Exercices — Topologie des espaces vectoriels normés

On note $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ et $F={\mathcal{C}}^1([0,1],\mathbb{R})$.

1. Pour chacune des six applications suivantes, dire si elle définit une norme sur l'espace indiqué. Lorsque la réponse est négative, exhiber un vecteur mettant en défaut l'une des propriétés caractéristiques.

2. Rédiger en détail la vérification des trois propriétés pour $N_c$.

3. Rédiger en détail la vérification pour $N_d$, en reconnaissant une norme euclidienne.

4. Montrer que, pour tout $z\in {\mathbb{R}}^2$,

$$\frac{1}{2}\mathrm{\parallel }z{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}⩽N_c(z)⩽2\mathrm{\parallel }z{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }},$$

puis montrer que les constantes $\frac{1}{2}$ et $2$ sont optimales.

La figure ci-dessous représente, superposées dans le plan ${\mathbb{R}}^2$, les boules unités fermées $B_f(0,1)$ des trois normes usuelles $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$, $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$ et $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$.

1. Associer à chacune des trois normes la partie qui lui correspond parmi le carré $[-1,1]\times [-1,1]$, le disque de centre $O$ et de rayon $1$, et le losange de sommets $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1,0)$, $(0,-1)$. Justifier par un calcul.

2. Lire sur la figure les inclusions entre ces trois boules unités, puis les démontrer.

3. Soient $N$ et $N^{\mathrm{\prime }}$ deux normes sur un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$. Montrer que si la boule unité fermée de $N$ est incluse dans celle de $N^{\mathrm{\prime }}$, alors $N^{\mathrm{\prime }}⩽N$. En déduire, à partir de la question 2, les inégalités entre $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$, $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$ et $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ sur ${\mathbb{R}}^2$.

4. Soient $a=(a_1,a_2)\in {\mathbb{R}}^2$ et $r>0$. Décrire $B_f(a,r)$ pour la norme $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ comme un produit de deux intervalles.

5. Les parties suivantes sont-elles bornées ? On munit ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ de $\mathrm{\parallel }M{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}={\max }_{1⩽i,j⩽2}\mathrm{\mid }{m}_{ij}\mathrm{\mid }$ et $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$.

1. Étudier la convergence dans ${\mathbb{R}}^3$ de la suite $(u_n{)}_{n⩾1}$ définie par

$$u_n=(\frac{2n+1}{n+3},\frac{\sin n}{n},\sqrt{n^2+n}-n)\mathrm{.}$$

2. Même question dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pour la suite $(A_n{)}_{n⩾1}$ définie par

$$A_n=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{n}& {(1+\frac{1}{n})}^n\\ \frac{n+1}{2n-1}& \cos \frac{1}{n}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

3. On munit $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ de la norme $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$. Pour $n⩾1$ et $t\in [0,1]$, on pose $f_n(t)={\displaystyle \frac{t^n}{n}}$ et $g_n(t)=t^n$. Montrer que $(f_n)$ converge vers la fonction nulle dans $E$, puis que $(g_n)$ n'a pas de limite dans $E$.

4. Soient $E$ un espace vectoriel normé et $(u_n)$ une suite de $E$ convergeant vers $\mathrm{\ell }\in E$. Montrer que la suite réelle $\left(\mathrm{\parallel }{u}_n\mathrm{\parallel }\right)$ converge vers $\mathrm{\parallel }\mathrm{\ell }\mathrm{\parallel }$. La réciproque est-elle vraie ?

Soit $n⩾1$. On munit ${\mathbb{K}}^n$ des trois normes usuelles $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$, $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$ et $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$, et on note $x=(x_1,\dots ,x_n)$ un élément de ${\mathbb{K}}^n$.

1. Démontrer les inégalités $\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}⩽\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_2⩽\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_1⩽n\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$.

2. Démontrer $\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_1⩽\sqrt{n}\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_2$ à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, puis $\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_2⩽\sqrt{n}\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$.

3. Déterminer, pour chacune des trois inégalités $\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}⩽\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_2$, $\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_2⩽\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_1$ et $\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_1⩽\sqrt{n}\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_2$, les vecteurs $x$ qui réalisent l'égalité.

4. Montrer que les constantes $n$ et $\sqrt{n}$ obtenues aux questions 1 et 2 sont optimales, c'est-à-dire qu'aucune constante strictement plus petite ne convient.

5. Conclure que ces trois normes sont deux à deux équivalentes sur ${\mathbb{K}}^n$, et préciser ce que cette propriété signifie concrètement.

Les espaces ${\mathbb{R}}^2$ et ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ sont munis de la norme $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ (le maximum des modules des coordonnées, respectivement des coefficients), et $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ de $\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}={\sup }_{t\in [0,1]}\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }$.

1. Pour chacune des six parties suivantes, dire si elle est ouverte, fermée, les deux, ou ni l'une ni l'autre. Chaque réponse sera justifiée.

2. Une intersection quelconque de parties ouvertes est-elle ouverte ?

3. Une réunion quelconque de parties fermées est-elle fermée ?

Rappel de vocabulaire : $\mathring{A}$ est le plus grand ouvert inclus dans $A$ (l'ensemble des points dont une boule ouverte centrée en eux est incluse dans $A$), $\bar{A}$ est le plus petit fermé contenant $A$ (l'ensemble des limites de suites d'éléments de $A$), et $\mathrm{\partial }A=\bar{A}\setminus \mathring{A}$.

