Devoir surveillé — Calcul matriciel et systèmes linéaires

Consignes valables pour tout le sujet. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix ; à l'intérieur d'un exercice, en revanche, les questions s'enchaînent. La calculatrice n'est pas autorisée : tous les calculs demandés se mènent à la main. La rédaction, la justification des étapes et la présence d'une conclusion explicite sont notées au même titre que les résultats. En particulier, on n'utilisera à aucun moment un outil hors du programme du premier semestre : pour établir qu'une matrice est inversible, les seules voies autorisées sont l'exhibition d'un inverse avec vérification des deux produits, la méthode du pivot, et la résolution du système $AX=Y$ à second membre littéral.

On considère la matrice

$$P=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Calculer $P^2$ et $P^3$. En déduire que $P$ est inversible et donner $P^{-1}$, en vérifiant les deux produits.

2. (0,5 pt) Écrire ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}P$ et constater que ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}P=P^{-1}$. La matrice $P$ est-elle symétrique ? antisymétrique ?

3. (0,75 pt) Soit $M\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, de lignes $L_1$, $L_2$, $L_3$ et de colonnes $C_1$, $C_2$, $C_3$. Décrire les lignes de $PM$ et les colonnes de $MP$. Illustrer sur

$$M=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 3& 4& 1\\ -2& 5& 7\end{array}\right)\mathrm{.}$$

4. (0,5 pt) Déterminer $P^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, en discutant selon le reste de la division euclidienne de $n$ par $3$. Calculer $P^{2026}$.

5. (0,75 pt) Calculer le produit $(I_3-P)(I_3+P+P^2)$. En déduire que $I_3-P$ n'est pas inversible, et que l'anneau ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ n'est pas intègre.

Dans tout l'exercice,

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),$$

et l'on s'intéresse à l'équation d'inconnue $X$

$$({\mathcal{E}}_B):AX-XA=B,\text{o}\grave{\text{u}}B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\text{ est donn}\acute{\text{e}}\text{e.}$$

1. (0,5 pt) Calculer $AX$ et $XA$, puis écrire les quatre coefficients de $AX-XA$ en fonction de $a$, $b$, $c$, $d$.

2. (0,75 pt) Traduire $({\mathcal{E}}_B)$ en un système linéaire de quatre équations aux quatre inconnues $a$, $b$, $c$, $d$, dont le second membre est formé des coefficients de $B$. Résoudre ce système par la méthode du pivot dans le cas homogène $B=0_{2,2}$, et décrire l'ensemble $\mathcal{C}$ de ses solutions à l'aide de deux paramètres réels.

3. (0,75 pt) On prend $B_1=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -2& -1\end{array}\right)$. Exhiber une solution particulière de $({\mathcal{E}}_{B_1})$, puis décrire l'ensemble de toutes ses solutions. Vérifier que cet ensemble est bien de la forme « une solution particulière plus les solutions de l'équation homogène ».

4. (0,5 pt) Démontrer qu'il n'existe aucune matrice $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ telle que $AX-XA=I_2$.

5. (0,5 pt) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients de $B$ pour que $({\mathcal{E}}_B)$ possède au moins une solution.

6. (0,5 pt) Cette question est indépendante des précédentes. Soient $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $U$, $V$, $W$ trois matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Démontrer l'identité

$$U(VW)-(VW)U=(UV-VU)W+V(UW-WU)\mathrm{.}$$

En déduire que si $V$ et $W$ commutent toutes deux avec $U$, alors $VW$ commute avec $U$.

Étant données quatre matrices $A$, $B$, $C$, $D$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, on note

$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$$

la matrice de ${\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ obtenue en juxtaposant ces quatre blocs : ses coefficients de positions $(i,j)$ avec $i⩽2$ et $j⩽2$ sont ceux de $A$, ceux avec $i⩽2$ et $j⩾3$ sont ceux de $B$, et ainsi de suite. On dira qu'une matrice de ${\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ est triangulaire supérieure par blocs lorsqu'elle s'écrit sous la forme $\left(\begin{array}{cc}A& B\\ 0_{2,2}& D\end{array}\right)$. On remarquera que $I_4=\left(\begin{array}{cc}{I}_2& 0_{2,2}\\ 0_{2,2}& I_2\end{array}\right)$.

