {)}^n$ pour tout $n\in \mathbb{Z}$, et retrouver la formule de Moivre.

4. Montrer que $G$ est un groupe pour le produit matriciel, et qu'il est commutatif.

5. Soit $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ fixé. Déterminer les réels $\theta$ tels que $R(\theta {)}^k=I_2$, et faire le lien avec les racines $k$-ièmes de l'unité.

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Pour $i$ et $j$ compris entre $1$ et $n$, on note $E_{i,j}\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ la matrice élémentaire dont le coefficient d'indice $(k,l)$ vaut ${\delta }_{i,k}{\delta }_{j,l}$ : tous ses coefficients sont nuls, sauf celui de la position $(i,j)$, égal à $1$. Une matrice de la forme $\lambda I_n$, avec $\lambda \in \mathbb{K}$, est dite scalaire.

Soit $M=(m_{i,j})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

1. Soient $i$ et $j$ compris entre $1$ et $n$. Calculer le coefficient d'indice $(k,l)$ de $M{E}_{i,j}$, puis celui de $E_{i,j}M$, en fonction des coefficients de $M$. Interpréter ces deux produits en termes de colonnes et de lignes de $M$.

2. On suppose dans les questions 2 et 3 que $MA=AM$ pour toute matrice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. En écrivant l'égalité $M{E}_{i,j}=E_{i,j}M$ coefficient par coefficient, montrer que $m_{k,i}=0$ pour tout $k\mathrm{\ne }i$, et que $m_{i,i}=m_{j,j}$.

3. En déduire que $M$ est scalaire, puis vérifier la réciproque.

4. On suppose maintenant seulement que $M$ commute avec toutes les matrices inversibles de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. Montrer que, pour $i\mathrm{\ne }j$, la matrice $I_n+E_{i,j}$ est inversible, en exhibant son inverse. En déduire que $M$ est encore scalaire.

5. Application. Déterminer toutes les matrices $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ qui commutent à la fois avec

On considère la matrice de décalage

dont les seuls coefficients non nuls sont $n_{1,2}=n_{2,3}=1$. On appelle commutant de $N$ l'ensemble

1. Calculer $N^2$ et $N^3$.

2. Soit $M=(m_{i,j})\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Calculer les produits $MN$ et $NM$, puis déterminer, par identification des coefficients, toutes les matrices $M$ appartenant à $\mathcal{C}(N)$.

3. En déduire que $\mathcal{C}(N)$ est exactement l'ensemble des matrices $a{I}_3+bN+c{N}^2$, où $(a,b,c)$ décrit ${\mathbb{R}}^3$.

4. Calculer le produit de deux éléments de $\mathcal{C}(N)$ et en déduire que $\mathcal{C}(N)$ est stable par produit. Ce produit est-il commutatif ?

5. Déterminer les éléments inversibles de $\mathcal{C}(N)$, et donner l'inverse de $I_3+N$ sous la forme $a{I}_3+bN+c{N}^2$.

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Une matrice $N\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est dite nilpotente d'indice $p$ (avec $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) lorsque $N^p=0$ et $N^{p-1}\mathrm{\ne }0$. Dans tout l'exercice, $N$ désigne une telle matrice.

1. Montrer que $I_n-N$ est inversible, en exhibant une matrice $S$ telle que $(I_n-N)S=S(I_n-N)=I_n$, et donner la formule obtenue.

2. Montrer de même que $I_n+N$ est inversible et donner son inverse.

3. Soit $A\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ telle que $AN=NA$. Montrer d'abord que $A^{-1}N=N{A}^{-1}$, puis que $A^{-1}N$ est nilpotente, et en déduire que $A+N$ est inversible.

4. Montrer que l'hypothèse de commutation ne peut pas être supprimée : exhiber $A\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{R})$ et $N\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ nilpotente, ne commutant pas, telles que $A+N$ ne soit pas inversible.