Déterminer $\mathring{A}$, $\bar{A}$ et $\mathrm{\partial }A$ pour chacune des parties suivantes. Chaque égalité sera justifiée, par double inclusion ou par la caractérisation séquentielle. Le plan ${\mathbb{R}}^2$ est muni de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$.

1. $A=[0,1[\cup \{2\}$, dans $\mathbb{R}$.

2. $A=\mathbb{Q}$, dans $\mathbb{R}$.

3. $A=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x^2+y^2<1\}\cup \{(1,0)\}$.

4. $A=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;xy>0\}$.

5. $A=\{{\displaystyle \frac{1}{n}};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$, dans $\mathbb{R}$.

1. Montrer que l'application $\phi :{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$, $M\mapsto \mathrm{t}\mathrm{r}\left(M^2\right)$, est continue.

2. Soit $g:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ définie par

$$g(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\text{ si }(x,y)\mathrm{\ne }(0,0),g(0,0)=0.$$

Montrer que $g$ est continue sur ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$, puis qu'elle n'est pas continue en $(0,0)$.

3. On munit $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$. Montrer que l'application

$$h:E\to \mathbb{R},f⟼{\int }_0^{1}f(t{)}^2\mathrm{d}t$$

est continue sur $E$. Est-elle lipschitzienne sur $E$ ?

4. Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, $D$ une partie dense de $E$ et $u:E\to F$ une application continue, nulle sur $D$. Montrer, par la caractérisation séquentielle, que $u$ est identiquement nulle. En déduire que deux applications continues de $E$ dans $F$ qui coïncident sur $D$ sont égales.

On rappelle qu'une partie $K$ d'un espace vectoriel normé est compacte lorsque, de toute suite d'éléments de $K$, on peut extraire une sous-suite qui converge vers un élément de $K$.

1. Énoncer le critère qui caractérise les parties compactes d'un espace vectoriel normé de dimension finie. Reste-t-il valable en dimension quelconque ?

2. Les parties suivantes sont-elles compactes ? On munit ${\mathbb{R}}^n$ de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ et ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ de $\mathrm{\parallel }M{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}={\max }_{1⩽i,j⩽2}\mathrm{\mid }{m}_{ij}\mathrm{\mid }$.

3. Redémontrer directement, par extraction et sans utiliser le critère de la question 1, que la partie $K$ de l'item f. est compacte.

Soient $E$ un espace vectoriel normé et $A$ une partie non vide de $E$. Pour $x\in E$, on pose

$$d(x,A)=\underset{a\in A}{\inf }\mathrm{\parallel }x-a\mathrm{\parallel }\mathrm{.}$$

1. Justifier que $d(x,A)$ est bien défini pour tout $x\in E$, et que $d(x,A)⩾0$.

2. Montrer que $\mathrm{\mid }d(x,A)-d(y,A)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$ pour tous $x,y\in E$. Qu'en déduit-on sur l'application $x\mapsto d(x,A)$ ?

3. Montrer que $d(x,A)=0$ si et seulement si $x\in \bar{A}$.

4. En déduire que $\bar{A}$ est une partie fermée de $E$, puis que si $A$ est fermée et $x\mathrm{\notin }A$, alors $d(x,A)>0$.

5. Dans ${\mathbb{R}}^2$ muni de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$, on pose $A=\mathbb{R}\times \{0\}$ et $B=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;xy=1\}$. Montrer que $A$ et $B$ sont deux fermés disjoints tels que

$$\inf \{\mathrm{\parallel }a-b\mathrm{\parallel };a\in A,b\in B\}=0.$$

Soit $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$. Pour $f\in E$, on pose

$$\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_1={\int }_0^1\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }\mathrm{d}t,\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_2={({\int }_0^{1}f(t{)}^2\mathrm{d}t)}^{1\mathrm{/}2},\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=\underset{t\in [0,1]}{\sup }\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

On admet que $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$ et $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ sont des normes sur $E$.

1. Vérifier que $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$ est une norme sur $E$. On soignera l'implication : si $\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_1=0$, alors $f=0$.

2. Démontrer que $\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_1⩽\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_2⩽\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ pour toute $f\in E$.

3. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $f_n(t)=t^n$. Calculer $\mathrm{\parallel }{f}_n{\mathrm{\parallel }}_1$, $\mathrm{\parallel }{f}_n{\mathrm{\parallel }}_2$ et $\mathrm{\parallel }{f}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$.

4. En déduire que $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$ et $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ ne sont pas équivalentes, puis que $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$ et $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ ne le sont pas non plus.

5. Étudier la convergence de la suite $(f_n)$ pour chacune des trois normes. Conclure sur ce que devient, en dimension infinie, le théorème d'équivalence des normes.

Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels normés.

1. Soit $f:E\to F$. Démontrer l'équivalence entre :

(i) $f$ est continue sur $E$ ; (ii) pour tout ouvert $U$ de $F$, $f^{-1}(U)$ est un ouvert de $E$.

En déduire la variante : $f$ est continue si et seulement si l'image réciproque de tout fermé de $F$ est un fermé de $E$.

2. En appliquant cette méthode, déterminer la nature des ensembles suivants.

a. $A=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2;x^2+y^3<4\}$ dans ${\mathbb{R}}^2$.

b. $B=\{M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R});\mathrm{t}\mathrm{r}(M)=1\}$ dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

c. $C=\{f\in \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R});{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t>1\}$, l'espace étant muni de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$.