1. (0,5 pt) On pose

$$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& 3& 2& 1\\ 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),M^{\mathrm{\prime }}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Identifier les blocs $A$, $B$, $D$ de $M$ et $A^{\mathrm{\prime }}$, $B^{\mathrm{\prime }}$, $D^{\mathrm{\prime }}$ de $M^{\mathrm{\prime }}$. Calculer le produit $M{M}^{\mathrm{\prime }}$ directement dans ${\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$, puis calculer $A{A}^{\mathrm{\prime }}$, $A{B}^{\mathrm{\prime }}+B{D}^{\mathrm{\prime }}$ et $D{D}^{\mathrm{\prime }}$, et constater l'accord.

2. (0,75 pt) Démontrer la formule générale : pour toutes matrices $A$, $B$, $D$, $A^{\mathrm{\prime }}$, $B^{\mathrm{\prime }}$, $D^{\mathrm{\prime }}$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$,

$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ 0_{2,2}& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{A}^{\mathrm{\prime }}& B^{\mathrm{\prime }}\\ 0_{2,2}& D^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A{A}^{\mathrm{\prime }}& A{B}^{\mathrm{\prime }}+B{D}^{\mathrm{\prime }}\\ 0_{2,2}& D{D}^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

On raisonnera sur les coefficients, en séparant les indices inférieurs ou égaux à $2$ de ceux supérieurs ou égaux à $3$.

3. (0,75 pt) Soit $M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ 0_{2,2}& D\end{array}\right)$, avec $A$ et $D$ inversibles. Démontrer que $M$ est inversible et que

$$M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}B{D}^{-1}\\ 0_{2,2}& D^{-1}\end{array}\right),$$

en vérifiant les deux produits à l'aide de la question 2.

4. (0,5 pt) Application numérique : inverser

$$M_0=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

5. (0,5 pt) On suppose désormais $D=A$. On pose

$$\mathrm{\Delta }=\left(\begin{array}{cc}A& 0_{2,2}\\ 0_{2,2}& A\end{array}\right),\mathcal{N}=\left(\begin{array}{cc}{0}_{2,2}& B\\ 0_{2,2}& 0_{2,2}\end{array}\right),$$

de sorte que $M=\mathrm{\Delta }+\mathcal{N}$. Calculer ${\mathcal{N}}^2$, puis $\mathrm{\Delta }\mathcal{N}$ et $\mathcal{N}\mathrm{\Delta }$. Démontrer que $\mathrm{\Delta }$ et $\mathcal{N}$ commutent si et seulement si $AB=BA$.

6. (0,5 pt) On suppose de plus $AB=BA$. En déduire, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, l'expression de $M^n$ à l'aide de $A^n$, $A^{n-1}$ et $B$. Appliquer le résultat à

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),$$

et écrire explicitement la matrice $M^n$ de ${\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ obtenue. Contrôler le résultat pour $n=2$ par un calcul direct.

On note $S\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ la matrice définie par $s_{i,j}=1$ si $j⩽i$, et $s_{i,j}=0$ si $j>i$.

1. (0,5 pt) Écrire $S$. Pour une colonne $X={}^t(x_1,x_2,x_3,x_4)$, expliciter les quatre coefficients de $SX$ et interpréter le résultat en une phrase.

2. (0,75 pt) Soit $Y={}^t(y_1,y_2,y_3,y_4)$ une colonne quelconque. Résoudre le système $SX=Y$ d'inconnue $X$, par une suite d'opérations élémentaires réversibles, et exprimer $X$ en fonction de $Y$. En déduire, par le critère du cours, que $S$ est inversible, et écrire $S^{-1}$.

3. (0,5 pt) Vérifier par le calcul les deux produits $S{S}^{-1}=I_4$ et $S^{-1}S=I_4$.

4. (0,5 pt) On pose $N=I_4-S^{-1}$. Écrire $N$, calculer $N^2$, $N^3$ et $N^4$, et préciser l'indice de nilpotence de $N$. Retrouver alors l'égalité $S=I_4+N+N^2+N^3$ à partir de $S^{-1}=I_4-N$, sans calculer de coefficients.

5. (0,75 pt) Traiter les trois applications suivantes.

a. Résoudre $SX={}^t(2,5,9,14)$.

b. Déterminer la colonne $X$ dont les sommes partielles successives valent $1$, $4$, $9$ et $16$, et commenter le résultat.

c. Calculer $S^2$ et donner une expression de son coefficient de position $(i,j)$.