5. Application. Inverser par cette méthode la matrice

On considère la matrice

1. On pose $N=A-2I_3$. Écrire $N$, calculer $N^2$ et $N^3$, et vérifier que $N$ est nilpotente d'indice $3$.

2. Calculer $A^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ à l'aide de la formule du binôme, dont on justifiera soigneusement l'emploi. On donnera le résultat sous la forme d'une combinaison linéaire de $I_3$, $N$ et $N^2$, puis explicitement.

3. Vérifier le résultat obtenu pour $n=2$ par un calcul direct de $A^2$.

4. La matrice $A$ est-elle inversible ? Donner $A^{-1}$, et vérifier que la formule de la question 2 reste valable pour $n=-1$.

5. Application. On considère les trois suites réelles $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ définies par $u_0=v_0=w_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

En posant $X_n=\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\\ w_n\end{array}\right)$, exprimer $X_n$ en fonction de $A$, $n$ et $X_0$, en déduire les expressions explicites de $u_n$, $v_n$ et $w_n$, puis donner un équivalent de $u_n$ lorsque $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

Pour $(a,b)\in {\mathbb{R}}^{\ast }\times \mathbb{R}$, on pose

1. Calculer $M(a,b)M(a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }})$ pour $(a,b)$ et $(a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }})$ dans ${\mathbb{R}}^{\ast }\times \mathbb{R}$, et vérifier que le produit appartient encore à $G$.

2. Montrer que $M(a,b)$ est inversible et que son inverse appartient à $G$ : on exhibera un couple $(a^{\mathrm{\prime }},b^{\mathrm{\prime }})$ explicite et on vérifiera les deux produits.

3. En déduire que $G$ est un sous-groupe de $({\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{R}),\times )$.

4. Le groupe $G$ est-il commutatif ? Justifier par un contre-exemple, puis déterminer tous les éléments de $G$ qui commutent avec tous les autres.

5. On pose $H=\{M(1,b);b\in \mathbb{R}\}$. Montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$ et que l'application $\phi :b⟼M(1,b)$ est un isomorphisme de $(\mathbb{R},+)$ sur $(H,\times )$.

On considère le système homogène de trois équations aux quatre inconnues réelles $x$, $y$, $z$, $t$ :

On note $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& -1\\ 2& -1& 1& 1\\ 4& 1& 5& -1\end{array}\right)$ et $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ t\end{array}\right)$, de sorte que $(S_0)$ s'écrit $AX=0$.

1. Résoudre $(S_0)$ par la méthode du pivot, en indiquant les opérations élémentaires effectuées, et décrire l'ensemble des solutions à l'aide de deux paramètres, sous forme de colonnes.

2. Montrer, directement à partir de l'écriture $AX=0$, que toute combinaison linéaire de deux solutions de $(S_0)$ est encore solution de $(S_0)$.

3. Soit $B=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur $b_1$, $b_2$, $b_3$ pour que le système $AX=B$ soit compatible.

4. Résoudre $AX=B$ pour $B=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 5\end{array}\right)$, et écrire l'ensemble des solutions sous la forme « une solution particulière plus les solutions du système homogène associé ».

5. On ajoute à $(S_0)$ une quatrième équation $c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}t=0$, où $(c_1,c_2,c_3,c_4)\in {\mathbb{R}}^4$. Le système obtenu peut-il admettre une unique solution ? Démontrer la réponse. Combien faut-il alors ajouter d'équations au minimum pour obtenir l'unicité ? On donnera un exemple.

On pose

On appelle racine carrée d'une matrice $B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ toute matrice $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ telle que $M^2=B$.

Préliminaire. Vérifier, en calculant séparément les deux membres, que toute matrice $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ satisfait l'identité

1. Montrer que si $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ vérifie $M^2=A$, alors $MA=AM$.

2. Déterminer toutes les matrices de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ qui commutent avec $A$ : on posera $M=(m_{i,j})$, on identifiera les coefficients, et on montrera que ce sont exactement les matrices $a{I}_2+bN$ avec $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$.