3. Montrer que l'ensemble ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ des matrices symétriques est un fermé de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, d'intérieur vide dès que $n⩾2$.

4. Montrer par un contre-exemple que l'image DIRECTE d'un ouvert par une application continue n'est pas nécessairement un ouvert.

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel normé et $A$, $B$ deux parties de $E$. On rappelle que $\bar{A}$ est le plus petit fermé contenant $A$, que $\mathring{A}$ est le plus grand ouvert contenu dans $A$, et que $\mathrm{\partial }A=\bar{A}\setminus \mathring{A}$.

1. Démontrer que $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cup \bar{B}$.

2. Démontrer que $\overline{A\cap B}\subset \bar{A}\cap \bar{B}$, puis donner un contre-exemple à l'égalité.

3. Démontrer que l'intérieur de $A\cap B$ est égal à $\mathring{A}\cap \mathring{B}$. Montrer que pour la réunion on a seulement l'inclusion $\mathring{A}\cup \mathring{B}\subset$ intérieur de $A\cup B$, et qu'elle est stricte en général.

4. Démontrer la relation de dualité : le complémentaire de $\bar{A}$ est l'intérieur du complémentaire de $A$.

5. Montrer que $\mathrm{\partial }A=\mathrm{\varnothing }$ si et seulement si $A$ est à la fois ouverte et fermée. En déduire que les seules parties de $\mathbb{R}$ à la fois ouvertes et fermées sont $\mathrm{\varnothing }$ et $\mathbb{R}$.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel normé. Une partie $A$ de $E$ est dite dense dans $E$ lorsque $\bar{A}=E$.

1. Démontrer la caractérisation séquentielle : $A$ est dense dans $E$ si et seulement si tout élément de $E$ est limite d'une suite d'éléments de $A$.

2. Montrer que ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{Q})$, ensemble des matrices à coefficients rationnels, est dense dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

3. Montrer que $D=\{f\in \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R});f(0)\mathrm{\ne }0\}$ est dense dans $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ muni de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$.

4. Montrer que si $A$ est dense dans $E$ et si $U$ est un ouvert non vide de $E$, alors $A\cap U\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$.

5. Soient $F$ un espace vectoriel normé et $f,g:E\to F$ deux applications continues qui coïncident sur une partie dense $A$. Montrer que $f=g$. En déduire qu'une application continue $u:A\to F$ admet au plus un prolongement continu à $E$.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel normé. On dit que $\mathrm{\ell }\in E$ est une valeur d'adhérence de la suite $(u_n)$ d'éléments de $E$ s'il existe une extractrice $\phi$, c'est-à-dire une application strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$, telle que $u_{\phi (n)}\to \mathrm{\ell }$.

1. Montrer qu'une suite convergente admet une unique valeur d'adhérence, à savoir sa limite.

2. Déterminer toutes les valeurs d'adhérence de $u_n=(-1{)}^n+\frac{1}{n}$ dans $\mathbb{R}$ (pour $n⩾1$), puis celles de $v_n=(\cos \left(\frac{n\pi }{3}\right),\sin \left(\frac{n\pi }{3}\right))$ dans ${\mathbb{R}}^2$.

3. Soit $(u_n)$ une suite BORNÉE d'un espace vectoriel normé de dimension finie. Montrer que si elle admet une unique valeur d'adhérence $\mathrm{\ell }$, alors elle converge vers $\mathrm{\ell }$.

4. On travaille dans $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ muni de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$. Pour $n⩾1$, on pose

$$c_n=\frac{2n+1}{2n(n+1)},r_n=\frac{1}{2n(n+1)},f_n(t)=\max (0,1-\frac{\mathrm{\mid }t-c_n\mathrm{\mid }}{r_n})\mathrm{.}$$

Montrer que $(f_n)$ est bornée et n'admet aucune valeur d'adhérence.

5. Qu'en déduit-on sur la boule unité fermée en dimension infinie ?

On travaille dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, la taille $n$ étant fixée ; les suites de matrices sont indexées par $p$.

1. Justifier que $A_p\to A$ dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ si et seulement si chacune des $n^2$ suites de coefficients converge vers le coefficient correspondant de $A$, et que le choix de la norme est sans importance.

2. Étudier la convergence de la suite définie pour $p⩾1$ par

$$A_p=\left(\begin{array}{cc}1-{\displaystyle \frac{1}{p}}& {\displaystyle \frac{1}{p^2}}\\ {\displaystyle \frac{(-1{)}^p}{p}}& {(1+{\displaystyle \frac{1}{p}})}^p\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\mathrm{.}$$

3. Montrer que si $A_p\to A$ et $B_p\to B$, alors $A_p{B}_p\to AB$.

4. En déduire que si $A_p\to A$ avec $A_p$ symétrique pour tout $p$, alors $A$ est symétrique, et que si $A_p^2=A_p$ pour tout $p$, alors $A^2=A$.

5. Montrer que si $A_p\to A$ avec $A_p\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ pour tout $p$, la matrice $A$ n'est pas nécessairement inversible.

Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels normés et $X$ une partie de $E$. On rappelle que $f:X\to F$ est dite uniformément continue sur $X$ lorsque

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }(x,y)\in X^2,\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }⩽\delta ⟹\mathrm{\parallel }f(x)-f(y)\mathrm{\parallel }⩽\epsilon \mathrm{.}$$

1. Montrer qu'une application lipschitzienne est uniformément continue, et qu'une application uniformément continue est continue. Montrer que les deux réciproques sont fausses, en étudiant $g(t)=\sqrt{t}$ sur $[0,1]$ et $h(t)=t^2$ sur $\mathbb{R}$.

2. Montrer que $M\mapsto \mathrm{t}\mathrm{r}(M)$ est lipschitzienne sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ muni de $N(M)={\max }_{1⩽i,j⩽n}\mathrm{\mid }{m}_{ij}\mathrm{\mid }$, et déterminer sa meilleure constante de Lipschitz.

3. Énoncer et démontrer le théorème de Heine.

4. Soit $K$ un compact de ${\mathbb{R}}^n$ et $f$ continue sur $K$. Que donne concrètement le théorème de Heine ? Montrer sur $f(x)=\frac{1}{x}$ que la conclusion tombe si $K$ n'est pas compact, mais qu'elle subsiste sur tout compact de $]0,+\mathrm{\infty }[$.

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé de dimension finie non nulle et $u\in \mathcal{L}(E)$. On identifie une matrice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ à l'endomorphisme $x\mapsto Ax$ de ${\mathbb{R}}^n$, et on note $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}{\mathrm{\mid }}_{\mathrm{\infty }}$ et $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}{\mathrm{\mid }}_1$ les normes subordonnées à $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ et à $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$ respectivement.

1. Rappeler la définition de $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }={\sup }_{\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }⩽1}\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }$ et justifier qu'en dimension finie cette borne supérieure est un maximum.

2. Démontrer les deux formules générales, pour $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ :

$$\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}{\mathrm{\mid }}_{\mathrm{\infty }}=\underset{1⩽i⩽n}{\max }\sum _{j=1}^n\mathrm{\mid }{a}_{ij}\mathrm{\mid }\text{(somme par LIGNE)},\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}{\mathrm{\mid }}_1=\underset{1⩽j⩽n}{\max }\sum _{i=1}^n\mathrm{\mid }{a}_{ij}\mathrm{\mid }\text{(somme par COLONNE)}\mathrm{.}$$

3. Les appliquer à $A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 4\end{array}\right)$ et commenter le fait que les deux valeurs diffèrent.

4. Montrer que $\mathrm{\parallel }Ax{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}⩽\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}{\mathrm{\mid }}_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\parallel }x{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ pour tout $x$, et exhiber un vecteur réalisant l'égalité pour la matrice de la question 3.

5. On suppose $n⩾2$. Montrer que $N(A)={\max }_{1⩽i,j⩽n}\mathrm{\mid }{a}_{ij}\mathrm{\mid }$ n'est pas une norme subordonnée.

Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels normés, $E$ étant de dimension finie. On admet le théorème d'équivalence des normes en dimension finie.

1. Démontrer que toute application linéaire $u:E\to F$ est continue. On passera par la norme $N_1$ associée à une base de $E$.

2. En déduire la continuité de $M\mapsto \mathrm{t}\mathrm{r}(M)$ et de $M\mapsto {}^{t}M$ sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, puis de $P\mapsto P(2)$ sur ${\mathbb{K}}_n[X]$.

3. Montrer que $\det :{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ est continue et en déduire que ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})=\{M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R});\det M=1\}$ est un fermé.

4. Montrer que le produit matriciel est bilinéaire continu, et en déduire que $M\mapsto M^k$ est continue sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

5. Montrer que l'hypothèse de dimension finie est essentielle : sur $\mathbb{K}[X]$ muni de $\mathrm{\parallel }P\mathrm{\parallel }={\max }_i\mathrm{\mid }{a}_i\mathrm{\mid }$, où $P={\sum }_i{a}_i{X}^i$, l'application linéaire $P\mapsto P(1)$ n'est pas continue.

Soit $n⩾1$ et $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. L'espace ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est de dimension finie $n^2$ : toutes les normes y sont équivalentes, et les notions d'ouvert, de fermé et de convergence ne dépendent donc pas de la norme choisie. On note $N_{\mathrm{\infty }}(M)={\max }_{1⩽i,j⩽n}\mathrm{\mid }{m}_{i,j}\mathrm{\mid }$.

1. Montrer que $\det :{\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})\to \mathbb{K}$ est continue.

2. En déduire que ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ est un ouvert de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, et que l'ensemble des matrices non inversibles en est un fermé.

3. Soit $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$ une norme sur ${\mathbb{K}}^n$ et $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }$ la norme subordonnée associée sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. Soit $H$ telle que $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }H\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }<1$. En considérant un vecteur $x$ vérifiant $(I_n+H)x=0$, montrer que $I_n+H$ est inversible.

4. En déduire que ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ contient une boule ouverte de centre $I_n$ et de rayon explicite, d'abord pour la norme $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }$, puis pour la norme $N_{\mathrm{\infty }}$.

5. L'ensemble ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ est-il fermé ? borné ? Répondre par des contre-exemples explicites.

On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, avec $n⩾1$, de son produit scalaire canonique $⟨A,B⟩=\mathrm{t}\mathrm{r}\left({}^{t}AB\right)$ et de la norme euclidienne associée

$$\mathrm{\parallel }M\mathrm{\parallel }=\sqrt{\mathrm{t}\mathrm{r}\left({}^{t}MM\right)}=\sqrt{\sum _{1⩽i,j⩽n}{m}_{i,j}^2}\mathrm{.}$$

L'espace est de dimension finie $n^2$.