Un réseau est la donnée de $p$ relais numérotés de $1$ à $p$ et d'un ensemble de liaisons entre eux. On lui associe sa matrice de liaison $A=\left(a_{i,j}\right)\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$, définie par

$$a_{i,j}=\{\begin{array}{ll}1& \text{s’il existe une liaison permettant d’aller directement de }i\grave{\text{a}}j\\ 0& \text{sinon.}\end{array}$$

Pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on appelle chemin de longueur $k$ allant de $i$ à $j$ toute suite de relais $s_0,s_1,\dots ,s_k$ telle que $s_0=i$, $s_k=j$, et telle que l'on puisse aller directement de $s_m$ à $s_{m+1}$ pour tout $m$ compris entre $0$ et $k-1$. Un chemin peut donc repasser plusieurs fois par le même relais. Les trois parties évaluent la même idée sur trois réseaux différents ; la partie A doit être traitée avant les deux autres, qui sont indépendantes entre elles.

Partie A — Le théorème des chemins (2,5 points)

On considère le réseau $\mathcal{R}$ à quatre relais dont les liaisons, toutes utilisables dans les deux sens, sont

$$\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{3,4\}\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Écrire la matrice de liaison $A$ de $\mathcal{R}$. Justifier qu'elle est symétrique et que sa diagonale est nulle.

2. (0,75 pt) Calculer $A^2$. Vérifier « à la main », en énumérant les chemins, les coefficients de $A^2$ de positions $(1,3)$, $(3,3)$ et $(3,4)$.

3. (1 pt) Démontrer par récurrence sur $k$ le théorème des chemins : pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et tous relais $i$ et $j$, le coefficient ${\left(A^k\right)}_{i,j}$ est égal au nombre de chemins de longueur $k$ allant de $i$ à $j$.

4. (0,25 pt) Combien y a-t-il de chemins de longueur $3$ allant du relais $1$ au relais $4$ ? Et du relais $1$ à lui-même ? On répondra par un calcul matriciel, puis on contrôlera les deux réponses en énumérant les chemins.

Partie B — Le réseau en étoile (2 points)

On considère maintenant le réseau $\mathcal{E}$ à quatre relais dans lequel le relais $4$ est relié aux trois autres, et dans lequel il n'existe aucune autre liaison ; toutes sont utilisables dans les deux sens. On note $K$ sa matrice de liaison.

5. (0,5 pt) Écrire $K$, calculer $K^2$ et $K^3$, et vérifier l'égalité $K^3=3K$.

6. (0,75 pt) Démontrer par récurrence que, pour tout $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$,

$$K^{2m-1}=3^{m-1}K\text{et}{K}^{2m}=3^{m-1}{K}^2\mathrm{.}$$

7. (0,25 pt) En déduire le nombre de chemins de longueur $6$ reliant le relais $1$ à lui-même, et retrouver ce nombre par un dénombrement direct.

8. (0,5 pt) Démontrer que $K$ n'est pas inversible.

Partie C — Un réseau à sens unique (2,5 points)

On considère enfin le réseau $\mathcal{U}$ à quatre relais dont les liaisons sont utilisables dans un seul sens, à savoir

$$1\to 2,1\to 3,2\to 3,2\to 4,3\to 4,$$

et l'on note $T$ sa matrice de liaison.

9. (0,5 pt) Écrire $T$. Calculer $T^2$, $T^3$ et $T^4$. Justifier, sans calcul et en raisonnant sur les chemins, qu'il était certain d'obtenir $T^4=0_{4,4}$.

10. (0,75 pt) Démontrer que $I_4-T$ est inversible, d'inverse $I_4+T+T^2+T^3$, en vérifiant les deux produits. Écrire explicitement cette matrice, que l'on notera $G$.

11. (0,75 pt) Démontrer que, pour $i\mathrm{\ne }j$, le coefficient $g_{i,j}$ est le nombre total de chemins allant de $i$ à $j$, toutes longueurs confondues, et que $g_{i,i}=1$ pour tout $i$. Vérifier par énumération les coefficients $g_{1,4}$ et $g_{2,4}$.

12. (0,5 pt) Résoudre le système $(I_4-T)X=C$, où $C={}^t(1,1,1,1)$, et interpréter chaque coefficient de la solution en termes de chemins. Contrôler l'interprétation sur le relais $1$ par un dénombrement direct.