3. En reportant dans l'équation $M^2=A$, déterminer toutes les racines carrées de $A$.

4. Montrer que $I_2$ admet une infinité de racines carrées dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ : on cherchera des solutions parmi les matrices de la forme $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a\end{array}\right)$.

5. Montrer que $N$ n'admet aucune racine carrée dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. On observera d'abord que $M^2=N$ entraîne $M^4=0$, puis on exploitera l'identité $(\star )$.

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Une matrice $P\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est dite idempotente lorsque $P^2=P$ ; une matrice $S\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est dite involutive lorsque $S^2=I_n$.

Préliminaire. Vérifier, en calculant séparément les deux membres, que toute matrice $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ satisfait l'identité

1. Donner un exemple de matrice idempotente de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ autre que $0$ et $I_2$, puis un exemple de matrice involutive de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ autre que $I_2$ et $-I_2$.

2. Montrer qu'une matrice idempotente et inversible est nécessairement égale à $I_n$.

3. Soit $P$ idempotente. Montrer que $I_n-P$ est idempotente, puis calculer $P(I_n-P)$ et $(I_n-P)P$.

4. Soit $S\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ et $P=\frac{1}{2}(I_n+S)$. Montrer que $S$ est involutive si et seulement si $P$ est idempotente.

5. Montrer que toute matrice involutive est inversible et égale à son propre inverse.

6. Déterminer toutes les matrices idempotentes de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. On utilisera l'identité $(\star )$ et on distinguera selon que le nombre $s=a+d$ vaut $1$ ou non.

Une matrice de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ est dite magique lorsque les sommes des coefficients de chacune de ses trois lignes, de chacune de ses trois colonnes et de chacune de ses deux diagonales sont toutes égales à un même réel $s$, appelé la somme de la matrice. On note

les deux diagonales étant $(a,e,k)$ et $(c,e,g)$.

1. Écrire les huit égalités traduisant que $M$ est magique de somme $s$, et les mettre sous la forme d'un système linéaire homogène ; on choisit ici de traiter $s$ comme une inconnue supplémentaire, ce qui donne huit équations aux dix inconnues $a,b,c,d,e,f,g,h,k,s$.

2. Résoudre ce système par la méthode du pivot et montrer que les matrices magiques sont exactement décrites par trois paramètres réels.

3. Retrouver directement, sans utiliser la question 2, que le coefficient central d'une matrice magique de somme $s$ vaut toujours $\frac{s}{3}$.

4. Vérifier que la somme de deux matrices magiques est magique, et qu'un multiple d'une matrice magique est magique. Préciser à chaque fois la somme obtenue.

5. Exhiber une matrice magique dont les coefficients sont les neuf entiers de $1$ à $9$, chacun figurant une fois, et vérifier qu'elle appartient bien à la famille obtenue à la question 2.

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $A=(a_{i,j})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

1. Montrer que, pour tous $i$ et $j$ compris entre $1$ et $n$, le coefficient d'indice $(i,j)$ de ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}AA$ vaut ${\sum }_{k=1}^n{a}_{k,i}{a}_{k,j}$. En déduire que son coefficient d'indice $(i,i)$ vaut ${\sum }_{k=1}^n{a}_{k,i}^2$.

2. En déduire que si ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}AA=0$, alors $A=0$.

3. Montrer que ce résultat tombe en défaut sur $\mathbb{C}$ : exhiber une matrice $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ non nulle telle que ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}AA=0$, et expliquer quelle étape de la question 2 cesse d'être valable.

4. Montrer que ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}AA$ et $A{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$ sont symétriques, puis exhiber une matrice $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pour laquelle ces deux matrices sont différentes.

5. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telle que $A{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A=I_n$ ; on suppose de plus que $A$ est inversible. Montrer que ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}AA=I_n$.