1. Montrer que ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})=\{M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R});{}^{t}MM=I_n\}$ est un fermé de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

2. Montrer que $\mathrm{\parallel }M\mathrm{\parallel }=\sqrt{n}$ pour toute $M\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$. Qu'en déduit-on ?

3. Conclure que ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ est compact et énoncer ce que cela apporte pour les fonctions continues définies sur ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$.

4. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ fixée. Montrer que $M\mapsto \mathrm{t}\mathrm{r}(AM)$ atteint son maximum sur ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ et que ce maximum est majoré par $\sqrt{n}\mathrm{\parallel }A\mathrm{\parallel }$. Traiter complètement le cas $A=I_n$.

5. Montrer que ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})=\{M;\det M=1\}$ est fermé, mais non borné dès que $n⩾2$ : il n'est donc pas compact.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel normé. Pour $a,b\in E$, on note $[a,b]=\{(1-t)a+tb;t\in [0,1]\}$ le segment d'extrémités $a$ et $b$. Une partie $A$ est dite étoilée par rapport à $c\in A$ lorsque $[c,x]\subset A$ pour tout $x\in A$.

1. Rappeler la définition d'un chemin continu de $a$ à $b$ tracé dans $A$, puis celle d'une partie connexe par arcs.

2. Montrer qu'une partie convexe est connexe par arcs, puis qu'une partie étoilée l'est également.

3. Montrer que ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ est connexe par arcs. On distinguera le cas où le segment $[a,b]$ évite l'origine et celui où il la contient.

4. Montrer que $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ n'est PAS connexe par arcs, et déterminer ses composantes connexes par arcs.

5. Soit $n⩾2$. Montrer que la sphère unité $S(0,1)$ de ${\mathbb{R}}^n$, muni de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$, est connexe par arcs.

On travaille dans $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ muni de $\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}={\sup }_{t\in [0,1]}\mathrm{\mid }f(t)\mathrm{\mid }$, et l'on note $B_f(0,1)=\{f\in E;\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}⩽1\}$ sa boule unité fermée.

Pour $n⩾1$, on pose

$$c_n=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}),r_n=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\frac{1}{2n(n+1)},$$

puis, pour $t\in [0,1]$,

$$f_n(t)=\max (0,1-\frac{\mathrm{\mid }t-c_n\mathrm{\mid }}{r_n})\mathrm{.}$$

C'est la fonction « bosse » affine par morceaux, nulle en dehors de $]\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}[$ et valant $1$ au milieu $c_n$ de cet intervalle.

1. Montrer que $B_f(0,1)$ est une partie fermée et bornée de $E$.

2. Montrer que $f_n\in B_f(0,1)$, puis que $\mathrm{\parallel }{f}_n-f_m{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=1$ dès que $n\mathrm{\ne }m$.

3. En déduire que $B_f(0,1)$ n'est PAS compacte.

4. Qu'en conclut-on sur la caractérisation « compact équivaut à fermé et borné » ? Sur la dimension de $E$ ?

5. Montrer que $K=\{f\in E;\mathrm{\parallel }f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}⩽1\text{ et }f\text{ est }1\text{-lipschitzienne}\}$ est fermée et bornée. Les fonctions $f_n$ appartiennent-elles à $K$ ?

On munit $E=\mathbb{R}[X]$ de

$$\mathrm{\parallel }P{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}=\underset{t\in [0,1]}{\sup }\mathrm{\mid }P(t)\mathrm{\mid },$$

où l'on identifie $P$ et la fonction polynomiale qui lui est associée. Toutes les normes subordonnées de l'exercice sont relatives à cette norme, au départ comme à l'arrivée.

1. Vérifier que $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ est bien une norme sur $\mathbb{R}[X]$.

2. Soit $D:\mathbb{R}[X]\to \mathbb{R}[X]$, $P\mapsto P^{\mathrm{\prime }}$. Montrer que $D$ est linéaire. Calculer $\mathrm{\parallel }{X}^n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ et $\mathrm{\parallel }D(X^n){\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$, et en déduire que $D$ n'est PAS continue.

3. Montrer que la forme linéaire $\phi :P\mapsto P(1)$ est continue, et que $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\phi \mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }=1$.

4. Soit $n\in \mathbb{N}$ et $D_n$ la restriction de $D$ à ${\mathbb{R}}_n[X]$. Montrer que $D_n$ est continue, puis que $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }{D}_n\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }⩾n$. Que dire de $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }{D}_n\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$ ?

5. Conclure : où intervient exactement la dimension finie dans cette histoire ?

1. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel normé, de dimension quelconque, et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de DIMENSION FINIE. Montrer que $F$ est une partie fermée de $E$. On partira d'une suite $(x_p)$ d'éléments de $F$ convergeant vers $x\in E$, on décomposera les $x_p$ dans une base de $F$, et l'on utilisera l'équivalence des normes en dimension finie, admise.

2. En déduire que ${\mathbb{R}}_n[X]$ est un fermé de $\mathbb{R}[X]$, quelle que soit la norme choisie sur $\mathbb{R}[X]$.

