Devoir surveillé — Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie

1. Pour chacune des quatre affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie doit être démontrée, une affirmation fausse doit être réfutée par un contre-exemple explicite. Dans tout ce qui suit, $n$ désigne un entier naturel non nul, sauf mention contraire dans l'affirmation elle-même, et les lettres $a_k$ désignent des réels quelconques.

   a. Pour tous réels $a_1,\dots ,a_n$ et $b_1,\dots ,b_n$,

   $$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k=\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\sum _{k=1}^n{b}_k\right)\mathrm{.}$$

   (0,25 pt)

   b. Pour tout entier naturel $n$ et toute famille de réels $a_0,a_1,\dots ,a_{2n+1}$,

   $$\sum _{k=0}^{2n+1}{a}_k=\sum _{k=0}^n{a}_{2k}+\sum _{k=0}^n{a}_{2k+1}\mathrm{.}$$

   (0,5 pt)

   c. Pour tous réels $a_1,\dots ,a_n$,

   $$\sum _{k=1}^n{2}^{a_k}=2^{a_1+a_2+\cdots +a_n}\mathrm{.}$$

   (0,25 pt)

   d. Pour toute famille de réels $a_0,a_1,\dots ,a_{n+1}$,

   $$\sum _{k=1}^n(a_{k+1}-a_{k-1})=a_{n+1}+a_n-a_1-a_0\mathrm{.}$$

   (0,5 pt)

2. Soit $n$ un entier naturel non nul. Calculer ${\displaystyle T_n=\sum _{k=1}^n(-1{)}^k(2k+1)}$ en distinguant selon la parité de $n$. Contrôler le résultat pour $n=1$, $n=2$ et $n=3$. (0,75 pt)

3. Soit $n$ un entier naturel. (0,75 pt pour les deux sous-questions)

   a. Démontrer que, pour tout réel $x$,

   $$\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)x^k(1-x{)}^{n-k}=1.$$

   b. En choisissant convenablement $x$, en déduire la valeur de ${\displaystyle \sum _{k=0}^n(-1{)}^k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)2^{n-k}}$.

On considère le système d'inconnues réelles $x$, $y$, $z$, $t$ :

1. Résoudre $(S)$ par la méthode du pivot de Gauss. On écrira en clair chaque opération élémentaire, du type $L_2\leftarrow L_2-L_1$, et l'on décrira l'ensemble des solutions au moyen d'un paramètre réel. (1,25 pt)

2. Déterminer l'ensemble des solutions de $(S)$ dont les quatre composantes sont positives ou nulles. (0,75 pt)

3. Parmi ces solutions, déterminer celle qui rend la somme $x+y+z+t$ minimale, et celle qui la rend maximale. On donnera dans chaque cas le quadruplet et la valeur de la somme. (0,5 pt)

4. Déterminer toutes les solutions de $(S)$ dont les quatre composantes sont des entiers naturels. (0,5 pt)

Pour tout entier $k$, on pose

1. Démontrer les trois égalités suivantes, valables pour tout entier $k$. (0,5 pt)

   a. $Q(k-1)=k^2-k+1$

   b. $k^3-1=(k-1)Q(k)$

   c. $k^3+1=(k+1)Q(k-1)$

2. Soit $n\ge 2$ un entier. Calculer

On donnera le résultat sous forme d'un quotient de deux expressions polynomiales en $n$, et l'on contrôlera la réponse pour $n=2$ et $n=3$. (1,25 pt)

3. Soit $n\ge 1$ un entier.

   a. Démontrer que $k^4+k^2+1=Q(k)Q(k-1)$ pour tout entier $k$, et que ce nombre n'est jamais nul.

   b. Calculer $Q(k)-Q(k-1)$ à l'aide de la question 1.a, puis en déduire la valeur de

(1,25 pt)

On utilisera librement les formules du cours : formules d'addition, formules de transformation d'une somme en produit

et caractérisations des égalités $\cos a=\cos b$, $\sin a=\sin b$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\cos x+\cos (2x)+\cos (3x)=0$, puis énumérer ses solutions appartenant à $[0,2\pi [$. (0,75 pt)

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\cos (5x)-\cos x=\sin (3x)$. (0,75 pt)

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x$,

(1,25 pt)

4. En appliquant cette inégalité à un réel $x$ bien choisi, démontrer que $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{2n}}\right)\ge {\displaystyle \frac{1}{n}}$ pour tout entier $n\ge 1$. (0,5 pt)

5. Soit $n\ge 2$ un entier. Démontrer que, pour tout réel $x$, l'égalité $\mid \sin (nx)\mid =n\mid \sin x\mid$ a lieu si et seulement si $\sin x=0$. (0,75 pt)

On rappelle la convention du cours : pour $n\in \mathbb{N}$ et $k\in \mathbb{Z}$, on pose $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)={\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}$ si $0\le k\le n$, et $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=0$ sinon. On rappelle également la formule de Pascal : pour tout entier $n\ge 0$ et tout entier $k\ge 1$,

Le triangle de Pascal se lit habituellement ligne par ligne. Ce problème s'intéresse à ce que l'on obtient en le parcourant en diagonale. Pour tout entier naturel $n$, on pose

Cette somme est bien définie : pour $0\le k\le n$, l'entier $n-k$ est positif ou nul. Elle ne comporte d'ailleurs qu'un petit nombre de termes non nuls, car $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-k}{k}\right)=0$ dès que $k>n-k$.

Partie A — La relation cachée

A1. Calculer $D_0$, $D_1$, $D_2$, $D_3$, $D_4$, $D_5$ et $D_6$. On indiquera pour chacun les termes retenus et l'on justifiera l'annulation des autres. (0,5 pt)

A2. Conjecturer une relation liant $D_{n+2}$, $D_{n+1}$ et $D_n$. (0,25 pt)

A3. Démontrer cette relation pour tout entier naturel $n$. On prendra soin de justifier l'usage de la formule de Pascal et le changement d'indice effectué. (1,5 pt)

Partie B — Trois sommes

Dans toute cette partie, on utilise librement la relation démontrée en A3.

B1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,

(0,75 pt)

B2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,

(1 pt)

B3. Démontrer que, pour tout entier $n\ge 1$,

(0,75 pt)

Partie C — Un encadrement

C. Démontrer que, pour tout entier $n\ge 1$,

On soignera l'initialisation, qui porte sur deux rangs. (1,25 pt)

Partie D — Une somme double

D1. Soit $N$ un entier naturel. En écrivant ${\displaystyle \sum _{n=0}^N{D}_n}$ comme une somme double, en décrivant précisément son domaine de sommation, puis en intervertissant les deux sommations, démontrer l'identité

(0,75 pt)

D2. Vérifier cette identité pour $N=4$, en calculant séparément les deux membres. (0,25 pt)