On note $E_{i,j}$ les matrices élémentaires de ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Pour $i\mathrm{\ne }j$ dans $\{1,2,3\}$, $\lambda \in \mathbb{R}$ et $\alpha \in {\mathbb{R}}^{\ast }$, on pose

appelées respectivement matrice de transvection, matrice de dilatation et matrice d'échange. On rappelle que multiplier une matrice $A$ à gauche par $T_{i,j}(\lambda )$, par $D_i(\alpha )$ ou par $P_{i,j}$ revient à effectuer sur $A$ l'opération élémentaire $L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j$, $L_i\leftarrow \alpha L_i$ ou $L_i\leftrightarrow L_j$ respectivement.

1. Écrire explicitement les matrices $T_{2,1}(\lambda )$, $D_2(\alpha )$ et $P_{1,3}$. Déterminer, pour chacun des trois types, l'inverse de la matrice correspondante, en vérifiant les deux produits.

2. On pose

   $$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 2& 0& 3\end{array}\right)\mathrm{.}$$

   Mener le pivot de Gauss-Jordan sur les lignes de $A$ jusqu'à obtenir $I_3$, en notant chaque opération élémentaire effectuée, puis écrire les matrices $E_1,\dots ,E_r$ correspondantes, de sorte que $E_r\cdots E_{1}A=I_3$. Ces matrices, qui ne portent qu'un indice, ne doivent pas être confondues avec les matrices élémentaires $E_{i,j}$.

3. En déduire une écriture de $A$, puis de $A^{-1}$, comme produit de matrices de transvection, de dilatation et d'échange.

4. Vérifier l'écriture obtenue pour $A$ en effectuant le produit.

5. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $A\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$. Justifier que $A$ s'écrit comme un produit fini de matrices de transvection, de dilatation et d'échange de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

Dans tout l'exercice, on travaille dans l'anneau ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ et l'on note

Les nombres réels $s$ et $p$ dépendent de la matrice $M$ considérée. On rappelle qu'une matrice $M$ est dite nilpotente lorsqu'il existe $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $M^k=0$. L'objectif est de déterminer toutes les matrices nilpotentes de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

1. Vérifier, en calculant complètement les deux membres, l'identité

   $$M^2=sM-p{I}_2\mathrm{.}$$

2. Soit $M\mathrm{\ne }0$ telle que $M^2=0$. En raisonnant par l'absurde à partir de l'hypothèse $s\mathrm{\ne }0$, montrer que $s=0$, puis en déduire que $p=0$.

3. Réciproquement, montrer que si $s=0$ et $p=0$, alors $M^2=0$.

4. Soit $M$ une matrice nilpotente de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Montrer d'abord que pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ il existe deux réels ${\alpha }_k$ et ${\beta }_k$ tels que $M^k={\alpha }_{k}M+{\beta }_k{I}_2$, et préciser les relations de récurrence qui lient $({\alpha }_{k+1},{\beta }_{k+1})$ à $({\alpha }_k,{\beta }_k)$. En déduire successivement que $p=0$ (on montrera que $M$ serait inversible dans le cas contraire), puis que $s=0$, puis que $M^2=0$. Conclure en décrivant l'ensemble de toutes les matrices nilpotentes de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, avec un paramétrage explicite.

5. Soient $M$ et $N$ deux matrices nilpotentes, écrites d'après la question 4 sous la forme

   $$M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a\end{array}\right),N=\left(\begin{array}{cc}{a}^{\mathrm{\prime }}& b^{\mathrm{\prime }}\\ c^{\mathrm{\prime }}& -a^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

   Montrer que $M+N$ est nilpotente si et seulement si $2a{a}^{\mathrm{\prime }}+b{c}^{\mathrm{\prime }}+b^{\mathrm{\prime }}c=0$. Illustrer par un exemple et par un contre-exemple, puis commenter le lien avec le résultat classique concernant la somme de deux éléments nilpotents qui commutent.