3. Soit $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ muni de $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$, et $\mathcal{P}$ le sous-espace des restrictions à $[0,1]$ des fonctions polynomiales. Pour $p\in \mathbb{N}$ on pose $S_p={\sum }_{k=0}^p\frac{X^k}{k!}$. Montrer que $\mathrm{\parallel }{S}_p-\exp {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}⩽\frac{\mathrm{e}}{(p+1)!}$, puis que $\mathcal{P}$ n'est PAS fermé dans $E$.

4. Que peut-on en déduire sur la dimension de $\mathcal{P}$, donc sur celle de $\mathbb{R}[X]$ ?

5. On munit maintenant $\mathbb{R}[X]$ de $\mathrm{\parallel }P{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}={\sup }_{t\in [0,1]}\mathrm{\mid }P(t)\mathrm{\mid }$ et l'on pose $\psi :P\mapsto P(2)$. Montrer que $\psi$ est une forme linéaire NON continue, puis que son noyau $H$, qui est un hyperplan, est DENSE dans $\mathbb{R}[X]$.

Soit $n⩾1$ et $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ d'une norme quelconque : l'espace étant de dimension finie $n^2$, la notion de convergence ne dépend pas de ce choix. On note ${\chi }_M(X)=\det (X{I}_n-M)$ le polynôme caractéristique de $M$.

1. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $t\mapsto \det (A-t{I}_n)$ est une fonction polynomiale de degré exactement $n$, donc non nulle, et en déduire qu'elle ne s'annule qu'en un nombre fini de points.

2. En déduire l'existence d'une suite $(A_k)$ de matrices INVERSIBLES convergeant vers $A$.

3. Conclure que ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$ est dense dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

4. Soient $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. Montrer ${\chi }_{AB}={\chi }_{BA}$, d'abord lorsque $A$ est inversible, puis dans le cas général par densité. On précisera quelle application est continue et pourquoi le passage à la limite est licite, coefficient par coefficient.

5. Soit $n⩾2$. Par le même schéma, démontrer que $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}(AB)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}(A)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}(B)$ pour toutes matrices $A,B$. On rappelle la relation $M{}^t\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}(M)={}^t\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}(M)M=\det (M)I_n$.

Soit $n⩾1$. On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ d'une norme quelconque, l'espace étant de dimension finie $n^2$, et l'on note

$$\mathcal{N}=\{M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C});\mathrm{\exists }p\in {\mathbb{N}}^{\ast },M^p=0\}$$

l'ensemble des matrices nilpotentes.

1. Montrer que $M\in \mathcal{N}$ si et seulement si $M^n=0$. En déduire que $\mathcal{N}$ est un FERMÉ de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$.

2. Montrer que $\mathcal{N}$ est un cône : $\lambda M\in \mathcal{N}$ pour tous $\lambda \in \mathbb{C}$ et $M\in \mathcal{N}$.

3. Montrer que $\mathring{\mathcal{N}}=\mathrm{\varnothing }$, autrement dit que toute matrice nilpotente est limite de matrices non nilpotentes. On pourra considérer $M+\epsilon I_n$ et déterminer son spectre.

4. Montrer que $\mathcal{N}$ n'est pas borné dès que $n⩾2$, donc pas compact.

5. Montrer que $\mathcal{N}$ est connexe par arcs. Montrer en revanche que ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})$ ne l'est pas, et commenter la différence.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel normé. Pour deux parties $A$ et $B$ de $E$, on note

$$A+B=\{x+y;x\in A,y\in B\},$$

et pour $A$ non vide et bornée, $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(A)={\sup }_{(x,y)\in A^2}\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$.

1. Soient $K$ et $L$ deux compacts non vides de $E$. Montrer que $K+L$ est compact. On rédigera soigneusement la double extraction.

2. Soient $K$ un compact non vide et $F$ un fermé non vide de $E$. Montrer que $K+F$ est FERMÉ. Est-il compact en général ?

3. Dans ${\mathbb{R}}^2$, on pose $F_1=\mathbb{R}\times \{0\}$ et $F_2=\{(x,y);xy=1,x>0\}$. Montrer que $F_1$ et $F_2$ sont fermés, calculer $F_1+F_2$, et conclure que la somme de deux fermés n'est pas toujours fermée.

4. Soit $(K_p{)}_{p\in \mathbb{N}}$ une suite DÉCROISSANTE de compacts non vides de $E$, c'est-à-dire vérifiant $K_{p+1}\subset K_p$ pour tout $p$. Montrer que ${\bigcap }_{p\in \mathbb{N}}{K}_p$ n'est pas vide.

5. Montrer que si de plus $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(K_p)\to 0$, cette intersection est réduite à un point.

$E$ et $F$ désignent des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels normés. On rappelle qu'une partie $A$ de $E$ est connexe par arcs lorsque, pour tous $x,y$ de $A$, il existe une application continue $\gamma :[0,1]\to A$ vérifiant $\gamma (0)=x$ et $\gamma (1)=y$.

1. Soit $A$ une partie connexe par arcs de $E$ et $f:A\to F$ continue. Montrer que $f(A)$ est connexe par arcs.

2. Montrer que les parties connexes par arcs de $\mathbb{R}$ sont exactement les intervalles (on conviendra que $\mathrm{\varnothing }$ et les singletons sont des intervalles).

3. En déduire le théorème des valeurs intermédiaires généralisé : si $A$ est connexe par arcs et si $f:A\to \mathbb{R}$ est continue, alors $f(A)$ est un intervalle ; en particulier, si $f$ prend les valeurs $\alpha$ et $\beta$, elle prend toute valeur comprise entre $\alpha$ et $\beta$.

4. Soit $p\in {\mathbb{R}}^2$. Montrer que ${\mathbb{R}}^2\setminus \{p\}$ est connexe par arcs, puis qu'il n'existe aucune application continue et injective de ${\mathbb{R}}^2$ dans $\mathbb{R}$.

5. Montrer que ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ n'est connexe par arcs pour aucun $n⩾1$.

On munit ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ d'une norme quelconque ; toutes sont équivalentes puisque cet espace est de dimension finie, et la convergence y équivaut à la convergence coefficient par coefficient. On note ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n^{+}(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices réelles inversibles de déterminant strictement positif, et ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n^{-}(\mathbb{R})$ celui des matrices de déterminant strictement négatif. On suppose $n⩾1$.

1. Soient $A,B\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{C})$. Montrer que $P:z\mapsto \det ((1-z)A+zB)$ est une fonction polynomiale de $z\in \mathbb{C}$, non nulle, et en déduire que l'ensemble $Z$ de ses zéros est fini et ne contient ni $0$ ni $1$.

2. Montrer qu'il existe $s_0\in \mathbb{R}$ tel que la ligne brisée joignant $0$ à $\frac{1}{2}+i{s}_0$ puis $\frac{1}{2}+i{s}_0$ à $1$ évite $Z$. En déduire que ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{C})$ est connexe par arcs.

3. Montrer que ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})$ n'est pas connexe par arcs.

4. Montrer que ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n^{+}(\mathbb{R})$ est un ouvert de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, puis qu'il est connexe par arcs. On ADMETTRA le résultat d'algèbre suivant, conséquence directe du pivot de Gauss : toute $A\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})$ s'écrit $A=T_1{T}_2\cdots T_{N}D$, où chaque $T_k$ est une transvection $I_n+{\lambda }_k{E}_{i_k{j}_k}$ (avec $i_k\mathrm{\ne }{j}_k$) et $D=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,\dots ,1,\det A)$.

5. En déduire le nombre de composantes connexes par arcs de ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{R})$.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel normé de dimension finie non nulle. Toute application linéaire de $E$ dans $E$ étant continue, on dispose sur $\mathcal{L}(E)$ de la norme subordonnée

$$\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }=\underset{\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }⩽1}{\sup }\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }\mathrm{.}$$

1. Établir $\mathrm{\parallel }u(x)\mathrm{\parallel }⩽\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }$ pour tout $x\in E$, puis en déduire $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }v\circ u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }$ et $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }=1$.

2. En déduire que $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }{u}^k\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}{\mathrm{\mid }}^k$ pour tout $k⩾1$.

3. On suppose $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }<1$. Montrer que $u^k\to 0$ dans $\mathcal{L}(E)$, puis que $\mathrm{i}\mathrm{d}-u$ est inversible (on montrera l'injectivité à l'aide de l'inégalité de la question 1).

4. Sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, on pose $N(A)={\max }_{1⩽i,j⩽n}\mathrm{\mid }{a}_{ij}\mathrm{\mid }$. Montrer que $N$ est une norme, qu'elle ne vérifie pas $N(AB)⩽N(A)N(B)$ dès que $n⩾2$, mais que $N^{\mathrm{\prime }}=nN$ la vérifie.

5. Pour $A=\left(\begin{array}{cc}6& 3\\ 8& 4\end{array}\right)$, calculer les trois normes subordonnées $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}{\mathrm{\mid }}_1$, $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}{\mathrm{\mid }}_2$ et $\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathrm{\mid }\text{\hspace{0.17em}⁣}{\mathrm{\mid }}_{\mathrm{\infty }}$ associées à $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_1$, $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_2$ et $\mathrm{\parallel }\cdot {\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ sur ${\mathbb{R}}^2$, et les comparer.

Soit $G$ un sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ non réduit à $\{0\}$. On note $G^{+}=G\cap ]0,+\mathrm{\infty }[$ et $a=\inf G^{+}$.

1. Montrer que $G^{+}$ est non vide et que $a$ est bien défini, avec $a⩾0$.

2. On suppose $a>0$. Montrer que $a\in G$ (raisonner par l'absurde et construire deux éléments $g_2<g_1$ de $G^{+}$ tels que $0<g_1-g_2<a$), puis que $G=a\mathbb{Z}$.

3. On suppose $a=0$. Montrer que $G$ est dense dans $\mathbb{R}$.

4. Conclure : tout sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ est soit de la forme $a\mathbb{Z}$ avec $a⩾0$, et alors fermé dans $\mathbb{R}$, soit dense dans $\mathbb{R}$, ces deux cas s'excluant mutuellement.

5. Soit $\alpha$ un irrationnel. Montrer que $\mathbb{Z}+\alpha \mathbb{Z}=\{p+q\alpha ;(p,q)\in {\mathbb{Z}}^2\}$ est dense dans $\mathbb{R}$. En déduire, en admettant l'irrationalité de $\pi$, que $\{\cos (n);n\in \mathbb{N}\}$ est dense dans $[-1,1]$.

On travaille dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, muni d'une norme quelconque : cet espace étant de dimension finie, toutes les normes y sont équivalentes et la convergence équivaut à la convergence coefficient par coefficient. On note $\mathcal{D}$ l'ensemble des matrices diagonalisables et $\mathcal{S}$ l'ensemble des matrices dont les $n$ valeurs propres sont deux à deux distinctes.

1. Montrer que $\mathcal{S}\subset \mathcal{D}$.

2. Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. On admet le résultat de cours : $A$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure $T$. Construire une suite $(T_k)$ de matrices triangulaires supérieures, à coefficients diagonaux deux à deux distincts, qui converge vers $T$ (on perturbera la diagonale, sans jamais calculer $T$).

3. En déduire que $\mathcal{D}$ est dense dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$.

4. Démontrer le théorème de Cayley-Hamilton par densité : on vérifiera ${\chi }_M(M)=0$ pour $M$ diagonalisable, puis on établira la continuité de $\mathrm{\Phi }:M\mapsto {\chi }_M(M)$.

5. Montrer que $\mathcal{D}$ n'est pas fermé (pour $n⩾2$), puis que $\mathcal{S}$ est ouvert. Pour ce dernier point, on posera

$$\mathrm{\Delta }(M)=\det {\left(\mathrm{t}\mathrm{r}\left(M^{p+q-2}\right)\right)}_{1⩽p,q⩽n}(\text{avec }{M}^0=I_n)$$

et l'on montrera que $\mathrm{\Delta }(M)={\prod }_{1⩽p<q⩽n}({\lambda }_q-{\lambda }_p{)}^2$, où ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ sont les valeurs propres de $M$ comptées avec multiplicité.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel normé, $K$ une partie compacte non vide de $E$ et $f:K\to K$ vérifiant

$$\mathrm{\parallel }f(x)-f(y)\mathrm{\parallel }<\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }\text{pour tous }x,y\in K\text{ avec }x\mathrm{\ne }y\mathrm{.}$$

Attention : on ne suppose l'existence d'aucun rapport $k<1$ tel que $\mathrm{\parallel }f(x)-f(y)\mathrm{\parallel }⩽k\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }$.

1. Montrer que $f$ est continue sur $K$.

2. Montrer que $\phi :x\mapsto \mathrm{\parallel }x-f(x)\mathrm{\parallel }$ est continue sur $K$ et qu'elle atteint sa borne inférieure en un point $x_0$ de $K$.

3. Montrer par l'absurde que $\phi (x_0)=0$, c'est-à-dire que $x_0$ est un point fixe de $f$.

4. Montrer que ce point fixe est unique.

5. Montrer que l'hypothèse de compacité est indispensable : on posera $K^{\mathrm{\prime }}=[1,+\mathrm{\infty }[$ et $f(x)=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$, et l'on vérifiera que $f$ envoie $K^{\mathrm{\prime }}$ dans $K^{\mathrm{\prime }}$, satisfait la même inégalité stricte, mais n'a aucun point fixe.

On travaille dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, de dimension finie : toutes les normes y sont équivalentes et la convergence équivaut à la convergence coefficient par coefficient. Pour $0⩽r⩽n$ on pose

$$U_r=\{M;\mathrm{r}\mathrm{g}(M)⩾r\},F_r=\{M;\mathrm{r}\mathrm{g}(M)⩽r\},R_r=\{M;\mathrm{r}\mathrm{g}(M)=r\}\mathrm{.}$$

On appelle mineur d'ordre $r$ de $M$ le déterminant d'une matrice extraite de $M$ en ne gardant que $r$ lignes et $r$ colonnes.

1. Justifier la caractérisation du rang par les mineurs : pour $1⩽r⩽n$, $\mathrm{r}\mathrm{g}(M)⩾r$ si et seulement si $M$ possède un mineur d'ordre $r$ non nul.

2. En déduire que $U_r$ est un ouvert et que $F_r$ est un fermé.

3. En déduire que le rang ne peut que chuter par passage à la limite : si $M_k\to M$, alors $\mathrm{r}\mathrm{g}(M_k)⩾\mathrm{r}\mathrm{g}(M)$ à partir d'un certain rang. Donner un exemple où l'inégalité est stricte pour tout $k$.

4. Soit $0<r<n$. Montrer, à l'aide de deux suites explicites, que $R_r$ n'est ni ouvert ni fermé.

5. Déterminer $\overline{R_r}$.

On munit ${\mathbb{R}}^n$ d'une norme $\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }$ ; comme toutes les normes y sont équivalentes, les énoncés ci-dessous n'en dépendent pas. Une application $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ est dite coercive lorsque $f(x)\to +\mathrm{\infty }$ quand $\mathrm{\parallel }x\mathrm{\parallel }\to +\mathrm{\infty }$.

1. Écrire la définition de la coercivité avec des quantificateurs.

2. Soit $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ continue et coercive. Montrer que $f$ atteint un minimum global sur ${\mathbb{R}}^n$.

3. Montrer que $f(x,y)=x^4+y^4-4xy$ est coercive sur ${\mathbb{R}}^2$, puis déterminer son minimum. On admettra qu'un minimum global d'une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ annule les deux dérivées partielles.

4. Soit $F$ un fermé non vide de ${\mathbb{R}}^n$ et $x\in {\mathbb{R}}^n$. Montrer qu'il existe $y\in F$ tel que $\mathrm{\parallel }x-y\mathrm{\parallel }=d(x,F)$.

5. Donner une application continue de ${\mathbb{R}}^n$ dans $\mathbb{R}$, minorée, dont la borne inférieure n'est pas atteinte.